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Função afim ou função polinomial do 1° grau é toda função que estabelece uma relação entre a variável dependente y e a variável independente x. Em outras palavras, essa relação tem uma parte fixa e outra variável, que depende do valor da variável independente. A seguir, confira definição, gráfico e fórmula, além de exemplos e exercícios resolvidos sobre o assunto.

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Definição

Uma função afim pode ser definida formalmente da seguinte maneira:

Chama-se função polinomial do 1° grau, ou função afim, qualquer
função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b são números reais dados e a≠0.

Fórmula

Na função afim, o número a é chamado de coeficiente angular e b é conhecido como coeficiente linear.

Características da função afim

Crescente: uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular for positivo, ou seja, a > 0.

Decrescente: por outro lado, a função afim é considerada decrescente quando o coeficiente angular é negativo, ou seja, a < 0.

Gráfico de uma função afim

Assim como muitas outras, a função afim também possui um gráfico específico. Dessa forma, vamos entender um pouco mais sobre esse gráfico e observar como ele é representado.

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O gráfico dessa função é uma reta. O coeficiente linear b é, geometricamente falando, o ponto que intersecta o eixo das ordenadas (eixo y). Já o coeficiente angular a é a taxa de variação que essa reta tem em relação ao eixo das abcissas (eixo x).

Tipos de função afim

Para algumas situações, podemos obter alguns tipos diferentes de função afim. Sendo assim, vamos compreender cada situação que possamos encontrar.

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Função linear

A função linear ocorre quando o coeficiente linear é igual a zero. Dessa forma, os elementos y e x são grandezas diretamente proporcionais entre si.

O gráfico acima representa um exemplo de função linear em que a massa e o volume de um determinado azeite variam proporcionalmente.

Função identidade

Quando temos que a=1 e b=0, a função afim se torna uma função identidade, ou seja, temos que y = x.

Função constante

Se tivermos que a=0 e b≠0, a função afim se torna uma função constante. Um exemplo disso pode ser visto no gráfico a seguir, onde temos que f(x) = 3.

Raiz da função afim

A raiz de uma função ocorre quando f(x) = 0, ou seja, é o valor de x que faz com que essa função se anule. Para a função afim, temos que ax + b = 0. Resolvendo essa equação, obtemos que a raiz de uma função afim:

Videoaulas sobre função afim

Abaixo, foram selecionados os melhores vídeos com explicações sobre função afim que podem ajudar a visualizar melhor o conteúdo. Acompanhe:

Conceitos iniciais

Nesse vídeo, são abordados os conceitos iniciais de função afim, como sua definição. Além disso, são apresentados alguns exemplos.

Exercícios resolvidos

Resolver exercícios também é uma maneira de entender o conteúdo. Dessa forma, que tal conferir alguns exercícios resolvidos a partir do vídeo acima?

Função afim crescente e decrescente

Vamos entender também como reconhecer se uma função afim é crescente ou decrescente com a ajuda do vídeo acima. Acompanhe!

Por fim, é importante lembrar que a função afim, assim como as outras, é muito importante para os estudos de matemática, pois é possível descrever várias situações utilizando-a. Além disso, há aplicações também na física, como no movimento retilíneo e uniforme.

Referências

Matemática: ciência e aplicações, volume 1 - Gelson Iezzi
Matemática: contexto e aplicações, volume 1 - Luiz Roberto Dante

Graduado no curso de Física pela Universidade Estadual de Maringá. Professor assistente em um colégio de ensino médio e preparatório para os vestibulares. Nas horas vagas se dedica à vida religiosa, praticar mountain bike, tocar bateria, dar atenção à família e cuidar de suas duas gatinhas Penélope e Mel.

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Função afim: o que é, fórmula, gráfico, exemplos e exercícios

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Função afim ou função polinomial do 1° grau é toda função que estabelece uma relação entre a variável dependente y e a variável independente x. Em outras palavras, essa relação tem uma parte fixa e outra variável, que depende do valor da variável independente.

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Uma função é dita polinomial quando dado uma função a sua lei é dada por um polinômio de grau n. Relembrando o conceito de polinômios, podemos representar uma função polinomial de uma forma genérica como:

Ou ainda, pela notação de somatório:

Onde a n, a n-1, a n-2, ... a ₁ e a ₀ e são as constantes que chamamos de coeficientes do polinômio e x n, x n-1, ... x ⁰ são as variáveis da função.

Grau

O grau de uma função polinomial é classificado pelo valor do expoente n a variável x do polinômio, sendo que deve ser um inteiro positivo e maior ou igual a zero, ou seja: .

Exemplo 1) Funções afim são funções polinomiais do primeiro grau. Note que o expoente de x na função é igual a 1:

Ou pode ser escrita como:

Note que o termo constante b é igual a .

Exemplo 2) Funções quadráticas são classificadas como funções de grau 2, ou funções do 2º grau. Veja:

Ou também:

Neste caso .

Exemplo 3) Uma função do terceiro grau, naturalmente é escrita como:

Outra forma:

Exemplo 4) Funções constantes, aquelas em que não possuem variáveis, são classificadas como funções de grau zero. Note:

Referências Bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/funcao-polinomial/

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Uma função é dita polinomial quando dado uma função a sua lei é dada por um polinômio de grau n. Relembrando o conceito de polinômios, podemos representar uma função polinomial de uma forma genérica como: Ou ainda, pela notação de somatório: Onde a n, a n-1, a n-2, ...

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A função quadrática ou função do 2° grau é uma função com a seguinte forma:

Em que

são números reais e

.

Observe que o termo quadrático

sempre deve aparecer em uma função quadrática, já que

. No entanto, nem sempre teremos os termos

e

, uma vez que

podem ser iguais a zero.

Vamos ver alguns exemplos de função quadrática:

a)

→ Temos

b)

→ Temos

c)

→ Temos

d)

→ Temos

d)

→ Temos

Representação gráfica

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola, que pode ser traçada quando atribuímos valores para x e calculamos y = f(x), determinando vários pares ordenados (x, y).

Além disso, existem algumas propriedades da função quadrática que podem nos ajudar na construção do seu gráfico.

Concavidade da parábola

O valor da constante

na função quadrática é o que determinará a concavidade da parábola. Se

for um valor positivo, então a parábola tem concavidade para cima e se

for um valor negativo, a parábola tem concavidade para baixo.

O vértice de uma parábola é o ponto

onde a curva muda o sentido, torna-se crescente quando é côncava para cima ou torna-se decrescente, quando é côncava para baixo.

Podemos encontrar as coordenadas desse ponto da seguinte forma:

Onde

é o discriminante.

Raízes ou zeros de uma função quadrática

A raízes ou zeros de uma função quadrática são os pontos onde o gráfico intercepta o eixo x. Para encontrar esses valores devemos encontrar as soluções da seguinte equação do 2° grau:

Uma das formas de encontrar os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira, é utilizando a fórmula de Bhaskara:

Em que:

Além disso, também podemos saber em qual ponto o gráfico intercepta o eixo y. Para isso, só temos que calcular y = f(0), isto é, substituir x por 0 e calcular o valor de y correspondente.

Exemplo

Vamos analisar a função quadrática:

Temos

.

Voltada para cima, pois
Concavidade:
.
Vértice:
Assim, o vértice é o ponto (1,5 ; -6,25).
Raízes:
Logo, a parábola intercepta o eixo x nos valores -1 e 4.

então:

Portanto, a parábola intercepta o eixo y no valor -4.
Ponto de Intercepto no eixo y: Você também pode se interessar:

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A função quadrática ou função do 2° grau é uma função com a seguinte forma: Em que são números reais e . Observe que o termo quadrático sempre deve aparecer em uma função quadrática, já que . No entanto, nem sempre teremos os termos e , uma vez que podem ser iguais a zero.

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Função modular é a função (lei ou regra) que associa elementos de um conjunto em módulos.

O módulo é representado entre barras e seus números são sempre positivos, ou seja, mesmo que um módulo seja negativo seu número será positivo:

1) |x| é = x se x ≥ 0, ou seja, |0| = 0, |2| = 2

2) |-x| é = x se x < 0, ou seja, |-1| = 1, |-2| = 2

Gráfico

Ao representar um módulo negativo, o gráfico para na intersecção e volta a fazer o sentido ascendente.

Isso porque tudo o que fica abaixo tem valor negativo e os módulos negativos sempre tornam-se números positivos:
Exemplo:

Propriedades

Repare que os números reais são o domínio de cada uma das funções acima.

Leia também sobre o que é função?

Exercícios de Vestibular Resolvidos

1. (UNITAU) O domínio da função f(x) = √ [(1-|x-1|)/2] é:

2. (UNITAU) Se x é uma solução de |2x - 1| < 5 - x, então:

3. (Mackenzie) Se y = x - 2 + | x - 2| x | |, x ∊ R, então o menor valor que y pode assumir é:

4. (UFG) Relativamente à função f, de R em R, dada por f(x)=|x|+|x-1|, é correto afirmar que

a) o gráfico de f é a reunião de duas semi-retas.
b) o conjunto imagem de f é o intervalo [1, + ∞].
c) f é crescente para todo x ∊ R.
d) f é decrescente para todo x ∊ R. e x ≥ 0.
e) o valor mínimo de f é 0.

5. (UFG) Seja R o conjunto dos números reais. Considere a função f:R→R, definida por f(x)=|1-|x||.

Assim,

( ) f(-4) = 5.
( ) o valor mínimo de f é zero.
( ) f é crescente para x no intervalo [0,1].
( ) a equação f(x) = 1 possui três soluções reais distintas.

Pratique com exercícios de função modular.

Conheça outros tipos de funções:

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Função modular é a função (lei ou regra) que associa elementos de um conjunto em módulos. O módulo é representado entre barras e seus números são sempre positivos, ou seja, mesmo que um módulo seja negativo seu número será positivo: 1) |x| é = x se x ≥ 0, ou seja, |0| = 0, |2| = 2...