# data[].attributes.body
Seja M uma matriz de ordem n >= 2. Se trocarmos de posição duas filas
paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz M' tal que
det M' = -det M.

# data[].attributes.body
Para escalonarmos um sistema, teremos que seguir vários passos, todos eles baseados nos teoremas 1 e 2.
1º passo Colocamos como 1ª equação aquela em que o coeficiente da 1ª incógnita seja
diferente de zero.
2º passo Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita de todas as equações (com exceção
da 1ª), substituindo a i-ésima equação (i >= 2) pela soma desta com a 1ª multiplicada
por um número conveniente.
3º passo Deixamos de lado a 1ª equação e aplicamos o 1º e o 2º passos nas equações
restantes.
4º passo Deixamos de lado a 1ª e a 2ª equações e aplicamos o 1º e o 2º passos nas
equações restantes, e assim por diante, até o sistema ficar escalonado. Os exemplos
a seguir esclarecerão o assunto.

# data[].attributes.body
Se substituirmos uma equação de um sistema linear S pela soma, membro am embro, dela com uma outra, o novo sistema obtido, S', será equivalente a S.

# data[].attributes.body
Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema linear S por um número K ≠ 0, o novo sistema S' obtido será equivalente a S.

# data[].attributes.body
Dizemos que dois sistemas lineares S1 e S2 são equivalentes se toda solução de S1 for solução de S2 e toda solução de S2 for solução de S1.

# data[].attributes.body
Dado um sistema linear em que em cada equação existe pelo menos um coeficiente não nulo, dizemos que S está na forma escalonada, se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.

# data[].attributes.headline
2º Tipo - Número de equações menor que o número de incógnitas

# data[].attributes.subject
2º Tipo - Número de equações menor que o número de incógnitas

# data[].attributes.body
Para resolvermos tal sistema, podemos tomar as incógnitas que não aparecem no começo de nenhuma das equações (chamadas variáveis livres) e transpô-las para o segundo membro. O novo sistema assim obtido pode ser visto como um sistema contendo apenas as incógnitas do primeiro membro das equações. Nesse caso, atribuindo valores a cada uma das incógnitas do 2º membro, teremos um sistema do 1º tipo, portanto, determinado; resolvendo-o, obteremos uma solução do sistema. Se atribuirmos outros valores às incógnitas do 2º membro, teremos outro sistema, também determinado; resolvendo-o, obteremos outra solução do sistema. Como esse procedimento de atribuir valores às incógnitas do 2º membro pode se estender indefinidamente, segue-se que podemos extrair do sistema original um número infinito de soluções.

# data[].attributes.headline
1º Tipo - Número de equações igual ao número de incógnitas.

# data[].attributes.subject
1º Tipo - Número de equações igual ao número de incógnitas.

# data[].attributes.body
Pelo teorema de Cramer, S é possível e determinado. Os valores α1, α2, α3, …, αn da solução podem ser obtidos resolvendo o sistema por substituição. Partindo da última equação, obtemos xn; em seguida, substituindo esse valor na equação anterior, obtemos xn - 1. Repetindo esse procedimento, vamos obtendo xn - 2, xn - 3, …, x3, x2, x1.

# data[].attributes.headline
em que Di é o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a i-ésima colunapela coluna dos termos independentes das equações do sistema.

# data[].attributes.subject
em que Di é o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a i-ésima colunapela coluna dos termos independentes das equações do sistema.

# data[].attributes.body
Consideremos um sistema linear em que o número de equações é igual ao número
de incógnitas (isto é, m = n). Nessas condições, A é matriz quadrada; seja D = det (A).
Seja S um sistema linear com número de equações igual ao de incógnitas.
Se D ≠ 0, então o sistema será possível e terá solução única (α1, α2, α3, …, αn),
tal que

# data[].attributes.body
Lembrando a definição de produto de matrizes, notemos que o sistemas lineares
pode ser escrito na forma matricial.

# data[].attributes.body
Caso um sistema não tenha nenhuma solução,
diremos que o mesmo é impossível ou incompatível

# data[].attributes.body
Sistemas lineares que têm solução única

# data[].attributes.body
É um conjunto de m (m > 1) equações lineares, com n equações e n incógnitas.

# data[].attributes.body
Dadas duas matrizes, A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p , chama-se produto AB a matriz C = (cik)m x p tal que

# data[].attributes.headline
Multiplicação de matrizes por um número real

# data[].attributes.subject
Multiplicação de matrizes por um número real

# data[].attributes.body
Dado um número k e uma matriz A 5 (aij)m 3 n, chama-se produto kA a matriz B 5 (bij)m 3 n tal que bij 5 k ? aij para todo i e todo j. Isso significa que multiplicar uma matriz A por um número k é construir uma matriz B formada pelos elementos de A todos multiplicados por k.

# data[].attributes.body
Dadas duas matrizes, A = (aij)m 3 n e B 5 (bij)m x n, chama-se soma A + B a matriz C = (cij)m x n tal que cij = aij + bij, para todo i e todo j. Isso significa que a soma de duas matrizes A e B do tipo m x n é uma matriz C do mesmo tipo em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B.

# data[].attributes.headline
Determinante de ordem n >= 2(Com o teorema de laplace):

# data[].attributes.subject
Determinante de ordem n >= 2(Com o teorema de laplace):

# data[].attributes.body
O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a soma dos produtos
dos elementos de qualquer lista pelos seus respectivos cofatores.

# data[].attributes.body
Consideremos uma matriz de ordem n >= 2; seja aij um elemento de M. Definimos
complemento algébrico do elemento aij (ou cofator de aij) e indicamos por Aij,
o número (-1)i + j = Dij.

# data[].attributes.body
Consideremos uma matriz M de ordem n >= 2; seja aij um elemento de M.
Definimos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Dij, como sendo o
determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.

# data[].attributes.body
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada, é como um “resumo numérico” das informações que ela continha. Ele é calculado com operações específicas dependendo da ordem da matriz. Indicamos o determinante de A como det A ou colocando os seus elementos numéricos entre barras.

# data[].attributes.body
A matriz diagonal é um caso particular de matriz triangular. Nela os únicos termos que são diferentes de zero são aqueles que estão contidos na diagonal principal. Já os termos que estão acima ou abaixo da diagonal principal são todos iguais a zero.

# data[].attributes.body
Uma matriz é triangular quando os elementos que estão acima da diagonal principal ou os elementos que estão abaixo da diagonal principal são todos nulos. Existem duas classificações possíveis para esse tipo de matriz: a primeira é quando os elementos que estão acima da diagonal principal são nulos, o que configura uma matriz triangular inferior; a segunda é quando os elementos que estão abaixo da diagonal principal são nulos, configurando uma matriz triangular superior.

# data[].attributes.body
Uma matriz A é antissimétrica quando sua transposta é igual a sua oposta, isto é,
At = -A.

# data[].attributes.body
Uma matriz A é simétrica quando é igual a sua transposta, isto é, A = At.

# data[].attributes.body
Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então
det (A . B) = (det A) . (det B)

# data[].attributes.body
Chamamos matriz triangular aquela cujos elementos situados “de um mesmo
lado” da diagonal principal são iguais a zero, isto é, M = aij é triangular se
aij = 0 para i < j

ou

aij = 0 para i > j
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal
principal.

# data[].attributes.body
Adicionando a uma fila de uma matriz M, de ordem n, uma outra fila paralela,
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M', tal que
det M' = det M.

# data[].attributes.headline
Então, teremos:det M = det M' + det M"em que M' é a matriz que se obtém de M, substituindo os elementos aij da j-ésimacoluna pelos elementos bij (1 =< i =< n), e M" é a matriz que se obtém de M, substituindoos elementos aij da j-ésima coluna pelos elementos cij (1 =

# data[].attributes.subject
Então, teremos:det M = det M' + det M"em que M' é a matriz que se obtém de M, substituindo os elementos aij da j-ésimacoluna pelos elementos bij (1 =< i =< n), e M" é a matriz que se obtém de M, substituindoos elementos aij da j-ésima coluna pelos elementos cij (1 =

# data[].attributes.body
Se uma matriz quadrada M = aij , de ordem n, tem uma linha (ou coluna) que
é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = 0.

# data[].attributes.body
Seja M uma matriz de ordem n, em que os elementos da j-ésima coluna são
tais que:

# data[].attributes.body
Se uma matriz M de ordem n >= 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0.

# data[].attributes.body
A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz M,
ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero.

# data[].attributes.body
Se uma matriz M de ordem n >= 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M = 0.

# data[].attributes.body
Seja M uma matriz de ordem n >= 2. Se trocarmos de posição duas filas
paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz M' tal que
det M' = -det M.

# data[].attributes.headline
P3 - Multiplicação de uma fila por uma constante 

# data[].attributes.subject
P3 - Multiplicação de uma fila por uma constante 

# data[].attributes.body
Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por número
K, o determinante da nova matriz M' obtida será o produto de K pelo determinante
de M, isto é, det M' = K . det M.

# data[].attributes.body
Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de
ordem n forem todos nulos, então det M = 0.

# data[].attributes.body
Se M é a matriz de ordem n e Mt sua transposta, então det Mt = det M.

# data[].attributes.headline
Matriz de Ordem 3: Na matriz de ordem 3, nós utilizamos a regra de Sarrus. A regra de Sarrus é um método para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 3. É necessário seguir alguns passos, sendo o primeiro duplicar as duas primeiras colunas no final da matriz, depois  vamos multiplicar os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal principal. Realizaremos um processo parecido com a diagonal secundária e as outras duas diagonais que estão no mesmo sentido que ela. Note que os termos da diagonal secundária estão sempre acompanhados com o sinal negativo, ou seja, sempre trocaremos o sinal do resultado da multiplicação dos termos da diagonal secundária.

# data[].attributes.subject
Matriz de Ordem 3: Na matriz de ordem 3, nós utilizamos a regra de Sarrus. A regra de Sarrus é um método para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 3. É necessário seguir alguns passos, sendo o primeiro duplicar as duas primeiras colunas no final da matriz, depois  vamos multiplicar os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal principal. Realizaremos um processo parecido com a diagonal secundária e as outras duas diagonais que estão no mesmo sentido que ela. Note que os termos da diagonal secundária estão sempre acompanhados com o sinal negativo, ou seja, sempre trocaremos o sinal do resultado da multiplicação dos termos da diagonal secundária.

# data[].attributes.headline
Matrizes de Ordem 2: Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os termos da diagonal secundária. Utilizando o exemplo algébrico que construímos, o det(A) será:

# data[].attributes.subject
Matrizes de Ordem 2: Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os termos da diagonal secundária. Utilizando o exemplo algébrico que construímos, o det(A) será:

# data[].attributes.headline
Matrizes de Ordem 1: Quando temos uma matriz de ordem 1, a matriz possui um único elemento, o a11. Nesse caso o determinante da matriz coincide com esse seu único termo. A = (a11) det(A) = | a11 | = a11

# data[].attributes.subject
Matrizes de Ordem 1: Quando temos uma matriz de ordem 1, a matriz possui um único elemento, o a11. Nesse caso o determinante da matriz coincide com esse seu único termo. A = (a11) det(A) = | a11 | = a11

# data[].attributes.headline
Matriz Oposta: Na matriz oposta, os elementos entre duas matrizes apresentam sinais diferentes, por exemplo:

# data[].attributes.subject
Matriz Oposta: Na matriz oposta, os elementos entre duas matrizes apresentam sinais diferentes, por exemplo:

# data[].attributes.headline
Matriz Identidade: A matriz identidade ocorre quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0:

# data[].attributes.subject
Matriz Identidade: A matriz identidade ocorre quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0:

# data[].attributes.headline
Matriz Transposta: A transposta de uma matriz A é uma matriz que apresenta os mesmos elementos de A, só que colocados em uma posição diferente. Ela é obtida transportando-se ordenadamente os elementos das linhas de A para as colunas da transposta.

# data[].attributes.subject
Matriz Transposta: A transposta de uma matriz A é uma matriz que apresenta os mesmos elementos de A, só que colocados em uma posição diferente. Ela é obtida transportando-se ordenadamente os elementos das linhas de A para as colunas da transposta.

# data[].attributes.headline
Matriz Inversa: A matriz inversa é uma matriz quadrada. Ela ocorre quando o produto de duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem.

# data[].attributes.subject
Matriz Inversa: A matriz inversa é uma matriz quadrada. Ela ocorre quando o produto de duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem.

# data[].attributes.headline
Matriz Quadrada: Quando o número de linhas e colunas são iguais. 

# data[].attributes.subject
Matriz Quadrada: Quando o número de linhas e colunas são iguais. 

# data[].attributes.headline
Matriz Nula: Quando a matriz é formada por elementos iguais a 0.

# data[].attributes.subject
Matriz Nula: Quando a matriz é formada por elementos iguais a 0.

# data[].attributes.headline
Matriz Coluna: Quando a matriz é formada por apenas 1 coluna.

# data[].attributes.subject
Matriz Coluna: Quando a matriz é formada por apenas 1 coluna.

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Matriz Linha: Quando a matriz é formada por apenas 1 linha.

# data[].attributes.subject
Matriz Linha: Quando a matriz é formada por apenas 1 linha.

# data[].attributes.headline
Chamamos de matriz uma tabela com números organizados por linhas e colunas, representadas por m x n (m = linhas, n = colunas). As matrizes servem para relacionar dados numéricos, portanto, as matrizes têm muitas aplicações, que são úteis em várias áreas além da matemática. 

# data[].attributes.subject
Chamamos de matriz uma tabela com números organizados por linhas e colunas, representadas por m x n (m = linhas, n = colunas). As matrizes servem para relacionar dados numéricos, portanto, as matrizes têm muitas aplicações, que são úteis em várias áreas além da matemática. 

# data[].attributes.body
Possui uma quantidade infinita de soluções