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Con una incógnita
Resolución y evaluación de ecuaciones

Una ecuación puede compararse con una balanza de platillos. Para mantener el perfecto equilibrio es necesario tener la misma masa en ambos lados. Si se aumenta la masa en el platillo de la izquierda, la balanza se inclinará hacia la izquierda, por lo tanto, para mantenerla equilibrada será necesario aumentar a la derecha la misma cantidad de masa.

Si, por el contrario, la masa disminuye, también habrá que disminuir la misma cantidad de masa en el otro platillo de la balanza.

Este ejemplo aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados.

Debemos saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.

· Las  ecuaciones aditivas  tienen la forma   a + x = b

· Las  ecuaciones multiplicativas  tienen la forma   a · x = b

1)     Ecuaciones aditivas: a + x = b

Para resolver ecuaciones de la forma a + x = b se utiliza la Propiedad 1 antes mencionada; es decir, se usa la propiedad de las igualdades, que textualmente dice:

Los pasos a seguir para encontrar la incógnita son los siguientes:

1. Se suma a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita. Recordar que el inverso aditivo de un número es el mismo número con signo contrario (el inverso aditivo de 6 es –6; el inverso aditivo de –99 es 99. Recuerda además que +99 es lo mismo que 99).

2. Se realiza la operación indicada.

Ejemplo:                   28 + x = 13   / –28

El número que acompaña a la incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe agregar a ambos lados de la ecuación su inverso aditivo que es –28.

28 + x + –28 = 13 + –28

Como 28 y –28 tienen signo contrario entre sí, la regla de signos indica que deben restarse.

28 + –28 = 0

Como 13 y –28 son números de distinto signo, éstos se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto (el número sin signo).

13 + –28 = –15

Por lo tanto, después de realizar las operaciones indicadas más arriba, se tiene que:

28 + x = 13     /  –28

28 + x +–28= 13 + –28

x + 0  =  –15

x =  –15

Otros ejemplos:

1)      60 – 37  =   84 + x

23         =   84 + x    /   –84

23 + –84     =   84  + x + –84

–61        =    0 + x

x  = –61

2)       x + 3 – 2 =  7

x + 1 =  7

x + 1 + –1  =   7 + -1  /  –1

x + 0  =  6

x   =   6

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Métodos de solución

Este método consiste en despejar alguna de las incógnitas en una ecuación (de preferencia la incógnita que tenga menor coeficiente) y sustituir su valor en otra ecuación.

Si tuviéramos un sistema con más de dos incógnitas, la incógnita despejada se sustituye en todas las demás ecuaciones excepto en la que se despejó, y ahora se tendría un sistema pero con una ecuación y una incógnita menos, este método se puede repetir hasta llegar a la solución.

Ejemplo

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

Primero despejamos una variable, en este caso la “z” de la primera ecuación ya que tiene coeficiente 1:

Sustituimos “z” en las otras dos ecuaciones:

Simplificamos y despejamos otra incógnita:

Sustituimos”x” en la otra ecuación y simplificamos:

Ahora sustituimos “y” en las ecuaciones que antes despejamos

Nuestros resultados son x = 2, y = 3, z = 1

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Con dos o tres incógnitas
Sistema de ecuaciones

Resolver un sistema de ecuaciones consite en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.

Estudiaremos la resolución de los siguientes tipos de sistemas:

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Sistemas de ecuaciones no lineales.

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema
Ejemplo

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5 Solución