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2.2 Propiedades de integrales indefinidas

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Subtema 2.2 Propiedades de integrales indefinidas

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Subtema 2.3.3 Por partes

I ntegración por partes

En esta sección estudiaremos una técnica de integración importante que recibe el nombre de integración por partes. Esta técnica se puede aplicar a una amplia variedad de funciones y es particularmente útil para integrandos que implican productos de funciones algebraicas y trascendentes.

Por ejemplo, la integración por partes funciona bien con integrales como

La integración por partes se basa en la fórmula para la derivada de un producto.

Donde son funciones derivables de Cuando son continuas, se pueden integrar ambos lados de esta ecuación para obtener

Al reescribir esta ecuación, obtenemos el siguiente teorema

Teorema 1 Integración por partes

Si son funciones de que tienen derivadas continuas, entonces:

Reglas para la integración por partes:

El cambio de variable va a ser

2. Para integrales de la forma

3. Para integrales de la forma

O puede ser al revés solo que el término que tomo como u debe de conservarse en la próxima integral que realice.

Resolver las siguientes integrales por el método de integración por partes

Solución :En este caso, es más difícil de integrar que . Sin embargo, la derivada de es más simple, mientras que la derivada de no. Por lo tanto, debe hacer que .

Ahora, la integración por partes produce

Solución: En este caso, es más simple de derivar, por lo tanto, debe hacer que

Solución: En este caso, es más difícil de integrar que . La derivada de es más simple. Por lo tanto, debemos hacer que

Solución: En este caso, es más difícil de integrar que . Sin embargo, la derivada de es más simple, por lo tanto, debe hacer que .
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La integral que tenemos es una integral racional,

El grado de , entonces realizaremos un cambio de variable

Como el grado de se debe efectuar la división

La integral en rojo se realiza nuevamente por el método de integración por partes. Está se resolvió en el ejercicio 1

Solución: Los factores y son igualmente fáciles de integrar. Sin embargo, la derivada de se hace más simple, mientras que la derivada de no. Por lo tanto, debe hacer que .

Primer uso de la integración por partes. Vamos a integrar:

Nuevamente por la técnica de integración por partes

Este método funciona bien para integrales de la forma

Utilizar el método Tabular . Encuentre

Solución: Comience como es costumbre haciendo

A continuación, genere una tabla con tres columnas, como se muestra en seguida:

La solución se obtiene mediante la adicción de los productos con el signo de los elementos diagonales:

Integrales cíclicas (se repiten)

Solución: Para esta integral no importa quien sea u o dv solo que el término que sea u deberá ser también u en la siguiente integración por partes.

integraremos nuevamente por integración por partes la integral con *

Resolver por separado esta integral

La única condición es que mi u debe de ser la misma función que tomamos al inicio de la integral, es decir una función trigonométrica.

Nota importante: Debemos de revisar que este integral es la que estamos resolviendo en un inicio. Por ser la misma integral se le denomina cíclica ya que esta se repite.

Esta integral es la misma que teníamos al inicio, por esto se le llama una integral cíclica,(se repite), pasaría sumando del lado izquierdo de la igualdad

Solución: La parte más complicada del integrando que puede integrarse fácilmente es , entonces podría hacer que

Sustituiremos en la la identidad:

Se efectúa la multiplicación de los términos de la integral

Entonces la integral de en medio es la misma integral que estamos resolviendo, pasa del lado izquierdo de la integral sumando.

Bibliografía

Larson Ron, Edwards Bruce (2018). Matemáticas II, Cálculo Integral décima edición. Ciudad de México: CENGAGE

No olvides que puedes recurrir al correo del Docente o al chat para aclarar cualquier duda.

Espero que hayas disfrutado el subtema 2.3.3

¡Te deseo éxito en tu evaluación!

Por tu atención, ¡muchas gracias!

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Subtema 2.3.3 Por partes I ntegración por partes En esta sección estudiaremos una técnica de integración importante que recibe el nombre de integración por partes. Esta técnica se puede aplicar a una amplia variedad de funciones y es particularmente útil para integrandos que implican productos de funciones algebraicas y trascendentes.

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Subtema 2.3.5 Sustitución Trigonométrica Tenemos del Teorema de Pitágoras Definiremos las seis funciones trigonométricas: Ahora que puede evaluar integrales que implican potencias de funciones trigonométricas, puede utilizar la sustitución trigonométrica para evaluar integrales que implican a los radicales. El objetivo como sustitución trigonométrica es eliminar el radical en el integrando.

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Las reglas de integrales que estaremos utilizando en esta sección son las siguientes:

Resolveremos alguos ejercicios. Encuentre la integral indefinida:

Solución: como tenemos un radical y este no se puede resolver con cambio de variable, ya que el diferencial no está completo

No tenemos en el numerador la variable w, por lo tanto, debemos de revisar con las integrales anterior a ver que forma le podemos dar.

Sustituyendo estos valores en la integral tenemos

Sustituyendo el valor de u y a

Solución: No se puede realizar un cambio de variable, ya que no completaría el diferencial. Le damos la forma de una función inversa

Sustituyendo el cambio que realizamos

Sustituyendo el valor de u y a

multiplicando y dividiendo por la raíz cuadradad de 7

Solución: No, se completa el diferencial con un cambio de variable, entonces le daremos la forma de una esto por ser una función racional y no tiene un radical.

Sustituyendo en la integral

Sustituyendo el valor de u y a

Solución: No, se completa el diferencial con un cambio de variable, entonces le daremos la forma de una esto por ser una función racional y no tiene un radical.

Sustituyendo en la integral

Sustituyendo el valor de u y a

Multiplicando y dividiendo por

Solución: No, se completa el diferencial con un cambio de variable, entonces le daremos la forma de una por ser un radical y no tener ningún valor de u fuera del radical. Primero deberemos de completar cuadrados, para darle la forma de

Completar cuadrados: El coeficiente de las debe de ser positivo, por lo que primero sacaremos el signo negativo de factor de toda la ecuación cuadrática

El coeficiente de la x´s se divide entre dos y este término se eleva al cuadrado y se suma y se resta para que la expresión no se altere.

Los tres primeros términos son el binomio al cuadrado, el signo del coeficiente de x´s es el que se conserva.

Multiplicamos por el signo negativo la expresión

Sustituimos este valor en la integral

Vamos a realizar la sustitución

Sustituyendo en la integral

Sustituyendo el valor de u y a

Solución: Como esta integral tiene en el numerador una variable x´s entonces debemos de realizar un cambio de variable.

Para completar el diferencial debemos de sumar el +2 y restar el -2 para que la integral no se altere. Y posteriormente estas se separarán en dos integrales.

Primero completaremos cuadrados

Sacamos el signo de factor común

El coeficiente de las x´s se divide entre dos y se eleva al cuadrado se suma y se resta

Los tres primeros términos son el binomio al cuadrado, se conserva el signo del coeficiente de la x´s

Multiplicamos por el signo negativo

Sustituyendo en la integral

Como tiene el signo negativo entonces esto nos da una función

Por lo tanto, el resultado final será

Solución: Como el grado de

se realizará un cambio de variable

Sacamos de factor común el coeficiente de la x´s

Para poder resolver esta integral le vamos a sumar 3/4

y le vamos a restar 3/4, esto es

Separamos en dos integrales

Sacamos el 2 de factor común,

el coeficiente de la x´s se divide entre dos

Los tres primeros términos nos ayudan a completar el binomio el signo del coeficiente de x´s es el que se toma en cuenta

Este valor se sustituye en la integral

Realizando el cambio de variable

Sustituyendo en la integral

Sacando el MCD en el numerador y realizando extremos por extremos y medios por medios

Por lo tanto, el resultado de la integral será:

Solución: Vamos a realizar un cambio de variable con el denominador, esto porque tenemos x´s en el numerador

Como necesitamos un 1 para completar el diferencial el valor de 5 lo separamos como 1+4, y la integral la podemos escribir como

Esta integral se separa en dos

Sustituir el valor del cambio de variable, w

Completando cuadrados en el denominador

Sacamos el signo de factor

El coeficiente de la x´s se divide entre dos y este término se eleva al cuadrado y se suma y se resta para que la integral no se altere.

Los tres primeros términos nos ayudan a completar el binomio el signo es el que corresponde a el coeficiente x´s

multiplicando por el signo negativo

Por lo tanto, sustituyendo estos valores en la integral, tenemos

Sustituyendo en la integral

Por lo tanto, el resultado de l integral será:

Solución: Como el grado de se debe de efectuar la división de la casita.

Por lo tanto, la integral nos quedaría de la siguiente manera

Para la primera integral realizaremos un cambio de variable y completando el diferencial tendremos como resultado un logaritmo natural

Sacamos de factor común el 4

Para completar el diferencial le sumaremos 3/4 y restamos 3/4 para que la integral no se altere.

La primera integral se realizará el cambio de variable propuesto las segunda y la tercera integral restan ya que son iguales.

Resolveremos la primera integral

Sustituyendo el valor de w, tenemos,

Vamos a completar cuadrados para darle la forma de una Función inversa

Sacáremos el 2 de factor común

El coeficiente de la x´s se divide entre dos este término se suma y se resta al cuadrado para que la expresión no se altere

Los tres primeros términos son el binomio al cuadrado

Sustituimos en la integral

Dándole la forma de una función inversa

Por lo tanto, el resultado final de la integral es:

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Espero que hayas disfrutado el subtema 2.3.4.1

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Las reglas de integrales que estaremos utilizando en esta sección son las siguientes: Resolveremos alguos ejercicios. Encuentre la integral indefinida: Solución: como tenemos un radical y este no se puede resolver con cambio de variable, ya que el diferencial no está completo No tenemos en el numerador la variable w, por lo tanto, debemos de revisar con las integrales anterior a ver que forma le podemos dar.

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Bienvenido al Fracciones Parciales Descomposición de en fracciones parciales 1. Dividir cuando es impropia: Si es una fracción impropia (es decir, cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, divida el denominador en el numerador (división de la casita) para obtener Donde el grado de es menor que el grado de Después aplique los pasos 2,3 y 4 a la expresión racional propia 2.