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Definición básica muy simple para entender mejor :)

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La derivada es un concepto fundamental en cálculo diferencial que nos ayuda a entender cómo cambia una función en un punto específico.

Ahora imaginemos que se tiene una función que describe algo, como la posición de un coche que se mueve a lo largo del tiempo, LA DERIVADA de esa función nos dice la velocidad a la que el coche se está moviendo en un instante exacto.

Es como preguntar: "¿Qué tan rápido está cambiando el valor de esta función cuando movemos un poco el valor de x?"

En términos generales, la derivada mide la tasa de cambio de una función respecto a una variable.

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Márquez, F. (2024). Derivadas - FÍSICAYMATES. FÍSICAYMATES. https://fisicaymates.com/derivadas/

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Significado de las derivadas

Formalmente, cuando calculamos la derivada de una función lo que estamos calculando es el valor de un límite que mide la razón a la que cambia dicha función con respecto a su variable, respecto a la que derivamos. Las derivadas se usan para el cálculo de velocidades, aceleraciones, optimizar funciones, y una infinidad más de utilidades. Nos vamos a centrar en este texto simplemente en el cálculo de la derivada de una función y las reglas de derivación existentes para ello, quedándonos por ahora con la idea que hemos mencionado al principio. En temas posteriores las desarrollaremos.

Definición de derivadas

La derivada de la función

con respecto a la variable

, en el punto

es:

si este límite existe.

Una definición equivalente de la derivada es también la siguiente:

¿Cómo se escriben las derivadas de las funciones?

La forma de escribir correctamente la derivada de una función es la siguiente:

en esta expresión queda perfectamente patente que estamos derivando la función

respecto a la variable

. Cualquiera de las tres expresiones de la derivada con respecto a

es totalmente correcta. La función a derivar suele llamarse normalmente

ó

. Sin embargo, es muy frecuente encontrar la siguiente notación o forma de escribir las derivadas:

Ambas expresiones de la derivada son correctas y si bien la fórmula anterior es la más utilizada por su sencillez, no queda reflejada respecto a qué variable se deriva, aunque está implícito. Para terminar, diremos que ambas notaciones son correctas y que se usan indistintamente en la bibliografía existente, pudiendo afirmar que:

lo que es equivalente a la siguiente expresión dependiendo de cómo se llame la función

ó

:

Cálculo de las derivadas a partir de la definición

El proceso de cálculo de la derivada de una función se llama diferenciación. Siempre se deriva o diferencia, se usa mayoritariamente la primera palabra, respecto a una variable, normalmente

, de forma genérica y una vez que hemos obtenido la derivada sustituimos en la

el punto donde queremos calcular la derivada, particularizando así el valor de ésta. La forma de calcular la derivada usando la definición consiste en aplicar la fórmula de la definición. En el siguiente vídeo os explico un ejercicio práctico en el que calculamos el valor en un punto de la derivada de una función usando su definición mediante el límite.

Cálculo de las derivadas de las funciones

Nunca se usa la definición de la derivada de una función para calcular su función derivada ya que es un proceso largo y demasiado complejo, máxime cuando existe otro método mucho más rápido y sobre todo menos propenso a cometer errores. Sin embargo, en algunos exámenes suele preguntarse al alumno que calcule la derivada de una función mediante la aplicación de la definición para que el alumno demuestre que tiene destreza calculando el límite de la función que es necesario.

Para calcular la derivada de una función vamos a usar la Tabla de derivadas o Tabla de fórmulas de derivadas junto con las reglas de derivación. Estas fórmulas no aparecen por arte de magia, sino que se infieren mediante un proceso de inducción que consiste en derivar aplicando la definición de derivada a funciones genéricas para así obtener una regla que permita derivarla.

Reglas de derivación

Sean

y

dos funciones que vamos a denotar por

y

.

Derivada de la suma/resta de dos funciones

La derivada de una suma/resta de dos funciones es la suma/resta de las derivadas de estas funciones.

Derivada del producto de dos funciones

La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la segunda derivada.

Derivada del cociente de dos funciones

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el denominador al cuadrado.

Derivada del producto de una constante a por una función

La derivada de una función por una constante es la deriva de la función por la constante sin derivar.

Regla de la cadena

Permite derivar una función que es composición de varias funciones. Matemáticamente se expresa por:

Esto se entenderá perfectamente cuando resolvamos ejercicios.

Tabla de derivadas. Fórmulas de derivadas o formulario de derivadas

La tabla de derivadas contiene las fórmulas de las derivadas para todos los tipos de funciones más frecuentes. Para poder usarla sólo hay que identificar la función que queremos derivar y aplicar la correspondiente fórmula.

Ejercicios resueltos paso a paso de derivadas. Regla de la cadena.

Aprender a derivar funciones es sinónimo de hacer muchos ejercicios de derivadas, cuantos más ejercicios de derivadas resuelvas más rápido vas a aprender a derivar. En los siguientes vídeos de derivadas explico paso a paso cómo aplicar las reglas de derivación, las fórmulas que nos permiten encontrar la derivada de una función, y después hago muchos ejercicios aplicando esa fórmula. Suscríbete al este canal de YouTube para estar al corriente de los nuevos vídeos que se van publicando.

Ejercicios resueltos de exámenes de derivadas. Regla de la cadena.

Ejercicios de derivadas resueltos paso a paso usando las fórmulas de la tabla de derivadas. Los ejercicios de derivadas se resuelven de forma fácil y sencilla para el alumno a fin de que pueda seguir la vídeoclase sin quedarse atrás.

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Derivadas | Aprender desde cero | Ejercicios resueltos

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Formalmente, cuando calculamos la derivada de una función lo que estamos calculando es el valor de un límite que mide la razón a la que cambia dicha función con respecto a su variable, respecto a la que derivamos. Las derivadas se usan para el cálculo de velocidades, aceleraciones, optimizar funciones, y una infinidad más de utilidades.

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La derivada está directamente relacionada con una función porque describe cómo cambia el valor de esa función a medida que cambias el valor de la variable independiente, es como una lupa que te permite ver el comportamiento de la función a un nivel muy detallado.

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Westreicher, G. (2024). ¿Qué es la derivada de unan función? Fórmula y ejemplos. Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/derivada-de-una-funcion.html

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Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.

En términos matemáticos, la derivada de una función puede expresarse de la siguiente forma:

En la fórmula, x es el punto en el que la variable toma el valor de x. Asimismo, h es cualquier número. Este luego se igualará a cero pues, como vemos en la imagen superior, debemos calcular el límite de la función cuando h se acerca a cero.

Cabe recordar que, en general, la derivada es una función matemática que se define como la tasa de cambio de una variable respecto a otra. Es decir, en qué porcentaje aumenta o disminuye una variable cuando otra también se ha incrementado o disminuido.

Debemos precisar que el límite de una función se define como la tendencia de esta (a qué valor se aproxima) cuando uno de sus parámetros (en este caso h) se acerca a un valor determinado.

Podemos entender mejor el límite de una función con algunos ejemplos. Veamos el siguiente caso:

En este caso, no ha sido necesario hallar el límite cuando h se acerca a cero, pues el resultado de dividir f(x+h)-f(x) entre h da como resultado a un número natural, y no a una expresión algebraica donde podamos encontrar a h, como es el siguiente caso:

Veamos ahora otro ejemplo:

Luego, dividimos entre h:

Finalmente, encuentro el límite cuando h se acerca a 0:

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La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación. Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.

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para ruido de fondo en lo que se re-aprende a derivar :o

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OpenAI. (2024). ChatGPT (versión del 8 de agosto). https://chat.openai.com/chat

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Ejemplo Simple con una Recta

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OpenAI. (2024). ChatGPT (versión del 8 de agosto). https://chat.openai.com/chat

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Ejemplo con una Curva

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Útil para trabajos futuros :D! y de las mas usadas

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Útil para trabajos futuros x2 :D!

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Yo cuando mi derivada es mas compleja de lo que esperaba :(