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La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Herodoto, Estrabón y Diodoro Sículo, Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en Los Elementos.

La Geometria en Babilonia

A la Civilización Babilónica se les atribuye la invención de la rueda, es por eso que además se les otorga su contribución a la investigación de la longitud de las circunferencias en relación con su diámetro, siendo este el número 3, este descubrimiento permitió a los Babilónicos considerar que la longitud de las circunferencias era un valor intermedio entre los perímetros de los cuadrados inscrito y circunscrito en una circunferencia. Mediante el uso de la astronomía, ya que el año se dividía 360 días establecieron que la circunferencia se dividía en 360 partes, obteniendo el grado sexagesimal. Se les atribuye el conocimiento de cómo trazar un hexágono regular inscrito, además de hallar el área del trapecio rectángulo

La Geometria en el antiguo Egipto

Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').

Los denominados Papiro de Ahmes y Papiro de Moscú muestran conjuntos de métodos prácticos para obtener diversas áreas y volúmenes, destinados al aprendizaje de escribas. Es discutible si estos documentos implican profundos conocimientos o representan en cambio todo el conocimiento que los antiguos egipcios tenían sobre la geometría.

Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilización sobre geometría –así como los de las culturas mesopotámicas– pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos y, esencialmente, de Euclides.

La Geometría Griega

La Geometría Griega antes de Euclides
La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.

Euclides y los elementos
Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre, Los elementos, modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en trece volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX.

Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. No se ponía en duda su veracidad, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente podía deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.

Después de Euclides
Euclides casi cierra definitivamente la geometría griega –y por extensión la del mundo antiguo–, a excepción de las figuras de Arquímedes y Apolonio de Perge.

Arquímedes analizó exhaustivamente las secciones cónicas, e introdujo en geometría otras curvas como la espiral que lleva su nombre, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.

La Geometria de la edad media
Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos de la mano de hindúes y árabes en Trigonometría y Álgebra (el uso de la notación posicional y del cero), aunque relacionadas con la Astronomía y la Astrología; pero en geometría apenas hay nuevas aportaciones. En Occidente, a pesar de que la Geometría es una de las siete Artes liberales (encuadrada en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan a enseñar los "Elementos", y no hay aportaciones.

La Geometría Proyectiva
Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría de Desargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o por de la Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía hasta la llegada a principios del siglo XIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.

La Geometría Cartesiana
Pero es sin duda la aparición de la geometría analítica lo que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en geometría.

El nuevo método analiza la geometría utilizando ecuaciones algebraicas. Se cambia la regla y compás clásicos por expresiones numéricas que se pueden representar mediante coordenadas cartesianas. Utilizando notación actual, dicho método se expresa así:

En un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes) –que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical–, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo.

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La geometría (del latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία de γεω gueo, ‘tierra’, y μετρία metría, ‘medida’) es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

GEOMETRIA PLANA.
La geometría plana estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho.

GEOMETRIA ESPACIAL.
Es una rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma

BORDE.
Se entiende por borde al límite que puede tener un objeto o una figura y que señala el fin de su superficie en relación con la del medio externo. El borde por lo general está representado a través de una línea (que puede ser recta, oblicua, ondulada, redonda, etc.) y que puede también variar en grosor, en largo, en color.

TRIDIMENSIONAL.
Que tiene tres dimensiones: altura, anchura y largura.

DIAGONAL.
Una diagonal es todo segmento que une dos vértices diagonalmente no consecutivos de un polígono o de un poliedro.

VERTICE.
Un punto donde dos o más líneas se encuentran.

RECTANGULO.
Figura geométrica de cuatro lados de dos longitudes distintas (de la misma longitud los lados opuestos) que forman cuatro ángulos rectos.

POLIGONO.
Los polígonos son figuras cerradas, formadas por varios segmentos de líneas, a las que llamamos lados.

CUADRADO.
Que tiene cuatro lados iguales que forman cuatro ángulos rectos.

TRIANGULO.
Figura geométrica de tres lados y tres ángulos.

PIRAMIDE.
Cuerpo geométrico que tiene como base un polígono cualquiera, y sus caras laterales son triángulos que se juntan en un vértice común.

CUERPOS GEOMETRICOS.
Corresponde a una figura geométrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta característica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies.

SUPERFICIE.
Parte más externa de un cuerpo que lo limita o separa de lo que lo rodea.

LINEAS RECTAS.
La recta, o línea recta, es la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión;  esta compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos).

SEMIRECTA.
Cada una de las dos partes en que un punto divide a una recta.

SEGMENTO.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremos o finales.

RECTAS PARALELAS.
Se denominan rectas paralelas a las líneas que mantienen una equidistancia entre sí, y que, aunque prolonguemos su trayectoria hasta el infinito, nunca, en ningún punto sus trazos pueden  tocarse, encontrarse.

RECTAS PERPENDICULARES.
Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ángulos iguales.Las rectas m y n son perpendiculares porque al cortarse forman 4 ángulos de 90º.

RECTAS SECANTES.
Son denominadas rectas secantes aquellas rectas que cortan una circunferencia en dos puntos determinados.

RECTAS POLIGONALES.
Una línea poligonal es la que se forma cuando unimos segmentos de recta de un plano. Puede ser abierta o cerrada.

RECTAS VERTICALES.
La recta vertical pues es una linea recta que está a un ángulo de 90 grados del plano horizontal.

RECTAS HORIZONTALES.
La recta horizontal es una linea recta que está a un ángulo de 90 grados del plano vertical

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Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación matemática (funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto origen. En las coordenadas cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien las utilizó por primera vez de manera formal.

El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano cartesiano. El punto de intersección de las rectas, por definición, considera como el punto cero de las rectas y se conoce como origen de coordenadas. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números reales de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números reales de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes:

·         Primer cuadrante "I": Región superior derecha

·         Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda

·         Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda

·         Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha

El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos.

Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.

Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.

Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa solo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas».

Plano Cartesiano

Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen , cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.

Espacio Euclideo
Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.

Coordenadas Polares

Las coordenadas polares o sistema de coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.

De manera más precisa, como sistema de referencia se toma: (a) un punto O del plano, al que se llama origen o polo; y (b) una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

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Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos, ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Un ejemplo de las dificultades de la definición de la recta a partir de puntos es la llamada paradoja de Zenón de la dicotomía, que ilustraba la desaparición de la recta al dividirla en puntos porque luego no había un concepto para ensamblar dicha recta a partir de puntos, ya que la unión de dos puntos es un punto. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

LA RECTA: Es el movimiento de un punto en el espacio, desde una coordenada inicial hasta una coordenada final.

Al igual que el punto la recta tiene 4 proyecciones: Proyección Horizontal, Proyección Vertical, Proyección Lateral y Proyección Espacial (la misma recta).

La lógica espacial que se utiliza para los puntos es igual para la recta.

NOMENCLATURA

Las rectas se nombran con letras minúsculas.

Se siguen utilizando los superíndices para indicar el tipo de proyección (v, h, l).

VT: verdadero tamaño de las rectas.

α: Ángulo que forma la recta con el plano horizontal.

β: Ángulo que forma la recta con el plano vertical.

Segmento
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremos o finales.

Así, dado dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B con la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Los puntos A y B son extremos del segmento y los puntos sobre la recta a la que pertenece el segmento (la «recta sostén»), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen en común únicamente un extremo. Según pertenezcan o no a la misma recta, se clasifican en:

·         Colineales, alineados o adyacentes.

·         No colineales.

Los segmentos como cantidades
El conjunto de los segmentos métricos, constituye una magnitud, de la que los segmentos son cantidades. Es posible determinar entre ellos relaciones y efectuar las operaciones definidas para los elementos de una magnitud:

Comparación de Segmentos

Postulado de las tres posibilidades (Ley de Tricotomía): Dados dos segmentos, debe verificarse una y solo una de las tres posibilidades siguientes:

·         Los segmentos son iguales.

·         El primero es mayor que el segundo.

·         El primero es menor que el segundo.

Posibilidades que se excluyen y se completan, es decir que al cumplirse una dejan de cumplirse las otras dos.

Igualdad de segmentos

La igualdad de segmentos, verificable por superposición, goza de las siguientes propiedades:

·         Idéntica, reflexiva o refleja: Cualquier segmento es igual a sí mismo.

·         Recíproca o simétrica: Si un segmento es congruente con otro, aquel es congruente con el primero.

Desigualdad

La desigualdad de segmentos, goza de la propiedad transitiva para las relaciones de mayor y de menor.

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Cuadrilateros

lo primero que vamos a hacer, antes de entrar de lleno en el establecimiento del significado del término cuadrilátero, es determinar su origen etimológico. En este sentido, podemos decir que se trata de un vocablo que emana del latín, de la palabra “quadrilaterus” que puede traducirse como “que tiene cuatro lados”. Ella a su vez, está conformada por dos partes claramente diferenciadas:
• “Quadri”, que procede de “quattuor” y que es sinónimo de “cuatro”.
• “Latus”, que significa “lado”.

Existen diferentes tipos de cuadrilátero, que se clasifican en dos clases según sus ángulos interiores:

Convexos: todos sus ángulos interiores son menores de π radianes (180º). La suma de sus ángulos interiores es de 360º (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores.

Cóncavos: uno de sus ángulos interiores mide más de π radianes (180º). Al menos una de sus dos diagonales es exterior.

Los cuadriláteros convexos se pueden dividir en varias categorías según sus ladosy ángulos:

Paralelogramos: es un cuadrilátero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los ángulos opuestos iguales.

Cuadrado: cuadrilátero cuyos lados y ángulos son iguales.

Rectángulo: tiene los cuatro ángulos iguales (de 90º) y los lados iguales dos a dos, siendo diferentes los lados adyacentes.

Rombo: todos los lados son iguales pero los ángulos son diferentes dos a dos, de manera que los ángulos adyacentes son diferentes y cada ángulo es igual al ángulo no adyacente.

Romboide: tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos. El romboide también es denominado paralelogramo no regular.

Trapecios: cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos y desiguales.

Trapecio rectángulo: se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos ángulos consecutivos rectos (de 90º).

Trapecio isósceles: los ángulos son iguales dos a dos. Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y de igual longitud.

Trapecio escaleno: los cuatro ángulos interiores son desiguales.

Trapezoides: es un cuadrilátero en el que no hay ningún lado paralelo a otro.

El área de un paralelogramo

Observa que en la siguiente figura, si recortamos paralelogramo ABCD el triángulo ABM y lo colocamos a la derecha del lado CD obtenemos el rectángulo MBCN que tiene la misma superficie que el paralelogramo original. Por tanto,

el área de un paralelogramo cualquiera es A = base * altura

9. En la escena siguiente construye paralelogramos cuyas base y altura midan los mismos valores que en ejercicio 5 anterior. Puedes arrastrar el vértice B para variar los ángulos del paralelogramo y observa que la medida de su superficie  coincide con la del rectángulo correspondiente, independiente de los ángulos del mismo, ya que se mantienen inalterados su base y su altura.

El área de un rombo

En la figura siguiente un rombo está inscrito en un rectángulo. Los vértices del rombo coinciden cion los puntos medios de los lados del rectángulo. Las medidas de los lados del rectángulo coinciden con las de las diagonales del rombo.

La figura la puedes construir fácilmente con un folio. Dobla el por la mitad en los dos sentidos del papel. Así obtienes los puntos medios de los bordes del folio. Dibuja con tu regla cuatro líneas rectas uniendo los puntos medios de los bordes consecutivos del folio. Con ello has dibujado el rombo ABCD. Recorta con unas tijeras los cuatro triángulos y colócalos para cubrir el rombo. Es fácil observar la superficie de los cuatro triángulos coincide con la del rombo o, lo que es lo mismo, el área del rombo es la mitad que la del rectángulo. Por tanto, el área de un rombo es

donde D y d son las medidas de las dos diagonales del rombo.

El área de un trapecio

Recorta con unas tijeras dos trapecios iguales de la forma que quieras. Dale la vuelta a uno de ellos y únelo al otro por uno de los lados no paralelos como en la siguiente figura:

Al hacer esta operación obtienes un paralelogramo cuya base es la suma de los dos lados paralelos (llamados bases) del trapecio, B y b, y la altura a es la altura del trapecio. El superficie del trapecio es la mitad de la del paralelogramo. Por tanto,

El área de un trapecio de bases B y b y altura a es igual a la semisuma de las bases por la altura