Aplicações de Equações Diferenciais by Gabriel Caliari

Decaimento radioativo – Aplicação em Física, Química, Engenharia Nuclear, Arqueologia, Geologia.

gabrielcaliari — 2021-12-19 21:29:08 UTC

Um decaimento radioativo ocorre quando isótopos instáveis têm seus núcleos rompidos em razão da instabilidade atômica.

Exemplo: O isótopo Urânio (U– 238) é desintegrado quando seu núcleo se rompe. Na etapa inicial da reação é produzido Tório (Th-234), em seguida este também se desintegra produzindo Protactínio (Pa-234). A desintegração continua até completar 14 etapas e produzir o produto final: Chumbo (Pb-206). O Chumbo é estável e não se desintegra, o processo é então finalizado.

Observações empíricas mostram que a taxa de desintegração de um elemento radioativo, como o carbono-14, em dado instante é proporcional à quantidade do elemento presente naquele instante. Assim reduz-se o problema da datação de um material através da concentração de carbono-14 à resolução de uma equação diferencial linear ordinária de 1a ordem.

Dinâmica de populações – Aplicação em Biologia, Ecologia,Medicina, Economia.

gabrielcaliari — 2021-12-19 21:35:22 UTC

O estudo da dinâmica de populações envolve o estudo de equações diferenciais autônomas, ou seja, equações cuja variável independente não aparece explicitamente.

Equações autônomas são úteis para determinar o crescimento ou declínio populacional de uma dada espécie e os seus pontos críticos, localizados nos zeros de f(y). Nestes pontos, dy / dt = 0, ou seja, a taxa de variação da população se anula. Assim, se a população, em algum momento, atinge algum dos valores críticos, a partir daí ela permanecerá constante. Dizemos que a população atingiu o equilíbrio. Digamos que y = y(t) representa a população de uma determinada espécie em um determinado instante de tempo t. Em uma primeira aproximação, vamos supor que a taxa de variação de y é proporcional ao valor atual de y. Podemos representar essa hipótese em uma equação diferencial:
dy / dt = ry

Onde a constante de proporcionalidade r representa a taxa de crescimento (r > 0) ou declínio (r < 0) da população. A partir da condição inicial:
y(0) = y0

Capitalização de investimentos – Aplicação no Sistema Financeiro.

gabrielcaliari — 2021-12-19 21:39:11 UTC

Em muitas situações, o atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples. As modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse sistema, portanto é de grande utilidade estudá-lo. Aplicações financeiras baseadas em juros compostos podem ser modeladas por uma equação diferencial.
Suponha que uma quantia de dinheiro é depositada em um banco que paga juros a uma taxa r ao mês. O valor S(t) do investimento em qualquer instante t depende tanto da frequência de capitalização dos juros, ou seja, da periodicidade em que os juros são aplicados, quanto da taxa de juros. Se supusermos que a capitalização é feita continuamente, pode-se montar um problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento. A taxa de variação do valor do investimento é dS dt . Essa quantidade é igual a taxa segundo a qual os juros acumulam, que é a taxa de juros r, vezes o valor atual do investimento S(t). Então obtemos a equação diferencial de primeira ordem que descreve o processo:
dS / dt = rS
Novamente encontramos uma equação diferencial linear ordinária de 1 a ordem.

Oscilador harmônico amortecido – Aplicação em Física e Engenharias.

gabrielcaliari — 2021-12-19 21:43:59 UTC

Todo objeto material é composto de átomos ou moléculas que, mesmo sob condições normais de temperatura e pressão, estão em constante vibração. Esta dinâmica vibracional constitui os chamados modos naturais ou normais de vibração do material. Entender como funciona a dinâmica vibracional interna dos materiais é muito relevante para a pesquisa fundamental em áreas do conhecimento como a física, química, engenharia, ciências de materiais, entre outras. Um sistema vibracional simples cujo estudo pode ser feito através de equações diferenciais é o oscilador harmônico amortecido. O movimento harmônico amortecido ocorre quando uma força externa dissipativa atua sobre um oscilador harmônico fazendo com que a velocidade de seu movimento reduza-se gradualmente. Um exemplo típico de força externa dissipativa é a força de resistência do ar. Um sistema oscilando no ar acaba por ter reduzida sua energia cinética e, portanto, sua amplitude de oscilação devido à força de resistência que o ar exerce sobre o sistema. A partir da segunda lei de Newton é possível escrever a equação de movimento do oscilador harmônico amortecido da seguinte forma:
d2 x / dt2 + e ( dx / dt ) + ω2 x = 0
o
Onde x = x(t) é a posição do oscilador com função do tempo t, dx / dt sua velocidade, d2 x / dt2 sua aceleração, c é a constante de amortecimento e ω é a frequência angular. O conhecimento da posição x(t) do oscilador para cada instante de tempo requer a resolução de uma equação diferencial linear ordinária de 2a ordem.

Circuito RLC.

gabrielcaliari — 2021-12-19 21:46:56 UTC

O circuito RLC, um tipo de circuito elétrico encontrado especialmente em rádios, consiste de um resistor de resistência R, um indutor de indutância L, um capacitor de capacitância C e uma fonte de alimentação de tensão V (t).

De acordo com as leis elementares da eletricidade mais a segunda lei de Kirchhoff nos diz que, em um circuito fechado, a tensão aplicada é igual à soma das quedas de tensão no resto do circuito. Obtém-se uma equação diferencial para a corrente I diferenciando a eq.

Dispersão de um medicamento encapsulado no organismo.

gabrielcaliari — 2021-12-19 21:51:41 UTC

O processo em que a matéria é transportada de uma parte do sistema a outro como resultado de movimentos aleatórios das moléculas. No caso proposto, uma quantidade de matéria encapsulada em um fármaco é liberada por algum mecanismo, como um poro, fissura, etc. e a partir daí se dispersa no meio externo.
Vamos supor que uma massa M de uma determinada substância é liberada em um ponto (x, y, z) = (x0, y0, z0) em t = t0. É claro que não é possível liberar uma massa finita de matéria em exatamente um ponto no espaço e tempo, isso é uma aproximação matemática.
A difusão dessa substância através do espaço é governada pela equação de Fick, sendo que a equação de Fick é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem.