Clásicamente, dos rectas paralelas se definen como las que, "por mucho que las prolongues", nunca se cortan. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + FB = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y Bson subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y GE. En el plano (afín) (V = R2), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas sii tienen un mismo vector director. es paralela a son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto.

Axioma de unicidad

El axioma que distinge a la geometría euclídea de otras geometrías es el siguiente: En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

Propiedades
Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:

a || a
Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

Si a || b

b || a

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.

Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

Si a || b

b || c

a || c

Teoremas:En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano).

Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.