# data[].attributes.headline
Никколо Тарталья (Италия)

# data[].attributes.body
Никколо Тарталья (Италия)
В истории формулы бинома Ньютона  упоминается итальянский ученый Тарталья(XVI век).

# data[].attributes.headline
Нильс Абель (Германия)

# data[].attributes.subject
Нильс Абель (Германия)

# data[].attributes.body
Он в 1826 году дал обоснование  указанных Ньютоном возможностей. В случае дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, а правая часть формулы получает бесконечный ряд членов (биномиальный ряд).

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Абель.

Родился в семье пастора. Детство Абеля было омрачено слабым здоровьем, а также пьянством и постоянными раздорами его родителей.

В школе, благодаря учителю Берту Михаэлю Хольмбоэ, увлёкся математикой. В своём служебном отчёте 1819 года Хольмбоэ так писал о своём 17-летнем ученике:

С превосходнейшим гением он сочетает ненасытный интерес и тяготение к математике, поэтому, если он будет жить, он, вероятно, станет великим математиком.

1820: умер отец Абеля. Семья (шестеро детей) на грани нищеты. У старшего брата, Ханса-Матиаса, обнаружилось душевное расстройство. Ответственность за семью теперь на плечах 18-летнего Нильса Хенрика.

В 1821 году Абель поступил в университет Христиании (ныне Осло), где преподаватели, ознакомившись с его ранними работами, решили установить ему стипендию из личных средств, "дабы сохранить для науки это редкое дарование". Чтобы облегчить жизнь матери, Нильс Хенрик взял одного из братьев к себе и стал подрабатывать репетиторством.

1822: Абель получает степень "кандидата философии".

Зимой 1822-1823 годов он представил университету первую значительную научную работу, посвящённую интегрируемости дифференциальных уравнений. Рукопись не была опубликована и впоследствии затерялась, но за неё Абелю наконец назначена государственная стипендия.

1823: Абель закончил блестящее исследование древней проблемы: доказал невозможность решить в общем виде (в радикалах) уравнение 5-й степени. Во время поездки в Копенгаген встречает Кристину ("Крелли") Кемп и строит планы совместной жизни, для которой надо занять хорошо оплачиваемую должность. Крелли бедна, как и он сам, зарабатывает на жизнь репетиторством.

1824: университет разрешил Абелю оплачиваемую поездку за границу для продолжения образования. На Рождество Абель и Крелли празднуют своё обручение.

Сначала Абель поехал в Берлин, где жил с сентября 1825 года по февраль 1826 года. Там он познакомился с Августом Крелле, который устроил Нильса сотрудником журнала "Journal für die reine und angewandte Mathematik". Работы Абеля в этот период касались в основном теории эллиптических функций, которую он значительно продвинул одновременно с Карлом Густавом Якоби. Соревнование в течение нескольких лет этих двух выдающихся математиков принесло существенную пользу науке.

Публикует также расширенный вариант своей первой работы об уравнениях: уравнения любой степени выше 4-й, вообще говоря, неразрешимы в радикалах. Причём он привёл конкретные примеры неразрешимых уравнений. На эту работу опирался Галуа.

В феврале 1826 года Абель поехал в Италию и провёл несколько месяцев в Венеции. В июле переехал в Париж, где оставался до конца года. Знакомится с Лежандром и Коши. Пытается опубликовать знаменитый мемуар об абелевых функциях. Труд этот сначала затерялся, потом его отыскали и - уже посмертно - отметили Большой премией Парижской Академии.

В начале 1827 года деньги заканчиваются, Абелю приходится ограничивать себя в еде. Он возвращается в Берлин, потом в Христианию. Бедствует, подрабатывая частными уроками. После письма видных французских математиков норвежскому королю получает место временного преподавателя в университете и инженерной школе. Бо́льшая часть жалованья уходит на выплату накопившихся долгов семьи.

1828: Абель избран членом Королевского научного общества Норвегии. Продолжает активно развивать теорию эллиптических функций. Ждёт обещанного приглашения на работу в Берлин.

1829: умирает от туберкулёза. Приглашение опоздало.

Учитель Хольмбоэ издал собрание его сочинений, " Oeuvres completes " (2 т., Христиания, 1839).

"Абель оставил математикам столь богатое наследие, что им будет чем заниматься в ближайшие 500 лет" ( Шарль Эрмит).

В алгебре Абель нашёл необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался "в радикалах" через коэффициенты этого уравнения. Достаточное условие вскоре открыл Галуа, чьи достижения опирались на труды Абеля. Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах, и тем самым в значительной степени закрыл древнюю проблему.

В теории рядов имя Абеля носят несколько важных теорем (см. Степенной ряд). Абель тщательно исследовал тему сходимости рядов, причём на высшем уровне строгости. Его критерии строгости были более жёсткими, чем даже у Коши. Он, например, доказывал, что сумма степенного ряда внутри круга сходимости непрерывна, в то время как Гаусс и Коши считали этот факт самоочевидным. Коши, правда, опубликовал ( 1821) доказательство даже более общей теоремы: "Сумма любого сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна", однако Абель в 1826 году привёл контрпример, показывающий, что эта теорема неверна:

Эта функция периодична (с периодом ). В интервале она равна , однако на концах этого интервала терпит разрыв (равна нулю). Позднее Вейерштрасс исправил формулировку теоремы, введя понятие равномерной сходимости. В доказательствах самого Абеля чаще всего невозможно найти неточности и современному математику.

В теории специальных, особенно эллиптических и абелевых функций, Абель был признанным лидером-основателем наряду с Якоби. Он первый определил эллиптические функции как функции, обратные эллиптическим интегралам, распространил их определения на общий комплексный случай и глубоко исследовал их свойства.

Самая важная теорема Абеля об интегралах от алгебраических функций была опубликована лишь посмертно. Лежандр назвал это открытие "нерукотворным памятником" Абелю.

Абелю поставлены памятники в Осло и Ерстаде. Его портрет помещался на норвежскую банкноту 500 крон (1978). В 2002 году, в честь 200-летнего юбилея Абеля, правительство Норвегии учредило Абелевскую премию по математике.

В его честь был назван кратер Абель на Луне.

Niels Henrik Abel, Berndt Michael Holmboe. Oeuvres complètes de N.H. Abel, mathématicien, avec des notes et développements, 2 vols. Christiania, Chr. Gröndahl, 1839

Oeuvres complètes de N. H. Abel, par S. Lie et L. Sylow, Eds., 2 vols. Christiania, 1881

В математике

Замечательные учёные. / Под ред. С. П. Капицы. - М.: Наука, 1980.

Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. - М.: Наука.

Т. 1. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. - 1978.

Т. 2. Геометрия. Теория аналитических функций. - 1981.

# data[].attributes.attachment_link.title
Абель, Нильс Хенрик

# data[].attributes.attachment_link.description
В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Абель. Родился в семье пастора. Детство Абеля было омрачено слабым здоровьем, а также пьянством и постоянными раздорами его родителей. В школе, благодаря учителю Берту Михаэлю Хольмбоэ, увлёкся математикой.

# data[].attributes.headline
Якоб Бернулли (Швейцария)

# data[].attributes.subject
Якоб Бернулли (Швейцария)

# data[].attributes.body
Дал в 1713 г. строгое доказательство формулы для натурального n.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Эта статья о математике Якобе Бернулли. Другие представители семьи Бернулли и другие значения перечислены на странице Бернулли (семья).

Я́коб Берну́лли ( нем. Jakob Bernoulli, 6 января 1655, Базель, - 16 августа 1705, Базель) - швейцарский математик. Один из основателей теории вероятностей и математического анализа. Старший брат Иоганна Бернулли, совместно с ним положил начало вариационному исчислению. Доказал частный случай закона больших чисел - теорему Бернулли. Профессор математики Базельского университета (с 1687 года). Иностранный член Парижской академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1702).

Якоб родился в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Вначале, по желанию отца, учился в Базельском университете богословию, но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В университете овладел также 5 языками (французский, итальянский, английский, латинский, греческий), в 1671 году получил учёную степень магистра философии.

В 1676-1680 годах совершил поездку по Европе. Заехал во Францию для изучения идей Декарта, затем в Италию. Вернувшись в Базель, некоторое время работал частным учителем.

В 1682 году отправился в новое путешествие, посетив Нидерланды и Англию, где познакомился с Гюйгенсом, Гуком и Бойлем. В 1683 году вернулся в Базель и в следующем году женился на Юдит Штупанус ( Judith Stupanus), у них родились сын и дочь.

В 1683 году начал читать лекции по физике в Базельском университете. С 1687 года избран профессором математики в этом университете и работал там до конца жизни.

В 1687 году обнаружил первый мемуар Лейбница (1684 года) по анализу и с энтузиазмом начал освоение нового исчисления. Обратился с письмом к Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмных мест. Ответ он получил только спустя три года (1690, Лейбниц тогда был в командировке в Париже); за это время Якоб Бернулли самостоятельно освоил дифференциальное и интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По возвращении Лейбниц вступил в активную и взаимно-полезную переписку с обоими. Сложившийся триумвират - Лейбниц и братья Бернулли - 20 лет возглавлял европейских математиков и чрезвычайно обогатил новый анализ.

В 1699 году Якоб Бернулли стал членом Парижской академии наук, а в 1702 году - Берлинской академии наук.

В 1692 году у Якоба Бернулли обнаружились первые признаки туберкулёза, от которого он и скончался 16 августа 1705 года. Похоронен в Базельском соборе. Согласно его пожеланию, на надгробии была изображена логарифмическая спираль. В честь Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.

Первое триумфальное выступление молодого математика относится к 1690 году. Якоб решает задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки. Лейбниц и Гюйгенс уже установили, что это полукубическая парабола, но лишь Якоб Бернулли опубликовал доказательство средствами нового анализа, выведя и проинтегрировав дифференциальное уравнение. При этом впервые появился в печати термин " интеграл ".

Якоб Бернулли внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Его именем названа лемниската Бернулли. Он исследовал также циклоиду, цепную линию, и особенно логарифмическую спираль. Последнюю из перечисленных кривых Якоб завещал нарисовать на своей могиле; по невежеству там изобразили спираль Архимеда, см. фотографию справа. Согласно завещанию, вокруг спирали выгравирована надпись на латыни, "EADEM MUTATA RESURGO" ("изменённая, я вновь воскресаю"), которая отражает свойство логарифмической спирали восстанавливать свою форму после различных преобразований.

В 1690 году Бернулли впервые опубликовал исследование сложного процента, в котором обосновал существование предельной выгоды, которую оценил как большую 2,5 но меньшую 3. Путём нескольких приближений он фактически искал предел последовательности

,

Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы " числа Бернулли ".

Он изучил теорию вероятностей по книге Гюйгенса "О расчётах в азартной игре", в которой ещё не было определения и понятия вероятности (её заменяет количество благоприятных случаев). Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших чисел. Якоб Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её не успел. Она была напечатана посмертно, в 1713 году, его братом Николаем, под названием "Искусство предположений" ( Ars conjectandi). Это содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их практическому применению, итог комбинаторики и теории вероятностей XVII века. Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение Бернулли.

Якоб Бернулли издал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и физики.

Bernoulli, Jakob. Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis, et epistola gallicé scripta de ludo pilae reticularis. - Basel: Thurneysen Brothers, 1713.

Jakob Bernoulli. Tractatus de Seriebus Infinitis. (pdf)

В русском переводе

Я. Бернулли. О законе больших чисел. Перевод Я. В. Успенского. Предисловие А. А. Маркова. М.: Наука, 1986.

# data[].attributes.attachment_link.title
Бернулли, Якоб

# data[].attributes.attachment_link.description
Эта статья о математике Якобе Бернулли. Другие представители семьи Бернулли и другие значения перечислены на странице Бернулли (семья). Я́коб Берну́лли ( нем. Jakob Bernoulli, 6 января 1655, Базель, - 16 августа 1705, Базель) - швейцарский математик. Один из основателей теории вероятностей и математического анализа. Старший брат Иоганна Бернулли, совместно с ним положил начало вариационному исчислению.

# data[].attributes.headline
Леонард Эйлер (Швейцария)

# data[].attributes.subject
Леонард Эйлер (Швейцария)

# data[].attributes.body
Он на основе биномиального разложения  выводил всю теорию бесконечных рядов.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Эйлер.

Леона́рд Э́йлер ( нем. Leonhard Euler; 15 апреля 1707, Базель, Швейцария - 7 () сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) - швейцарский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук). Наряду с Лагранжем - крупнейший математик XVIII века, считается одним из величайших математиков в истории. Эйлер - автор более чем 850 работ (включая два десятка фундаментальных монографий) по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям. Он глубоко изучал медицину, химию, ботанику, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук. Первый российский член Американской академии искусств и наук.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году приглашён работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1726 по 1741 год, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (будучи сначала адъюнктом, а с 1731 года - профессором); в 1741-1766 годах работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии). Уже через год пребывания в России хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики ( С. К. Котельников) и астрономы ( С. Я. Румовский) были учениками Эйлера.

Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора Пауля Эйлера, друга семьи Бернулли, и Маргариты Эйлер, урождённой Брукер. Вскоре после рождения Леонарда семья переехала в селение Рихен (в часе ходьбы от Базеля), куда Пауль Эйлер был назначен пастором; там и прошли первые годы детства мальчика. Начальное обучение Леонард получил дома под руководством отца (тот в своё время учился математике у Якоба Бернулли). Пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой - как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления, и Леонард рано проявил математические способности.

20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Но любовь к математике направила Леонарда по иному пути. Посещая дом своего учителя, Эйлер познакомился и подружился с его сыновьями - Даниилом и Николаем, которые также, по семейной традиции, глубоко изучали математику. В 1723 году Эйлер получил (по существовавшему в Базельском университете обычаю) первую награду ( primam lauream). 8 июля 1724 года 17-летний Леонард Эйлер произнёс на латыни речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра искусств.

В начале зимы 1726-1727 годов Эйлер получил известие из Санкт-Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на должность адъюнкта (помощника профессора) по кафедре физиологии (эту кафедру занимал Д. Бернулли) с годовым жалованьем 200 рублей (сохранилось письмо Эйлера президенту Академии Л. Л. Блюментросту от 9 ноября 1726 года с благодарностью за принятие в Академию). Поскольку Иоганн Бернулли был известным врачом, то в России считали, что Леонард Эйлер как его лучший ученик - тоже врач. Свой отъезд из Базеля Эйлер отложил, однако, до весны, посвятив оставшиеся месяцы серьёзному изучению медицинских наук, глубоким знанием которых он впоследствии поражал своих современников. Наконец, 5 апреля 1727 года Эйлер навсегда покинул Швейцарию, хотя швейцарское ( базельское) подданство сохранил до конца жизни.

22 января () 1724 года Пётр I утвердил проект устройства Петербургской академии. 28 января () 1724 года вышел указ Сената о создании Академии. Из 22 профессоров и адъюнктов, приглашённых в первые годы, оказалось 8 математиков, которые занимались также механикой, физикой, астрономией, картографией, теорией кораблестроения, службой мер и весов.

Эйлер (путь которого из Базеля лежал через Любек, Ревель и Кронштадт) прибыл в Санкт-Петербург 24 мая 1727 года; за несколько дней до этого умерла императрица Екатерина I, покровительница Академии, и учёные пребывали в унынии и растерянности. Эйлеру помогли освоиться на новом месте земляки-базельцы: академики Даниил Бернулли и Якоб Герман; последний, являвшийся профессором по кафедре высшей математики, доводился молодому учёному дальним родственником и оказывал ему всевозможное покровительство. Эйлера сделали адъюнктом высшей математики (а не физиологии, как первоначально планировалось), хотя он в Петербурге проводил исследования в области гидродинамики биологических жидкостей, выделили ему жалованье 300 рублей в год и предоставили казённую квартиру.

Эйлер стал бегло говорить по-русски уже через несколько месяцев после приезда в Петербург.

В 1728 году началась публикация первого русского научного журнала "Комментарии Петербургской Академии наук" (на латинском языке). Уже второй том содержал три статьи Эйлера, и в последующие годы практически каждый выпуск академического ежегодника включал несколько новых его работ. Всего в этом издании было опубликовано более 400 статей Эйлера.

В сентябре 1730 года закончился срок контрактов, заключённых с академиками Я. Германом (кафедра математики) и Г. Б. Бильфингером (кафедра экспериментальной и теоретической физики). На их вакансии были утверждены соответственно Даниил Бернулли и Леонард Эйлер; последний получил увеличение жалованья до 400 рублей, а 22 января 1731 года - и официальную должность профессора. Ещё через два года (1733) Даниил Бернулли вернулся в Швейцарию, и Эйлер, оставив кафедру физики, занял его место, став академиком и профессором высшей математики с окладом 600 рублей (впрочем, Даниил Бернулли получал вдвое больше).

27 декабря 1733 года 26-летний Леонард Эйлер женился на своей ровеснице Катарине ( нем. Katharina Gsell), дочери академического живописца Георга Гзеля (петербургского швейцарца). Молодожёны приобрели дом на набережной Невы, где и поселились. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери.

Работы у молодого профессора было много: картография, всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д. От него даже требовали составления гороскопов, каковой заказ Эйлер со всем возможным тактом переадресовал штатному астроному. А. С. Пушкин приводит романтический рассказ: якобы Эйлер составил гороскоп для новорождённого Иоанна Антоновича (1740), но результат его настолько испугал, что он никому не стал его показывать и лишь после смерти несчастного царевича рассказал о нём графу К. Г. Разумовскому. Достоверность этого исторического анекдота крайне сомнительна.

За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ. Значительная часть академических "Записок" заполнена трудами Эйлера. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств. В течение 1730-х годов Эйлер возглавлял работу по картографированию Российской империи, которая (уже после отъезда Эйлера, в 1745 году) завершилась изданием атласа территории страны. Как рассказывал Н. И. Фусс, в 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое математическое вычисление, причём группа академиков просила на это три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня - и справился самостоятельно; однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Впрочем, сам Эйлер в одном из своих писем приписывал потерю глаза своей работе по составлению карт в географическом департаменте при Академии.

Обстановка ухудшилась, когда в 1740 году умерла императрица Анна Иоанновна, и императором был объявлен малолетний Иоанн VI. "Предвиделось нечто опасное, - писал позднее Эйлер в автобиографии. - После кончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогда регентстве... положение начало представляться неуверенным". В самом деле, в регентство Анны Леопольдовны Петербургская академия окончательно пришла в запустение. Эйлер стал обдумывать вариант возврата на родину или переезда в иную страну. В конце концов он принял предложение прусского короля Фридриха, который приглашал его на весьма выгодных условиях в Берлинскую академию, на должность директора её Математического департамента. Академия создавалась на базе прусского Королевского общества, основанного ещё Лейбницем, но в те годы находившегося в удручающем состоянии.

Эйлер подал руководству Петербургской академии прошение об отставке:

Того ради нахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и других обстоятельств, искать приятнейшего климата и принять от его Королевского Величества Прусского учиненное мне призывание. Того ради прошу Императорскую Академию наук всеподданнейше меня милостиво уволить и снабдить для моего и домашних моих проезду потребным пашпортом.

29 мая 1741 года разрешение Академии было получено. Эйлер был "отпущен" и утверждён почётным членом Академии с окладом 200 рублей. В июне 1741 года 34-летний Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками прибыл в Берлин. Он провёл там 25 лет и издал около 260 работ.

Работы у Эйлера было немало. Помимо математических исследований, он руководил обсерваторией, занимался многими практическими делами, включая выпуск календарей (основной источник дохода Академии), чеканку прусских монет, прокладку нового водопровода, организацию пенсионного обеспечения и лотерей.

В 1742 году вышло четырёхтомное собрание сочинений Иоганна Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, старый учёный писал своему ученику: "Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости". В берлинский период, одна за другой, выходят работы Эйлера: "Введение в анализ бесконечно малых" (1748), "Морская наука" (1749), "Теория движения Луны" (1753), "Наставление по дифференциальному исчислению" ( лат. Institutiones calculi differentialis, 1755). Многочисленные статьи по отдельным вопросам печатаются в изданиях Берлинской и Петербургской Академий. В 1744 году Эйлер открыл вариационное исчисление. В его работах используются продуманная терминология и математическая символика, в значительной степени сохранившиеся до наших дней, изложение доводится до уровня практических алгоритмов.

Все сии диссертации не токмо хороши, но и весьма превосходны, ибо он [Ломоносов] пишет о материях физических и химических весьма нужных, которые поныне не знали и истолковать не могли самые остроумные люди, что он учинил с таким успехом, что я совершенно уверен в справедливости его изъяснений. При сём случае г. Ломоносову должен отдать справедливость, что имеет превосходное дарование для изъяснения физических и химических явлений. Желать должно, чтоб и другия Академии в состоянии были произвести такия откровения, как показал г. Ломоносов.

Этой высокой оценке не помешало даже то, что Ломоносов математических работ не писал и высшей математикой не владел. Тем не менее, в 1755 году, в результате бестактности Ломоносова, который опубликовал без разрешения Эйлера его частное письмо в свою поддержку, Эйлер прекратил с ним всякие отношения. Отношения восстановились в 1761 году благодаря тому, что Ломоносов содействовал возвращению Эйлера в Россию.

Эйлер сообщил в ответ свои условия:

оклад 3000 рублей в год и пост вице-президента Академии;

квартира, свободная от солдатского постоя;

оплачиваемые должности для троих его сыновей, в том числе пост секретаря Академии для старшего.

Письмо к Вам г. Эйлера доставило мне большое удовольствие, потому что я узнаю из него о желании его снова вступить в мою службу. Конечно, я нахожу его совершенно достойным желаемого звания вице-президента Академии наук, но для этого следует принять некоторые меры, прежде чем я установлю это звание - говорю установлю, так как доныне его не существовало. При настоящем положении дел там нет денег на жалование в 3000 рублей, но для человека с такими достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическому жалованию из государственных доходов, что вместе составит требуемые 3000 рублей... Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека.

Эйлер подал королю прошение об увольнении со службы, но никакого ответа не получил. Подал повторно - но Фридрих не желал даже обсуждать вопрос о его отъезде. Решающую поддержку Эйлеру оказали настойчивые ходатайства российского представительства от имени императрицы. 2 мая 1766 года Фридрих наконец-то разрешил великому учёному покинуть Пруссию, не удержавшись, впрочем, в своей переписке от злобных острот в адрес Эйлера (так, 25 июля он писал Д'Аламберу: "Господин Эйлер, до безумия любящий Большую и Малую Медведицу, приблизился к северу для большего удобства к наблюдению их"). Правда, служившего подполковником артиллерии ( нем. Oberstleutnant) Кристофа - младшего сына Эйлера - король наотрез отказался отпустить из армии; позднее, благодаря заступничеству Екатерины II, тот всё же смог присоединиться к отцу и дослужился в русской армии до генерал-лейтенанта. Летом 1766 года Эйлер вернулся в Россию - теперь уже навсегда.

17 () июля 1766 года 60-летний Эйлер, его семья и домочадцы (всего 18 человек) прибыли в российскую столицу. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина II встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.

К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта левого глаза - он перестал видеть. Вероятно, по этой причине обещанный пост вице-президента Академии он так и не получил (что не помешало Эйлеру и его потомкам в течение почти ста лет участвовать в управлении Академией). Однако слепота не отразилась на работоспособности учёного, он лишь заметил, что теперь будет меньше отвлекаться от занятий математикой. До обретения секретаря Эйлер диктовал свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки. Число опубликованных им работ даже возросло; в течение второго пребывания в России Эйлер продиктовал более 400 статей и 10 книг, что составляет больше половины его творческого наследия.

В 1768-1770 годах вышла в свет двухтомная классическая монография "Универсальная арифметика" (издавалась также под названиями "Начала алгебры" и "Полный курс алгебры"). Вначале этот труд был опубликован на русском языке (1768-1769), издание на немецком вышло два года спустя. Книга была переведена на многие языки и переиздавалась около 30 раз (трижды - на русском). Все последующие учебники алгебры создавались под сильнейшим влиянием книги Эйлера.

В эти же годы вышли трёхтомник "Диоптрика" ( лат. Dioptrica, 1769-1771) о линзовых системах и фундаментальное "Интегральное исчисление" ( лат. Institutiones calculi integralis, 1768-1770), тоже в 3 томах.

В 1771 году в жизни Эйлера произошли два серьёзных события. В мае в Петербурге случился большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спасли. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть "Новой теории движения луны", но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память. Эйлеру пришлось временно переселиться в другой дом. Второе событие: в сентябре того же года, по особому приглашению императрицы, в Санкт-Петербург прибыл для лечения Эйлера известный немецкий окулист барон Вентцель. После осмотра он согласился сделать Эйлеру операцию и удалил с левого глаза катаракту. Эйлер снова стал видеть. Врач предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать - лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако уже через несколько дней после операции Эйлер снял повязку и вскоре потерял зрение снова. На этот раз - окончательно.

1772: "Новая теория движения Луны". Эйлер наконец завершил свой многолетний труд, приближённо решив задачу трёх тел.

В 1773 году по рекомендации Даниила Бернулли в Петербург приехал из Базеля ученик Бернулли, Николаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Фусс, одарённый математик, сразу же после приезда взял на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет - до самой своей смерти - Эйлер преимущественно ему диктовал свои труды, хотя иногда пользовался "глазами старшего сына" и других своих учеников. В этом же 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет. Смерть жены была болезненным ударом для учёного, искренне привязанного к семье. Вскоре Эйлер женился на Саломее-Абигайль, сводной сестре покойной жены.

"Он перестал вычислять и жить", - сказал Кондорсе на траурном заседании Парижской Академии наук ( фр. Il cessa de calculer et de vivre).

Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике на немецком языке гласила: "Здесь покоятся останки знаменитого во всём свете Леонарда Эйлера, мудреца и праведника. Родился в Базеле 4 апреля 1707 года, умер 7 сентября 1783 года". После смерти Эйлера его могила затерялась и была найдена, в заброшенном состоянии, только в 1830 году. В 1837 году Академия наук заменила эту надгробную плиту новым гранитным надгробием (существующим и поныне) с надписью на латинском языке "Леонарду Эйлеру - Петербургская Академия" ( лат. Leonhardo Eulero - Academia Petropolitana).

Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков.

Эйлер охотно участвовал в научных дискуссиях, из которых наибольшую известность получили:

Во всех упомянутых случаях позиция Эйлера поддержана современной наукой.

С точки зрения математики, XVIII век - это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрознены и не всегда согласованы, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, геометрию, тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины в единую систему, добавив при этом немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор "по Эйлеру" почти без изменений.

Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, фундаментальная " формула Эйлера" в теории комплексных чисел, операция сравнения по целому модулю, полная теория непрерывных дробей, аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e, обозначение i для мнимой единицы, ряд специальных функций и многое другое.

По существу, именно Эйлер создал несколько новых математических дисциплин - теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей; он заложил основы теории специальных функций. Другие области его трудов: диофантов анализ, математическая физика, статистика и т. д.

Историк науки Клиффорд Трусделл писал: "Эйлер был первым учёным в западной цивилизации, кто стал писать о математике ясным и лёгким для чтения языком". Биографы отмечают, что Эйлер был виртуозным алгоритмистом. Он неизменно старался довести свои открытия до уровня конкретных вычислительных методов и сам был непревзойдённым мастером численных расчётов. Ж. Кондорсе рассказывал, что однажды два студента, выполняя независимо сложные астрономические вычисления, получили немного различающиеся результаты в 50-м знаке и обратились к Эйлеру за помощью. Эйлер проделал те же вычисления в уме и указал правильный результат.

П. Л. Чебышёв писал: "Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию чисел". Большинство математиков XVIII века занимались развитием анализа, но Эйлер пронёс увлечение древней арифметикой через всю свою жизнь. Благодаря его трудам интерес к теории чисел к концу века возродился.

Эйлер продолжил исследования Ферма, ранее высказавшего (под влиянием Диофанта) ряд разрозненных гипотез о натуральных числах. Эйлер строго доказал эти гипотезы, значительно обобщил их и объединил в содержательную теорию чисел[68]. Он ввёл в математику исключительно важную " функцию Эйлера" и сформулировал с её помощью " теорему Эйлера"[69]. Он опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида - простые; оказалось, что делится на 641[70]. Доказал утверждение Ферма о представлении нечётного простого числа в виде суммы двух квадратов[68]. Дал одно из решений задачи о четырёх кубах. Доказал, что число Мерсенна - простое число; в течение почти ста лет (до 1867 года) оно оставалось наибольшим известным простым числом[71].

Эйлер создал основу теории сравнений и квадратичных вычетов, указав для последних критерий разрешимости. Эйлер ввёл понятие первообразного корня и выдвинул гипотезу, что для любого простого числа p существует первообразный корень по модулю p; доказать это он не сумел, позднее теорему доказали Лежандр и Гаусс. Большое значение в теории имела другая гипотеза Эйлера - квадратичный закон взаимности, также доказанный Гауссом[68]. Эйлер доказал Великую теорему Ферма для и , создал полную теорию непрерывных дробей, исследовал различные классы диофантовых уравнений, теорию разбиений чисел на слагаемые[72][73].

В задаче о количестве разбиений натурального числа получил формулу, выражающую производящую функцию числа разбиений через бесконечное произведение

.

Эйлер определил дзета-функцию, обобщение которой получило впоследствии имя Римана:

,

где вещественное число (у Римана - комплексное). Эйлер вывел для неё разложение:

,

где произведение берётся по всем простым числам . Тем самым он открыл, что в теории чисел возможно применение методов математического анализа, положив начало аналитической теории чисел[69], в основе которой лежат тождество Эйлера и общий метод производящих функций[74].

Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой - монография "Введение в анализ бесконечно малых" (1748). В 1755 году вышло дополненное "Дифференциальное исчисление", а в 1768-1770 годах - три тома "Интегрального исчисления". В совокупности это фундаментальный, хорошо иллюстрированный примерами курс, с продуманной терминологией и символикой. "Можно с уверенностью сказать, что добрая половина того, что преподаётся теперь в курсах высшей алгебры и высшего анализа, находится в трудах Эйлера" ( Н. Н. Лузин). Эйлер первый дал систематическую теорию интегрирования и используемых при этом технических приёмов. В частности, он - автор классического способа интегрирования рациональных функций путём разложения их на простые дроби и метода решения дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами. Впервые ввёл двойные интегралы.

Эйлер всегда уделял особое внимание методам решения дифференциальных уравнений - как обыкновенных, так и в частных производных, открыв и описав важные классы интегрируемых дифференциальных уравнений. Изложил " метод ломаных" Эйлера (1768) - численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Одновременно с А. К. Клеро Эйлер вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных форм от двух или трёх переменных (1739). Получил серьёзные результаты в теории эллиптических функций, в том числе первые теоремы сложения эллиптических интегралов (1761). Впервые исследовал максимумы и минимумы функций многих переменных.

Основание натуральных логарифмов было известно ещё со времён Непера и Якоба Бернулли, однако Эйлер выполнил настолько глубокое исследование этой важнейшей константы, что с тех пор она носит его имя. Другая исследованная им константа: постоянная Эйлера - Маскерони.

Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций - тоже его заслуга, так же как и их символика и обобщение на комплексный случай. Формулы, часто именуемые в учебниках " условия Коши - Римана", более правильно было бы назвать "условиями Д'Аламбера - Эйлера".

Он делит с Лагранжем честь открытия вариационного исчисления, выписав уравнения Эйлера - Лагранжа для общей вариационной задачи. В 1744 году Эйлер опубликовал трактат "Метод нахождения кривых линий..." - первую работу по вариационному исчислению (помимо прочего, она содержала первое систематическое изложение теории упругих кривых и результаты по сопротивлению материалов).

Эйлер значительно продвинул теорию рядов и распространил её на комплексную область, получив при этом знаменитую формулу Эйлера, дающую тригонометрическое представление комплексного числа. Большое впечатление на математический мир произвели ряды, впервые просуммированные Эйлером, в том числе не поддававшийся до него никому ряд обратных квадратов:

.

С помощью рядов Эйлер исследовал трансцендентные функции, то есть те функции, которые не выражаются алгебраическим уравнением (например, интегральный логарифм). Он открыл (1729-1730) имеющие сейчас многообразные приложения " эйлеровы интегралы" - специальные функции, вошедшие в науку как гамма-функция и бета-функция Эйлера. При решении задачи о колебаниях упругой мембраны (возникла в связи с определением высоты звука литавр) Эйлер в 1764 году впервые ввёл бесселевы функции для любого натурального индекса (исследование Ф. В. Бесселя, имя которого эти функции носят ныне, относится к 1824 году).

С более поздней точки зрения, действия Эйлера с бесконечными рядами не всегда могут считаться корректными (обоснование анализа было проведено лишь полвека спустя), но феноменальная математическая интуиция практически всегда подсказывала ему правильный результат. Вместе с тем во многих важных отношениях его понимание опередило время - например, предложенное им обобщённое понимание суммы расходящихся рядов и операций с ними послужило основой современной теории этих рядов, развитой в конце XIX - начале XX века.

Второй том "Введения в анализ бесконечно малых" ( 1748) - это первый в мире учебник по аналитической геометрии и основам дифференциальной геометрии. Эйлер дал классификацию алгебраических кривых 3-го и 4-го порядков, а также поверхностей второго порядка. Термин " аффинные преобразования" впервые введён в этой книге вместе с теорией таких преобразований. В 1732 году Эйлер вывел общее уравнение геодезических линий на поверхности.

В 1771 году Эйлер опубликовал сочинение "О телах, поверхность которых можно развернуть на плоскость". В этой работе введено понятие развёртывающейся поверхности, то есть поверхности, которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер, однако, даёт здесь вполне общую теорию метрики, от которой зависит вся внутренняя геометрия поверхности. Позже исследование метрики становится у него основным инструментом теории поверхностей.

Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в виде сумм специального вида и сформулировал ряд теорем для вычисления числа разбиений. При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойства сочетаний и перестановок, ввёл в рассмотрение числа Эйлера.

Эйлер исследовал алгоритмы построения магических квадратов методом обхода шахматным конём. Две его работы (1776, 1779) заложили фундамент общей теории латинских и греко-латинских квадратов, огромная практическая ценность которой выяснилась после создания Рональдом Фишером методов планирования эксперимента, а также в теории кодов, исправляющих ошибки.

Статья Эйлера 1736 года "Решение вопроса, связанного с геометрией положения" положила начало теории графов как математической дисциплине. Поводом для исследования послужила задача о семи мостах Кёнигсберга: можно ли пройти каждый мост по одному разу и вернуться в исходное место? Эйлер формализовал её, сведя к задаче о существовании в графе ( вершины которого отвечают частям города, разделённым протоками реки Преголя, а рёбра - мостам) циклического маршрута, проходящего по каждому ребру ровно один раз (в современной терминологии - эйлерова цикла). Решая последнюю задачу, Эйлер показал: для наличия эйлерова цикла в графе нужно, чтобы у каждой вершины её степень (число выходящих из вершины рёбер) была чётной (а в задаче о кёнигсбергских мостах это не так: степени равны 3, 3, 3 и 5).

Эйлер внёс существенный вклад в теорию и методы приближённых вычислений. Впервые применил аналитические методы в картографии. Предложил удобный метод графического изображения соотношений и операций над множествами, получивший название " Круги Эйлера" (или Эйлера- Венна).

В 1736 году вышел двухтомный трактат Эйлера "Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении", знаменовавший новый этап в развитии этой древней науки и посвящённый динамике материальной точки. В отличие от основоположников данного раздела динамики - Галилея и Ньютона, пользовавшихся геометрическими методами, 29-летний Эйлер предложил регулярный и единообразный аналитический метод решения различных задач динамики: составление дифференциальных уравнений движения материального объекта и их последующее интегрирование при заданных начальных условиях.

В первом томе трактата рассматривается движение свободной материальной точки, во втором - несвободной, причём исследуется движение как в пустоте, так и в сопротивляющейся среде. Отдельно рассматриваются задачи баллистики и теория маятника. Здесь Эйлер впервые записывает дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки, а для общего случая криволинейного её движения вводит естественные уравнения движения - уравнения в проекциях на оси сопровождающего трёхгранника. Во многих конкретных задачах он доводит интегрирование уравнений движения до конца; в случаях движения точки без сопротивления он систематически пользуется первым интегралом уравнений движения - интегралом энергии. Во втором томе, в связи с проблемой движения точки по произвольно искривлённой поверхности, излагается созданная Эйлером дифференциальная геометрия поверхностей.

К динамике материальной точки Эйлер возвращался и позднее. В 1746 году, исследуя движение материальной точки по подвижной поверхности, он приходит (одновременно с Д. Бернулли и П. Дарси) к теореме об изменении момента количества движения. В 1765 году Эйлер, использовав выдвинутую в 1742 году К. Маклореном идею о разложении скоростей и сил по трём неподвижным координатным осям, впервые записывает дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на декартовы неподвижные оси.

Последний результат был опубликован Эйлером в его втором фундаментальном трактате по аналитической динамике - книге "Теория движения твёрдых тел" (1765). Основное её содержание посвящено, однако, другому разделу механики - динамике твёрдого тела, основоположником которого и стал Эйлер. В трактате, в частности, содержится вывод системы из шести дифференциальных уравнений движения свободного твёрдого тела. Важное значение для статики имеет излагаемая в § 620 трактата теорема о приведении приложенной к твёрдому телу системы сил к двум силам. Проектируя на координатные оси условия равенства этих сил нулю, Эйлер впервые получает уравнения равновесия твёрдого тела под действием произвольной пространственной системы сил.

В трактате 1765 года изложен и ряд фундаментальных результатов Эйлера, относящихся к кинематике твёрдого тела (в XVIII веке кинематику ещё не выделяли в качестве отдельного раздела механики). Среди них выделим формулы Эйлера для распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела (векторный эквивалент этих формул - кинематическая формула Эйлера) и кинематические уравнения Эйлера, дающие выражение производных от углов Эйлера (введены им в 1748 году; в механике применяются для задания ориентации твёрдого тела) через проекции угловой скорости на оси координат.

Помимо данного трактата, для динамики твёрдого тела важное значение имеют две более ранние работы Эйлера: "Исследования о механическом познании тел" и "Вращательное движение твёрдых тел вокруг переменной оси", которые были представлены на рассмотрение Берлинской академии наук в 1758 году, но опубликованы в её "Записках" позже (в том же 1765 году, что и трактат). В них: разработана теория моментов инерции (в частности, впервые доказана " теорема Гюйгенса - Штейнера"); установлено существование у любого твёрдого тела с неподвижной точкой по крайней мере трёх осей свободного вращения; получены динамические уравнения Эйлера, описывающие динамику твёрдого тела с неподвижной точкой; приведено аналитическое решение данных уравнений в случае равенства нулю главного момента внешних сил ( случай Эйлера) - один из трёх общих случаев интегрируемости в задаче о динамике тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой.

Эйлеру принадлежит заслуга аналитического оформления принципа наименьшего действия (предложенного в 1744 году - в весьма нечёткой форме - П. Л. Мопертюи), правильного понимания условий применимости принципа и его первого доказательства (проведённого в том же 1744 году для случая одной материальной точки, движущейся под действием центральной силы). Под действием здесь (речь идёт о так называемом укороченном действии, а не о действии по Гамильтону) применительно к системе материальных точек понимается интеграл

где и - две конфигурации системы, и - соответственно масса, алгебраическая скорость и элемент дуги траектории -й точки, - число точек[122].

В результате в науку вошёл принцип Мопертюи - Эйлера - первый в ряду интегральных вариационных принципов механики; позднее данный принцип был обобщён Ж. Л. Лагранжем, и теперь его обычно трактуют как одну из форм ( форма Мопертюи - Эйлера, рассматриваемая наряду с формой Лагранжа и формой Якоби) принципа Мопертюи - Лагранжа. Несмотря на свой определяющий вклад, в возникшей вокруг принципа наименьшего действия дискуссии Эйлер решительно отстаивал приоритет Мопертюи и указывал на основополагающее значение этого принципа в механике. Данная идея привлекла внимание физиков, которые в XIX-XX веках выяснили фундаментальную роль вариационных принципов в природе и применили вариационный подход во многих разделах своей науки.

Ряд работ Эйлера посвящён вопросам механики машин. В мемуаре "О наивыгоднейшем применении простых и сложных машин" (1747) Эйлер предложил вести изучение машин не в состоянии покоя, а в состоянии движения. Этот новый, "динамический" подход Эйлер обосновал и развил в мемуаре "О машинах вообще" (1753); в нём он впервые в истории науки указал на три составные части машины, которые в XIX веке были определены как двигатель, передача и рабочий орган. В мемуаре "Принципы теории машин" (1763) Эйлер показал, что при расчёте динамических характеристик машин в случае их ускоренного движения нужно учитывать не только силы сопротивления и инерцию полезной нагрузки, но и инерцию всех составных частей машины, и даёт (применительно к гидравлическим двигателям) пример такого расчёта.

Эйлер занимался также и прикладными вопросами теории механизмов и машин: вопросами теории гидравлических машин и ветряных мельниц, исследованием трения частей машин, вопросами профилирования зубчатых колёс (здесь он обосновал и развил аналитическую теорию эвольвентного зацепления). В 1765 году он заложил основы теории трения гибких тросов и получил, в частности, формулу Эйлера для определения натяжения троса, используемую и сейчас при решении ряда практических задач (например, при расчёте механизмов с гибкими звеньями).

С именем Эйлера связано и последовательное введение в механику идеи континуума, в соответствии с которой материальное тело представляют, абстрагируясь от его молекулярного или атомного строения, в виде непрерывной сплошной среды. Модель сплошной среды была введена Эйлером в мемуаре "Открытие нового принципа механики" (доложен в 1750 году Берлинской академии наук и опубликован в её "Мемуарах" двумя годами позже).

В основу рассмотрения автор мемуара положил принцип материальных частиц Эйлера - положение, приводимое и сейчас во многих учебниках механики и физики (нередко без упоминания имени Эйлера): сплошное тело с любой степенью точности можно моделировать системой материальных точек, разбив его мысленно на достаточно малые частицы и трактуя каждую из них как материальную точку. Опираясь на этот принцип, можно те или иные динамические соотношения для сплошного тела получать, записав их аналоги для отдельных материальных частиц (по Эйлеру, "телец") и почленно просуммировав (заменяя при этом суммирование по всем точкам интегрированием по объёму области, занимаемой телом). Данный подход позволил Эйлеру обойтись без использования таких средств современного интегрального исчисления (типа интеграла Стилтьеса), которые ещё не были известны в XVIII веке.

Опираясь на указанный принцип, Эйлер получил - применяя к элементарному материальному объёму теорему об изменении количества движения - первый закон движения Эйлера (позже появился и второй закон движения Эйлера - результат применения теоремы об изменении момента количества движения). Законы движения Эйлера фактически представляли собой основные законы движения механики сплошных сред; для перехода к ныне используемым общим уравнениям движения таких сред не хватало лишь выражения поверхностных сил через тензор напряжений (это было сделано О. Коши в 1820-х гг.). Полученные результаты Эйлер применил при изучении конкретных моделей сплошных тел - и в динамике твёрдого тела (именно в упоминавшемся мемуаре впервые приводятся уравнения динамики тела с неподвижной точкой, отнесённые к произвольным декартовым осям), и в гидродинамике, и в теории упругости.

В теории упругости ряд исследований Эйлера посвящён теории изгиба балок и стержней; при этом уже в ранних работах (1740-е гг.) он занимается задачей о продольном изгибе упругого стержня, составляя и решая дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня. В 1757 году в работе "О нагрузке колонн" Эйлер впервые в истории получил формулу для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня, положив начало теории устойчивости упругих систем. Практическое применение данная формула нашла значительно позже - почти сто лет спустя, когда во многих странах (прежде всего, в Англии) развернулось строительство железных дорог, потребовавшее проведения расчётов на прочность железнодорожных мостов; именно в это время инженеры и приняли на вооружение - после некоторого уточнения - модель Эйлера.

Эйлер является - наряду с Д. Бернулли и Ж. Л. Лагранжем - одним из основоположников аналитической гидродинамики; здесь ему принадлежит заслуга создания теории движения идеальной жидкости (то есть жидкости, не обладающей вязкостью) и решения ряда конкретных задач гидромеханики[146]. В работе "Принципы движения жидкостей"[147] (1752; опубликована девятью годами позже) он, применяя свои уравнения динамики элементарного материального объёма сплошной среды к модели несжимаемой идеальной жидкости, впервые получил для такой жидкости уравнения движения, а также (для общего трёхмерного случая[148]) уравнение неразрывности. Изучая безвихревое движение несжимаемой жидкости, Эйлер ввёл функцию (позже названную Г. Гельмгольцем потенциалом скоростей) и показал, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных - так в науку вошло уравнение, ныне известное как уравнение Лапласа[149].

Результаты данной работы Эйлер существенно обобщил в трактате "Общие принципы движения жидкостей"[150] (1755). Здесь он - уже для случая сжимаемой идеальной жидкости - представил (практически в современных обозначениях) уравнение неразрывности и уравнения движения (три скалярных дифференциальных уравнения, которым в векторной записи соответствует уравнение Эйлера - основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости[151]). Эйлер отметил, что для замыкания данной системы из четырёх уравнений нужно определяющее соотношение, позволяющее выразить давление (его Эйлер называл "упругостью") как функцию плотности и "другого свойства , которое влияет на упругость" (фактически имелась в виду температура)[152][153]. Обсуждая возможность существования непотенциальных движений несжимаемой жидкости, Эйлер привёл первый конкретный пример вихревого её течения, а для потенциальных движений такой жидкости получил первый интеграл - частный случай известного ныне интеграла Лагранжа - Коши[154].

К тому же году относится и мемуар Эйлера "Общие принципы состояния равновесия жидкостей", в котором содержалось систематическое изложение гидростатики идеальной жидкости (включая вывод общего уравнения равновесия жидкостей и газов) и была выведена барометрическая формула для изотермической атмосферы.

В перечисленных работах Эйлер, записывая уравнения движения и равновесия жидкости, принимал за независимые пространственные переменные декартовы координаты текущего положения материальной частицы - переменные Эйлера (впервые такие переменные в гидродинамике использовал Д'Аламбер). Позднее, в работе "О принципах движения жидкостей. Раздел второй" (1770) Эйлер ввёл и вторую форму уравнений гидродинамики, в которой за независимые пространственные переменные принимались декартовы координаты положения материальной частицы в начальный момент времени (известные сейчас как переменные Лагранжа).

Основные достижения в этой области Эйлер собрал в трёхтомник "Диоптрика" ( лат. Dioptrica, 1769-1771). Среди главных результатов: правила расчёта оптимальных характеристик рефракторов, рефлекторов и микроскопов, вычисление наибольшей яркости изображения, наибольшего поля зрения, наименьшей длины инструмента, наибольшего увеличения, характеристик окуляра.

Ньютон утверждал, что создание ахроматической линзы принципиально невозможно. Эйлер возразил, что комбинация материалов с различными оптическими характеристиками может решить эту проблему. В 1758 году Эйлер после долгой полемики сумел убедить в этом английского оптика Джона Доллонда, который затем сделал первую ахроматическую линзу, соединив друг с другом две линзы, изготовленные из стёкол различного состава, а в 1784 году академик Ф. Эпинус в Петербурге построил первый в мире ахроматический микроскоп.

Эйлер заложил основы теории возмущений, позднее завершённой Лапласом и Пуанкаре. Ввёл фундаментальное понятие оскулирующих элементов орбиты и вывел дифференциальные уравнения, определяющие их изменение со временем. Построил теорию прецессии и нутации земной оси, предсказал "свободное движение полюсов" Земли, открытое сто лет спустя Чандлером.

В 1748-1751 годах Эйлер опубликовал полную теорию аберрации света и параллакса. В 1756 году он опубликовал дифференциальное уравнение астрономической рефракции, исследовал зависимость рефракции от давления и температуры воздуха в месте наблюдения. Эти результаты оказали огромное влияние на развитие астрономии в последующие годы.

Эйлер изложил очень точную теорию движения Луны, разработав для этого особый метод вариации орбитальных элементов. Впоследствии, в XIX веке, этот метод был расширен, применён в модели движения больших планет и используется до настоящего времени. Таблицы Майера, рассчитанные на основе теории Эйлера (1767), оказались также пригодными для решения насущной задачи определения долготы на море, и английское Адмиралтейство выплатило за неё Майеру и Эйлеру специальную премию. Основные труды Эйлера в этой области:

"Теория движения Луны", 1753;

"Теория движения планет и комет", 1774;

"Новая теория движения Луны", 1772.

Эйлер исследовал поле тяготения не только сферических, но и эллипсоидальных тел, что представляло собой существенный шаг вперёд. Он также впервые в науке указал на вековое смещение наклона плоскости эклиптики (1756), и по его предложению в качестве опорного был с тех пор принят наклон в начале 1700 года. Разработал основы теории движения спутников Юпитера и других сильно сжатых планет.

В 1748 году, задолго до работ П. Н. Лебедева, Эйлер выдвинул гипотезу, что хвосты комет, полярные сияния и зодиакальный свет имеют общим источником воздействие солнечного излучения на атмосферу или вещество небесных тел.

Всю жизнь Эйлер интересовался музыкальной гармонией, стремясь дать ей ясное математическое обоснование. Целью раннего его труда - "Опыт новой теории музыки" ( Tentamen novae theoriae musicae, 1739) - была попытка математически описать, чем приятная (благозвучная) музыка отличается от неприятной (неблагозвучной). В конце главы VII "Опыта" Эйлер расположил интервалы по "степеням приятности" ( gradus suavitatis), при этом октава была причислена ко II (наиболее приятному) классу, а диасхизма - к последнему, XXVII классу (самый неблагозвучный интервал); некоторые классы (в том числе первый, третий, шестой) в таблице приятности Эйлера были пропущены. По поводу этой работы ходила шутка, что в ней слишком много музыки для математиков и слишком много математики для музыкантов.

На склоне лет, в 1773 году Эйлер прочитал доклад в Санкт-Петербургской академии наук, в котором в окончательном виде сформулировал своё решетчатое представление звуковой системы; это представление было метафорически обозначено автором как "зерцало музыки" ( лат. speculum musicae). В следующем году доклад Эйлера был опубликован в виде небольшого трактата De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis ("Об истинных основаниях гармонии, представленных через speculum musicae"). Под названием "звуковой сети" ( нем. Tonnetz) эйлерова решётка получила широкое хождение в немецкой музыкальной теории XIX века.

В круг научных интересов Эйлера входила и физиология; в частности, он применял методы гидродинамики к исследованию принципов движения крови в сосудах. В 1742 году он послал в Дижонскую академию статью о течении жидкостей в эластичных трубках (рассматривавшихся как модели сосудов), а в декабре 1775 года представил Петербургской академии наук мемуар "Основы определения движения крови через артерии" ( Principia pro motu sanguines per arteria determinando). В этой работе анализировались физические и физиологические принципы движения крови, вызываемого периодическими сокращениями сердца. Трактуя кровь как несжимаемую жидкость, Эйлер нашёл решение составленных им уравнений движения для случая жёстких трубок, а в случае эластичных трубок ограничился лишь получением общих уравнений конечных движений.

Одной из главных задач, поставленных Эйлеру по прибытии в Россию, была подготовка научных кадров. Среди непосредственных учеников Эйлера:

В честь Эйлера названы:

Полное собрание сочинений Эйлера, издаваемое с 1909 года Швейцарским обществом естествоиспытателей, до сих пор не завершено; планировался выпуск 75 томов, из них вышло 73:

29 томов по математике;

31 том по механике и астрономии;

13 - по физике.

Восемь дополнительных томов будут посвящены научной переписке Эйлера (свыше 3000 писем).

В 1907 году российские и многие другие учёные отметили 200-летие великого математика, а в 1957 году советская и Берлинская академии наук посвятили торжественные сессии его 250-летию. В канун 300-летия Эйлера (2007) в Петербурге состоялся международный юбилейный форум и был снят кинофильм о жизни Эйлера. В том же году в Петербурге, у входа в Международный институт Эйлера, был открыт памятник Эйлеру работы скульптора А. Г. Дёмы. Власти Петербурга, однако, отвергли все предложения назвать в честь учёного площадь или улицу; в России до сих пор нет ни одной улицы Эйлера.

По отзывам современников, по характеру Эйлер был добродушен, незлобив, практически ни с кем не ссорился. К нему неизменно тепло относился даже Иоганн Бернулли, тяжёлый характер которого испытали на себе его брат Якоб и сын Даниил. Для полноты жизни Эйлеру требовалось только одно - возможность регулярного математического творчества. Он мог интенсивно работать даже "с ребёнком на коленях и с кошкой на спине". В то же время Эйлер был жизнерадостен, общителен, любил музыку, философские беседы.

Как отмечают современники, Эйлер был очень религиозен. По словам Кондорсе, каждый вечер Эйлер собирал своих детей, слуг и учеников, живших с ним, для молитвы. Он читал им главу из Библии и иногда сопровождал чтение проповедью. В 1747 году Эйлер издал трактат в защиту христианства против атеизма "Защита Божественного откровения от нападок свободомыслящих". Увлечение Эйлера теологическими рассуждениями стало причиной отрицательного отношения к нему (как философу) его знаменитых современников - Д'Аламбера и Лагранжа. Фридрих II, считавший себя "вольнодумцем" и переписывавшийся с Вольтером, говорил, что от Эйлера "попахивает попом".

Эйлер был заботливым семьянином, охотно помогал коллегам и молодёжи, щедро делился с ними своими идеями. Известен случай, когда Эйлер задержал свои публикации по вариационному исчислению, чтобы молодой и никому тогда не известный Лагранж, независимо пришедший к тем же открытиям, смог опубликовать их первым. Лагранж всегда с восхищением относился к Эйлеру и как к математику, и как к человеку; он говорил: "Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера".

"Читайте, читайте Эйлера, он - наш общий учитель", - любил повторять и Лаплас ( фр. Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.). Труды Эйлера с большой пользой для себя изучали и "король математиков" Карл Фридрих Гаусс, и практически все знаменитые учёные XVIII-XIX веков.

Д'Аламбер в одном из своих писем к Лагранжу называет Эйлера "этот дьявол" ( фр. се diable d'homme), как бы желая высказать этим, по мнению комментаторов, что сделанное Эйлером превышает человеческие силы.

М. В. Остроградский заявил в письме Н. Н. Фуссу: "Эйлер создал современный анализ, один обогатил его более, чем все его последователи, вместе взятые, и сделал его могущественнейшим орудием человеческого разума". Академик С. И. Вавилов писал: "Вместе с Петром I и Ломоносовым, Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившим её славу, её крепость, её продуктивность".

В 1743-1766 годах Эйлер жил в доме по адресу: Беренштрассе, 21/22. Дом сохранился, на нём установлена мемориальная доска.

Очень многие факты в геометрии, алгебре и комбинаторике, доказанные Эйлером, повсеместно используются в олимпиадной математике.

15 апреля 2007 года была проведена интернет-олимпиада для школьников по математике, посвящённая 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера, проходившая при поддержке ряда организаций. С 2008 года проводится математическая олимпиада имени Леонарда Эйлера для восьмиклассников, призванная отчасти заменить им утрату регионального и заключительного этапов Всероссийской математической олимпиады для 8-х классов.

По состоянию на конец 1980-х годов историки насчитали около 400 ныне живущих потомков, около половины из них проживали в СССР.

Приведём краткое генеалогическое древо некоторых из известных потомков Эйлера (фамилия приводится, если она не "Эйлер").

Среди других потомков Эйлера: Н. И. Геккер, В. Ф. Геккер и И. Р. Геккер, В. Е. Скалон, Э. Н. Берендтс. В числе потомков - множество учёных, геологов, инженеров, дипломатов, врачей, имеются также девять генералов и один адмирал.

Новая теория движения Луны. - Л.: Изд. АН СССР, 1934.

Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. - М.; Л.: Гостехиздат, 1934. - 600 с.

Основы динамики точки. - М.-Л.: ОНТИ, 1938.

Дифференциальное исчисление. - М.-Л.: Геодезиздат, 1949.

Интегральное исчисление. В 3 томах. - М.: Гостехиздат, 1956-1958.

Вариационные принципы механики. Сб. статей: Ферма, Гамильтон, Эйлер, Гаусс и др / Полак Л. (ред.). - М.: Физматлит, 1959. - 932 с.

Избранные картографические статьи. - М.-Л.: Геодезиздат, 1959.

Введение в анализ бесконечных. В 2 томах. - М.: Физматгиз, 1961.

Исследования по баллистике. - М.: Физматгиз, 1961.

Переписка. Аннотированный указатель. - Л.: Наука, 1967. - 391 с.

Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях. - СПб.: Наука, 2002. - 720 с. - ISBN 5-02-027900-5, 5-02-028521-8.

Опыт новой теории музыки (фрагменты трактата) // Музыкальная академия, 1995, № 1, с.140-146.

Опыт новой теории музыки, ясно изложенной в соответствии с непреложными принципами гармонии. - СПб.: Рос. акад. наук, С.-Петерб. науч. центр, изд-во Нестор-История, 2007. - ISBN 978-598187-202-0.

Руководство к арифметике для употребления гимназии Императорской Академии наук. - М.: Оникс, 2012. - 313 с. - ISBN 978-5-458-27255-1.

Использованная литература

Артемьева Т. В. . Леонард Эйлер как философ // Философия в Петербургской Академии наук XVIII века. - СПб., 1999. - 182 с.

Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Леонард Эйлер // Историко-математические исследования. - М.: ГИТТЛ, 1954. - № 7. - С. 453-512.

Бобылёв Д. К. Эйлер, Леонгард // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб., 1890-1907.

Гиндикин С. Г. . Рассказы о физиках и математиках. - 3-е изд., расш. - М.: МЦНМО, 2001. - 465 с. - ISBN 5-900916-83-9.

История механики в России / Под ред. А. Н. Боголюбова, И. З. Штокало. - Киев: Наукова думка, 1987. - 392 с.

Котек В. В. . Леонард Эйлер. - М.: Учпедгиз, 1961. - 106 с.

Колчинский И. Г., Корсунь А. А., Родригес М. Г. . Астрономы: Биографический справочник. 2-е изд. - Киев: Наукова думка, 1986. - 512 с.

Леонард Эйлер 1707-1783. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти. - Изд-во АН СССР, 1935. - 240 с.

К 250-летию со дня рождения Л. Эйлера. - Сборник. - Изд-во АН СССР, 1958.

Летопись Российской Академии наук. - М.: Наука, 2000. - Т. 1: 1724-1802. - ISBN 5-02-024880-0.

Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. - М.: Наука, 1972. - Т. III.

Моисеев Н. Д. . Очерки развития механики. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1961. - 478 с.

Отрадных Ф. П. . Математика XVIII века и академик Леонард Эйлер. - М.: Советская наука, 1954. - 39 с.

Пекарский П. П. . История Императорской академии наук в Петербурге. Т. 1. - СПб., 1870. - LXVIII + 774 с. Архивная копия от 3 июля 2014 на Wayback Machine

Полякова Т. С. . Леонард Эйлер и математическое образование в России. - КомКнига, 2007. - 184 с. - ISBN 978-5-484-00775-2.

Прудников В. Е. . Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. - 1956.

Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. - М.: Наука, 1988. - 525 с. - ISBN 5-02-000002-7.

Рыбников К. А. . История математики в двух томах. - М.: Изд-во МГУ, 1960-1963.
Рыбников К. А. . История математики. 2-е изд. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. - 455 с.

История и методология механики. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. - 282 с.

Фрейман Л. С. . Творцы высшей математики. - М.: Наука, 1968. - С. 142-185. - 216 с.

Эйлер Леонард (Euler Leonard) // Физики : Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. - Изд. 2-е, испр. и доп. - М. : Наука, 1983. - С. 307. - 400 с. - 200 000 экз. - ББК 22.3гя2. - УДК .

Эйлер, Леонард // Русский биографический словарь : в 25 томах. - СПб., 1912. - Т. 24: Щапов - Юшневский. - С. 189-193.

Труды Эйлера

# data[].attributes.attachment_link.title
Эйлер, Леонард

# data[].attributes.attachment_link.description
В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Эйлер. Леона́рд Э́йлер ( нем. Leonhard Euler; 15 апреля 1707, Базель, Швейцария - 7 () сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) - швейцарский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук).

# data[].attributes.location_name
Англия, Великобритания

# data[].attributes.headline
Исаак Ньютон (Англия)

# data[].attributes.subject
Исаак Ньютон (Англия)

# data[].attributes.body
Именно он в 1965 году обобщил формулу для произвольного показателя степени. Он распространил ее на любое действительное n, т. е. он показал, что формула верна и тогда, когда n является рациональным или иррациональным, положительным или отрицательным числом.

# data[].attributes.headline
Блез Паска́ль(Франция) 

# data[].attributes.subject
Блез Паска́ль(Франция) 

# data[].attributes.body
 Формулу бинома Ньютона описал Паскаль в XVII веке, поэтому долгое время считалось, что  изобрёл ее именно Блез Паскаль.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Блез Паска́ль ( фр. Blaise Pascal [blɛz pasˈkal]; 19 июня 1623, Клермон-Ферран, Франция - 19 августа 1662, Париж, Франция) - французский математик, механик, физик, литератор, философ и теолог. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Паскаль родился в городе Клермон-Ферран ( французская провинция Овернь) в семье председателя налогового управления Этьена Паскаля и Антуанетты Бегон, дочери сенешаля Оверни. У Паскалей было трое детей - Блез и две его сестры: младшая, Жаклин, и старшая, . Мать умерла, когда Блезу было 3 года. В 1631 году семья переехала в Париж.

Блез рос одарённым ребёнком. Его отец Этьен самостоятельно занимался образованием сына; Этьен и сам неплохо разбирался в математике - дружил с Мерсенном и Дезаргом, открыл и исследовал неизвестную ранее алгебраическую кривую, с тех пор получившую название " улитка Паскаля", входил в комиссию по определению долготы, созданную Ришельё.

Паскаль-отец придерживался принципа соответствия сложности предмета умственным способностям ребёнка. По его плану древние языки Блез должен был изучать с 12 лет, а математику с 15-16-летнего возраста. Метод обучения состоял в объяснении общих понятий и правил с последующим переходом к изучению отдельных вопросов. Так, знакомя восьмилетнего мальчика с законами грамматики, общими для всех языков, отец преследовал цель научить его мыслить рационально. В доме постоянно велись беседы по вопросам математики, и Блез просил познакомить его с этим предметом. Отец, опасавшийся, что математика помешает сыну изучать латинский и греческий языки, обещал в будущем познакомить его с этим предметом. Как-то раз на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, Этьен кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции, но запретил ему всякие исследования в этой области. Однако Блез, оставаясь один, принялся углём чертить на полу различные фигуры и изучать их. Не зная геометрических терминов, он называл линию "палочкой", а окружность "колечком". Когда отец случайно застал Блеза за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясён: мальчик, не знавший даже названий фигур, самостоятельно доказал 32-ю теорему Евклида о сумме углов треугольника. По совету своего друга Ле Пайера Этьен Паскаль отказался от своего первоначального плана обучения и разрешил сыну читать математические книги. В часы отдыха Блез изучал евклидову геометрию, позднее, с помощью отца, перешёл к работам Архимеда, Аполлония и Паппа, потом - Дезарга.

В 1634 году (Блезу было 11 лет), кто-то за обеденным столом зацепил ножом фаянсовое блюдо. Оно зазвучало. Мальчик обратил внимание, что стоило прикоснуться к блюду пальцем, как звук исчез. Чтобы найти этому объяснение, Паскаль провёл серию опытов, результаты которых позднее изложил в "Трактате о звуках ".

С 14 лет Паскаль участвовал в еженедельных семинарах Мерсенна, проводимых по четвергам. Здесь он познакомился с Дезаргом. Юный Паскаль был одним из немногих, кто изучал его труды, написанные сложным языком и насыщенные новоизобретёнными терминами. Он совершенствовал идеи, высказанные Дезаргом, обобщая и упрощая обоснования. В 1640 году выходит первое печатное произведение Паскаля - "Опыт о конических сечениях", результат исследования работ Дезарга. В это сочинение автор включил теоремы (доказательства не приводятся), три определения, три леммы и указал главы планируемого труда, посвящённого коническим сечениям. Третья лемма из "Опыта..." является теоремой Паскаля: если вершины шестиугольника лежат на некотором коническом сечении, то три точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны, лежат на одной прямой. Этот результат и 400 следствий из него Паскаль изложил в "Полном труде о конических сечениях", о завершении которого Паскаль сообщил пятнадцать лет спустя и который сейчас отнесли бы к проективной геометрии. "Полный труд..." так и не был опубликован: в 1675 году его прочёл в рукописи Лейбниц, рекомендовавший племяннику Паскаля Этьену Перье срочно напечатать его. Однако Перье не прислушался к мнению Лейбница, впоследствии рукопись была утеряна.

В январе 1640 года семья Паскаля переезжает в Руан. В эти годы здоровье Паскаля, и без того неважное, стало ухудшаться. Тем не менее он продолжал работать.

Отец Блеза по роду службы в Руане ( интендантом Нормандии) часто занимался утомительными расчётами, сын также помогал ему в распределении податей, пошлин и налогов. Столкнувшись с традиционными способами вычислений и находя их неудобными, Паскаль задумал создать вычислительное устройство, призванное помочь упростить расчёты. В 1642 году (в 19 лет) Паскаль начал создание своей суммирующей машины "паскалины", в этом, по его собственному признанию, ему помогли знания, полученные в ранние годы. Машина Паскаля выглядела как ящик, наполненный многочисленными связанными друг с другом шестерёнками. Складываемые либо вычитаемые числа вводились соответствующим поворотом колёс, принцип работы основывался на счёте оборотов. Так как успех в осуществлении замысла зависел от того, насколько точно ремесленники воспроизводили размеры и пропорции деталей машины, Паскаль сам присутствовал при изготовлении её составляющих. Вскоре машина Паскаля была подделана в Руане одним часовщиком, который не видел оригинала и построил копию, руководствуясь лишь рассказами о "счётном колесе". Несмотря на то, что поддельная машина была совершенно непригодна для выполнения математических операций, Паскаль, задетый этой историей, оставил работу над своим механизмом. Чтобы побудить его продолжить совершенствование машины, друзья привлекли к ней внимание канцлера Сегье. Тот, изучив проект, рекомендовал Паскалю не останавливаться на достигнутом. В 1645 году Паскаль преподнёс Сегье готовую модель машины. До 1652 года под его наблюдением было создано около 50 вариантов "паскалины". В 1649 году он получил королевскую привилегию на счётную машину: возбранялись как копирование модели Паскаля, так и создание без его разрешения любых других видов суммирующих машин; запрещалась их продажа иностранцами в пределах Франции. Сумма штрафа за нарушение запрета составляла три тысячи ливров и должна была быть разделена на три равные части: для поступления в казну, парижскую больницу и Паскалю, либо обладателю его прав. Учёный затратил много средств на создание машины, однако сложность её изготовления и высокая стоимость препятствовали коммерческой реализации проекта.

Изобретённый Паскалем принцип связанных колёс почти на три столетия стал основой создания большинства арифмометров.

В 1646 году семья Паскаля через врачей, лечивших Этьена, знакомится с янсенизмом. Блез, изучив трактат Янсения "О преобразовании внутреннего человека" с критикой стремления к "величию, знанию, удовольствию", испытывает сомнения: не являются ли его научные изыскания греховным и богопротивным занятием? Из всей семьи именно он проникается наиболее глубоко идеями янсенизма, переживая своё "первое обращение". Однако пока он не оставляет занятия наукой.

В конце 1646 года Паскаль, узнав от знакомого своего отца о торричеллиевой трубке, повторил опыт итальянского учёного. Затем он произвёл серию видоизменённых экспериментов, стремясь доказать, что пространство в трубке над ртутью не заполнено ни её парами, ни разреженным воздухом, ни некоей "тонкой материей". В 1647 году, уже находясь в Париже и несмотря на обострившуюся болезнь, Паскаль опубликовал результаты своих опытов в трактате "Новые опыты, касающиеся пустоты". В заключительной части своего труда Паскаль утверждал, что пространство в верхней части трубки "не заполнено никакими известными в природе веществами ... и можно считать это пространство действительно пустым, до тех пор, пока экспериментально не доказано существования там какого-либо вещества". Это было предварительное доказательство возможности пустоты и того, что гипотеза Аристотеля о "боязни пустоты" имеет пределы.

Впоследствии Паскаль сосредоточился на доказательстве того, что столбик ртути в стеклянной трубке удерживается давлением воздуха. По просьбе Паскаля его зять Флорен Перье провёл серию экспериментов у горы Пюи-де-Дом в Клермоне и описал результаты (разница в высоте столбика ртути на вершине и у подножия горы составила 3 дюйма 1 1/2 линии, около 8,5 см) в письме Блезу. В Париже на башне Сен-Жак опыты повторяет уже сам Паскаль, полностью подтвердив данные Перье. В честь этих открытий на башне был установлен памятник учёному. В "Рассказе о великом эксперименте равновесия жидкостей" (1648) Паскаль привёл свою переписку с зятем и следствия, вытекающие из этого опыта: теперь есть возможность "узнать, находятся ли два места на одном уровне, то есть одинаково ли они удалены от центра земли, или которое из них расположено выше, как бы ни были они далеки друг от друга".

Паскаль отмечал также, что все явления, приписываемые ранее "боязни пустоты" на самом деле следствия давления воздуха. Обобщая полученные результаты, Паскаль сделал вывод, что давление воздуха есть частный случай равновесия жидкостей и давления внутри них. Паскаль подтвердил предположение Торричелли о существовании атмосферного давления. Развивая результаты исследований Стевина и Галилея в области гидростатики в своём "Трактате о равновесии жидкостей" (1653, опубликован в 1663), Паскаль подошёл к установлению закона распределения давления в жидкостях. Во второй главе трактата он формирует идею гидравлического пресса: "сосуд, наполненный водою, является новым принципом механики и новой машиной для увеличения сил в желаемой степени, потому что с помощью этого средства человек сможет поднять любую предложенную ему тяжесть" и отмечает, что принцип его действия подчиняется тому же закону, что и принцип действия рычага, блока, бесконечного винта. Паскаль вошёл в историю науки, начав с простого повторения опыта Торричелли, он опроверг одну из основных аксиом старой физики и установил основной закон гидростатики.

В 1651 году отец, Этьен Паскаль, умер. Младшая сестра, Жаклин, ушла в монастырь Пор-Рояль. Блез, ранее поддерживавший сестру в её стремлении к монашеской жизни, боясь потерять друга и помощника, просил Жаклин не оставлять его. Однако она осталась непреклонна.

Привычная жизнь Паскаля закончилась. Ухудшается и состояние его здоровья: врачи предписывают уменьшить умственную нагрузку. Паскаль чаще бывает в обществе, завязывает светские отношения. Весной 1652 года в Малом Люксембургском дворце, у герцогини д'Эгийон демонстрировал свою арифметическую машину и ставил физические опыты, заслужив всеобщее восхищение. Машина Паскаля вызвала интерес у шведской королевы Кристины - по просьбе аббата Бурдело учёный преподнёс ей один экземпляр своего изобретения. В этот период Паскаль пережил возрождение интереса к исследованиям, стремления к славе, которые он подавлял в себе под влиянием учения янсенистов.

Самым близким из друзей-аристократов для учёного стал герцог де Роанне, увлекавшийся математикой. В доме герцога, где Паскаль подолгу жил, ему была отведена особая комната. Через Роанне Паскаль познакомился с богачом и страстным игроком Дамье Миттоном, эрудитом кавалером де Мере. Размышления, основанные на наблюдениях, сделанных Паскалем в светском обществе, позднее вошли в его "Мысли".

Кавалер де Мере, большой поклонник азартных игр, предложил Паскалю в 1654 году решить некоторые задачи, возникающие при определённых игровых условиях. Первая задача де Мере - о количестве бросков двух игральных костей, после которого вероятность выигрыша превышает вероятность проигрыша, - была решена им самим, Паскалем, Ферма и Робервалем. В ходе решения второй, гораздо более сложной задачи, в переписке Паскаля с Ферма, закладываются основы теории вероятностей. Учёные, решая задачу о распределении ставок между игроками при прерванной серии партий (ею занимался итальянский математик XV века Лука Пачоли), использовали каждый свой аналитический метод подсчёта вероятностей и пришли к одинаковому результату. Информация об изысканиях Паскаля и Ферма подтолкнула к занятию проблемами вероятности Гюйгенса, сформулировавшего в своём сочинении "О расчётах в азартных играх" (1657) определение математического ожидания. Паскаль создаёт "Трактат об арифметическом треугольнике" (издан в 1665 году), где исследует свойства " треугольника Паскаля" и его применение к подсчёту числа сочетаний, не прибегая к алгебраическим формулам. Одним из приложений к трактату была работа "О суммировании числовых степеней", где Паскаль предлагает метод подсчёта степеней чисел натурального ряда.

У Паскаля множество планов на будущее. В письме Парижской академии (1654) он сообщил, что готовит фундаментальный труд под названием "Математика случая".

В ночь с 23 на 24 ноября 1654 года, "от десяти с половиною часов вечера до половины первого ночи", Паскаль, по его словам, пережил мистическое озарение свыше. Придя в себя, он тут же переписал мысли, набросанные на черновике на кусочек пергамента, который был зашит им в подкладку своей одежды. С этой реликвией, тем, что его биографы назовут "Мемориалом" или "Амулетом Паскаля", он не расставался до самой смерти. Запись была обнаружена в доме его старшей сестры, когда вещи уже умершего Паскаля приводились в порядок.

Хотя Паскаль оставил потомкам немалое число текстов религиозного содержания, ни один из них не объясняет своего автора в такой степени, как это делает Мемориал. Впервые выраженное здесь Паскалем глубинное противоречие науки и веры, философии и теологии огненной чертой пройдёт через всю его судьбу.

Это событие коренным образом изменило его жизнь. Паскаль не рассказал о том, что произошло, даже сестре Жаклин, но попросил главу Пор-Рояля Антуана Сенглена стать его духовником, оборвал светские связи и принял решение покинуть Париж.

Сначала он живёт в замке Вомюрье у герцога де Люина, потом, в поисках уединения, переселяется в загородный Пор-Рояль. Он совершенно прекращает занятия наукой как греховные. Несмотря на суровый режим, которого придерживались отшельники Пор-Рояля, Паскаль чувствует значительное улучшение своего здоровья и переживает духовный подъём. Отныне он становится апологетом янсенизма и отдаёт все силы литературе, направив своё перо на защиту "вечных ценностей". Совершает паломничество по парижским церквям (он обошёл их все). Готовит для "малых школ" янсенистов учебник "Элементы геометрии" с приложениями "О математическом уме" и "Искусство убеждать".

Духовным лидером Пор-Рояля был один из самых образованных людей того времени - доктор Сорбонны Антуан Арно. По его просьбе Паскаль включается в полемику янсенистов с иезуитами и создаёт "Письма к провинциалу" - блестящий образец французской литературы, содержащий яростную критику ордена и пропаганду моральных ценностей, излагаемых в духе рационализма. Начав с обсуждения догматических расхождений между янсенистами и иезуитами, Паскаль перешёл к осуждению моральной теологии последних. Не допуская перехода на личности (большая часть отцов ордена вела безупречную жизнь), он порицал казуистику иезуитов, ведущую, по его мнению, к падению нравственности человека.

"Письма" были опубликованы в 1656-1657 годах под псевдонимом и вызвали немалый скандал. Паскаль рисковал попасть в Бастилию, ему пришлось некоторое время скрываться, он часто менял места своего пребывания и жил под чужим именем. Вольтер писал: "Делались попытки самыми различными способами показать иезуитов отвратительными; Паскаль сделал больше: он показал их смешными".

Отказавшись от систематических занятий наукой, Паскаль тем не менее изредка обсуждает математические вопросы с друзьями, но не собирается более заниматься научным творчеством. Единственным исключением стало фундаментальное исследование циклоиды (как рассказывали друзья, он занялся этой проблемой, чтобы отвлечься от зубной боли). За одну ночь Паскаль решает задачу Мерсенна о циклоиде и делает ряд открытий в её изучении. Сначала Паскаль не желал предавать полученные результаты гласности. Но его друг герцог де Роанне уговорил устроить конкурс на решение задач по определению площади и центра тяжести сегмента и объёмов и центров тяжести тел вращения циклоиды среди математиков Европы. В конкурсе участвовали многие прославленные учёные: Валлис, Гюйгенс, Рен и другие. Хотя не все участники решили поставленные задачи, в процессе работы над ними были сделаны важные открытия: Гюйгенс изобрёл циклоидальный маятник, а Рен определил длину циклоиды. Решения Паскаля жюри под председательством Каркави признало наилучшими, а использование им в работах метода бесконечно малых повлияло в дальнейшем на создание дифференциального и интегрального исчисления.

Ещё около 1652 года Паскаль задумал создать фундаментальный труд, одной из главных целей которого должна была стать критика атеизма и защита веры. Он постоянно размышлял над проблемами религии, его замысел менялся с течением времени, но приступить к работе над трудом, который задумывался им как основной труд жизни, мешали различные обстоятельства. Начиная с середины 1657 года Паскаль делает фрагментарные записи для труда на отдельных листах, классифицируя их по темам. Своими планами он поделился с отшельниками Пор-Рояля осенью 1658 года, на создание книги Паскаль отводил себе десять лет. Болезнь помешала ему: с начала 1659 года он делал только отрывочные записи, врачи запретили ему любые умственные нагрузки, но больной умудрялся записывать всё, что приходило ему в голову, буквально на любом подручном материале. Позднее он не смог даже диктовать и прекратил работу. После смерти Блеза друзья-янсенисты нашли целые пачки таких записок, перевязанных бечёвкой. Сохранилось около тысячи отрывков, различных по жанру, объёму и степени завершённости. Они были расшифрованы и изданы в 1670 г. книгой под названием " Мысли о религии и других предметах" ( фр. Pensées sur la religion et sur quelques autres sujets), затем книга называлась просто "Мысли" ( фр. Pensées). В основном первое издание было цензурировано и посвящено взаимоотношению Бога и человека, а также апологетике христианства в янсенистском понимании. "Мысли" вошли в классику французской литературы, а Паскаль стал единственным в новой истории великим литератором и великим математиком одновременно. Паскаль писал в своей последней книге:

Не только невозможно, но и бесполезно знать Бога без Иисуса Христа.

Есть только три разряда людей: одни обрели Бога и служат Ему; эти люди разумны и счастливы. Другие не нашли и не ищут Его; эти люди безумны и несчастны. Третьи не обрели, но ищут Его; эти люди разумны, но пока несчастны.

В этой же рукописи содержался диалог, так называемый "Фрагмент пари" или пари Паскаля, где автор заключает со своим собеседником, которого желает побудить жить в соответствии с христианской моралью, пари на существование Бога. Автор предлагает оценить вероятности выигрыша и проигрыша и утверждает, что вера при благоприятном исходе несёт бесконечное благо (в случае существования Бога выигрыш - бессмертие), в то время как при неблагоприятном исходе потери ничтожно малы (в случае отсутствия Бога проигрыш - затраты средств и времени на религиозные обряды).

С 1658 года здоровье Паскаля быстро ухудшается. Согласно современным данным, в течение всей жизни Паскаль страдал от комплекса заболеваний: злокачественной опухоли головного мозга, кишечного туберкулёза и ревматизма. Его одолевает физическая слабость, появляются ужасные головные боли. Гюйгенс, посетивший Паскаля в 1660 году, нашёл его глубоким стариком, несмотря на то, что в тот момент Паскалю было всего 37 лет. Паскаль понимает, что скоро умрёт, но не испытывает страха перед смертью, говоря сестре Жильберте, что смерть отнимает у человека "несчастную способность грешить". Не имея возможности ни читать, ни писать, ни размышлять, он занимается благотворительностью и изредка посещает старых друзей.

Осенью 1661 года Паскаль поделился с герцогом де Роанне идеей создания дешёвого и доступного всем способа передвижения в многоместных каретах. Герцог создал акционерное общество для реализации этого проекта и 18 марта 1662 года в Париже открылся первый маршрут общественного транспорта, названного впоследствии омнибусом.

В октябре 1661 года, в разгар нового витка преследования янсенистов, умирает сестра Жаклин. Это был тяжёлый удар для Паскаля.

В то же время власти потребовали от пор-рояльской общины безоговорочного подписания формуляра, осуждавшего пять положений учения Янсения. Среди янсенистов не было полного согласия. Группа, возглавляемая Арно и Николем, считала, что следует выработать оговорки к формуляру, удовлетворяющие все стороны, и подписать его. Паскаль примыкал к тем, кто предлагал более жёсткий вариант разъяснения к формуляру, указывающий на ошибочность решения папы. Долгие споры было решено прекратить общим голосованием, состоявшимся на квартире Паскаля. Большинство согласилось с мнением Арно. Потрясённый Паскаль отказывается от борьбы и практически прекращает общение с отшельниками Пор-Рояля.

19 августа 1662 года после мучительной продолжительной болезни Блез Паскаль скончался. Похоронен в приходской церкви Парижа Сен-Этьен-дю-Мон.

В честь Паскаля названы:

Тонкие умы удивляются Паскалю как писателю самому совершенному в величайший век французского языка... Каждая строка, вышедшая из-под его пера, почитается как драгоценный камень.

Я бы сделал Паскаля сенатором.

[Читал] чудного Паскаля... человека великого ума и великого сердца... не мог не умилиться до слёз, читая его и сознавая своё полное единение с этим умершим сотни лет тому назад человеком.

Какая глубина, какая ясность - какое величие!.. Какой свободный, сильный, дерзкий и могучий язык!

Валлис в 1655 г. и Паскаль в 1658 г. составили, каждый для своего употребления, языки алгебраического характера, в которых, не записывая ни единой формулы, они дают формулировки, которые можно немедленно, как только будет понят их механизм, записать в формулах интегрального исчисления. Язык Паскаля особенно ясен и точен; и если не всегда понятно, почему он отказался от применения алгебраических обозначений не только Декарта, но и Виета, всё же нельзя не восхищаться его мастерством, которое могло проявиться лишь на основе совершенного владения языком.

Первое полное собрание сочинений Паскаля было издано Боссю под заглавием: "Oeuvres de В. Pascal" (5 т., Гаага и П., 1779; 6 т., П., 1819); последнее издавалось в Париже в 1998-1999 гг.

Рассуждение о любовной страсти. На экземпляре рукописи, найденной В. Кузеном в библиотеке Сен-Жермен-де-Пре в 1843 году, значилось, что она приписывается Паскалю. Единого мнения насчёт его авторства у паскалеведов нет.

Трактат о равновесии жидкостей // Начала гидростатики (Архимед, Стевин, Галилей, Паскаль). - М. - Л., 1933.

Опыт о конических сечениях. Приложение: "Письмо Лейбница к Перье... племяннику г. Паскаля" // Историко-математические исследования. - М., 1961.

Паскаль Б. Мысли. - М.: "REFL-book", 1994. - 528 с. ISBN 5-87983-013-6

Паскаль Б. Мысли. пер.с французского Э.Линецкой / Послесловие и комментарий И. Е. Бабанов. - СПб.: Пальмира, 2017. - 431 с. - ISBN 978-5-521-00138-5.

Перье М., Перье Ж., Паскаль Б. Блез Паскаль. Мысли. Малые сочинения. Письма. - М.: АСТ, Пушкинская библиотека, 2003. - 536 с. - ISBN 5-17-019607-5, 5-94643-080-7.

Паскаль Б. Письма к провинциалу. - СПб., 1898.

О геометрическом уме и искусстве убеждать; Разговор с г. де Саси об Эпиктете и Монтене; Об обращении грешника. (Перевод Г. Я. Стрельцовой) // Приложение к кн.: Стрельцова Г. Я. Паскаль и европейская культура. М.: Республика. - С. 434-472.

Творцы математики. М.: Просвещение, 1979. Глава 5 - Паскаль Архивная копия от 10 ноября 2007 на Wayback Machine

Стрельцова Г. Я. Блез Паскаль. - М.: Мысль, 1979. - (Мыслители прошлого).

Стрельцова Г. Я. Паскаль и европейская культура. - М.: Республика, 1994. - 495 с. - 11 000 экз. - ISBN 5-250-02415-7.

Кляус Е. М., Погребысский И. Б., Франкфурт У. И. Паскаль. - М.: Наука, 1971. - 432 с.

Паскаль. - М.: Молодая гвардия, 1979. - 330 с. - (Жизнь замечательных людей).

Филиппов М. М. Паскаль, его жизнь и научно-философская деятельность. - Санкт-Петербург, 1891. - 78 с. - (Жизнь замечательных людей. Биографическая библиотека Ф. Павленкова).

Паскаль Блез (Pascal Blaise) // Физики : Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. - Изд. 2-е, испр. и доп. - М. : Наука, 1983. - С. 207. - 400 с. - 200 000 экз.

Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 2, § 15-19. М., 1883.

Дональд Адамсон. Blaise Pascal: Mathematician, Physicist and Thinker About God. - London, Macmillan, , 1995.

Альфред Реньи. Письма о вероятности: письма Паскаля к Ферма Архивная копия от 19 апреля 2015 на Wayback Machine / пер. с венг. Д. Сааса и А. Крамли под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Мир. 1970.

Смирнов Д. В. Паскаль Блез // Православная энциклопедия. - М., 2019. - Т. LIV : "Павел - Пасхальная хроника". - С. 671-682. - 752 с. - 39 000 экз. - ISBN 978-5-89572-061-5.

# data[].attributes.attachment_link.title
Паскаль, Блез - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Блез Паска́ль ( фр. Blaise Pascal [blɛz pasˈkal]; 19 июня 1623, Клермон-Ферран, Франция - 19 августа 1662, Париж, Франция) - французский математик, механик, физик, литератор, философ и теолог. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

# data[].attributes.headline
Пьер Ферма (Франция)

# data[].attributes.subject
Пьер Ферма (Франция)

# data[].attributes.body
Формула бинома Ньютона позволяет выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени, она была известна задолго до Ньютона многим ученым разных времен и стран, в том числе Ферма в XVII веке.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Пьер де Ферма́ ( фр. Pierre de Fermat, - ) - французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года - советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма, "самой знаменитой математической загадки всех времён".

Пьер Ферма родился года в гасконском городке Бомон-де-Ломань ( Beaumont-de-Lomagne, Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем-кожевником, вторым городским консулом. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери. Ферма получил юридическое образование - сначала в Тулузе (1620-1625), а затем в Бордо и Орлеане (1625-1631).

В 1631 году, успешно окончив обучение, Ферма выкупил должность королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе. В этом же году он женился на дальней родственнице матери, Луизе де Лонг. У них было пятеро детей.

Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности - частицы de; с этого времени он становится Пьером де Ферма.

Спокойная размеренная жизнь провинциального юриста оставляла Ферма время на самообразование и математические исследования. В 1636 году он написал трактат "Введение к теории плоских и пространственных мест", где независимо от " Геометрии" Декарта (вышедшей годом позже) изложил аналитическую геометрию. В 1637 году сформулировал свою " Великую теорему". В 1640 году обнародовал менее знаменитую, но гораздо более фундаментальную Малую теорему Ферма. Вёл активную переписку (через Марена Мерсенна) с крупными математиками того периода. С его переписки с Паскалем начинается формирование идей теории вероятностей.

В 1637 году начался конфликт Ферма и Декарта. Ферма уничтожающе отозвался о декартовой "Диоптрике", Декарт не остался в долгу, дал разгромный отзыв на работы Ферма по анализу и намекнул, что часть результатов Ферма являются плагиатом из декартовской " Геометрии". Метод Ферма для проведения касательных Декарт не понял (изложение в статье Ферма в самом деле было кратким и небрежным) и в качестве вызова предложил автору найти касательную к кривой, позднее названной " декартов лист". Ферма не замедлил дать два правильных решения - одно согласно статье Ферма, другое - основанное на идеях "Геометрии" Декарта, причём стало очевидным, что способ Ферма проще и удобнее. Посредником в споре выступил Жерар Дезарг - он признал, что метод Ферма универсален и правилен по существу, но изложен неясно и неполно. Декарт принёс извинения сопернику, но до конца жизни относился к Ферма недоброжелательно.

Около 1652 года Ферма пришлось опровергать сообщение о своей кончине во время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил, причём смерть множества коллег продвинула Ферма до поста высшего парламентского судьи. В 1654 году Ферма совершил единственное в своей жизни дальнее путешествие по Европе. В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого здоровья обоих учёных встреча не состоялась.

Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но позднее (1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма в тулузской церкви августинцев. В годы Французской революции останки Ферма затерялись.

Старший сын учёного, Клеман-Самуэль (также любитель математики), издал в 1670 году посмертное собрание трудов отца (несколько сотен писем и заметок), из которого научная общественность и узнала о замечательных открытиях Пьера Ферма. Дополнительно он опубликовал "Комментарии к Диофанту", сделанные отцом на полях перевода книги Диофанта; с этого момента начинается известность "Великой теоремы Ферма".

Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал неплохие стихи.

Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его обширной переписки (в основном через Мерсенна), изданной посмертно сыном учёного. Ферма приобрёл славу одного из первых математиков Франции, хотя и не писал книг (научных журналов ещё не было), ограничиваясь письмами к коллегам. Среди его корреспондентов были Рене Декарт, Блез Паскаль, Жерар Дезарг, Жиль Роберваль, Джон Валлис и другие. Единственной работой Ферма, опубликованной в печатном виде при его жизни, стал "Трактат о спрямлении" (1660), который вышел в свет как приложении к труду его земляка и друга Антуана де Лалувера и (по требованию Ферма) без указания имени автора.

В отличие от Декарта и Ньютона, Ферма был чистым математиком - первым великим математиком новой Европы. Независимо от Декарта он создал аналитическую геометрию. Раньше Ньютона умел использовать дифференциальные методы для проведения касательных, нахождения максимумов и вычисления площадей. Правда, Ферма, в отличие от Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон позже признавался, что именно работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа.

Главная же заслуга Пьера Ферма - создание теории чисел.

Математики Древней Греции со времён Пифагора собирали и доказывали разнообразные утверждения, относящиеся к натуральным числам (например, методы построения всех пифагоровых троек, метод построения совершенных чисел и т. п.). Диофант Александрийский (III век н. э.) в своей "Арифметике" рассматривал многочисленные задачи о решении в рациональных числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (ныне диофантовыми принято называть уравнения, которые требуется решить в целых числах). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI веке, а в 1621 году она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.

Ферма постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём письме, получившем название "Второго вызова математикам" (февраль 1657), он предложил найти общее правило решения уравнения Пелля в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a=149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером.

Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел - арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях "Арифметики".

Ферма обнаружил, что если a не делится на простое число p, то число всегда делится на p (см. Малая теорема Ферма). Позднее Эйлер дал доказательство и обобщение этого важного результата: см. Теорема Эйлера.

Обнаружив, что число простое при k ≤ 4, Ферма решил, что эти числа простые при всех k, но Эйлер впоследствии показал, что при k=5 имеется делитель 641. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Ферма.

Эйлер доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа вида 4 k+1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел, содержащих в своём разложении на простые множители простые числа вида 4 k+3 в нечётной степени, такое представление невозможно. Эйлеру это доказательство стоило 7 лет трудов; сам Ферма доказывал эту теорему косвенно, изобретённым им индуктивным " методом бесконечного спуска". Этот метод был опубликован только в 1879 году; впрочем, Эйлер восстановил суть метода по нескольким замечаниям в письмах Ферма и неоднократно успешно его применял. Позже усовершенствованную версию метода применяли Пуанкаре и Андре Вейль.

Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырёх квадратов ( теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов). Самое знаменитое его утверждение - " Великая теорема Ферма " (см. ниже).

Большой интерес вызывали у Ферма фигурные числа. В 1637 году он сформулировал так называемую "золотую теорему":

Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.

Многие остроумные методы, применяемые Ферма, остались неизвестными. Однажды Мерсенн попросил Ферма выяснить, является ли многозначное число 100 895 598 169 простым. Ферма не замедлил сообщить, что он не пояснил, как нашёл эти делители.

Арифметические открытия Ферма опередили время и были забыты на 70 лет, пока ими не заинтересовался Эйлер, опубликовавший систематическую теорию чисел. Одна из причин этого - интересы большинства математиков переключились на математический анализ; сказалось, вероятно, и то, что Ферма использовал устаревшую и громоздкую математическую символику Виета вместо гораздо более удобных обозначений Декарта.

Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраическим кривым. Именно эти работы подтолкнули Ньютона к созданию анализа. В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма, или необходимый признак экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю.

Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней. Он дал общий способ для проведения касательных к произвольной алгебраической кривой. В "Трактате о квадратурах" (1658) Ферма показал, как найти площадь под гиперболами различных степеней, распространив формулу интегрирования степени даже на случаи дробных и отрицательных показателей. В "Трактате о спрямлении" Ферма описал общий способ решения труднейшей задачи нахождения длины произвольной (алгебраической) кривой.

Наряду с Декартом, Ферма считается основателем аналитической геометрии. В работе "Введение к теории плоских и пространственных мест", ставшей известной в 1636 году, он первый провёл классификацию кривых в зависимости от порядка их уравнения, установил, что уравнение первого порядка определяет прямую, а уравнение второго порядка - коническое сечение. Развивая эти идеи, Ферма пошёл дальше Декарта и попытался применить аналитическую геометрию к пространству, но существенно не продвинулся в этой теме.

Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля ( 1654), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены в книге Гюйгенса "О расчётах в азартной игре" (1657), первом руководстве по теории вероятностей.

Имя Ферма носит основной вариационный принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). С этого тезиса начинается история главного закона физики - принципа наименьшего действия.

Ферма перенёс на трёхмерный случай (внутреннего касания сфер) алгоритм Виета для задачи Аполлония касания окружностей.

Ферма широко известен благодаря так называемой великой (или последней) теореме Ферма. Теорема была сформулирована им в 1637 году, на полях книги "Арифметика" Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях.

Вероятнее всего, его доказательство не было верным, так как позднее он опубликовал доказательство только для случая . Доказательство, разработанное в 1994 году Эндрю Уайлсом, содержит 129 страниц и опубликовано в журнале " Annals of Mathematics" в 1995 году.

Простота формулировки этой теоремы привлекла много математиков-любителей, так называемых ферматистов. Даже и после решения Уайлса во все академии наук идут письма с "доказательствами" великой теоремы Ферма.

В 1935 г. Международный астрономический союз присвоил имя Пьера Ферма кратеру на видимой стороне Луны.

Математическая премия Ферма вручается с 1989 года.

В Тулузе имя Ферма присвоено улице, а также старейшему и самому престижному лицею Тулузы (Lycée Pierre de Fermat).

В Бомон-де-Ломани, где родился Ферма, открыт его музей и установлен памятник учёному. В его честь названы улица и расположенный на этой улице отель.

В честь Ферма названы различные математические теоремы и понятия, в том числе:

Александр Казанцев написал научно-фантастический роман-гипотезу "Клокочущая пустота", Книга первая этого романа "Острее шпаги" посвящена описанию жизни и достижений Пьера Ферма.

В год 400-летия учёного (2001) почта Франции выпустила почтовую марку (0,69 евро) с его портретом и формулировкой Великой теоремы.

Ферма П. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М.: Наука, 1992. ISBN 5-02-014121-6. Переиздания: 2007, 2015.

Альварес Л. Ф. А. Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма // Наука. Величайшие теории. - М.: Де Агостини, 2015. - Вып. 18. - ISSN 2409-0069.

Башмакова И. Г. Диофант и Ферма (к истории метода касательных и экстремумов). Историко-математические исследования, 17, 1966, С. 185-207.

Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.

Творцы математики. - М.: Просвещение, 1979. - 256 с.

Ван дер Варден Б. Л. Переписка между Паскалем и Ферма по вопросам теории вероятностей. ИМИ, 21, 1976, С. 228-232.

Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. - М.: Наука, 1970. - Т. II.

// Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб., 1890-1907.

Фрейман Л. С. Ферма, Торричелли, Роберваль. В кн.: У истоков классической науки. М.: Наука, 1968, С. 173-254.

Ферма Пьер (Pierre de Fermat) // Физики : Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. - Изд. 2-е, испр. и доп. - М. : Наука, 1983. - С. 275. - 400 с. - 200 000 экз. - ББК 22.3гя2. - УДК .

Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 2, § 10-14. М., 1883.

# data[].attributes.attachment_link.description
Пьер де Ферма́ ( фр. Pierre de Fermat, - ) - французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года - советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма, "самой знаменитой математической загадки всех времён".

# data[].attributes.headline
Никколо Тарталья (Италия)

# data[].attributes.subject
Никколо Тарталья (Италия)

# data[].attributes.body
В истории формулы бинома Ньютона упоминается итальянский ученый Тарталья(XVI век).

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
У этого термина существуют и другие значения, см. Тарталья.

Никко́ло Тарта́лья ( итал. Niccolò Tartaglia, 1499-1557) - итальянский математик-самоучка, инженер фортификационных сооружений.

Родился в городе Брешиа. Настоящая фамилия - Фонтана (Fontana). Точная дата рождения неизвестна, в некоторых источниках указывается 1500 и 1501 годы

Отца своего, конного почтальона, он звал по имени Микелетто (Micheletto). В 1506 году отец умер.

В 1512 году (по другим сведениям около 1500), во время взятия Брешии французами, когда он с матерью спасался в соборе, он получил рану в нижнюю часть лица (или язык), вследствие которой стал косноязычным. Поэтому товарищи прозвали его "заикой" (tartaglia) и прозвище это сделалось его фамилией.

В возрасте 14 лет он был отдан в обучение публичному писцу, но так как мать его не могла аккуратно платить учителю, то Тарталья вынужден был оставить обучение в самом начале. Обладая большой настойчивостью и терпением, он научился читать сам. Пристрастившись к математике и самостоятельно овладев ей, он сдал квалификационный экзамен и стал сам преподавать другим, а впоследствии стал известным математиком своего времени. Преподавал в университетах Вероны, Брешии и Венеции.

В 1534 году Тарталья получил вызов на состязание учёных от ученика профессора из Болоньи Сципиона дель Ферро - Антонио Фиоре. Готовясь к поединку, Тарталья за несколько дней нашёл способ решения уравнения третьей степени. Решив за два часа все предложенные ему задачи он убедительно выиграл соревнование.

После конфликта с Кардано и проигрыша поединка его ученику Феррари (1548), авторитет Тартальи сильно уменьшился. Последние годы он занимался переводами Архимеда и Евклида на итальянский язык.

Учеником Тартальи был другой выдающийся учёный эпохи Возрождения - Джамбатиста Бенедетти.

В оставленных Тартальей сочинениях он рассматривает не только вопросы математики, но и некоторые вопросы практической механики, баллистики и топографии. Так, в первом из его сочинений, "Nuova scienza" (1537), он впервые рассматривает вопрос о траектории выпущенного снаряда, причём утверждает, что траектория эта на всём её протяжении есть кривая линия, между тем как до него учили, что траектория снаряда состоит из двух прямых, соединённых кривой линией; тут же он показывает, что наибольшая дальность полёта соответствует углу в 45°; кроме того, в этой книге рассматриваются различные вопросы об измерении поверхности полей.

Вместе с вопросами артиллерии Тарталья занимался также и вопросами укрепления городов и фортификацией вообще и в сочинении "Quesiti et invenzioni diverse" (1546) он предлагает даже особую систему фронта, по начертанию схожего с тенальным; он трактует также о топографической съёмке с помощью буссоли и излагает историю открытия им решения кубических уравнений. В сочинениях "La travagliata invenzione" и "Ragionamenti sopra la Travagliata invenzione" (оба 1551 года) говорится о разных изобретениях автора, которые он приписывает себе, но все они уже изложены в 1550 г. в книге Кардано "De subtilitate" и принадлежат последнему.

Наиболее обширное сочинение автора называется "Generale trattato de numeri e misure" (1556-1560); в нём подробно рассматриваются многие вопросы арифметики, алгебры и геометрии.

По словам Тартальи, он самостоятельно открыл общий алгоритм решения кубических уравнений, несколько ранее найденный Сципионом дель Ферро. В 1539 году Тарталья передал описание этого метода Дж. Кардано, который поклялся не публиковать его без разрешения Тартальи. Несмотря на обещание, в 1545 году Кардано опубликовал этот алгоритм в работе "Великое искусство", и по этой причине он вошёл в историю математики как " формула Кардано ".

Вопрос о том, действительно ли Тарталья независимо открыл метод дель Ферро, неоднократно обсуждался. Высказывалось предположение, что на самом деле Тарталья каким-то образом получил доступ к записям дель Ферро. В качестве косвенных доказательств этой гипотезы историки ссылались на то, что других серьёзных математических достижений у Тартальи не было. Однако прямых свидетельств в пользу указанного предположения найти не удалось.

Этот человек по натуре своей был так склонен говорить только дурное, что, даже хуля кого-нибудь, считал, что дает ему лестный отзыв

- Бомбелли (цит. по книге С. Г. Гиндикин Рассказы о физиках и математиках. М. Наука, 1981)

Том 1. С древнейших времен до начала Нового времени. (1970).

# data[].attributes.attachment_link.title
Тарталья, Никколо

# data[].attributes.attachment_link.description
У этого термина существуют и другие значения, см. Тарталья. Никко́ло Тарта́лья ( итал. Niccolò Tartaglia, 1499-1557) - итальянский математик-самоучка, инженер фортификационных сооружений. Родился в городе Брешиа. Настоящая фамилия - Фонтана (Fontana). Точная дата рождения неизвестна, в некоторых источниках указывается 1500 и 1501 годы Отца своего, конного почтальона, он звал по имени Микелетто (Micheletto).

# data[].attributes.headline
Михаэль Штифель (Германия)

# data[].attributes.subject
Михаэль Штифель (Германия)

# data[].attributes.body
В середине XVII века Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Штифель.

Михаэль Штифель ( нем. Michael Stifel, около 1487, Эсслинген-на-Неккаре - 19 апреля 1567, Йена) - немецкий математик, один из изобретателей логарифмов, активный деятель протестантской Реформации.

Штифель вырос в богатой семье. Он учился в Виттенбергском университете, где получил звание магистра. В 1511 году Штифель постригся в монахи, проживал в августинском Эсслингенском монастыре. Вскоре началась Реформация, и Штифель стал на сторону Лютера. Его поэма Von der christfermigen rechtgegründeten leer Doctoris Martini Lutheri ( 1522) вызвала скандал, и Штифель вынужден был бежать во Франкфурт-на-Майне. Лютер помог ему устроиться пастором.

В этот период Штифель занялся нумерологическим исследованием Библии, пытаясь найти в ней скрытый числовой смысл. В его книге "О конце света" он заявил, что имя незадолго до того скончавшегося римского Папы Льва X ( LEO DECIMVS) совпадает с Числом Зверя, и поэтому конец света настанет 19 октября 1533 года в 8 часов утра. Когда его предсказание не сбылось, его арестовали и заключили на 4 недели в тюрьму. В дальнейшем он не пытался делать какие-либо предсказания.

С 1535 по 1547 год Штифель был протестантским пастором в Хольцдорфе. К этому периоду относятся его главные труды в области математики. Затем началась Шмалькальденская война, и Штифелю вновь пришлось бежать (в Кёнигсберг). В 1559 году он переехал в Йену, где стал первым профессором математики в университете города.

Штифель оставил заметный след в развитии алгебры. В его главном труде Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) он дал содержательную теорию отрицательных чисел, возведения в степень, различных прогрессий и других последовательностей. Штифель впервые использовал понятия "корень" и "показатель степени" ( лат. exponens), причём подробно анализировал и целые, и дробные показатели. Опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов и составил их таблицы до 18-й степени. Штифель переработал (фактически написал заново) книгу алгебраиста ( коссиста) Кристофа Рудольфа, и использованные там современные обозначения арифметических операций с этого момента укоренились в математике ( 1553).

В этой же книге он впервые высказал идею, которая позже легла в основу теории логарифмов, и поэтому считается одним из их изобретателей: сопоставить геометрическую и арифметическую прогрессии, благодаря чему трудоёмкое умножение на второй шкале можно заменить простым сложением на первой. Штифель, однако, не опубликовал никаких расчётных таблиц для реализации своей идеи, и слава первооткрывателя логарифмов досталась Неперу.

Ein Rechen Büchlein - Виттенберг, 1532.

Arithmetica integra - Нюрнберг, 1544.

Deutsche Aritmetica - Нюрнберг, 1545.

Rechenbuch von der welschen und deutschen Practick - Нюрнберг, 1546.

Die Coss Christoffs Rudolffs - Кёнигсберг, 1553.

# data[].attributes.attachment_link.title
Штифель, Михаэль

# data[].attributes.attachment_link.description
В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Штифель. Михаэль Штифель ( нем. Michael Stifel, около 1487, Эсслинген-на-Неккаре - 19 апреля 1567, Йена) - немецкий математик, один из изобретателей логарифмов, активный деятель протестантской Реформации. Штифель вырос в богатой семье. Он учился в Виттенбергском университете, где получил звание магистра.

# data[].attributes.headline
Аль-Каши (Персия)

# data[].attributes.subject
Аль-Каши (Персия)

# data[].attributes.body
Также формула была известна персидскому математику, жившему в XV веке.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Гияс-ад-дин Джамшид ибн Масуд аль-Каши ( перс. غیاث‌الدین جمشید کاشانی‎, англ. Ghiyāth al-Dīn Jamshīd ibn Mas'ūd al-Kāshī; 1380, Кашан (Иран) - 22 июня 1429, Самарканд) - персидский учёный, один из видных математиков и астрономов XV века, сотрудник Улугбека, один из руководителей Самаркандской обсерватории.

Родился в городе Кашан в северном Иране, учился в медресе. Молодой учёный на средства тимурида Улугбека был приглашён для ведения исследований в Самарканд, где стал одним из членов научного центра, созданного Улугбеком.

Составленный ал-Каши "Хаканский зидж" (1414) является переработкой "Ильханского зиджа" Насир ад-Дина ат-Туси. В трактате "Лестница небес" (1407) ал-Каши обсуждает расстояния до Луны и Солнца, их объёмы, расстояния до планет и до сферы неподвижных звёзд. В трактате "Объяснение наблюдательных инструментов" ( 1416) описываются инструменты, используемые в наблюдательной астрономии. В трактате "Услада садов" описывается построенное ал-Каши устройство, с помощью которого можно определять широты и долготы светил, их расстояние до Земли и т. д. Известны также "Трактат об астрономии" и "Трактат о решении предложений о Меркурии".

Опубликовал первое систематическое изложение теории десятичных дробей.

В трактате "Ключ арифметики" ал-Каши описывает шестидесятеричную систему счисления. (В астрономических трактатах древних греков в шестидесятеричной системе записывалась только дробная часть числа, а целая часть записывалась в традиционной буквенной ионической системе. Ал-Каши предложил записывать в шестидесятеричной системе и целую часть тоже. Тем самым он фактически вернулся к той форме записи, которая была в ходу у древних вавилонян; но он сам вряд ли об этом знал.) В этом же трактате ал-Каши вводит десятичные дроби, формулирует основные правила действия с ними и приводит способы перевода шестидесятеричных дробей в десятичные и обратно.

В "Трактате об окружности" ал-Каши вычисляет длину окружности по рецепту Архимеда - как среднее арифметическое между периметрами вписанного и описанного правильных многоугольников с числом сторон 3 · 2 ²⁸. Это дало ему для 2π приближение 6,2831853071795865. Это значение, верное во всех 16 десятичных знаках, было получено из вычисленного им ранее в шестидесятеричной системе значения с 9 знаками. Этим он поставил рекорд, продержавшийся до 1596 г., когда Людольф ван Цейлен вычислил число π с 35 десятичными знаками. Кроме того, наверняка можно сказать, что эта работа ал-Каши была первым исторически зафиксированным примером переведения дроби из одной системы счисления в другую.

В не дошедшей до нас "Книге о хорде и синусе" (мы знаем о ней из сочинений Кази-заде ар-Руми и ряда других авторов) ал-Каши предложил итерационный приём решения уравнения трисекции угла. Уравнение трисекции можно записать в виде . Ал-Каши представляет его в виде . В качестве первого приближения он берёт , в качестве второго , в качестве третьего , и т. д. Этот процесс сходится очень быстро; с его помощью ал-Каши вычислил значение sin 1° = 0,017452406437283571, где все 19 цифр верны.

Математические трактаты Джемшида Гиясэддина Каши // Историко-математические исследования. - М.: ГИТТЛ, 1954. - № 7. - С. 11-452.

Ключ к арифметике. Комментарии.

Трактат об окружности. Комментарии.

Ал-Каши Джемшид Гияс ад-Дин. Трактат об астрономических инструментах. Пер. В. А. Шишкина. Труды института истории и археологии. Ташкент, т. 5, 1953, с. 91-94.

Ал-Каши Джемшид Гияс ад-Дин. Ключ арифметики. Трактат об окружности. М.: Гостехиздат, 1956.

Ал-Каши Джемшид Гияс ад-Дин. Письмо к своему отцу из Самарканда в Кашан. Пер. Д. Ю. Юсуповой. В кн.: Из истории науки эпохи Улугбека. Ташкент: Фан, 1979, с. 45-59.

Kennedy E. S. A fifteenth-century planetary computer: al-Kashi's "Tabaq al-Manateq". I. Motion of the Sun and Moon in longitude. Isis, 41, 1950, 180-183. II: Longitudes, distances, and equations of the planets. Isis, 43, 1952, p. 42-50.

# data[].attributes.attachment_link.description
Гияс-ад-дин Джамшид ибн Масуд аль-Каши ( перс. غیاث‌الدین جمشید کاشانی‎, англ. Ghiyāth al-Dīn Jamshīd ibn Mas'ūd al-Kāshī; 1380, Кашан (Иран) - 22 июня 1429, Самарканд) - персидский учёный, один из видных математиков и астрономов XV века, сотрудник Улугбека, один из руководителей Самаркандской обсерватории. Родился в городе Кашан в северном Иране, учился в медресе.

# data[].attributes.headline
Ян Хуэй (Китай)

# data[].attributes.subject
Ян Хуэй (Китай)

# data[].attributes.body
Историки науки узнали, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, который жил в XIII веке.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
В этом китайском имени фамилия ( Ян) стоит перед личным именем.

Ян Хуэ́й ( кит. трад. 楊輝, упр. 杨辉, пиньинь Yáng Huī, 1238 -1298) - китайский математик из группы выдающихся сунских алгебраистов XIII-XIV ст., педагог-методолог.

Родился в 1238 году в уезде Цяньтан Линьаньской управа (современный Ханчжоу провинции Чжэцзян). Учился у некоего Лю И. О его жизни мало сведений. Занимался десятичными дробями, магическими квадратами, рядами, арифметической прогрессией, системами уравнений и "правилом смесей".

Сформулировал аналог доказательства теоремы Эвклида о параллелограммах и впервые использовал циклические знаки (ганьчи) как алгебраические обозначения неизвестных в линейных системах. Критиковал математиков, которые "меняют названия своих методов от задачи к задаче".

В 1261 году написал "Сянцзе цзючжан суаньфа" ("Подробное разъяснение методов исчисления в девяти разделах") в 12 цзяней с приложением „Цзючжан суань фацзуань лэй" („Методы счисления в девяти разделах в последовательной классификации"). Каждая задача рассмотрена в трех аспектах: ее логики, числового решения, применения представленного метода для решения других подобных задач.

В 1275 году написал трактат "Тяньму би лэй чэнчу цзефа" ("Эффективные методы умножения и деления при сравнении и классификации полей и пахоты") 2 цзяна, посвященный нахождению площадей (фан тянь), извлечению квадратных корней (кай фан) и матричным решениям линейных уравнений (фан чэн). Другая работа - "Сюйгу чжайци суаньфа" ("Наследственная давняя коллекция редких методов счисления") - ценное собрание необычных и забытых математических текстов древних ученых, содержит, в частности, 13 видов магических квадратов от 3х3 до 10х10, впервые названных сроком цзунхенту ("продольно-поперечное изображение"). Этот уникальный в истории мировой математики набор, кроме известного с древности квадрата Ло Шу, включает по два квадрата 4-8-го порядков и по одному 9-10-го. Три трактаты 1274-1275 позже объединились в "Ян Хуэй суаньфа" ("Методы исчисления Ян Хуэя").

Lam Lay Yong. A Critical Study of the Yang Hui Suan Fa, 13th Century Chinese Mathematish Treatise. Singapore, 1977.

Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd.

Li, Jimin, "Yang Hui". Encyclopedia of China (Mathematics Edition), 1st ed.

John J. O'Connor, Edmund F. Robertson: Yang Hui. In: MacTutor History of Mathematics archive

# data[].attributes.attachment_link.description
В этом китайском имени фамилия ( Ян) стоит перед личным именем. Ян Хуэ́й ( кит. трад. 楊輝, упр. 杨辉, пиньинь Yáng Huī, 1238 -1298) - китайский математик из группы выдающихся сунских алгебраистов XIII-XIV ст., педагог-методолог. Родился в 1238 году в уезде Цяньтан Линьаньской управа (современный Ханчжоу провинции Чжэцзян).

# data[].attributes.headline
Шарафуддин ат-Туси (Персия)

# data[].attributes.subject
Шарафуддин ат-Туси (Персия)

# data[].attributes.body
Формула была известна ещё персидскому математику ат-Туси, жившему в XIII век. Он располагал таблицей биномиальных коэффициентов. Ат-Тутси привёл общее правило для их получения.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Шарафуддин аль-Музаффар ибн Мухаммад ат-Туси ( 1135- 1213) - персидский математик и астроном. Родился в Тусе, работал в Хамадане. Учитель Камал ад-Дина ибн Юниса.

Написал "Трактат об алгебре и мукабалле", в котором в том числе изложил способ приближённого решения кубических уравнений, близкий к способам Виета и Ньютона, и в то же время являющийся обобщением способа извлечения кубических корней, применявшегося Кушьяром ибн Лаббаном и ан-Насави. Здесь также проводится исследование существования действительных положительных корней, как геометрическое, близкое к исследованию Омара Хайяма, так и чисто алгебраическое.

В "Ответе на вопрос эмира эмиров Шамс ад-Дина" решается задача о разделении квадрата на четыре части, внутренняя из которых является параллелограммом, а остальные трапециями, причём их площади имеют между собой данные отношения.

В "Трактате о двух линиях, которые приближаются, но не встречаются" исследуются свойства равносторонней гиперболы по отношению к её асимптотам.

Шараф ад-Дин ат-Туси написал также "Трактат об астролябии", "Трактат о линейной астролябии", "Трактат о небесных следах".

Матвиевская Г. П., Розенфельд Б. А. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII-XVII вв.). В 3 т. М.: Наука, 1983.

Таги-Заде А. К., Вахабов С. А. Астролябии средневекового Востока. Историко-астрономические исследования, 12, 1975, с. 169-225.

Hogendijk J. P. Sharaf al-Din al-Tusi on the number of positive roots of cubic equations. Historia Mathematica, 16, 1989, p. 69-85.

Rashed R. Resolution des equations numeriques et l'algebre, Sharaf-Al-din al-Tusi, Viete. Archive for History of Exact Sciences, 12, 1972, p. 244-290.

Goretti M., The linear astrolabe of al-Tusi.

# data[].attributes.attachment_link.title
Шарафуддин ат-Туси

# data[].attributes.attachment_link.description
Шарафуддин аль-Музаффар ибн Мухаммад ат-Туси ( 1135- 1213) - персидский математик и астроном. Родился в Тусе, работал в Хамадане. Учитель Камал ад-Дина ибн Юниса. Написал "Трактат об алгебре и мукабалле", в котором в том числе изложил способ приближённого решения кубических уравнений, близкий к способам Виета и Ньютона, и в то же время являющийся обобщением способа извлечения кубических корней, применявшегося Кушьяром ибн Лаббаном и ан-Насави.

# data[].attributes.headline
Чжу Шицзе (Китай), живший в XIII веке. В его работе  "Введение в учение о счете" было представлено биноминальные разложения малых степеней.

# data[].attributes.subject
Чжу Шицзе (Китай), живший в XIII веке. В его работе  "Введение в учение о счете" было представлено биноминальные разложения малых степеней.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Чжу Шицзе ( кит. 朱世杰, пиньинь Zhū Shìjié), псевдоним Сунтин ( кит. 松庭, пиньинь Sōngtíng) ( 1249- 1314) - один из крупнейших математиков Китая XIII - начала XIV века. Автор трактатов "Введение в учение о счёте" ("算学启蒙") и "Яшмовое зеркало четырёх первоэлементов" ("四元玉鉴"). В 1279 году с падением династии Сун Чжу Шицзе отправился на юг. Много путешествовал. Позднее успешно преподавал. Трактат "Введение в учение о счете" ("Суань сюэ ци мэн") состоит из 259 задач в 20 разделах. В Японии и Корее трактат использовался как учебник по математике. В. К. Жаров, исследователь трактата и переводчик фрагментов сочинения на русский язык, предлагает переводить название трактата на русский язык как "Разъяснение темных мест в математике".

Чжу Шицзе "Разъяснение темных мест в математике" / Русский пер. фрагментов и коммент. В.К. Жарова // Математика и практика; Математика и культура. М., 2000, с. 193-196.

Березкина Э. И. Математика древнего Китая. М.: Наука, 1980. По именному указателю.

Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 т. Т. 5. Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование / ред. М. Л. Титаренко и др. М., 2009. С. 949-950.

Жаров В. К. Развитие методов преподавания традиционной китайской математики: Опыт исследования информационно-педагогических сред. - М.: Янус-К, 2002. - 160 с.

Жаров В. К. О "введении" к трактату Чжу Шицзе "Суань сюе ци мэн" // Историко-математические исследования. Вторая серия. Выпуск 6(41). М., 2001. С. 347-353. ISBN 5-8037-0074-6

Lam Lay-yong Chu shih-chieh's Suan hsüeh ch'i-meng (Introduction to mathematics studies) // Archive for the history of sciences, Vol 21, Berlin, 1970.P. 1-31.

Hoe, J. The jade mirror of the four unknowns, Mingming Bookroom, New Zealand, 2007. ISBN 1-877209-14-7

Konat, E.L. The Precious Mirror of the Four Elements, China journal of Science and Arts, Vol 2, No 4, 1924.

Vanhée L., " Le précieux miroir des quatre éléments ", Asia Major, vol. 7, 1932.

# data[].attributes.attachment_link.description
Чжу Шицзе ( кит. 朱世杰, пиньинь Zhū Shìjié), псевдоним Сунтин ( кит. 松庭, пиньинь Sōngtíng) ( 1249- 1314) - один из крупнейших математиков Китая XIII - начала XIV века. Автор трактатов "Введение в учение о счёте" ("算学启蒙") и "Яшмовое зеркало четырёх первоэлементов" ("四元玉鉴"). В 1279 году с падением династии Сун Чжу Шицзе отправился на юг.

# data[].attributes.headline
Омар Хайям (Персия), живший в XI веке, Первый математический трактат Омара Хайяма «Трудности арифметики» пока не обнаружен. Он занимался общем приемом извлечения корня любой степени с натуральным показателем «методом индийцев», т.е. с помощью правил (а+b)2 и (a+b)3.

# data[].attributes.subject
Омар Хайям (Персия), живший в XI веке, Первый математический трактат Омара Хайяма «Трудности арифметики» пока не обнаружен. Он занимался общем приемом извлечения корня любой степени с натуральным показателем «методом индийцев», т.е. с помощью правил (а+b)2 и (a+b)3.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Гийяс-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн-Эбрахи́м Хайя́м Нишапури́ ( перс. غیاث الدین ابوالفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابورﻯ‎), Ома́р Хайя́м (عمر خیام); , Нишапур - , там же) - персидский философ, математик, астроном и поэт.

Внёс вклад в алгебру построением классификации кубических уравнений и их решением с помощью конических сечений. Известен во всём мире как философ и выдающийся поэт, автор цикла философских рубаи. Омар Хайям также известен созданием самого точного из ныне используемых календарей. Учениками Хайяма были такие учёные, как Музаффар аль-Асфизари и Абдуррахман аль-Хазини.

Гийяс-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн-Ибрахим Хайя́м Нишапури́

غیاث ‌الدین Гийяс-ад-Дин - хитаб, "помощь религии".

بن ابراهیم ибн-Эбрахим - насаб, "сын Эбрахима".

خیام Хайям - тахаллус, "палаточный мастер" (предположительно, указание на ремесло отца; от слова "хайма" - палатка, от этого же слова предположительно происходит старорусское "хамовник" - текстильщик).

Родился в городе Нишапур, который находится в Хорасане (ныне иранская провинция Хорасан-Резави). Омар был сыном палаточника, также у него была младшая сестра по имени Аиша. В 8 лет начал глубоко заниматься математикой, астрономией, философией. В 12 лет Омар стал учеником Нишапурского медресе. Позднее обучался в медресе Балха, Самарканда и Бухары. Там он с отличием окончил курс по мусульманскому праву и медицине, получив квалификацию хаки́ма, то есть врача. Но медицинская практика его мало интересовала. Изучал сочинения известного математика и астронома Сабита ибн Курры, труды греческих математиков.

Детство Хайяма пришлось на жестокий период сельджукского завоевания Центральной Азии. Погибло множество людей, в том числе значительная часть учёных. Позже в предисловии к своей "Алгебре" Хайям напишет горькие слова:

Мы были свидетелями гибели учёных, от которых осталась небольшая многострадальная кучка людей. Суровость судьбы в эти времена препятствует им всецело отдаться совершенствованию и углублению своей науки. Большая часть тех, которые в настоящее время имеют вид учёных, одевают истину ложью, не выходя в науке за пределы подделки и лицемерия. И если они встречают человека, отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его предметом своего презрения и насмешек.

В возрасте шестнадцати лет Хайям пережил первую в своей жизни утрату: во время эпидемии умер его отец, а потом и мать. Омар продал отцовский дом и мастерскую и отправился в Самарканд. В то время это был признанный на Востоке научный и культурный центр. В Самарканде Хайям становится вначале учеником одного из медресе, но после нескольких выступлений на диспутах он настолько поразил всех своей учёностью, что его сразу же сделали наставником.

Как и другие крупные учёные того времени, Омар не задерживался подолгу в каком-то городе. Всего через четыре года он покинул Самарканд и переехал в Бухару, где начал работать в хранилищах книг. За десять лет, что учёный прожил в Бухаре, он написал четыре фундаментальных трактата по математике.

В 1074 году его пригласили в Исфахан, центр государства Санджаров, ко двору сельджукского султана Мелик-шаха I. По инициативе и при покровительстве главного шахского визиря Низам аль-Мулька Омар становится духовным наставником султана. Через два года Мелик-шах назначил его руководителем дворцовой обсерватории, одной из крупнейших в мире. Работая на этой должности, Омар Хайям не только продолжал занятия математикой, но и стал известным астрономом. С группой учёных он разработал солнечный календарь, более точный, чем григорианский. Составил "Маликшахские астрономические таблицы", включавшие небольшой звёздный каталог. Здесь же написал "Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида" (1077 г.) из трёх книг; во второй и третьей книгах исследовал теорию отношений и учение о числе. Однако в 1092 году, со смертью покровительствовавшего ему султана Мелик-шаха и визиря Низам ал-Мулька, исфаханский период его жизни заканчивается. Обвинённый в безбожном вольнодумстве, поэт вынужден покинуть сельджукскую столицу.

О последних часах жизни Хайяма известно со слов его младшего современника - Бейхаки, ссылающегося на слова зятя поэта.

Однажды во время чтения "Книги об исцелении" Абу Али ибн Сины Хайям почувствовал приближение смерти (а было тогда ему уже за восемьдесят). Остановился он в чтении на разделе, посвященном труднейшему метафизическому вопросу и озаглавленному "Единое во множественном", заложил между листов золотую зубочистку, которую держал в руке, и закрыл фолиант. Затем он позвал своих близких и учеников, составил завещание и после этого уже не принимал ни пищи, ни питья. Исполнив молитву на сон грядущий, он положил земной поклон и, стоя на коленях, произнёс: "Боже! По мере своих сил я старался познать Тебя. Прости меня! Поскольку я познал Тебя, постольку я к Тебе приблизился". С этими словами на устах Хайям и умер.

Хайяму принадлежит "Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы", в котором даётся классификация уравнений и излагается решение уравнений 1-й, 2-й и 3-й степени. В первых главах трактата Хайям излагает алгебраический метод решения квадратных уравнений, описанный ещё ал-Хорезми. В следующих главах он развивает геометрический метод решения кубических уравнений, восходящий к Архимеду: корни данных уравнений в этом методе определялись как общие точки пересечения двух подходящих конических сечений. Хайям привёл обоснование этого метода, классификацию типов уравнений, алгоритм выбора типа конического сечения, оценку числа (положительных) корней и их величины. Хайям не заметил, что кубическое уравнение может иметь три положительных действительных корня. До явных алгебраических формул Кардано Хайяму дойти не удалось, но он высказал надежду, что явное решение будет найдено в будущем.

Во введении к данному трактату Омар Хайям даёт первое дошедшее до нас определение алгебры как науки, утверждая: алгебра - это наука об определении неизвестных величин, состоящих в некоторых отношениях с величинами известными, причём такое определение осуществляется с помощью составления и решения уравнений.

В 1077 г. Хайям закончил работу над важным математическим трудом - "Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида". Трактат состоял из трёх книг; первая содержала оригинальную теорию параллельных прямых, вторая и третья посвящены усовершенствованию теории отношений и пропорций. В первой книге Хайям пытается доказать V постулат Евклида и заменяет его более простым и очевидным эквивалентом: Две сходящиеся прямые должны пересечься; по сути, в ходе этих попыток Омар Хайям доказал первые теоремы геометрий Лобачевского и Римана.

Далее Хайям рассматривает в своём трактате иррациональные числа как вполне законные, определяя равенство двух отношений как последовательное равенство всех подходящих частных в алгоритме Евклида. Евклидову теорию пропорций он заменил численной теорией.

При этом в третьей книге "Комментариев", посвящённой составлению (то есть умножению) отношений, Хайям по-новому трактует связь понятий отношения и числа. Рассматривая отношение двух непрерывных геометрических величин A и B, он рассуждает так: "Выберем единицу и сделаем её отношение к величине G равным отношению A к B, и будем смотреть на величину G как на линию, поверхность, тело или время; но будем смотреть на неё как на величину, отвлечённую разумом от всего этого и принадлежащую к числам, но не к числам абсолютным и настоящим, так как отношение A к B часто может не быть числовым... Следует, что бы ты знал, что эта единица является делимой и величина G, являющаяся произвольной величиной, рассматривается как число в указанном выше смысле". Высказавшись за введение в математику делимой единицы и нового рода чисел, Хайям теоретически обосновал расширение понятия числа до положительного действительного числа.

Ещё одна математическая работа Хайяма - "Об искусстве определения количества золота и серебра в состоящем из них теле" - посвящена классической задаче на смешение, впервые решённой ещё Архимедом.

Хайям возглавлял группу астрономов Исфахана, которая в правление сельджукского султана Джалал ад-Дина Малик-шаха разработала принципиально новый солнечный календарь. Он был принят официально в 1079 г. Основным предназначением этого календаря была как можно более строгая привязка Новруза (то есть начала года) к весеннему равноденствию, понимаемому как вхождение солнца в зодиакальное созвездие Овна. Так, 1 фарвардина ( Новруз) 468 солнечного года хиджры, в которое был принят календарь, соответствовало пятнице, 9 рамазана 417 лунного года хиджры, и 19 фарвардина 448 года эры Йездигерда (15 марта 1079 г.). Для отличия от зороастрийского солнечного года, называвшегося "древним" или "персидским" , новый календарь стали называть по имени султана - "Джалали" или "Малеки". Количество дней в месяцах календаря "Джалали" варьировало в зависимости от сроков вступления солнца в тот или иной зодиакальный знак и могло колебаться от 29 до 32 дней. Были предложены и новые названия месяцев, а также дней каждого месяца по образцу зороастрийского календаря. Однако они не прижились, и месяцы стали именоваться в общем случае именем соответствующего знака зодиака.

С чисто астрономической точки зрения календарь "Джалали" был точнее, чем древнеримский юлианский календарь, применявшийся в современной Хайяму Европе, и точнее, чем позднейший европейский григорианский календарь. Вместо цикла "1 високосный на 4 года" (юлианский календарь) или "97 високосных на 400 лет" (григорианский календарь) Хайямом принято было соотношение "8 високосных на 33 года". Другими словами, из каждых 33-х лет 8 были високосными и 25 обычными. Этот календарь точнее всех других известных соответствует году весенних равноденствий. Проект Омара Хайяма был утверждён и лёг в основу иранского календаря, который вплоть до настоящего времени действует в Иране в качестве официального с 1079 года.

Хайям составил "Маликшахов зидж ", включающий звёздный каталог 100 ярких звёзд и посвящённый сельджукскому султану Маликшаху ибн Алп Арслану. Наблюдения зиджа датированы 1079 годом ("на начало [первого] года високоса малики"); рукопись не сохранилась, но существуют списки с неё.

При жизни Хайям был известен исключительно как выдающийся учёный. На протяжении всей жизни он писал стихотворные афоризмы ( рубаи), в которых высказывал свои сокровенные мысли о жизни, о человеке, о его знании в жанрах хамрийят и зухдийят. С годами количество приписываемых Хайяму четверостиший росло и к XX веку превысило 5000. Возможно, свои сочинения приписывали Хайяму все те, кто опасался преследований за вольнодумство и богохульство. Точно установить, какие из них действительно принадлежат Хайяму (если он вообще сочинял стихи), практически невозможно. Некоторые исследователи считают возможным авторство Хайяма в отношении 300-500 рубаи.

Долгое время Омар Хайям был забыт. По счастливой случайности тетрадь с его стихами попала в викторианскую эпоху в руки английского поэта Эдварда Фицджеральда, который перевёл многие рубаи сначала на латынь, а потом на английский. В начале XX века рубаи в весьма вольном и оригинальном переложении Фицджеральда стали едва ли не самым популярным произведением викторианской поэзии. Всемирная известность Омара Хайяма как глашатая гедонизма, отрицающего посмертное воздаяние, пробудила интерес и к его научным достижениям, которые были открыты заново и переосознаны.

Хайям Омар. О доказательстве задач алгебры и алмукабалы. Историко-математические исследования, 6, 1953. - С. 15-66.

Хайям Омар. Комментарии к трудным постулатам книги Евклида. Историко-математические исследования, 6, 1953. - С. 67-107.

Хайям Омар. Об искусстве определения золота и серебра в состоящем из них теле. Историко-математические исследования, 6, 1953. - С. 108-112.

Хайям Омар. / Перевод А. П. Юшкевича. Статья и комментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. - М.: Изд. вост. лит., 1961.

Хаййам Омар. Трактаты. / Перевод Б. А. Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. Статья и комментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. - М., 1962.

Хайям Омар. Первый алгебраический трактат. Историко-математические исследования, 15, 1963. - С. 445-472.

Хайям Омар. О прямом кустасе. Историко-математические исследования, 19, 1974. - С. 274-278.

Хайям Омар. Речь о родах, которые образуются квартой. Историко-математические исследования, 19, 1974. - С. 279-284.

Первым стал переводить Омара Хайяма на русский язык В. Л. Величко (1891). Хрестоматийный перевод рубаи на русский язык (1910) выполнил Константин Бальмонт. Некоторые русскоязычные издания рубаи:

Омар Хайям Рубайят. Подготовка текста, перевод и предисловие Р. М. Алиева и М. Н. О. Османова под редакцией Е. Э. Бертельса. Две части. Издательство восточной литературы. Москва 1959 год.

Омар Хайям Рубайят. Перевёл с таджикского-фарси: Владимир Державин. Издательство "ИРФОН", Душанбе, 1965 г.

Омар Хайям Рубаи. Пер. с фарси // Ирано-Таджикская поэзия. - М.:Художественная литература, 1974. - С. 101-124. / Библиотека всемирной литературы, серия 1, Т. 21.

Омар Хайям Рубаи. - Ташкент, изд. ЦК КП Узбекистана, 1978. - 104 с., 200 000 экз.

Омар Хайям Рубаи: Лучшие переводы / Сост.,вступ.статья, примеч. Ш. М. Шамухамедова. - Ташкент, Издательство ЦК Компартии Узбекистана, 1982. - 128 с., 7 вкл.л., 200 000 экз. (Избранная лирика Востока. Издание второе, дополненное)

Омар Хайям Рубаи. Перевод С. Северцева - в: Великое Древо. Поэты Востока. М., 1984, с. 282-284.

Омар Хайям Рубаи: Пер. с перс.-тадж. / Вступ. ст. З. Н. Ворожейкиной и А. Ш. Шахвердова; Сост. и примеч. А. Ш. Шахвердова. - Л.: Сов. писатель, 1986. - 320 с. Тираж 100 000 экз. (Библиотека поэта. Большая серия. Издание третье).

Омар Хайям: Рубайят. Сопоставление переводов / Малкович Р.Ш.. - СПб.: Издательство РХГА, 2012. - 696 с. - 500 экз. - ISBN 978-5-88812-542-7.

Сказание об Омаре Хайяме. - М.: Художественная литература, 1980. - 432 с.

Симашко Морис, Хадж Хайяма. - "Избранное", Алма-Ата, "Жазушы", 1983. - С. 400-423.

Ильясов Я. Заклинатель змей; Башня молчания: Повести. - Ташкент: Изд-во лит. и искусства, 1986. - 496 с.

"Омар Хайям" / "Omar Khayham" (1924) - США, в роли Фил Данхэм;

"Омар Хайям" / "Omar Khayyam" (1957) - США, в главной роли Корнел Уайлд;

"Омар Хайям" / "Ömer Hayyam" (1973) - Турция, в роли Орчун Сонат / Orçun Sonat.

"Омар Хайям" / "Omar Al-Khayyam" (2002) - США, в роли Джихад Саад / Jihad Saad;

"Хранитель: Легенда об Омаре Хайяме" (2005) - США, в главной роли - Бруно Ластра.

1. Климишин И. А. Календарь и хронология. - Изд. 3. - М.: Наука, 1990. - С. 38-39. - 478 с. - ISBN 5-02-014354-5.

2. Звездный каталог ал-Бируни с приложением каталогов Хайама и ат-Туси. Дата обращения: 2 мая 2010. . // Историко-астрономические исследования. Вып. VIII. 1962. С.83-192.

3. Омар Хайям. Четверостишия. - Русич - 2002.

4. Омар Хайям. Математические трактаты / Пер. Б. А. Розенфельда // Историко-математические исследования. Вып. VI. 1952. - С. 105-106.

5. ↑ Климишин И. А. Календарь и хронология. - М.: Наука, 1981. - 192 с.

6. В фарси имена знаков Зодиака представляют собой заимствования из арабского языка

7. Heydari-Malayeri M. A concise review of the Iranian calendar. Paris Observatory, 2006.

8. Хаййам Омар. Трактаты. Перевод Б. А. Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. Статья и комментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. М., 1962.

9. UNIS Monument to Be Inaugurated at the Vienna International Centre, 'Scholars Pavilion' donated to International Organizations in Vienna by Iran. Дата обращения: 3 августа 2017.

Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. - К.: Наукова думка, 1983. - 639 с.

Глезер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. - М.: Просвещение, 1982. - 240 с.

История математики. Дата обращения: 15 марта 2008. с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича). - Т. I. - М.: Наука, 1972.

Крамар Ф. Д. Об исследованиях Омара Хайяма и Насирэддина Туси по теории параллельных линий. - Алма-Ата, 1964.

Национальная энциклопедия Узбекистана (узб.). - Ташкент, 2000-2005.

Омар Хайям // Литература и язык. Современная иллюстрированная энциклопедия / Под редакцией проф. Горкина А.П.. - М.: Росмэн, 2006.

Омар Хайям // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. - 3-е изд. - М. : Советская энциклопедия, 1969-1978.

М.-Н. Османов. // Краткая литературная энциклопедия: В 9 т / Гл. ред. А. А. Сурков. - М.: Сов. энцикл., 1968. - Т. 5: Мурари - Припев.

Розенфельд Б. А., Юшкевич А. П. Омар Хайям. - М.: Наука, 1965. - 194 с.

Розенфельд Б. А., Юшкевич А. П. Теория параллельных линий на средневековом Востоке. IX-XIV вв. - М.: Наука, 1983. - 128 с.

Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. 4-е изд. - М.: Наука, 1984. - 284 с.

Султанов Ш. З., Султанов К. З. . - М.: Молодая гвардия, 1987. - 320 с. - (Жизнь замечательных людей. - Вып. 679).

Шамсиддинов Д. Проблема общих понятий и научной абстракции в творчестве Омара Хайяма // Философские науки. - 1987. - № 7. - С. 101-105.

В Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона есть две статьи разных авторов об Омаре Хайяме:

# data[].attributes.attachment_link.description
Гийяс-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн-Эбрахи́м Хайя́м Нишапури́ ( перс. غیاث الدین ابوالفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابورﻯ‎), Ома́р Хайя́м (عمر خیام); , Нишапур - , там же) - персидский философ, математик, астроном и поэт. Внёс вклад в алгебру построением классификации кубических уравнений и их решением с помощью конических сечений.

# data[].attributes.headline
Цзя Сянь (Китай), живший в Х веке. Его книга под названием Ши Суо Суан Шу была утеряна.

# data[].attributes.subject
Цзя Сянь (Китай), живший в Х веке. Его книга под названием Ши Суо Суан Шу была утеряна.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Цзя Сян (贾宪, 1010 - 1070) - китайский математик времен династии Сун.

Родился в 1010 году. О его родителях нет сведений. В юности его сделали евнухом и устроили в императорский дворец. Он учился у крупнейшего астронома и математика Чу Яня. Занимался как государственными делами, так и разработкой математических формул. Скончался в 1070 году.

Составил два трактата: "Суань фа сяо гу цзы" ("Собрание методов счета, переданных из старины", 2 цзюаня) и "Хуан-ди цзючжан суань фасе цао" ("Методы счета Хуан-ди в девяти главах с подробными решениями"). Оба потеряны, но если от первого осталось только название, то содержание второго примерно на две трети отражено Ян Хуэем в "Сян цзецзю чжансуань фа" (Подробное разъяснение "Методов счета в девяти разделах") в 1261 году.

Цзя Сянь знал расписание и составил треугольную таблицу биномиальных коэффициентов до n = 6 (кайфан цзофа беньюань ту - "изображение коренного утечки действенного метода извлечения корня"), которая в Европе с 1655 известна как треугольник Паскаля, хотя ранее была опубликована немецким математиком Петером Апианом в 1527 году и арабским ал-Каши в 1427 году, а сейчас в Китае называется треугольником Ян Хуэя или Цзя Сяня.

Цзя Сян получал очередной коэффициент в треугольнике суммированием двух предыдущих и, используя эту фигуру, первым предложил аддитивно-мультипликативный метод извлечения корня (Цзенчен кайфан фа). Он обобщил метод извлечения квадратных и кубических корней n-й степени, при n>3, а затем перенес его на нахождение корней многочлена произвольной степени. Метод Цзя Сяня близок к современному методу Руффини-Горнера, который независимо друг от друга разработали итальянцем Паоло Руффини и англичанин Уильям Джордж Горнер.

Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-western Cultures. Dordrecht. Boston. London, 1997

The Grand Series of History of Chinese Mathematics, vol. 5, Wu Wenjun chief, partie 2, " Jia Xian "

J-C Martzloff, A history of Chinese mathematics (Berlin-Heidelberg, 1997).

J-C Martzloff, Histoire des mathématiques chinoises (Paris, 1987).

B Qian, History of Chinese mathematics (Chinese) (Peking, 1981).

K Chemla, Similarities between Chinese and Arabic mathematical writings I : Root extraction, Arabic Sci. Philos. 4 (2) (1994), 207-266.

S Guo, Preliminary research into Jia Xian's Huangdi Jiuzhang Suanjing Xicao (Chinese), Studies in the History of Natural Sciences 7 (4) (1988), 328 -334.

S Guo, Jia Xian, in Du Shiran (ed.), Zhongguo Gudai Kexuejia Zhuanji (Biographies of Ancient Chinese Scientists) (Beijing, 1992), 472 -479.

R Mei, Jia Xian's additive-multiplicative method for the extraction of roots (Chinese), Studies in the History of Natural Sciences 8 (1) (1989), 1 -8.

《中华科学文明史》 李约瑟 原著，柯林·罗南 改编，上海交通大学科学史系 译 卷2 第一章 数学。

# data[].attributes.attachment_link.description
Цзя Сян (贾宪, 1010 - 1070) - китайский математик времен династии Сун. Родился в 1010 году. О его родителях нет сведений. В юности его сделали евнухом и устроили в императорский дворец. Он учился у крупнейшего астронома и математика Чу Яня. Занимался как государственными делами, так и разработкой математических формул.

# data[].attributes.headline
Ал-Караджи (Персия)

# data[].attributes.subject
Ал-Караджи (Персия)

# data[].attributes.body
 Формула бином Ньютона была известна  многим ученым разных времен и стран, в том числе ал-Караджи (5 в.).

# data[].attributes.headline
Однако историки науки обн

# data[].attributes.body
Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику 