Resolvemos el sistema formado por 2�−3�=−12x−3y=−1 y 5�−4�=15x−4y=1.

Multiplicamos la primera ecuación por 55 y la segunda por 22 para igualar los coeficientes de �x:

{10�−15�=−510�−8�=2{10x−15y=−510x−8y=2​

Restamos la primera ecuación de la segunda:

10�−8�−(10�−15�)=2−(−5)10�−8�−10�+15�=2+57�=7�=110x−8y−(10x−15y)10x−8y−10x+15y7yy​=2−(−5)=2+5=7=1​

Sustituimos �=1y=1 en 2�−3�=−12x−3y=−1:

2�−3(1)=−12x−3(1)=−1 2�−3=−12x−3=−1 2�=22x=2 �=1x=1

Entonces, el punto de intersección es �(1,1)P(1,1).

Paso 2: Calcular la pendiente de la recta 2�−3�=62x−3y=6:

Reescribimos la ecuación en forma de pendiente-intercepto (�=��+�y=mx+b):

2�−3�=62x−3y=6 3�=2�−63y=2x−6 �=23�−2y=32​x−2

La pendiente de esta recta es �=23m=32​.

Paso 3: Calcular la pendiente perpendicular:

La pendiente de la recta perpendicular será el negativo del inverso de la pendiente de 2�−3�=62x−3y=6, es decir, −1�−m1​.

�perpendicular=−123=−32mperpendicular​=−32​1​=−23​

Paso 4: Escribir la ecuación de la recta perpendicular:

Utilizamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, donde el punto es �(1,1)P(1,1) y la pendiente es −32−23​:

�−�1=�(�−�1)y−y1​=m(x−x1​) �−1=−32(�−1)y−1=−23​(x−1)

Expandimos y simplificamos:

�−1=−32�+32y−1=−23​x+23​ �=−32�+32+1y=−23​x+23​+1 �=−32�+52y=−23​x+25​

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 2�−3�=−12x−3y=−1 y 5�−4�=15x−4y=1 y que además es perpendicular a la recta 2�−3�=62x−3y=6 es �=−32�+52y=−23​x+25​.