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El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b), donde a EA y b € B (es decir, a pertenece al conjunto A, y b, al conjunto B).

Se simboliza con A X B y se lee "A cruz B". En notación de conjuntos, el producto carte siano se expresa así:

A xB = [(a,b) | a E Ay bE B]

El producto A cruz B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que

a pertenece a A y b pertenece a B

Para distinguir un par ordenado de un producto cartesiano de otro, y que no haya repetición alguna, se establece este criterio de identidad: los pares ordenados (a, b) y (c,

d) son iguales si y solo si a = c y b = d. Por ejemplo, los pares ordenados (4,7) y 7,4)

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El producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera puede representarse gráficamente usando líneas perpendiculares entre si, a las que llamaremos ejes horizontal y vertical, respectivamente. En el eje horizontal se

marcan puntos espaciados a igual distancia uno de otro y con los elementos del primer conjunto, en tanto que a lo largo del eje vertical se marcan puntos separados también a igual distancia uno de otro, pero con los elementos del segundo conjunto.

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Una relación puede expresarse de cualquiera de las seis formas siguientes.

1. ﻿﻿﻿Un enunciado: "El área de un círculo varía directamente con el cuadrado de su radio

2. ﻿﻿﻿Una ecuación; por ejemplo, A = tr o y = 2x + 5

3. ﻿﻿﻿Un conjunto de pares ordenados, como R = [(1, 3.14), (2, 12.56), (3, 28.26),

(4, 50.24)]

4. Una tabla de valores; por ejemplo:
1

2

3

4

5

У

5

10

15

20

25

1. ﻿﻿﻿Un par de diagramas de Venn con los pares ordenados unidos por medio de flechas, como en la figura 1

2. ﻿﻿﻿Una gráfica en un sistema de ejes coordenados; por ejemplo, en la figura 1b, la gráfica de la relación y=2x+6

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Primero, se explica que en diversos ámbitos de la vida,se establecen relaciones entre elementos. Por ejemplo, se menciona cómo a un estudiante se le asocia un número de matrícula o a un automóvil la placa.

Luego, se definen los conjuntos A y B, y cómo podemos establecer una relación de A en B, representada como R: A —->B. Esto significa que a cada elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B. Además, una relación se define como un conjunto de pares ordenados, donde el primer elemento del par pertenece a A y el segundo a B.

También se introducen términos clave como dominio (conjunto A, de donde provienen los primeros componentes de los pares) y codominio (conjunto B, de donde provienen los segundos componentes).

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En las condiciones descritas en los párrafos anteriores, si la regla de correspondencia de una es una ecuación con variables x y y, entonces el dominio de la relación es el conjunto de los valores que puede tomar la variable x; por su parte, el rango es el conjunto de valores que puede tomar la variable y.

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Cuando una relación entre conjuntos de números reales se expresa por medio de una ecuación se presentan dos tipos de cantidades: constantes y variables. Una constante es un símbolo que representa un número fijo; en cambio, como su nombre lo indica, una variable es un símbolo que puede representar diferentes valores.

Por ejemplo, la fórmula A = d' permite calcular el área (4) de un círculo de diáme tro igual a d. En esta ecuación, A d pueden adoptar distintos valores y; por tanto, son variables. Por su parte, las cantidades i y 4 tienen un valor fijo, así que son constantes.

Variables independiente y dependiente de una relación

Cuando dos variables están relacionadas entre sí, el valor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ello, la primera recibe el nombre de variable dependiente, y la segunda  independiente. Esta última es la que puede adoptar cualquier valor del domi-
relación es, por lógica, la variable dependiente.
nio de la relación, mientras que la variable cuyo universo de definición es el rango de la
Si la regla de correspondencia de una relación está determinada por una ecuación
con variables x y y (por ejemplo, y = x - 5x + 3), entonces la literal x representa la variable independiente de la relación, mientras que la variable y denota la dependiente.

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Dominio de una relación expresada mediante una ecuación 

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Dominio de una relación expresada mediante una ecuación 

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Una relación queda definida cuando se da su dominio; por con siguiente, veremos algunos ejemplos de cómo establecer el dominio de una relación expresada mediante una ecuación. Supondremos que, cuando no se especifica el dominio de una relación, este será el mayor conjunto posible de números reales para el que está

definida la expresión.

Por ejemplo, si tenemos la relación y = 7x-5, su dominio será el conjunto de los números reales, excepto el 5, ya que si x toma este valor se anulará el denominador; es decir, se volverá cero y la división entre cero no está definida. Asimismo, si tenemos la relación y = vx + 3, su dominio es el conjunto de los números reales mayores o iguales que -3, pues si x es menor que este valor el radicando será negativo y este siempre debe ser mayor o igual que cero cuando el índice del radical es un número natural par, ya que, por ejemplo, v-4 no es un número real.

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se utiliza la prueba de la recta vertical, que se explica enseguida.

Prueba de la recta vertical

Si la gráfica de una relación es intersecada solo en un punto del dominio por cualquier recta vertical (perpendicular al eje x), entonces corresponde a una función; en caso de que la recta vertical corte la gráfica en dos puntos o más, entonces la gráfica no corresponde a una función.

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relación está definida por una ecuación con las variables x y y, donde x es la variable independiente y y la dependiente, entonces será una función si a cada valor de x para el cual está definida la relación le corresponde un solo valor de y. Veamos los ejemplos y, al hacerlo, recuerda que si a cualquier valor de la variable independiente x le corresponde más de un valor de la variable dependiente y, entonces la ecuación no define una función.