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Matematica secondo grado - Matematicamente

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Test di matematica con autovalutazione per la scuola secondaria di secondo grado, esercitazioni per i compiti in classe, test su tutti gli argomenti: algebra, geometria, geometria analitica, goniometria e trigonometria, analisi.

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Matematica secondo grado - Matematicamente

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Test di matematica con autovalutazione per la scuola secondaria di secondo grado, esercitazioni per i compiti in classe, test su tutti gli argomenti: algebra, geometria, geometria analitica, goniometria e trigonometria, analisi.

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Giochi dadattici di matematica, indovinelli, quiz, concorsi, gare, giochi interattivi.

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Un'equazione si dice di secondo grado quando la x vi compare a potenza 2, cioe' c'e' un termine con x

equazioni di secondo grado

A seconda dei termini presenti, oltre a quello di secondo grado, le equazioni possono essere suddivise in Per affrontare correttamente l'argomento occorre aver prima studiato i radicali

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Un'equazione si dice di secondo grado quando la x vi compare a potenza 2, cioe' c'e' un termine con x equazioni di secondo grado A seconda dei termini presenti, oltre a quello di secondo grado, le equazioni possono essere suddivise in Per affrontare correttamente l'argomento occorre aver prima studiato i radicali

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Qui trovi lezioni digitali sugli argomenti fondamentali del programma del primo biennio.

Con la didattica digitale integrata lo spazio fisico e lo spazio digitale di apprendimento si completano, ottimizzando le loro caratteristiche, per rendere protagonisti gli studenti.

Ci siamo quindi posti l'obiettivo di affiancarti con una proposta agile e flessibile adatta a qualsiasi tipo di didattica: in classe o a distanza, in modalità sincrona o asincrona.

Le lezioni digitali ripropongono sinteticamente i contenuti del tuo libro di testo, elemento basilare per il consolidamento dei contenuti, corredati da video, animazioni e attività in GeoGebra, che lo arricchiscono per consentire altri tipi di approcci finalizzati a comprendere e visualizzare i concetti.

Le lezioni digitali ti potranno essere utili anche per riprendere gli argomenti della programmazione dello scorso anno non svolti con la didattica a distanza, ma anche per seguire gli alunni che dovranno recuperare nel corso dell'anno.

Un utilizzo elastico nel suo contesto di svolgimento, con materiali che possano essere fruiti sia in classe che a casa, in un lavoro individuale dello studente o in una didattica a distanza.

Metodologia

Puoi scegliere quali lezioni assegnare e quali no, e naturalmente anche in quale ordine.

Agli studenti è richiesto lo svolgimento delle esercitazioni sul quaderno, ma la correzione degli esercizi assegnati è lasciata a te: dal punto di vista didattico ti consigliamo di prevedere alcune lezioni dialogate in cui correggere gli esercizi, sciogliere i dubbi degli studenti e condividere con loro le risposte alle domande assegnate, anche quelle aperte e di giustificazione: è importante lasciare spazio agli studenti e ai loro dubbi, in modo da riuscire a personalizzare il percorso didattico.

Puoi utilizzare queste lezioni con diverse modalità, a seconda dell' ambiente in cui stai svolgendo l'attività didattica e dell' approccio che preferisci.

Se sei in classe, puoi proiettarle alla LIM e svolgere la tua lezione: le animazioni in GeoGebra ti consentiranno di impostare una lezione dialogata con i tuoi studenti, per coinvolgerli nella spiegazione. Per compito, poi, puoi assegnare i video e gli esercizi da svolgere.

Se svolgi didattica a distanza:

in modalità sincrona puoi condividere il tuo schermo con i tuoi studenti attraverso un'aula virtuale e aiutarti con lezioni digitali per la spiegazione, assegnando poi i video e gli esercizi come compito;

in modalità asincrona, puoi chiedere ai tuoi studenti di utilizzare da soli queste lezioni per lo studio e l'esplorazione individuale, la verifica delle competenze acquisite e il ripasso dei concetti fondamentali.

Le lezioni digitali possono anche essere utilizzate in modalità flipped classroom: assegnale come compito per casa ai tuoi studenti, demandando la discussione e la correzione delle attività a un momento collettivo, che sia in presenza o a distanza.

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Qui trovi lezioni digitali sugli argomenti fondamentali del programma del primo biennio. Con la didattica digitale integrata lo spazio fisico e lo spazio digitale di apprendimento si completano, ottimizzando le loro caratteristiche, per rendere protagonisti gli studenti.

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Qui trovi le lezioni digitali del modulo sulle disequazioni di primo grado.

Obiettivi e indicazioni didattiche

Gli obiettivi del modulo sulle disequazioni di primo grado sono:

risolvere algebricamente disequazioni e sistemi di disequazioni di primo grado intere;

risolvere algebricamente disequazioni prodotto e disequazioni frazionarie;

riconoscere la rappresentazione grafica di equazioni di primo grado e saperla utilizzare per la risoluzione delle disequazioni associate;

risolvere problemi che abbiano come modello disequazioni e sistemi di disequazioni di primo grado.

Nel modulo sono messi in evidenza i processi risolutivi in relazione alla categoria di disequazione affrontata, con un'attenzione specifica per il collegamento tra processo risolutivo e significato degli elementi coinvolti dal procedimento attuato.

Ogni lezione è stata costruita in modo da rendere lo studente protagonista: è responsabilità dell'allievo leggere la teoria e svolgere gli esercizi, ovviamente con le indicazioni da te fornite.

Le lezioni sono raggruppate in quattro sezioni: puoi scegliere se affrontare tutti gli argomenti o solo alcuni, in base alle tue esigenze. Ogni lezione è assegnabile singolarmente, in modo da garantire una certa flessibilità: l'intento è quello di permetterti di scegliere la strada che meglio si adatta alle tue esigenze.

Il modulo si chiude con la sezione " Problemi e modelli": la risoluzione di problemi mediante disequazioni e sistemi di disequazioni di primo grado può andare oltre gli obiettivi minimi, ragione per la quale per questa sezione non è prevista un'autovalutazione.

La struttura del modulo rispecchia quella del modulo " Equazioni di primo grado ": in questo modo, volendo, potresti anche assegnare le lezioni dei due moduli in parallelo per creare un percorso alternativo.

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Qui trovi le lezioni digitali del modulo sulle disequazioni di primo grado. Gli obiettivi del modulo sulle disequazioni di primo grado sono: risolvere algebricamente disequazioni e sistemi di disequazioni di primo grado intere; risolvere algebricamente disequazioni prodotto e disequazioni frazionarie; riconoscere la rappresentazione grafica di equazioni di primo grado e saperla utilizzare per la risoluzione delle disequazioni associate; risolvere problemi che abbiano come modello disequazioni e sistemi di disequazioni di primo grado.

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Qui trovi le lezioni digitali del modulo sulle equazioni di secondo grado.

Obiettivi e indicazioni didattiche

Gli obiettivi del modulo sulle equazioni di secondo grado sono:

individuare la forma algebrica più opportuna per la risoluzione di un'equazione di secondo grado;

applicare consapevolmente metodi algebrici risolutivi;

definire il dominio risolutivo di un'equazione di secondo grado, con particolare riferimento alle equazioni frazionarie;

interpretare la soluzione di un'equazione di secondo grado nell'ambito dello studio di una funzione di secondo grado e saper passare dal registro algebrico alla lettura del grafico e viceversa;

individuare i dati e le relazioni di un problema modellizzabile con un'equazione di secondo grado e discutere l'accettabilità delle soluzioni.

Ogni lezione è stata costruita in modo da rendere lo studente protagonista: è responsabilità dell'allievo leggere la teoria e svolgere gli esercizi, ovviamente con le indicazioni da te fornite.

Le lezioni sono raggruppate in tre sezioni: puoi scegliere se affrontare tutti gli argomenti o solo alcuni, in base alle tue esigenze. Ogni lezione è assegnabile singolarmente, in modo da garantire una certa flessibilità; in particolare, puoi decidere di non affrontare la parte relativa allo studio degli zeri di una funzione di secondo grado, attenendoti solo al registro algebrico e alle formule risolutive, anche se l'approccio alle funzioni di secondo grado e ai loro zeri apre la strada allo studio di disequazioni di secondo grado. L'intento è quello di permetterti di scegliere la strada che meglio si adatta alle tue esigenze.

Il modulo si chiude con la sezione " Problemi e modelli": l'applicazione di modelli di secondo grado a semplici situazioni problematiche può andare oltre gli obiettivi minimi, ragione per la quale per questa sezione non è prevista un'autovalutazione.

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Qui trovi le lezioni digitali del modulo sulle equazioni di secondo grado.

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Esercizi risolti

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Definizione, grado e operazioni

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Definizione, grado e operazioni

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Espressioni con i monomi

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Espressioni con i monomi

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Tutorial sul prodotto tra due monomi

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Tutorial sul prodotto tra due monomi

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Equazione della retta passante per 2 punti

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Equazione della retta passante per 2 punti

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Tutorial sull'equazione della retta passante per 2 punti

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Espressione semplice di monomi con somma e sottrazione

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Espressione semplice di monomi con somma e sottrazione

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Definizione, grado e operazioni:somma sottrazione e prodotto

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Definizione, grado e operazioni:somma sottrazione e prodotto

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Un MONOMIO è il PRODOTTO di più FATTORI rappresentati da NUMERI e LETTERE.

Ad esempio:

sono tre monomi.

Infatti:

Nei monomi, quindi, non compaiono MAI i segni dell' ADDIZIONE e/o della SOTTRAZIONE.

Ad esempio

non sono monomi perché in essi compaiono i segni dell'addizione e della sottrazione come abbiamo evidenziato nell'immagine sottostante.

Invece

è un monomio.

Infatti, se moltiplichiamo tra loro i fattori numerici (+2) e (-3) abbiamo

.

Successivamente moltiplichiamo i fattori letterali che hanno la stessa base, ovvero a. Il prodotto di due potenze aventi la stessa base e una potenza avente la stessa base e con esponente uguale alla somma degli esponenti: quindi a per a è uguale ad a alla seconda.

Quello che abbiamo adesso è un monomio esattamente come quelli che abbiamo visto prima.

Questo MONOMIO si dice RIDOTTO A FORMA NORMALE .

Possiamo affermare, quindi, che un monomio si dice ridotto a forma normale quando assume la sua forma tipica che è quella del prodotto tra un solo fattore numerico e di fattori letterali , in cui ciascuna lettera compare una sola volta elevata ad un certo esponente.

In un monomio ridotto a forma normale, chiamiamo:

Esempio:
+3 a²b

PARTE LETTERALE

a²b

Esempio:
-5x³y²

PARTE LETTERALE

x³y²

Esempio:
-1/3ab²c

PARTE LETTERALE

ab²c

Si chiama MONOMIO NULLO il monomio che ha per COEFFICIENTE lo ZERO .

Infatti, moltiplicando per zero la parte letterale, il risultato è zero.

Si chiama SEGNO DEL MONOMIO il SEGNO DEL COEFFICIENTE del monomio.

MONOMIO SEGNO DEL MONOMIO

-5a

-

Il segno + davanti ad un monomio può essere tralasciato. Ad esempio possiamo scrivere indifferentemente:

+3a oppure 3a .

Se il monomio ha coefficiente 1, esso si può tralasciare. Ad esempio possiamo scrivere:

+1a oppure

+a oppure, potendo tralasciare anche il segno +
a

-1a oppure

-a in questo caso il segno deve essere sempre indicato, poiché esso è -

Lezione successiva
Indice argomenti sui monomi

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Un MONOMIO è il PRODOTTO di più FATTORI rappresentati da NUMERI e LETTERE. Ad esempio: sono tre monomi. Infatti: Nei monomi, quindi, non compaiono MAI i segni dell' ADDIZIONE e/o della SOTTRAZIONE. Ad esempio non sono monomi perché in essi compaiono i segni dell'addizione e della sottrazione come abbiamo evidenziato nell'immagine sottostante.

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Definizione di monomio

Un monomio è un' espressione letterale in cui compaiono solo operazioni di moltiplicazione; il monomio è composto da una parte letterale, e da una parte numerica.
Vediamo qualche esempio:

Il monomio è composto dalla parte numerica, che è '3', e dalla parte letterale, che è 'ab'.

In questo caso, la parte numerica è '-2', e la parte letterale è \( ab^2 \).
Valore numerico di un monomio
Come per le espressioni letterali, anche per i monomi vale la definizione di valore numerico: il valore numerico di un monomio è il valore che si ottiene eseguendo la sequenza di operazioni indicate dal monomio dopo aver sostituito dei valori numerici alle lettere che lo compongono.

Se volessimo, per esempio, calcolare il valore numerico del monomio \( 2ab^2 \) quando \( a \) vale 2, e \( b \) vale 3, dobbiamo semplicemente sostituire questi valori nell'espressione:

\[ 2ab^2 = 2 \times 2 \times 3^2 = 2 \times 2 \times 9 = 36 \]
Monomi interi e frazionari
I monomi possono essere interi, o frazionari, in base al fatto se compaiano o no lettere al denominatore.

Esempi di monomi interi

\( \frac{2}{3} a^3 c^2 \), \( 21 b^2 c \), \( 3a^2b^3c \)

Esempi di monomi frazionari

\( \frac{b^2a^3}{c} \), \( \frac{2a^2b}{c^3} \), \( \frac{c^2}{2ab} \)

I monomi possono essere suddivisi in tre categorie: i monomi simili, i monomi uguali e i monomi opposti.
Monomi simili
Si dicono simili due monomi che hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti.

Esempi di monomi simili:

\( 2ab^2c \) e \( 10ab^2c \);

\( 7b^2a^3 \) e (5a^3b^2) \);

\( \frac{1}{5}a^3bc^2 \) e \( 6a^3bc^2 \);
Monomi uguali
Si dicono uguali due monomi che hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti, e hanno uguale anche la parte numerica.

Esempi di monomi uguali

\( 2ac^2 \) e \( 2ac^2 \);

\( 7b^2a^3 \) e \( 7a^3b^2 \);

\( \frac{1}{5}a^3bc^2 \) e \( \frac{1}{5}a^3bc^2 \)
Monomi opposti
Si dicono opposti due monomi che hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti, ma la parte numerica opposta.

Esempi di monomi opposti

\( 2ac^2 \) e \( -2ac^2 \);

\( 5b^2c^3 \) e \( -5b^2c^3 \);

\( \frac{11}{3}a^2bc^4 \) e \( -\frac{11}{3}a^2bc^4 \);
Grado di un monomio
Si definisce grado di un monomio il grado complessivo del monomio, cioè la somma degli esponenti delle lettere che formano la parte letterale:

\( a^3b^2cd^4 \) ha grado \( 3 + 2 + 1 +4 = 10 \)

\( \frac{5}{3}ab^3c^4d^4 \) ha grado \( 1 + 3 + 4 + 4 = 12 \)

Facendo riferimento ad una lettera precisa, invece, si parla di grado rispetto ad una lettera, cioè il grado con cui quella lettera compare nel monomio.

Esempio. Nel monomio \( +5a^3b^2cd^4 \) il grado rispetto alla lettera 'a' è 3, mentre il grado rispetto alla lettera 'c' è 1 (perché quando una lettera è priva di esponente, va considerata con esponente 1); potremmo anche far riferimento ad una lettera 'e', che non è presente nel monomio, in questo caso il suo grado sarebbe 0.

Se in un monomio manca una lettera, si dice che il monomio è di grado zero rispetto a quella lettera.

Secondo questa definizione, quindi, possiamo considerare monomi anche le parti letterali da sole, ad esempio \( +5 \) o \( -3 \); in questo caso, si parla di monomio di grado zero, in quanto tutte le lettere che vi compaiono hanno grado zero (sono cioè uguali a 1).

Una piccola eccezione va fatta nel caso in cui compaia solo 0 come parte numerica; in questo caso non siamo in grado di determinare il grado delle lettere che compaiono, perciò il suo grado rimane indefinito, ed esso prende il nome di monomio nullo.
Monomio in forma normale
Un monomio si dice in forma normale se la parte letterale è composta da lettere che compaiono una sola volta.

Ad esempio \( 8a^2b^3c \) e \( 2b^2a^4c \) sono in forma normale, mentre \( 3a^2b^3cab \) e \( 3ab^2a^3\frac{2}{5}c \) non lo sono.

Un monomio può essere facilmente ridotto in forma normale, seguendo queste regole:

si ordina il monomio, cosicché risulti più semplice individuare i fattori numerici, e le lettere uguali;

si moltiplicano fra loro i fattori numerici;

si moltiplicano le potenze con la stessa base;

Esempio 1 di monomio in forma normale
Ordiniamo il monomio in questo modo:

\( (-1) (+3)a^2ab^2(-b) = (-1)(+3)(-1)a^2ab^b \);

occupiamoci della parte numerica, e moltiplichiamo \( (-1)(+3)(-1) = +3 \);

ora, passiamo alla parte letterale, e moltiplichiamo le lettere simili, ricordandoci le regole della moltiplicazione di potenze con la stessa base: dobbiamo sommare gli esponenti:

\( 3a^{2+1}b^{2+1} = 3a^3b^3 \)
Esempio 2
\( 3a^4b^2\frac{3}{5}ca^3(-b)^2 \)

Procediamo come prima. Ordiniamo il monomio:

\( 3 \times \frac{3}{5}a^4a^3b^2(-b)^3c = 3 \times \frac{3}{5}(-1)a^4a^3b^2b^2c \)

Moltiplichiamo fra loro i numeri e le lettere simili:

\( -\frac{9}{5}a^{4+3}b^{2+2}c = -\frac{9}{5}a^7b^4c \)
Esempio 3
\( (-0.3)ab^4\big(+\frac{5}{9}\big)a(-b)a^3 \)

Ordiniamo il monomio, e trasformiamo tutti i numeri in numeri frazionari:

\( (0.3)\big(+\frac{5}{9}\big)aaa^3b^4(-b) = \big(-\frac{3}{10}\big)\big(+\frac{5}{9}\big)(-1)aaa^3b^4b \)

Moltiplichiamo fra loro i numeri e le lettere simili:

\( \frac{1}{6}a^{1+1+3}b^{4+1} = \frac{1}{6}a^5b^5 \)

Esegui il test sui monomi

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Videolezione: Ridurre un monomio in forma normale

Commenti

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Un monomio è un' espressione letterale in cui compaiono solo operazioni di moltiplicazione; il monomio è composto da una parte letterale, e da una parte numerica. Vediamo qualche esempio: Il monomio è composto dalla parte numerica, che è '3', e dalla parte letterale, che è 'ab'.

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I tools per risolvere i problemi di Geometria Analitica online vi permetteranno di avere le rappresentazioni grafiche e i risultati per una vasta gamma di problemi. Non dovete fare altro che inserire i dati, e con un click avrete tutto quello che vi serve per la risoluzione degli esercizi che dovete svolgere.

A proposito: occhio alle lezioni e alle schede di esercizi correlati!

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Risolvere esercizi di Geometria Analitica online

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I tools per risolvere i problemi di Geometria Analitica online vi permetteranno di avere le rappresentazioni grafiche e i risultati per una vasta gamma di problemi. Non dovete fare altro che inserire i dati, e con un click avrete tutto quello che vi serve per la risoluzione degli esercizi che dovete svolgere.

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Link utile per esercizi e lezioni

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Matematicaoggi nasce dal desiderio di mettere a disposizione di studenti ed insegnanti materiali per lo studio, esercizi con diversi livelli di difficoltà e una sezione dedicata alla condivisione delle mie esperienze di insegnamento con la didattica attiva, che sto sperimentando anche con l'uso dell'iPad.

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Benvenuto su matematicaoggi! - matematicaoggi

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Matematicaoggi nasce dal desiderio di mettere a disposizione di studenti ed insegnanti materiali per lo studio, esercizi con diversi livelli di difficoltà e una sezione dedicata alla condivisione delle mie esperienze di insegnamento con la didattica attiva, che sto sperimentando anche con l'uso dell'iPad. In questo sito puoi trovare: Buona navigazione!

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Video tutorial sulla rappresentazione della retta sul piano cartesiano

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Rappresentazione sul piano cartesiano

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rappresentazione della retta nel piano cartesiano

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grado rispetto ad una lettera e complessivo

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grado rispetto ad una lettera e complessivo