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a sandbox at the beach, oil painting style

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Perfect Beach Scene: 7 Hours of White Sand, Blue Water & Ocean Waves in 4K

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In my life I have been fortunate to have explored fascinating places around the world.  There is one particular city though, that keeps giving me new emotions every day. It is Roma (or Rome).
Its variety of architectures that stands clearly apart from other "megacities", Its unparalleled history legacy and Its intimate and quieter sides make Rome a city that does get into your bloodstream. 

Watch my other works:
Cuba: https://vimeo.com/224883799
Venezia: https://vimeo.com/181612110
Lanzarote: https://vimeo.com/192406523
Reverie of Vietnam: https://vimeo.com/126747807
Moments of Puglia: https://vimeo.com/165102515
Malta: https://vimeo.com/202709486

Rome has been documented in different ways and for different purposes but few videos make you appreciate this city through local's eyes. 

I have dedicated months filming everyday's moment to describe a day in Rome through a roman's eyes. This short film is the result. Let me indulge you for a few minutes.  

Awards:
OFFICIAL SELECTION - 2016 ICFF – Italian Contemporary Film Festival

Locations:
Many filmed locations are unknown to many. Click on the link to see film locations on map: https://goo.gl/AWgM6g

Based on an original idea and directed by Oliver Astrologo - FB: http://fb.com/oliver.astrologo
Additional footage: Nils Astrologo

Original Score: 
Max LL - http://maxll.ca

The original soundtrack of ROMA has been produced by talented composer Max LL. All music and sounds effects rights are reserved. 

SteadyCam (Gimbal) support
Aerea Visus - Uniclamp : http://goo.gl/KMDqbs

Thanks:
Marco Baroni di Fonderia, Simone Sampò, Alice Celia, Federico Chericoni and everyone who helped me create this video.

Appearances:
Maurizio & Satia Martinoli, Alessia Scognamiglio, Andrea di Curcio, Stefano Silvani, Valeria D’Ovidio, Tommaso Cassinis. The mask: Jacopo Sabar Giacchino.

Flickr album: https://flic.kr/s/aHskitMuGV

Geek Stuff
I have received so many messages asking for details on how I produce my videos. 
I put down this short piece: http://oliverastrologo.com/videotips this explains few techniques I have been using and includes a list of equipment. Don't hesitate to write to me if you need further details or have any recommendation.

Gear (Find a comprensive list of my equipment here: http://oliverastrologo.com/gear)
Sony A7ii @ 1080 50p PP7 (Exposed in S-Log2)
Sony A7s @ 1080 50p PP7 (Exposed in S-Log2)

Video Stabilization: Area Visus AV-ST-01

Lens used:
Zeiss 35mm 2.8
Zeiss 55mm 1.8
Canon 24-15mm 4.0 IS

Color Correction
ImpulZ LUTs with some tweaks. 

Riprese aeree (in italiano):
La questione delle riprese aeree effettuate con Droni è spesso soggetta a controversie, è importante ricordare che possono essere (e spesso sono) utilizzati in modo responsabile. Le riprese aeree di questo video sono state realizzate prima del 30 Aprile 2014 data antecedente alle nuove restrizioni sui voli, tutte le immagini sono state acquisite rispettando le seguenti modalità:

- Evitare le zone sensibili o qualsiasi cosa che può essere frainteso senza previa autorizzazione.
- Evitare i periodi più affollati, le ore di punta, eventi speciali, ecc.
- Evitare le folle. In caso di zone ove erano presenti delle persone con osservatori di terra e ricetrasmittenti.
- Rispettare le aree residenziali di tranquillità e diritto alla privacy.
- Eliminare qualsiasi materiale che rivela inavvertitamente persone o che possa compromettere la privacy.

Per domande riguardanti le riprese aeree, vi prego di contattarmi via e-mail.

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En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

Historia de la derivada

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)

El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

Newton y Leibniz

A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus predecesores, en lo que hoy llamamos "derivada" e "integral". La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibnitz son los creadores del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la derivación y la integración son operadores inversos.

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable "fluye" (varía) con el tiempo.

Gottfried Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Leibniz es el inventor de diversos símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada d y el símbolo de la integral ∫.

Conceptos y aplicaciones

El concepto de derivada es uno de los conceptos básicos del Análisis matemático. Los otros son los de integral indefinida, integral definida, sucesión; sobre todo, el concepto liminar de límite. Este es usado para la definición de cualquier tipo de derivada y para la integral de Riemann, sucesión convergente y suma de una serie y la continuidad. Por su importancia, hay un antes y después de tal concepto que biseca las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Según Einstein, el mayor aporte que se obtuvo de la derivadas fue la posibilidad de formular diversos problemas de la física mediante ecuaciones diferenciales.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Definiciones de derivada

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto de la función por el resultado de la división representada por la relación , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

Límite como cociente de diferencias

La derivada de una función es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos y es:

expresión denominada "cociente de Newton".

Si la derivada de existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de como la función cuyo valor en cada punto es la derivada de en .

Continuidad y diferenciabilidad

Una condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la cual pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeños incrementos en el valor de dicha función, de manera que

Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacen más pequeñas; cuando estos se aproximan a cero, en el límite,

con lo que se obtiene, lim x → a f( x)= y. Para un punto particular a, quiere decir que , y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f( x) que cumpla con

es continua en el punto a. Como consecuencia lógica, toda función derivable en el intervalo abierto I, es continua en I.

Condición necesaria

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean iguales pero las derivadas laterales no; en este caso concreto, la función presenta un punto anguloso en dicho punto.

Un ejemplo - recurrente en la literatura usual - puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto . Dicha función se expresa:

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan:

Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.

De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable. Sin embargo, la función y=x|x| es diferenciable para todo x. Hállese su función derivada. En otros términos, que una función sea continua es una condición necesaria para que dicha función sea diferenciable. (Ver "Análisis matemático" de Apóstol.)

Derivada de una función

Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto se define como sigue:

,

si este límite existe, de lo contrario, , la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

Sea la función cuadrática f( x)= x ² definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta función para todo punto x ∈ R -puesto que es continua en todos los puntos de su dominio-, mediante el límite de su cociente de diferencias de Newton. Así,

Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe la derivada de la función respecto al valor en varios modos.

Notación de Newton

La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

y así sucesivamente.

Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales como velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se emplea para las primeras y segundas derivadas.

Notación de Leibniz

Otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de , se escribe:

También puede encontrarse como , ó . Se lee "derivada de ó de ) con respecto a ". Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.

Si , se puede escribir la derivada como

Las derivadas sucesivas se expresan como

o

la cual se puede escribir como

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente:

En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos "d" no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.

Ciertamente, Leibnitz (sí) consideró la derivada dy/ dx como el cociente de dos "infinitésimos" dy y dx, llamados "diferenciales". Estos infinitésimos no eran números sino cantidades más pequeños que cualquier número positivo.

Notación de Lagrange

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f a en el punto , se escribe:

para la enésima derivada ( ). (También se pueden usar números romanos).

Se lee "efe prima de equis" para la primera derivada, "efe dos prima de equis" para la segunda derivada, etc. Para la función derivada de en , se escribe . De modo parecido, para la segunda derivada de en , se escribe , y así sucesivamente.

Notación de Euler

o (Notaciones de Euler y Jacobi, respectivamente)

se lee " sub de ", y los símbolos D y ∂ deben entenderse como operadores diferenciales.

Cálculo de la derivada

La derivada de una función, en principio, puede ser calculada de la definición, mediante el cociente de diferencias, y después calcular su límite. En la práctica, únicamente las derivadas de unas pocas funciones son conocidas, las derivadas de otras funciones son fáciles de calcular utilizando reglas para obtener derivadas de funciones más complicadas de otras más simples.

Derivadas de funciones elementales

La mayor parte de los cálculos de derivadas requieren tomar eventualmente la derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona algunas de las más frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas.

donde r es cualquier número real, entonces

donde quiera que esta función sea definida. Por ejemplo, si , entonces

y la función derivada es definida sólo para números positivos x, no para x = 0. Cuando r = 0, esta regla implica que f′( x) es cero para x ≠ 0, lo que la convierte en la regla de la constante (expuesta abajo).

funciones trigonométricas:

Reglas usuales de derivación

En muchos casos, el cálculo de límites complicados mediante la aplicación directa del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicación de reglas de diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes:

Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces

para toda función f y g y todo número real α .

para toda función f y g. Por extensión, esto significa que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. Por ejemplo,

para toda función f y g para todos aquellos valores tales que g ≠ 0.

Regla de la cadena: , siendo g derivable en x, y h derivable en g(x), entonces

Ejemplo de cálculo

La derivada de

es

Aquí, el segundo término se calculó usando la regla de la cadena y el tercero usando la regla del producto. La derivadas conocidas de funciones elementales x ², x ⁴, sin( x), ln( x) y exp( x) = e x, así como la constante 7, también fueron usadas.

Diferenciabilidad

Una función con dominio en un subconjunto de los reales es x {\displaystyle x} diferenciable en un punto si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.

La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.

Generalizaciones del concepto de derivada

El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras:

Para funciones de varias variables:

Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables.

Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial.

En análisis complejo:
Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas.

En análisis funcional:

Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r, r no necesita ser necesariamente un número entero como sucede en las derivadas convencionales.

Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones de un espacio vectorial de dimensión no finita.

Derivada en el sentido de las distribuciones, extiende el concepto de derivada a funciones generalizadas o distribuciones, así puede definirse la derivada de una función discontinua como una distribución.

En geometría diferencial:
La Derivación un concepto de geometría diferencial.

En teoría de la probabilidad y teoría de la medida:

Derivada de Malliavin derivada de un proceso estocástico o variable aleatoria que cambia con el tiempo.

Derivada de Radon-Nikodym usada en teoría de la medida.

Diferenciabilidad:

Diferenciablidad, otra generalización posible para funciones de varias variables cuando existen derivadas continuas en todas direcciones es el de:

Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables (El argumento de una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo de dimensión n finita).

La Diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.

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Derivada. La derivada es un conceptos más importante en matemáticas

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Derivada. La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta

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REGLAS DE DERIVACIÓN - Repaso en 7 minutos con ejemplos