Катальди заметил, что значение цепной дроби всегда заключено между соседними подходящими дробями. 

Он нашёл рекуррентные соотношения для последовательного вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей. Но при этом Швентер рассматривал только правильные дроби – дроби, числители которых все равны единице, а все знаменатели являются натуральными числами. 

Из его работ стало ясно, что непрерывные дроби могут применяться как в теории чисел, так и в анализе. 

Эйлеру также принадлежат и многие другие работы, связанные с изучением и применением цепных дробей. 

В последней своей работе «Рассуждение о применении непрерывных дробей для нахождения квадратных и биквадратных корней» Михаил Софронов вплотную подходил к знаменитой теореме Лагранжа (1770 год). https://youtu.be/PKsHbworqWQ - теорема Лагранжа простым языком.

В.И.Смирнов и Е.С.Кулябко пишут в связи с этой работой: “М.Софронов не занимается доказательством сходимости соответствующих подходящих дробей к истинному значению корня. С этим связано парадоксальное представление мнимой величины в виде вещественной непрерывной дроби в последнем параграфе рассматриваемой работы.”

Ему принадлежит оригинальный метод разложения дробно-рациональных функций в цепные дроби.

Доказал, что квадратичные иррациональности есть именно те числа, которые имеют периодические разложения (начиная с некоторого n).

 Им предложено неравенство, оценивающее погрешность при замене действительного числа его подходящей дробью, а также решение уравнения Пелля. 

Он отметил, что алгебраические числа не могут быть достаточно точно аппроксимированы рациональными числами.   

Основал метрическую теорию непрерывных дробей.

Разъясняя появление своей работы  «Цепные дроби» , А.Я. Хинчин писал в 1935 г. : “Программы высшей школы (даже математических отделений университетов ) этой теории не предусматривают, вследствие чего и соответствующие новые руководства для высшей школы, естественно, ничего не говорят о цепных дробях. И специалист, встречающийся с необходимостью овладеть этим аппаратом, вынужден разыскивать либо дореволюционные учебники, либо зарубежные специальные руководства”.
Российские математики вплоть до двадцатых годов прошлого столетия использовали в своих работах термин “непрерывные дроби”. И лишь стараниями А. Я. Хинчина “цепные дроби” получили права гражданства и, более того, существенно потеснили “непрерывные дроби” в сочинениях русскоязычных авторов.

В работе «Об одном арифметическом вопросе» (1866) Чебышев рассмотрел вопрос о приближении чисел рациональными числами, используя аппарат непрерывных дробей. Этот вопрос сыграл важную роль в становлении теории диофантовых приближений целых чисел. 

 В математическом анализе Марков развил теорию моментов и теорию приближения функций, а также аналитическую теорию непрерывных дробей. Ученый широко использовал непрерывные дроби для приближенных вычислений в теории конечных разностей, интерполировании и т. д. Актуальность всех этих вопросов особенно возросла в связи с развитием вычислительной техники.

Теорема Слешинского — Прингсхайма — один из признаков сходимости обобщённых цепных дробей. Теорема была доказана в конце 19-го века.

В 1956 году в Москве опубликовал монографию «Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа», переводы этой книги на китайский и английский языки опубликованы в Пекине и Гронингене (Нидерланды)

Книга А.Н. Хованского и по сию пору является едва ли не единственной русскоязычной книгой по применениям цепных дробей в вычислениях. Немалое число цепных дробей для элементарных и специальных функций получено автором.

 МАУРЕР Гуго Вальтерович (1937  – 2003 ) - деятель науки, ученый-математик, кандидат физико-математических наук, доцент МарГУ.

Научные исследования в области аналитической теории цепных дробей и ее приложению.

Разработал и в 1930 году опубликовал оригинальный метод «цепных дробей», который и сейчас широко используется в судостроении.

Сочинения:

·                     Метод цепных дробей в применении к исследованию колебаний механических систем Т. 1

·                     Метод цепных дробей в применении к исследованию колебаний механических систем. Т.2

Является автором и соавтором 19 учебных курсов мехмата МГУ по теории чисел 

Решил проблему Гаусса.

Изучал геометрический способ построения цепной дроби числа a, связанный с нахождением целых точек, которые лежат близко от прямой. «Алгоритм вытягивания носов»