10 – 3 = 7

25 – 10 = 15

7 – 3 = 4

101 – 10 = 91

200 – 189 = 11

Assim como nas operações de adição, multiplicação e divisão, cada termo da subtração tem seu respectivo nome:

Para verificar se o resultado da subtração está correto, basta somarmos o subtraendo com o resto (ou diferença). O resultado desta deverá ser igual ao minuendo. Caso contrário, o cálculo está errado.

Por exemplo: é usual comprar muitos exemplares de um mesmo produto em supermercados. Caso compre oito produtos que custem R$ 2,00, o total a ser pago será de R$ 16,00, pois somamos o valor R$ 2,00 oito vezes. Sendo assim:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16

Essa soma pode ser representada pelo símbolo “x” ou “.”. No exemplo anterior:

2x8 = 2·8 = 16

Dessa maneira, somamos oito conjuntos de 2 reais cada. Nesse exemplo, os números 2 e 8 recebem o nome de fatores e essa operação deve ser lida da seguinte maneira: duas vezes oito é igual a dezesseis.

Sabendo o resultado de multiplicações que envolvem apenas fatores menores ou iguais a 10, podemos definir um algoritmo que seja capaz de realizar qualquer multiplicação. Esse algoritmo será descrito a seguir a partir do exemplo seguinte: 25x482.

Primeiramente escreva os números a partir da casa das unidades, alinhando-as.

    482
x   25   
------------

O primeiro número a ser multiplicado é o da casa das unidades da segunda linha. Ele deverá ser multiplicado por todo o primeiro número partindo da casa das unidades. Nesse caso, 5x2 = 10. No algoritmo acima, escreveremos:

      ₁
   482
x   25
------------   
       0

Observe que o valor das unidades fica no resultado e o valor das dezenas “sobe”. Agora é hora de multiplicar 5x8. Lembre-se de somar a dezena que “subiu” ao resultado dessa multiplicação. Então, 5x8 = 40 e 40 + 1 = 41. Logo, teremos no algoritmo:

      _{4 1}   
   482
x   25 
------------ 
     10

Por fim, multiplicaremos 5x4 = 20, que, somado a 4, resulta em 24. Como não há mais para onde “subir”, esse resultado será colocado por inteiro no local apropriado.

   _{4 1}     
   482
x   25 
------------ 
2410 

Finalizadas as multiplicações referentes ao algarismo 5, iniciaremos as multiplicações referentes ao algarismo 2. Repare que esse número está na casa das dezenas, por isso, a primeira multiplicação deve ser colocada também na casa das dezenas, logo abaixo de 2410. Observe:

   482
x   25 
------------ 
2410
    4

Agora multiplique 2x8 = 16, deixe 6 e “suba” 1.

  ₁       
  482
x  25 
------------
2410
64

Multiplique, por fim, 2x4 = 8 e some 1 ao resultado (8 + 1 = 9). No algoritmo, teremos:

   ₁       
   482

x   25 
------------

2410
964  

Para finalizar o cálculo, some os dois resultados encontrados:
       ₁       
      482  (fator)
   x   25  (fator)
  ------------
   2410
+ 964
 ------------ 
 12050 (produto)

Existem quatro propriedades da multiplicação e uma que envolve multiplicação e adição. Confira:

a·b = b·a

(a·b)·c = a·(b·c)

1·a = a·1 = a

a(b + c) = a·b + a·c

O número zero apresentado acima representa o resto da divisão, e indica que ela é exata. Quando o resto é diferente de zero, a divisão é dita não exata.

*Vale lembrar que o resto será sempre menor que o divisor.

A divisão pode ser representada pelos seguintes sinais:
/, :  e ÷

a) 3x3 = 9

b) 3x3x3 = 27

c) 3x3x3x3 = 81

Para simplificar a notação dessas multiplicações, nós podemos utilizar a potenciação. Essa forma de representação foi originalmente criada pelo matemático e filósofo René Descartes (1596 – 1650). Na potenciação, nós representamos apenas uma vez o número que será multiplicado e, acima desse número, colocamos a quantidade de vezes que ele será repetido. Para os exemplos acima, vejamos como ficará a representação através da potenciação:

a) 3x3 = 3²

a) 3x3x3 = 3³

c) 3x3x3x3 = 3⁴

Assim como acontece com as demais operações, os termos de uma potência recebem nomes específicos:

3 é a base, 2 é o expoente e 9 é a potencia.

A leitura de uma potência também ocorre de uma forma particular. O exemplo acima é lido como “três elevado a dois”, “três elevado à segunda potência” ou, mais popularmente, “três ao quadrado” ou “três elevado ao quadrado”. Quando se trata do expoente três, também há uma variação específica. A potência pode ser lida como “elevado ao cubo”. Apenas os expoentes dois e três possuem essas variações, a leitura do restante dos expoentes segue uma mesma ideia. Veja os exemplos a seguir:

 

2⁴ = “dois elevado a quatro” ou “dois elevado à quarta potência”

2⁵ = “dois elevado a cinco” ou “dois elevado à quinta potência”

2⁶ = “dois elevado a seis” ou “dois elevado à sexta potência”

2⁷ = “dois elevado a sete” ou “dois elevado à sétima potência”

2⁸ = “dois elevado a oito” ou “dois elevado à oitava potência”

2⁹ = “dois elevado a nove” ou “dois elevado à nona potência”

2ⁿ = “dois elevado a n” ou “dois elevado à enésima potência”

 

Em geral, quando nos deparamos com uma potência, precisamos repetir o produto da base quantas vezes indicar o expoente. Mas três regras são facilmente vistas:

1.      Quando a base for zero, o resultado da potência será zero.

2.      Quando o expoente for um, o resultado da potência será exatamente o valor da base.

Quando o expoente for zero, o resultado da potência será sempre um

Exemplo 1.

Propriedades da radiciação.

Exemplo 2. Simplifique a expressão

Exemplo 3. Racionalize as seguintes frações:
Racionalizar a fração é fazer com que no denominador não exista uma raiz enésima de um número.

Exemplo 4. Verifique as propriedades da radiciação.

Exemplo 5. Obtenha a forma mais reduzida possível da expressão:

Solução: Podemos reescrever cada uma das raízes utilizando as propriedades da radiciação.

[(3·5 + 4) – (21·31)]·7

Existe uma ordem que deve ser seguida para a solução de toda expressão numérica. Observe abaixo quais operações devem ser feitas primeiramente:

1 – As potenciações ou as radiciações. Essas operações devem ser as primeiras a serem feitas. Entre essas duas não há prioridade, portanto, podem ser calculadas como for melhor.

2 – Multiplicações ou divisões. Nos casos em que as potenciações e radiciações já foram feitas ou não existam, a sequência de operações a serem calculadas é multiplicações ou divisões. Entre elas também não existe prioridade, portanto, multiplicar primeiro ou dividir primeiro, fica a critério de quem calcula.

3 – Adições e subtrações. Essas são as últimas a serem feitas no ranking de prioridade das expressões numéricas. Também podem ser feitas em qualquer ordem.

Por exemplo, observe a resolução da expressão numérica a seguir, na qual foi aplicada a ordem dada acima.

4 + 2·72 – 49

Primeiramente, potenciação ou radiciação.

4 + 2·49 – 49

Em segundo lugar, multiplicações ou divisões.

4 + 98 – 49

Em terceiro lugar, adições e subtrações. Faremos primeiro as adições entre números que possuem o mesmo sinal, depois as adições entre números com sinais diferentes. As propriedades usadas para isso são provenientes da adição de números inteiros.

102 – 49

53

Dentro das expressões numéricas é possível que algumas operações sejam colocadas com maior prioridade do que outras, mesmo que na ordem dada anteriormente elas tenham uma prioridade menor. Essa nova prioridade é dada pelo uso de parênteses, colchetes e chaves.

Desse modo, a nova prioridade para as expressões numéricas, quando essas possuem parênteses, colchetes e chaves é a seguinte:

1 – Parênteses. Em primeiro lugar, as operações que estiverem dentro de parênteses devem ser feitas antes de todas as outras. As operações dentro do parênteses devem ser feitas na prioridade já discutida anteriormente.

2 – Colchetes. Em segundo lugar, as operações que estiverem dentro de colchetes devem ser realizadas. Também devem seguir a prioridade das operações matemáticas básicas.

3 – Chaves. Em terceiro lugar, as operações que restarem dentro das chaves devem ser calculadas, também na mesma ordem já discutida anteriormente.

4 – Realizar operações que restarem fora das chaves.

Lembre-se apenas de que ao sobrar apenas um número dentro dos parênteses, eles podem ser eliminados. O mesmo vale para chaves e colchetes. Observe o exemplo abaixo, envolvendo o ordenamento especial que acabamos de descrever e a ordem das operações já discutida.

{[(2 + 5·3)·2 – 7]·10 + 1} + 16

Primeiro, realizar os cálculos dentro dos parênteses e eliminá-los. Como a prioridade para seu interior é da multiplicação, teremos:

{[(2 + 15)·2 – 7]·10 + 1} + 16

{[17·2 – 7]·10 + 1} + 16

Agora, realizar os cálculos no interior de colchetes e eliminá-los. Também teremos uma multiplicação para ser realizada com prioridade.

{[34 – 7]·10 + 1} + 16

{27·10 + 1} + 16

Por fim, fazer os cálculos no interior de colchetes, eliminá-los e fazer os cálculos restantes.

{270 + 1} + 16

271 + 16

287

A geometria espacial é capaz de determinar, por meio de cálculos matemáticos, o volume destes mesmos objetos, ou seja, o espaço ocupado por eles.

Na geometria espacial os corpos podem ser classificados em poliedros e corpos redondos:

-Os poliedros são figuras geométricas formadas por vértices, arestas e faces. Através da expressão de Euler, é possível determinar o número de vértices, arestas e faces dos poliedros.

-As formas geométricas dos corpos redondos estão restritas ao cone, cilindro e esfera. Todas elas são estruturas tridimensionais. As figuras geométricas espaciais possuem três dimensões (largura, altura e comprimentos) e são divididas em dois grupos: poliedros e corpos redondos.

De acordo com o número de faces, os poliedros recebem a seguinte nomenclatura: