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Identificação de todas as características das funções seno,cosseno e tangente

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As funções trigonométricas são funções periódicas, ou seja, na sua representação gráfica as funções se caracterizam pela repetição de um padrão. Este padrão chamamos de período. Veja abaixo a definição formal de função periódica:

Uma função f: A→B é dita periódica se existir um número k > 0 onde o menor valor de k que satisfaz a condição abaixo é chamado de período:

Tendo em vista que os valores das funções trigonométricas têm como parâmetro a sua representação no ciclo trigonométrico, então os períodos de cada função estarão limitados à cada ciclo completo no eixo trigonométrico.

Função seno

A função seno é definida como uma função tal que:

Representação no ciclo trigonométrico:

Imagem: A imagem da função seno é o intervalo [-1, 1]. Isso é um fato conhecido pois os valores que o seno pode assumir para qualquer valor de x podem variar apenas de -1 e 1.

Período: O período da função seno é pois se , terá a mesma imagem no ciclo, ou seja: (qualquer valor de x teremos um valor em y) então

Exemplo 1) k=1 e , temos que:

Gráfico:

Função cosseno

A função cosseno é definida como uma função tal que:

Representação no ciclo trigonométrico:

Imagem: A imagem da função cosseno é o intervalo [-1, 1]. Isso é um fato conhecido pois os valores que o cosseno pode assumir para qualquer valor de x podem variar apenas de -1 e 1.

Período: O período da função cosseno é pois se , terá a mesma imagem no ciclo, ou seja: (qualquer valor de x teremos um valor em y) então

Exemplo 2) k=2 e , temos que:

Gráfico:

Função tangente

A função tangente é definida como uma função tal que:

Representação no ciclo trigonométrico:

Período: O período da função tangente é . Então dizemos: , terá a mesma imagem no ciclo, ou seja:

Exemplo 2) k=3 e , temos que:

Gráfico:

Note que no ponto . o gráfico não tem nenhuma representação em y, o que torna a função tangente uma assíntota nos pontos onde

Referências Bibliográficas:

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar - Volume 3 - Trigonometria: São Paulo: Editora Atual, 2013.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/

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As funções trigonométricas são funções periódicas, ou seja, na sua representação gráfica as funções se caracterizam pela repetição de um padrão. Este padrão chamamos de período.

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Trigonometria - Aula 5: Círculo trigonométrico

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LIVRO PREPARAÇÃO HÍBRIDA PARA O EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA 2017! - basta apontar a câmara do smartphone para o livro :-) - vídeo de apresentação: http://www.bit.ly/livro2017 Trigonometria: - Círculo trigonométrico Ficha+Aulas de Trigonometria: http://bit.ly/1kCnHtb Outras Fichas: http://bit.ly/outras_Fichas_Aulas

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Ficha de redução ao 1º quadrante - sugestão de resolução da 2ª página

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Ficha de redução ao 1º quadrante - sugestão de resolução da 1ª página

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O Matemático Ian Stewart publicou o livro "Dezessete equações que mudaram o mundo". São equações que, ao longo do tempo, moldaram nossa compreensão do universo de inúmeras maneiras.
8 equações que mudaram o curso da história - Parte I
Você vai conhecê-las agora:

Transformada de Fourier (Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1822)

Esta transformada é fundamental para entender as estruturas de onda mais complexas, como a fala humana, por exemplo. Dada uma função de onda complicada, como uma gravação de uma pessoa falando, a transformada permite quebrar esta função em uma combinação de uma série de ondas simples, facilitando assim a sua análise.

A transformada de Fourier é o cerne da transformação moderna e da análise de sinais e compressão de dados. Muito presente em engenharia elétrica com ênfase em telecomunicações, curso na qual sou acadêmico.

Equações de Navier-Stokes (C. Navier e G. Stokes, 1845)

São equações diferenciais. Elas descrevem o comportamento de fluidos, como a água em movimento através de um tubo, o fluxo de ar sobre uma asa de avião, ou até mesmo fumaça de um cigarro.

Equações de Maxwell (James Clerk Maxwell, 1865)

As quatro equações diferenciais acima descrevem o comportamento e relacionamento entre a eletricidade e magnetismo. Elas são a base da nossa explicação de como funciona o eletromagnetismo no nosso dia a dia.

Para tando, a física moderna se baseia em uma explicação da mecânica quântica do eletromagnetismo. Essas equações, no entanto, são apenas uma aproximação que funciona bem em escalas humanas.

Segunda Lei da Termodinâmica (Ludwig Boltzmann, 1874)

O que você vê acima é a definição de um sistema fechado, a entropia no sistema é sempre constante ou crescente. A entropia termodinâmica é, para ilustrar de forma simples, uma medida de quão desordenado um sistema é. Um sistema que começa em um estado desigual - por exemplo, uma região quente ao lado de uma região fria - sempre tende a se equilibrar, com o calor fluindo da área quente para a área fria até ficar a temperatura ficar em equilíbrio.

A segunda lei da termodinâmica é um dos poucos casos na física onde o tempo realmente importa. A maioria dos processos físicos são no entanto reversíveis. Essa lei só funciona em um sentido. Se colocarmos um cubo de gelo em um copo com café quente, ele sempre vai derreter. O café nunca vai congelar.

Teoria da relatividade (Albert Einstein, 1905)

Einstein alterou radicalmente o curso da física com suas teorias da relatividade. A equação clássica E = mc² diz que matéria e energia são equivalentes entre si.

A relatividade geral foi a primeira grande mudança importante na nossa compreensão da gravidade desde a lei de Newton. Ela é essencial para a nossa compreensão das origens, estrutura e destino final do universo.

Equação de Schrodinger (Erwin Schrödinger, 1927)

É a principal equação da mecânica quântica. Esta equação governa o comportamento dos átomos e partículas subatômicas.

A mecânica quântica moderna e a relatividade geral são as duas teorias científicas mais bem sucedidas da história - todas as observações experimentais que fizemos até à data de hoje são inteiramente consistentes com tais previsões. A mecânica quântica também é necessária para a maioria da tecnologia moderna - de energia nuclear a computadores baseados em semicondutores e também lasers, todos são construídos em torno de fenômenos quânticos.

Teoria da informação (Claude Shannon, 1949)

A equação acima serve para obter informações da medida de entropia de Shannon. Tal como acontece com a entropia termodinâmica, esta é uma medida de desordem. Neste caso, mede o conteúdo de informação de uma mensagem, como por exemplos; livros, uma imagem JPEG enviada pela internet, ou qualquer coisa que pode ser representada simbolicamente. Ela representa um limite inferior de quanto essa mensagem pode ser comprimida sem perder parte de seu conteúdo ou qualidade.

A medida de entropia de Shannon lançou o estudo matemático da informação, e seus resultados são cruciais para a forma como nos comunicamos através de redes hoje.

Teoria do caos (Robert May, 1975)

Ela define o mapa logístico de May. Descreve um processo de evolução ao longo do tempo. O "k" é uma constante qualquer. Para certos valores de k, o mapa mostra comportamento caótico: se começarmos em algum valor particular para x, o processo irá evoluir de uma maneira, mas se começarmos com outro valor, mesmo muitos, mas muito parecido com o primeiro valor, o processo irá evoluir de uma maneira completamente diferente. Surpreendente, não?

Vemos comportamento caótico, sensível às condições iniciais, como este em muitas áreas. O clima é um exemplo clássico. Tal conceito é comumente capturada no famoso conceito de uma borboleta batendo suas asas em um continente e causando um furacão em outro continente.

Modelo Black-Scholes (F. Black e M. Scholes, 1990)

Mais uma equação diferencial, o modelo Black-Scholes descreve como especialistas em finanças e comerciantes determinam preços para derivados. Derivados - são produtos financeiros com base em algum ativo subjacente, por exemplo, uma ação - são uma parte importante do sistema financeiro moderno.

A equação de Black-Scholes permite que profissionais calculem o valor destes produtos financeiros, com base nas propriedades do derivado e do ativo subjacente.
8 equações que mudaram o curso da história - Parte I
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Nascido no interior de Minas Gerais, foi seminarista em uma congregação francesa, mas viu que sua vocação é ser engenheiro. Criou o Engenharia é: exatamente às 11:28, do dia 2 de agosto de 2011. Você pode falar comigo pelo email: ademilson@engenhariae.com.br ;)

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9 equações que mudaram o curso da história - Parte II - Engenharia é:

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O Matemático Ian Stewart publicou o livro "Dezessete equações que mudaram o mundo". São equações que, ao longo do tempo, moldaram nossa compreensão do universo de inúmeras maneiras. 8 equações que mudaram o curso da história - Parte I Você vai conhecê-las agora: Transformada de Fourier (Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1822) Esta transformada é fundamental para [...]

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O matemático  Ian Stewart publicou o livro “Dezessete equações que mudaram o mundo”. São equações que, ao longo do tempo, moldaram nossa compreensão do universo de inúmeras maneiras.

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O matemático Ian Stewart publicou o livro "Dezessete equações que mudaram o mundo". São equações que, ao longo do tempo, moldaram nossa compreensão do universo de inúmeras maneiras.
9 equações que mudaram o curso da história - Parte II
Você vai conhecê-las agora:

Teorema de Pitágoras (Pitágoras, 530 aC)

É um teorema fundamental para a nossa compreensão a respeito da geometria. Ele descreve a relação entre os lados de um triângulo retângulo em uma superfície plana: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c). 🙂

Logaritmos (John Napier, 1610)

Logaritmos são os opostos das funções exponenciais. O logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para então obter este número. Por exemplo, o logaritmo de 1000 na base 10 é 3 porque 10 ao cubo é 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 10³).

A equação que você viu logo acima, mostra uma das aplicações mais úteis de logaritmos: transformar uma multiplicação em uma adição. Até o desenvolvimento do computador digital, esta era a alternativa mais comum de se multiplicar rapidamente um grande número, acelerando o tempo de importantes cálculos da física, astronomia e claro, engenharia.

Cálculo (Isaac Newton, 1668)

O que você viu acima é a função derivada no cálculo. Ela mede a taxa na qual uma quantidade está mudando. Vamos citar um exemplo, podemos pensar na velocidade como sendo derivada da posição - se você estiver andando 1 km por hora, em seguida, a cada hora, você altera a sua posição por 1 km.

Grande parte da ciência está interessada em compreender como é que as coisas mudam, e a derivada e também a integral - outro fundamento do cálculo - é como os matemáticos e cientistas compreendem tais mudanças.

Lei da Gravidade (Isaac Newton, 1687)

A Lei da Gravidade de Newton descreve a força da gravidade entre dois objetos, designado F, em termos de uma constante universal, chamado G, das massas dos dois objetos, m1 e m2, e da distância entre os objetos, d.

A lei é uma parte notável da história científica, isto é, explica, quase que perfeitamente por que os planetas se movem da maneira que se movem. Também notável é a sua natureza universal, o que quer dizer que não funciona só para a gravidade na Terra, ou no sistema solar, mas em qualquer lugar do universo.

Raiz quadrada de -1 (Leonhard Euler, 1750)

A raiz quadrada de -1 dá origem aos números complexos.

Álgebra funciona perfeitamente do jeito que queremos, ou seja, qualquer equação que tem uma solução em número complexo, uma situação que não é verdade para números reais: x + 4 = 0 não tem solução com número real, mas tem uma solução complexa, a raiz quadrada de -4 ou então 2i.

Cálculo, por sua vez pode ser estendido para os números complexos e, quando fazemos isso, encontramos simetrias e propriedades surpreendentes dois tais números. Essas propriedades tornam os números complexos essenciais em eletrônica e também em processamento de sinais.

Relação de Euler (Leonhard Euler, 1751)

Poliedros são nada mais que as versões tridimensionais de polígonos. Os cantos de um poliedro são chamados de vértices, as linhas que ligam os vértices são chamadas de arestas, e os polígonos são as faces.

Um cubo tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. Na equação temos: 8 + 6 - 12 = 2. A fórmula de Euler diz que, desde que o poliedro seja não tenha vícios, se você adicionar suas vértices e faces e subtrair as arestas, sempre terá como resultado 2. Isto será verdadeiro se o seu poliedro tem 4, 8, 12, 20 ou qualquer outro número de faces.

Esta relação abriu o caminho para o desenvolvimento da topologia, um ramo da matemática essencial para a física moderna.

Distribuição normal (Carl Friedrich Gauss, 1810)

A distribuição normal ou também distribuição de Gauss está presente na estatística. Essa curva é usada em física, biologia e ciências sociais para modelar várias propriedades.

Uma das quais as razões da distribuição normal aparecer muitas vezes é que ela descreve o comportamento de grandes grupos de processos independentes.

Equação da onda (Jean le Rond d'Alembert, 1746)

É uma equação diferencial parcial linear, e que descreve o comportamento das ondas (tanto sonoras, quanto aquáticas, luminosas, como uma corda de violão vibrando, ondulações em uma lagoa após uma pedra ser jogada na água, ou a luz proveniente de uma lâmpada incandescente). UFA!!!

As técnicas que são desenvolvidas para resolver a equação abriram as portas para a compreensão de outras equações diferenciais também.
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Nascido no interior de Minas Gerais, foi seminarista em uma congregação francesa, mas viu que sua vocação é ser engenheiro. Criou o Engenharia é: exatamente às 11:28, do dia 2 de agosto de 2011. Você pode falar comigo pelo email: ademilson@engenhariae.com.br ;)

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8 equações que mudaram o curso da história - Parte I - Engenharia é:

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O matemático Ian Stewart publicou o livro "Dezessete equações que mudaram o mundo". São equações que, ao longo do tempo, moldaram nossa compreensão do universo de inúmeras maneiras. 9 equações que mudaram o curso da história - Parte II Você vai conhecê-las agora: Teorema de Pitágoras (Pitágoras, 530 aC) É um teorema fundamental para a nossa [...]

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Simplificar amplitudes de ângulos em Graus e Radianos

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Simplificar amplitudes de ângulos em Graus e Radianos

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Simplificar amplitudes de ângulos em Graus e Radianos - Trigonometria 11.º Ano

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Trigonometria 11.º ano. Expressões com amplitudes de ângulos em Graus e Radianos. Matemática 11.º Ano. Explicações Online em www.explicamat.pt

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Simplificar amplitudes de ângulos em Graus e Radianos - Trigonometria 11.º Ano

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Trigonometria 11.º ano. Expressões com amplitudes de ângulos em Graus e Radianos. Matemática 11.º Ano. Explicações Online em www.explicamat.pt

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Demonstração da Lei dos cossenos, ou Teorema de Carnot

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Trigonometria 11º ano | Lei dos cossenos ( Teorema de Carnot ) |

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Visite-nos em www.matematicanomocho.com Videos sobre Matematica. 2º Ciclo, 3º Ciclo e Ensino Secundario.

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atualizado em 5/12/2016

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* Site do Prof. Jorge Penalva  www.matematicanomocho.com
* Universidade Federal do Espírito Santo http://ufes.br/
* Site Matemática Absolutamente! http://mat.absolutamente.net/c_filos.php
* Canal Youtube escolas do Estado de São Paulo: https://youtu.be/cTcTLzWnaNU
* Canal Youtube tecmath https://www.youtube.com/user/tecmath/
* Site Piadas Nerds/Matemática http://piadasnerds.etc.br/tag/matematica/
* Explicamat  www.explicamat.pt

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Como é possível juntar a Educação Física e a Matemática

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Professor aborda conceitos de Matemática em aulas de Educação Física

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pergunta o Professor:
- O que devo fazer para repartir 11 batatas por 7
pessoas?

resposta de um Aluno:
- Puré de batata, senhor professor

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Demonstração da Lei dos Senos

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Visite-nos em www.matematicanomocho.com Videos sobre Matematica. 2º Ciclo, 3º Ciclo e Ensino Secundario.

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Truques matemáticos para cálculos rápidos

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This fast math trick can be used to multiply any number by 5, 25 or 125 easily.

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Manic Math é uma aplicação nacional desenvolvida por um professor de Matemática da Universidade do Algarve, Paulo Carrasco, para tratar a Matemática de forma séria, mas divertida.

Manic Math melhora as suas capacidades mentais de uma forma divertida.

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Manic Math trailer (Game for IPhone / IPad / Android )

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Manic Math game trailer Copyright © WWW.BICAGAMES.COM

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Como ganhar num dos jogos matemáticos mais conhecidos

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Prova de Matemática | Semana da Matemática | Dia

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Questão Bugante de Sistema de Numeração Decimal

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Quantas Vezes se Pode Dobrar um Papel ao Meio

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Dicas de Biologia e Matemática | Semana da Matemática | Dia

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Matemática Rio com Prof. Rafael Procopio

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INSCREVA-SE em http://dft.ba/-MatematicaRioSUB Google Plus: http://www.google.com/+MatematicaRio Facebook: http://www.facebook.com/MatematicaRio Twitter: http://www.twitter.com/MatematicaRio Blog: http://matematicario.blogspot.com É normalmente assim que faço pra vencer. Jogo apenas em 3 direções (normalmente não jogo usando a seta pra cima) e deixo os quadrados maiores sempre no canto e em ordem decrescente. Já consegui fazer 4096, mas foi no celular e não gravei.

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Perguntas rápidas da Filosofia da Matemática

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“O livro da natureza está escrito em caracteres matemáticos.” Galileu Galilei

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Nas últimas décadas do século XX, foi-se construindo uma definição que tem grande aceitação entre os matemáticos: a Matemática é a ciência das regularidades.

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A trigonometria é a aplicação de processos matemáticos, maioritariamente práticos, para determinar distâncias que não poderiam ser avaliadas diretamente.

A trigonometria tem várias aplicações no dia-a-dia e nos diversos ramos da ciência, como por exemplo na astronomia e na navegação.

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O meu nome é Gonçalo Bárbara, sou aluno do 11ºD da escola Poeta António Aleixo.
Este padlet foi criado para a disciplina de matemática e a pedido da prof. Alexandra Ferrão.