DERIVADAS y APLICACIONES: Definición de Conceptos by Fabio Prieto

Pasos para poder resolver problemas de optimización

antoquaglia — 2017-10-18 15:10:26 UTC

a) Realizar un esquema o gráfico representativo del problema en el cual se identifiquen claramente las variables y /o constantes del problema.

b) Encontrar una fórmula de la cantidad que va a maximizarse o minimizarse.

c) Usando las condiciones enunciadas en el problema para eliminar variables, expresar la cantidad que va a maximizarse o minimizarse como una función de una sola variable.

d) Si es posible, encontrar el intervalo de los posibles valores de esa variable a partir de las restricciones físicas del problema.

e) Si pueden aplicarse, usar las técnicas aprendidas para obtener el máximo o mínimo.

f) Comprobar mediante el criterio de la derivada primera o el de la derivada segunda, que la función tiene un máximo (o mínimo) en el punto crítico hallado.

Máximos y mínimos de una función:

LuaAloisio — 2017-10-19 00:01:14 UTC

Una función f tiene un máximo absoluto(o máximo global) en c si f(c) ≥ f(x) para toda x en D, donde D, es el dominio de f. El numero f(c) se llama valor máximo de f en D. De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c, si f(c) ≤ f(x) para toda x en D; el numero f(c), se denomina valor mínimo de f en D.

Punto crítico

wandafalk_99 — 2017-10-19 15:27:31 UTC

Un punto crítico de una función f(x) es un número c que pertenezca al dominio de f(x) tal que f'(c)=0 o f'(c) no exista.

Prueba de la Derivada 1° para determinar máximos y/o mínimos.

AgustinaMartinV — 2017-10-19 22:34:50 UTC

t es un punto crítico de f (x) continua; entonces:
1. Si f '(x) cambia de (+) a (-) en t; entonces f (x) tiene un maximo relativo en t.
2. Si f '(x) cambia de (-) a (+) en t; entonces f (x) tiene un mínimo relativo en t.
3. Si f '(x) no cambia de signo en t; entonces f (x) no tiene máximos y mínimos en t.

Prueba de la derivada primera para determinar máximos y mínimos:

salvia_flory — 2017-10-20 23:43:11 UTC

Suponga que C es un punto critico de una funcion continua F(x), entonces: a) Si F'(x) cambia de positiva a negativa en C, entonces F(x) tiene un MAXIMO RELATIVO en C; b) Si F'(x) cambia de positiva a negativa, entonces F(x) tiene un minimo relativo en C; c) Si la derivada no cambia de signo en C, entonces F(x) no tiene ni maximo ni minimo relativo en C.

Puntos de Inflexión :

veroniksilva33 — 2017-10-21 00:35:50 UTC

Un punto P en una curva Y=F (x) recibe el nombre de Punto de Inflexión si F es continua ahí y la curva cambia de concava hacia arriba a concava hacia abajo o de concava hacia abajo a concava hacia arriba.

¿Para qué sirven las derivadas?

tomasbeneitez — 2017-10-21 15:55:21 UTC

Como sabemos, la derivada es la función f'(x) que da la tangente en cada punto de la curva f(x) y ¿para qué sirve? Principalmente, permite ver la evolución de muchos cambios físicos a lo largo de la pendiente (vistos en física y química en fenómenos como la velocidad).
Además, se utilizan en arquitectura por ejemplo en la construcción de juegos mecánicos en parques de atracciones cuando se necesita de sistemas de frenado de estos juegos.
En sí, las derivadas están presentes en la mayoría de los casos.

Regla de la cadena

mrnicocman — 2017-10-23 11:38:31 UTC

Si g es derivable en x y f en g(x), por lo tanto la función compuesta F = f ∘ g se definen mediante F(x) = f(g(x)), derivable en x y F' está dada por el producto:
F'(x) = f'(g(x)) . g'(x)

En la notacion de Leibniz, si tanto y = f(u) como u = g(x) son funciones diferenciables, por lo tanto: dy/dx = dy/du . du/dx

Teorema de Fernat

andres98lonquimay — 2017-10-24 00:57:24 UTC

"Si f(x) tiene un máximo o un mínimo local en un punto x=c y existe la derivada de f(x); entonces f´(c) =0" . este teorema se utiliza para ver donde ocurren los valores máximos y mínimos. Hay que tener en cuenta que la reciproca de este teorema no siempre es cierta: si f´(c) =0 NO garantiza que la función tenga un máximo o mínimo en ese punto

Criterio de la segunda derivada

2017-10-24 12:10:45 UTC

Es un teorema o método de cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba correspondiente a los máximos y mínimos relativos de una función.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c)=0,f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c)=0,f(c) debe ser un máximo relativo de f.

Diaz Pablo

Rocío Lopez Derivada de una función implícita

rolopezaylen — 2017-10-24 15:29:24 UTC

Para derivar una función implícita se usa la regla de la cadena; en el caso de la variable independiente, sin dificultad alguna, se deriva directamente; al derivar la variable dependiente se la considera como una función que a su vez depende de la variable independiente:

Dada una función

, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x:

Si consideramos

es una función en términos de la variable independiente x y

es una función en términos de la variable dependiente y, dado que

entonces para obtener la derivada:

Teorema de Rolle

lourdes_m_salinas — 2017-10-24 19:54:41 UTC

Sea f(x) una funcion que satisface las siguientes hipotesis:
1) F (x) es continua en [a,b]
2) F (x) es derivable en (a,b)
3) F (a) = F (b)
Entonces existe un "c" que pertenece al intervalo abierto (a,b) tal que la funcion derivada en "c" sea igual a 0.

Estudio de la derivada segunda / Prueba de la concavidad

vanee_01 — 2017-10-24 19:58:29 UTC

Observamos en ambas graficas la curvatura de las funciones son diferentes.
En la figura 1) la funcion f(x) queda por debajo se todas sus rectas tangentes en el intervalo abierto (a,b), entonces es concava hacia ABAJO. Es decir que la derivada segunda va a ser MENOR que 0 para todo X perteneciente al intervalo abierto (a,b).
En la figura 2) la funcion f(x) queda por arriba de todas sus rectas tangentes en el intervalo abierto (a,b), entonces es concava hacia ARRIBA. Es decir que la derivada segunda va a ser MAYOR que 0 para todo X perteneciente al intervalo abierto (a,b).

derivada de una función

maca10jrr — 2017-10-24 21:15:03 UTC

La derivada de una función f en un numero a, se indica mediante f '(a), es:

Propiedades de la Derivación

2017-10-26 00:09:36 UTC

Siendo F(x) y G(x) funciones derivables, entonces deben respetarse ciertas propiedades:
a) Derivada de una constante:
si F(x)=c, donde c es un número real, entonces f’(x)=0
La derivada de una constante es 0.
b) La derivada de f(x)= xⁿ:
f’(x)=n.x^n-1,siendo esta propiedad válida para cualquier número perteneciente a los reales.
c) Derivada de una constante multiplicada por una función:
Siendo k una constante real
(k.F)’ = k.F’(x)
La derivada de una constante que multiplica a una función, es la misma constante que multiplica a la derivada de la función.
d) Derivada de una suma o resta:
(F(x)+G(x))’ = F(x)’ + G(x)’
(F(x)-G(x))’= F(x)’ – G(x)’
En general la derivada de una suma(o resta) algebraica es la suma (o resta) algebraica de las derivadas.
e) Derivada de un producto:
(F(x).G(x))’= F(x)’.G(x) + F(x).G(x)’
En este caso, la derivada de un producto no es el producto de las derivadas.

f) Derivada de un cociente
(F(x)/G(x))’= {F(x)’.G(x) – F(x).G(x)’} / (G(x))^{2

Nieto Gina}

Método del intervalo cerrado

huaramalen — 2017-10-26 19:52:17 UTC

Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado [a,b] :

1- Encuentre los valores de f en los números críticos de f en (a,b).

2- Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo.

3- El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más pequeño, el valor mínimo absoluto.

Prueba de la Derivada 2° para determinar Minimos y/o Maximos

nancymartinez97 — 2017-10-27 22:22:25 UTC

Sea f una función tal que f' (x) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a x

Si f'' (x) < 0 entonces f tiene un máximo relativo en x
Si f'' (x) > 0 entonces f tiene un mínimo relativo en x.

Teorema del Valor Medio o de Lagrange

andre_silvina — 2017-10-28 00:24:52 UTC

Sea f(x) una función que satisface las siguientes hipótesis:
1) f(x) es definida y continua en el intervalo cerrado [a, b]
2) f(x) es derivable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (b, f(b)) y (a, f(a)). Es decir:

Pasos a seguir p/ resolver un problema de optimización

fischermariac — 2017-10-31 02:40:17 UTC

1- Leer y comprender el enunciado del problema.
2- Si es posible hacer diagramas, esquemas o gráfico que represente la situación.
3- Identificar las variables y constantes del problema (asignas letras a las variables)
4- Tratar de formular relaciones entre las variables y constantes.
5- Formular la función a maximizar o minimizar (FUNCIÓN OBJETIVO)
6- Si la función objetivo tiene más de una variable, utilice la información dada y las relaciones obtenidas en 4 para tratar de expresar la función objetivo en función de una sola variable.
7- Hallar los extremos de la función objetivo.
8- Verificar los resultados obtenidos.
EJEMPLO EN EL SIGUIENTE LINK
https://youtu.be/WHakcQRxuQU

Ejemplo del Criterio de la derivada primera para encontrar máximos y minimos de una funcion

geor_garcia12 — 2017-10-31 13:53:08 UTC

Regla de L' Hopital

sebaas_suarez — 2017-10-31 19:06:46 UTC

Suponga que g(x) y f (x) son funciones derivables y que g'(x) es distinta de cero en un intervalo cerrado que contiene a "a" (excepto posiblemente x=a). Suponga ademas que limite x -->a de f(x) = 0 y limite x--> a de g(x) = 0 o bien que el limite x--> a de f(x) = + - ∞ y limite x--> a de g(x) = +- ∞. Entonces: limite x--> a de f(x)/g(x) = limite x-->a f'(x) / g' (x) Ejemplo: limite x-->0 de 1 - cosx / x = 0/0 limite x--> 0 de 1 - cosx / x = lim x---> 0 de senx / 1

Derivada de la función seno de x (demostración)

kevinchuka68 — 2017-10-31 21:14:17 UTC

Demostración formal de que la derivada de seno de x es coseno de x mediante el uso de la definición de derivada como límite.

Adicionalmente se muestran ejemplos de funciones con seno donde debe hacerse uso de la regla de la cadena. De hecho se muestra que si se tiene el seno de una función de x la derivada será el coseno de dicha función por la derivada interna de la función (en este caso el ángulo)

En este video se explica una forma para derivar la función y=Senx. Para hacerlo se parte de la definición de derivada a partir de límites. Como nos encontramos con una indeterminación, lo que tenemos que hacer es eliminar el cero de abajo, por lo que nos valemos de la propiedad que nos dice Sen(α+β)=SenαCosβ+SenβCosα. Si asociamos convenientemente, con el uso de factor común, podremos llegar a expresiones con límites especiales ya conocidos. Finalmente obtenemos que la derivada del seno es coseno. En el video se realizan ejemplos con la derivada de la función seno, con casos en los que es necesario aplicar la regla de la cadena para encontrar la derivada. La forma más fácil es que encontremos una fórmula para seno de cualquier función de x. Esta fórmula es si f)x= Sen (g(x)), entonces f’(x)=Cos(g(x))g’(x).
en el enlace hay un vídeo con la demostración paso a paso
https://www.youtube.com/watch?v=DKY8NcVohXE

(Marcos Vicondo)

2017-10-31 23:28:17 UTC

Ejemplo de un problema de optimización resuelto por el Prof. David del canal unicoos de youtube. En este caso un problema para minimizar el gasto de papel en base a una superficie impresa. Podemos ver como el profesor utiliza el criterio de la derivada primera y lo comprueba luego. También nos muestra como es posible encarar el mismo problema de diferentes maneras. Saludos, .

Ejemplo presentado por Pehuen Carrica

2017-11-01 00:14:12 UTC

Ejemplo presentado por Clarita Salomone

2017-11-01 00:20:55 UTC

Teorema de Rolle

2017-11-01 01:16:28 UTC

Sea f(x) una función que satisface las siguientes hipótesis:

a) f(x) es continua en el intervalo [a,b]

b) f(x) es derivable en el intervalo (a,b)

c) f(a)=f(b)

Entonces ∃ c ∈ (a,b) : f ´ (c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Cavallero Mateo

¿Qué podemos determinar a partir de la derivada segunda?

AnaPagola — 2017-11-01 01:26:29 UTC

A partir de la derivada segunda se pueden determinar máximos, mínimos, puntos de inflexión y concavidades. Explicación en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=OyzpkpJFZ-0

(Rocío López) Ejemplo de cómo aplicar Derivadas en problemas de Optimizacion

2017-11-01 03:10:23 UTC

https://youtu.be/UWMhr3Hd-AU