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Existen 2 valores para la variable x que satisfacen la ecuación.

Existe una única solución.

La solución no pertenece al conjunto de los números Reales.

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Puedes resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, reescribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Si completas el cuadrado de una ecuación genérica ax2 + bx + c = 0 y luego resuelves x, encuentras que esta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática.

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¿Cómo resolver una ecuacion por medio de la fórmula general?

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Ejemplo

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  Fórmula

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Existe una técnica llamada fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de segundo grado que funciona con cualquier ecuación. ... Si completas el cuadrado de una ecuación genérica ax2 + bx + c = 0 y luego resuelves x, encuentras que esta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática.

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Ecuaciones cuadráticas por fórmula general

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los 4 métodos básicos para resolver un sistema de ecuaciones lineales: Método de sustitución. Método de igualación. Método de reducción.

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Métodos

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Existen diferentes métodos de resolución:

Sustitución.

 Reducción.

 Igualación.

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Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas.

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Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones, la representación son dos rectas que coinciden.

# data[].attributes.body
Compatible determinado: Tiene una única solución, la representación son dos rectas que se cortan en un punto.

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Los sistemas de ecuaciones lineales los podemos clasificar según su número de soluciones:

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Un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de ecuaciones con más de una incógnita que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones.

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   Sistema de ecuaciones

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    Formula

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La forma estándar para sistemas de ecuaciones lineales en dos variables es Ax+By=C. Por ejemplo, 2x+3y=5 es una ecuación lineal en forma estándar. Cuando una ecuación está dada en esta forma, es bastante fácil encontrar las intersecciones con los ejes (x y y).

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Tipos

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De primer grado o lineales.

De segundo grado o cuadráticas.

De tercer grado o cúbicas.

Diofánticas o diofantinas.

Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios.

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Quitar paréntesis.

Quitar denominadores.

Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

Reducir los términos semejantes.

Despejar la incógnita.

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Como resolver una ecuacion lineal

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Un sistema de ecuaciones lineales puede utilizarse para representar problemas del mundo real. Cuando hay dos variables y le dan dos datos acerca de cómo se relacionan esas variables, se utiliza un sistema de ecuaciones.

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Ecuaciónes lineales y su aplicación

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Tema 3

# data[].attributes.body
Tema 2

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Tema 1

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Se dice que dos variables están en proporcionalidad inversa cuando al aumentar alguna de ellas, la otra disminuye.

La condición para proporcionalidad inversa es:
x y = k

Donde k es la constante de proporcionalidad inversa.

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 Proporcionalidad inversa

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Si 2 pasteles se hacen con 3 kilos de harina, entonces para hacer 4 pasteles se necesitan 6 kilos de harina  (el doble)
La proporción quedaría de la siguiente forma:

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 Ejemplo

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Se dice que dos razones están en proporcionalidad directa si  al aumentar alguna de las variables aumenta proporcionalmente la otra.
La condición para proporcionalidad directa es:

y = k x

Donde  k es la constante de proporcionalidad.

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 Proporcionalidad directa

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Se denomina proporción a la igualdad de dos razones.

Por ejemplo:

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   Proporción

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Una razón  se escribe cuando algo lo estamos comparando con otra cosa.

Por ejemplo, si las edades de María y de Laura son 20 y 30, entonces la razón entre sus edades es de 20:30.

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   Razon

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Dos variables (una independiente x y la otra dependiente y ) son directamente proporcionales si el cociente (división) entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante. Además al aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o disminuye, respectivamente, en la misma razón.

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Razones proporcionales y variaciones directas e inversas

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Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término

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Regla

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Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s.

El conjunto sería solo {0,1}

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Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero:

Los términos están en orden (en los conjuntos el orden no importa).

El mismo valor puede aparecer muchas veces (en los conjuntos solo una vez).

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  Como un conjunto

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{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

# data[].attributes.body
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita

# data[].attributes.body
Finita o infinita

# data[].attributes.body
   Sucesiones y series

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   Forma de resolver

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Para resolver ecuaciones de segundo grado o cuadrática por factorización (o también llamado por descomposición en factores), es necesario que el trinomio de la forma ax2 + bx + c = 0 sea factorizable por un término en común o aplicando un producto notable.

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        Ejemplo

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Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como un producto de polinomios de inferior grado.

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     Teoria

# data[].attributes.body
El polinomio x2 + cx + d, donde a + b = c y ab = d, puede ser factorizado en (x + a)(x + b).

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Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

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La factorización es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una expresión algebraica (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.

# data[].attributes.body
       Factorizacion

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Tema 3

# data[].attributes.body
Tema 2

# data[].attributes.body
Tema 1

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Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)
(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+  2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
Ejemplo:
(3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z)
Multiplicando los monomios:
(3x+2y-5z)^2 = 3x / 3x + 3x \ 2y + 3x (-5z)
+ 2y 3x + 2y  2y + 2y (-5z)
+ (-5z) 3x + (-5z) 2y + (-5z) (-5z)
Agrupando términos:
(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz)
Luego:
(3x+2y-5z)^2  = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz

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   Polinomio al cuadrado

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Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así: (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2.  Un trinomio de la expresión siguiente: a^2 + 2 a b + b^2. se conoce como trinomio cuadrado perfecto.   Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2
En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:
(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2
Simplificando:
(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2

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    Binomio al cuadrado

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El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
c (a + b) = c a + c b
Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es
c (a + b)  (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb.
Ejemplo:
3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy

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    Factor común

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Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

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Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

# data[].attributes.body
La división de polinomios es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio que no sea nulo.

# data[].attributes.body
    División de polinomios

# data[].attributes.body
La multiplicación de un número por un polinomio da como resultado otro polinomio,el cual tiene el mismo grado del polinomio que se multiplico y como coeficientes elproducto de los coeficientes del polinomio por el número.

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   Multiplicacion de polinomios

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Consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

# data[].attributes.body
    Resta de polinomios

# data[].attributes.body
Para realizar la suma de dos o más polinomios, se debe sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal sean iguales, es decir, las variables y exponentes (o grados) deben ser los mismos en los términos a sumar.

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     Suma de polinomios

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Así como puedes realizar las cuatro operaciones en polinomios con una variable, puedes sumar, restar, multiplicar, y dividir polinomios con más de una variable. El proceso es exactamente el mismo, pero tienes más variables que tomar en cuenta.

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P(x) = 2x³ + 5x - 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Q(x) = x⁴ − 2x³ + x² + x − 1 ; x = 1

Q(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

R(x) = x¹⁰ − 1024 : x = −2

R(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

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El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

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    Valor numérico de un polinomio

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Calcula el valor el valor numérico de esta expresión algebraica

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Calcula el valor el valor numérico de esta expresión algebraica

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 3x^2

cuando

x=-1

En primer lugar, sustituimos las letras por los valores que nos han indicado, en este caso, se cambia la \displaystyle x por uno

-1

3(-1)^2=

Ahora, simplificamos esta expresión numérica según el orden de las operaciones combinadas.

Primero hacemos las potencias:

3(+1)=

Y, multiplicando, obtenemos= +3

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      Soluciónes

# data[].attributes.body
     Ejemplo