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"Ok Google, quanto traffico c'è per raggiungere l'ufficio?"
"Al momento il traffico è scorrevole dal luogo in cui ti trovi al tuo posto di lavoro, il tragitto dura 57 minuti in auto"

Questo è quello che l'assistente vocale del nostro smartphone riesce a fare con un "semplice" comando vocale. In questo post cercheremo di capire qualcosa (lo 0,000...001%) sulla storia, sul funzionamento e, in particolare, sul ruolo che le reti neurali hanno in piattaforme di riconoscimento vocale come Google Assistant, Siri, Viv, Cortana e molte altre.

Un po' di storia.

Tutto cominciò tra gli anni '50 e '60, quando, presso i Bell Labs, venne sviluppato il primo sistema in grado di distinguere singoli numeri detti a voce. Basato sulla teoria della fonetica acustica, cioè la decomposizione di segnali acustici complessi nelle loro componenti più semplici, questo sistema era in grado di individuare le vocali del segnale ricevuto e capire che numero fosse.

Nei primi anni '70 la DARPA, Defense Advanced Research Projects Agency del Dipartimento della Difesa statunitense, finanziò un concorso per lo sviluppo di sistemi di riconoscimento vocale ad alte prestazioni: il vincitore fu HARPY della Carnegie Mellon University. HARPY era grado di interpretare con buona accuratezza un vocabolario di poco più di un migliaio di parole, l'equivalente di un bambino di tre anni per intenderci. Oltre a rappresentare una svolta in termini di prestazioni, HARPY fu innovativo nelle tecniche utilizzate per "costruirlo": infatti, dopo aver adeguatamente processato i segnali ricevuti, cerca su un grafo la frase che più somiglia al segnale ricevuto.

Negli anni '80 queste tecnologie continuano a crescere, riuscendo ad elaborare varie migliaia di parole e si intravedono le prime applicazioni commerciali.

Dal punto di vista teorico assistiamo alla rivoluzionaria entrata in gioco del modello a catene di Markov nascoste (In inglese Hidden Markov Model -- HMM) di cui trovate una breve introduzione in questo post. In poche parole il sistema riesce ad interpretare suoni sconosciuti tramite considerazioni statistiche sulle diverse parti che compongono il segnale.

Negli anni '90 venne superato il grande problema di dover dettare al computer parola per parola prendendo una piccola pausa tra una e l'altra: d'altronde un discorso ha un carattere continuo, non discreto. Grazie alla nascita di processori più veloci, i sistemi di riconoscimento vocale cominciano a bussare prepotentemente alle porte della vita quotidiana. Un esempio è il VAL, Voice Activated Link progettato dalla BellSouth, un centralino automatico in grado di dare diverse informazioni in base alle richieste poste telefonicamente dall'utente. La vera novità di VAL fu quella di abbattere l'ostacolo del training del sistema per ogni singolo utente: chiunque poteva chiamare e ricevere una risposta pressoché immediata.

Nei primi anni del nuovo millennio le cose cominciano a farsi nettamente più interessanti! I sistemi di riconoscimento vocale sono ormai una realtà consolidata e utilizzati su larga scala: il Nokia 6630 fu tra i primi cellulari ad avere inclusa questa tecnologia.

Google elimina il problema del reperimento dei dati in maniera efficace e veloce andandoseli a prendere letteralmente sulle "nuvole".

Il resto poi è il presente, fatto dalle offese e le domande no sense che almeno una volta abbiamo fatto a Siri, un "Ok Google" detto troppo forte e lo smartphone che si attiva!

Un mare di problemi.

Siamo andati sulla luna, abbiamo rilevato le onde gravitazionali, la tecnologia ci permette di fare cose impensabili fino a ieri e ancora non riusciamo a sviluppare un sistema di riconoscimento vocale "quasi-perfetto"? Ebbene, ci sono problematiche di fondo enormemente complesse nell'interpretazione di un discorso, tra cui:

il rumore di fondo che può essere causato dall'ambiente circostante o dalla stessa persona che parla;

il carattere continuo del discorso: quando parliamo emettiamo un segnale sostanzialmente continuo che rende complicato l'isolamento di ogni parola emessa;

la dipendenza da chi emette il suono: la stessa parola può essere pronunciata differentemente a seconda dell'età, del sesso, della velocità del parlato, delle condizioni emotive e di molti altri fattori legati all'utente.

...

Come viene "rappresentato" il discorso?

Per cominciare bisogna creare una sorta di ponte tra il parlato e il computer, tradurre cioè i nostri suoni in segnali comprensibili dalla macchina. Cosa sia un segnale è ben spiegato qui, quindi non ci ripetiamo ma accenniamo soltanto a dei concetti fondamentali che useremo in questo post.

Un modo comune per rappresentare un segnale è tramite la sua forma d'onda (waveform): un grafico bidimensionale con il tempo sulle ascisse e l'ampiezza del segnale stesso sulle ordinate. Il problema di questa rappresentazione balza subito all'occhio confrontando i due segnali qui sotto: parole completamente diverse hanno una forma d'onda molto simile. Questo fatto non ci piace per niente!

Un'altra rappresentazione è lo spettrogramma: un grafico a tre dimensioni in cui sull'asse troviamo il tempo, sull'asse la frequenza del segnale e sull'asse l'intensità dello stesso. Solitamente negli spettrogrammi si preferisce tenere una vista : a ciascuna coppia sul piano tempo - frequenza viene associato un colore rappresentante l'intensità del suono. Lo spettrogramma non è altro che la messa in pratica della trasformata di Fourier.

Come si vede dai grafici qui sotto, questa rappresentazione sembra migliore rispetto al grafico precedente tempo-frequenza: almeno distingue due parole differenti!

Ma ancora non ci siamo. Lo spettrogramma non è la soluzione ideale, infatti non riesce a catturare caratteristiche fondamentali di un segnale: la stessa parola può essere pronunciata più o meno velocemente, avere intensità diverse in vari istanti temporali o semplicemente non iniziare nello stesso momento. Purtroppo segnali così processati rimangono scomodi ed è quindi necessario introdurre un nuovo oggetto: il Cepstrum. La definizione di questo oggetto è intrinseca nella parola: il ceps-trum è l'inverso dello spec-trum (chiaro no?!). Prendiamo un segnale , applichiamo la trasformata di Fourier ( ), poi il logaritmo e infine antitrasformiamo il tutto ( ): otteniamo il cepstrum del segnale

\begin{equation*}\tilde x(t)=F^{-1}[\ln(F[x(t)])].\end{equation*}

Per capire la potenza di questo strumento osserviamo le immagini sotto. A sinistra vediamo gli spettrogrammi della stessa parola relativi a due esperimenti diversi: ci sono troppe differenze! In quelle di destra, invece, notiamo come la rappresentazione tramite cepstrum sia molto simile nei due casi.

Sebbene la pulizia e pre-elaborazione dei dati sia fondamentale per le prestazioni e l'affidabilità di qualsiasi modello matematico, non ci dilungheremo su questo aspetto. Una volta puliti i dati e capito come tradurre i segnali in linguaggio macchina, bisogna mettere in piedi un algoritmo che sia in grado di apprendere e auto-migliorarsi con l'esperienza. È a questo punto che entrano in gioco le reti neurali.

Le Reti Neurali Artificiali: intro.

L'interesse verso le reti neurali nacque una settantina di anni fa quando si cercava una rappresentazione matematica per il funzionamento del cervello umano. Con il tempo sono state applicate ad una moltitudine di fenomeni non "predicibili" analiticamente: dalla finanza ai videogiochi, dalle automobili allo sport...

Un piccolo excursus biologico

Per poter introdurre concettualmente una rete neurale artificiale è necessario un piccolo richiamo di biologia e alle reti naturali "biologiche".

Cos'è un neurone?

Un neurone è una unità cellulare che, insieme con altri elementi, compone il sistema nervoso. Esso è formato da un corpo cellulare, detto soma, da cui si dirama un assone. Al soma sono attaccati una sorta di filamenti detti dendriti e a sua volta contiene il nucleo. L'assone e i dendriti terminano con delle strutture di connessione dette sinapsi.

Un meccanismo di polarizzazione e depolarizzazione della membrana cellulare genera degli impulsi elettrici che trasportano le informazioni lungo l'assone alla velocità di qualche decina di metri al secondo. Questo aspetto può essere descritto analiticamente per mezzo delle equazioni alle derivate parziali, ma è tutta un'altra storia e magari lo approfondiremo in futuro.

Dopo aver descritto vagamente la forma di un neurone è facile immaginare cosa sia una rete neurale biologica: un insieme di neuroni interconnessi. Il ruolo di ogni neurone all'interno della rete può essere schematizzato in tre passaggi:

1. ricevere in input segnali del tipo acceso/spento dai neuroni adiacenti tramite i dendriti;

2. elaborare la risposta nel soma;

3. trasmettere la risposta ai neuroni collegati attraverso l'assone.

Sebbene ogni neurone svolga operazioni piuttosto "elementari", il comportamento estremamente intelligente della rete emerge dal grande numero di elementi e di connessioni tra le cellule. Ci sono infatti circa 100 miliardi di neuroni e 100 bilioni di sinapsi con una media di 1000 connessioni per neurone.

L'apprendimento e la memoria sono rese possibili dalla plasticità delle sinapsi che modula la forza dei collegamenti tra i neuroni, e dalla permeabilità della membrana cellulare che influenza la soglia di reazione. Una rete neurale è dunque una struttura complessa capace di modificarsi in base agli stimoli esterni.

Come funziona una rete artificiale?

Se siete fedeli lettori di questo blog avete già incontrato, nel post sugli algoritmi di classificazione, l'esempio più elementare possibile di rete neurale formata da un singolo neurone: il Percettrone. Immaginamiamo quindi un neurone postsinaptico in collegamento con altri neuroni presinaptici che funzionano da input per il primo. Gli elementi che entrano in gioco sono:

1. un vettore di pesi che rappresenta la "forza" delle connessioni tra il neurone e gli altri adiacenti (il parametro è detto bias, vedremo a breve in che modo sia legato alla soglia di attivazione del neurone);

2. un vettore di segnali-input con ;

3. una funzione di attivazione che opera sulla somma pesata delle componenti di con pesi fornendo l'output (on/off) del neurone in questione.

Come viene elaborata la risposta agli input ricevuti dal neurone?

Se la somma pesata dei segnali in entrata supera una certa soglia di attivazione peculiare del neurone, esso si attiva e invia uno spike, altrimenti rimane in stato passivo:
\begin{equation*} z=
\begin{cases}
1 \mbox{ (attivo) se } \sum_{i=1}^n \theta_i x_i\ge h\\
0 \mbox{ (passivo) se } \sum_{i=1}^n \theta_i x_i< h;
\end{cases}
\end{equation*}
che può essere riscritta, posti e , come
\begin{equation*}z=
\begin{cases}
1 \mbox{ se } \sum_{i=0}^n \theta_i x_i\ge 0\\
0 \mbox{ se } \sum_{i=0}^n \theta_i x_i< 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Cioè a dire
\begin{equation*}z=H(\theta\cdot x)\end{equation*}
dove rappresenta la funzione di Heaviside
\begin{equation*}H(x)=
\begin{cases}
1 \mbox{ se } x\ge 0\\
0 \mbox{ se } x< 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Questo ragionamento ci porta a definire una funzione di attivazione come una funzione tale che:

1. sia continua;

2. sia derivabile con derivata calcolabile;

3. sia non decrescente ( per ogni );

4. abbia asintoti orizzontali a e , ossia e .

Notiamo che la funzione di Heaviside non è una vera e propria funzione di attivazione in quanto non è né derivabile in senso classico né continua. Nel post sugli algoritmi di classificazione citato poco sopra avevamo scelto come un buon esempio di funzione di attivazione la sigmoide
\begin{equation*}\sigma(x)=\frac 1{1+e^{-x}};\end{equation*}
ma non è l'unica possibilità, anzi, la scelta di questa funzione è un elemento chiave nella progettazione del modello. In generale la risposta all'impulso sarà data dal valore
\begin{equation*}f_\theta(x)=\sigma\left(\sum_{i=0}^n \theta_i x_i\right)=\sigma\left(\theta\cdot x\right).\end{equation*}

Una rete neurale artificiale, dunque, non è altro che un insieme di neuroni collegati tra di loro in modo da non formare cicli, ossia un grafo diretto aciclico, in cui l'output di un neurone funziona da input per i neuroni post-sinaptici cui è collegato.

Vediamo un esempio di rete neurale a tre strati con un totale di otto neuroni: 3 nel primo strato (o layer), 4 nel secondo e 1 nel terzo.

I componenti e rappresentati da un cerchio bianco con il bordo blu non sono neuroni, ma le unità di bias introdotte precedentemente e valgono sempre 1. Discorso analogo per la componente del vettore in input.

Osserviamo che, essendo l'ultimo layer composto da un singolo neurone, l'output di questa rete può essere soltanto un segnale del tipo acceso/spento. Per un discorso più generale dovremmo considerare un totale di neuroni nell'ultimo strato: questa struttura permetterebbe di avere un algoritmo di classificazione tra classi tramite un vettore di output . Al fine di tenere le notazioni più semplici possibili, nel seguito del post continueremo a pensare .

Il training della rete.

Supponiamo di avere a disposizione un insieme, detto training set, abbastanza ricco di coppie dove rappresenta l'output noto relativo al vettore . Tale insieme permette di allenare la rete e fare in modo che predica risultati accettabili su nuovi input non appartenenti al training set.

Nel caso di una rete formata da un solo neurone è molto semplice definire una funzione costo e cercare quel valore che minimizzi l'errore sulle coppie nel training set.

Nel caso di una rete "vera e propria", non avendo a disposizione ouput di riferimento intermedi, è più complicato calcolare l'errore su ogni neurone e sfruttarlo per scegliere le giuste connessioni sinaptiche. Tuttavia conosciamo l'errore sull'output finale e in qualche modo ce lo facciamo bastare!

Possiamo quindi immaginare una rete neurale come una black box: un meccanismo di cui ignoriamo il funzionamento interno e vediamo soltanto il risultato finale. È a questo punto che entra in gioco l' algoritmo di backpropagation.

Come procediamo?

In due parole portiamo l'input avanti lungo tutta la rete, calcoliamo l'errore, e infine portiamo l'errore indietro. L'errore calcolato sull'ultimo nodo della rete è causato da una combinazione di quelli sui neuroni interni: tanto più un neurone ha un collegamento sinaptico forte con il suo successivo, tanto più sarà responsabile dell'errore finale. In questo senso è lecito scrivere l'errore finale come una media pesata di tutti gli errori nei layer interni con pesi i coefficienti delle connessioni sinaptiche.

Nei disegni che seguono, i coefficienti rappresentano la risposta del neurone -esimo nel -esimo layer; calcolato applicando alla somma pesata degli input relativi, con pesi i coefficienti , la funzione di attivazione . Definiamo come il peso del collegamento sinaptico tra il neurone del layer e il neurone del layer .

Il punto di partenza è calcolare la risposta dei neuroni nel primo strato, , al vettore di input con . Ad esempio avremo:

\begin{equation} a_1^{(1)}=\sigma(x_0 \theta_{01}^{0}+x_1 \theta_{11}^{0}+x_2 \theta_{21}^{0}) \end{equation}

Con una formula analoga saranno calcolati anche i coefficienti e . Riassumendo

\begin{equation} a_j^{(1)}=\sigma\left(\sum_{i=0}^2 x_i\theta_{ij}^0\right) \end{equation}

per .

Procediamo calcolando le risposte dei neuroni nel secondo strato:
\begin{equation*} a_j^{(2)}=\sigma\left(\sum_{i=0}^3 a_i^{(1)}\theta_{ij}^1\right) \end{equation*}

per ogni .

Infine, come ultimo passaggio della prima parte dell'algoritmo, abbiamo l'output

\begin{equation*} z=a_1^3=\sigma\left(\sum_{i=0}^4 a_i^{(2)}\theta_{i1}^2\right) \end{equation*}

...all'indietro.

Per prima cosa definiamo l'errore come la differenza tra l'output noto e quello predetto dalla rete :
\begin{equation*} \delta=\delta_1^{(3)}=z-y. \end{equation*}

Propaghiamo tale errore indietro lungo tutta la rete: come vediamo nell'immagine si ha

\begin{equation*} \delta_1^{(2)}=\theta_{11}^2 \delta_1^{(3)}. \end{equation*}

Con formule analoghe alle precedenti riusciamo a calcolare di conseguenza tutti i .

Avendo ora tutti gli errori su tutti i nodi della rete siamo in grado di poter aggiornare i parametri in modo tale da minimizzare l'errore "complessivo" della rete sul training set, e quindi rendere la rete più efficace nel fare nuove previsioni.
Approfondimenti per i più curiosi:
1. Un articolo divulgativo sull'algoritmo di backpropagation e sua implementazione in Python;

2. Un approfondimento sul cepstrum;

3. Uno sguardo più ampio (e complicato) sull'argomento da cui partire per studiare seriamente;

4. Un bel libro per approfondire ed uno sul deep learning (di cui non abbiamo mai parlato).

Qualsiasi domanda abbiate non esitate, sarà un piacere scambiare quattro chiacchiere con voi!

PS: Lungo tutto l'articolo ho tralasciato tanti dettagli, soprattutto quelli legati ai tecnicismi degli assistenti vocali (di cui non sono un esperto) e me ne scuso con i lettori, ma l'argomento è stato preso principalmente per contestualizzare ed introdurre concetti più astratti. Ogni post vuole essere soltanto un punto di partenza e non uno di arrivo, nella speranza di attirare la vostra curiosità!

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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"Ok Google, quanto traffico c'è per raggiungere l'ufficio?" "Al momento il traffico è scorrevole dal luogo in cui ti trovi al tuo posto di lavoro, il tragitto dura 57 minuti in auto" Questo è quello che l'assistente vocale del nostro smartphone riesce a fare con un "semplice" comando vocale.

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Pitagora, cuor di Leone

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Ci siamo lasciati, nello scorso appuntamento, con il povero pastore preistorico e la sua affermata voglia di saper contare. Pur sembrando lontano del nostro discorso, l'atto del contare (o dell'associare oggetti in corrispondenza uno-a-uno) risulta a ragion dovuta essere uno dei primi esempi di infinito. Non tanto perché il vecchio e stanco pastore avrebbe raggiunto l'Assoluto grazie a quest'azione, quanto perché invero avrebbe potuto farlo. Mi spiego meglio: parlare di infinito non è cosa semplice, né quanto meno intuitiva, infatti non è possibile toccare qualcosa di veramente infinito, né è possibile contare davvero fino all'infinito, ma è facile osservare che alcune operazioni

(proprio come quella del pastore) possono essere iterate tante e tante volte, senza alcun limite. Ecco il primo grande approccio dell'uomo con il concetto di "senza fine". La vastità dell'Universo secondo gli astrofisici o della stupidità umana secondo Albert Einstein sono esempi di infinito, esempi di concetti enormemente grandi e potenzialmente illimitati. Ma non solo. Anche un numero può essere infinito: un numero decimale periodico, per dirne una, oppure anche un numero irrazionale.

La scoperta dell'esistenza di numeri irrazionali, come è noto, avvenne grazie al già citato Pitagora di Samo, uno dei più grandi matematici che la storia abbia mai avuto. A lui è intitolato uno dei più importanti teoremi della storia, anche se non proprio sua fu la prima formulazione. Esempi di utilizzo del teorema di "Pitagora", infatti, sono state rinvenute dagli archeologi in terra mesopotamica ed egizia. In particolare, questi ultimi sfruttavano delle terne pitagoriche per accertarsi che un angolo fosse retto, sfruttando una considerazione inversa del teorema. Pitagora, però, può ritenersi il massimo divulgatore e lo studioso più metodico e consapevole di una prima parte della geometria che tutt'oggi resta invariata sui libri di testo fin dai primi livelli di istruzione.

Pitagora trovò degli esempi di terne di numeri per cui vale il teorema (proprio come quelle sfruttate dagli egizi), la prima delle quali è la terna (3, 4, 5). In parte, furono queste terne e la generalizzazione del teorema di Pitagora a condurre alla congettura di Fermat (la cui dimostrazione si è avuta alla fine degli anni '90, grazie a A. Wiles).

L'applicazione del teorema ad un semplice triangolo isoscele di lato unitario ha condotto i pitagorici ad uno strano numero (fino ad allora mai riscontrato nei calcoli) che li strinse in una forte crisi: . Fu la nascita, o la scoperta, dei numeri irrazionali. Un numero irrazionale ha una peculiare proprietà: non può essere scritto come frazione: non esistono, quindi, due numeri interni il cui rapporto possa dare come risultato un numero irrazionale. Inoltre, come conseguenza, ritroviamo un numero indefinito di cifre dopo la virgola che (a quanto ne sappiamo) non soddisfano alcuna legge precisa: non si può, quindi, trovare la cifra successiva senza applicare un opportuno algoritmo di calcolo (per , ad esempio). Alcuni hanno ipotizzato che una qualsiasi combinazione numerica, come la nostra data di nascita, la data dell'attentato delle Torri Gemelle ed eventi futuri, possa trovar posto in un numero irrazionale. È facile intuire come la scoperta del primo numero di quest'ultima tipologia abbia dato luogo a non pochi problemi per Pitagora, timoroso (possiamo aggiungere) non solo delle fave ma anche di tutti quei numeri che, come , non hanno una ratio.

Quest'ultima paura forse era ben più fondata della prima, soprattutto perché la dimostrazione dell'esistenza di numeri che non possiamo conoscere interamente, senza una regola algoritmica ben definita (almeno ad intuito) per conoscerne le sue cifre, spiazza tutt'ora tanto il matematico quanto il filosofo. Lo scrittore R. Musil, nei primi del Novecento in un romanzo dal titolo " I turbamenti del giovane Torless ", mise un forte accento sugli interrogativi che tutti i numeri come il o la sezione aurea facevano sorgere spontaneamente alle menti più attente e curiose:

" In fondo,con i numeri irrazionali non è la stessa cosa? Una divisione che non finisce mai, una frazione il cui valore non risulterà mai e poi mai per quanto tu continui a calcolare. Io credo che ad essere troppo scrupolosi la matematica finirebbe per non esistere più..."

Possiamo aggiungere, allora, che non solo l'illimitatamente grande è fonte di "perdizione" ma anche l'infinitamente piccolo. Pensate che alla scoperta di Pitagora vietò a chiunque di parlarne, spaventato. Infausta fu infatti la scelta di Ippaso di Metaponto che, narrando dell'esistenza di numeri "senza ragione", si fece gettare in mare dalla setta del vecchio matematico durante una traversata che riuscì a far annegare con Ippaso anche questo grande dubbio: possono i numeri essere tanto lontani dell'intuito?

Pitagora e i suoi avevano riposto fino ad allora una cieca fiducia nel numero, in quanto ragione e perfetta descrizione della realtà che ci circonda. Stranamente, fu proprio il concetto di infinito, il terrore di non poterlo concepire, di non contenerlo, di non conoscerlo completamente a rivoluzionare il modus operandi dei vecchi geometri dell'epoca. La geometria che descrive il mondo si fa una scienza secondaria, e ahinoi Pitagora non poté far altro che prenderne atto. Furono queste impreviste conseguenze della matematica e l'incompatibilità della mente umana di concepire l'infinito a lasciar strada alla geometria delle incognite, ai teoremi e alle dimostrazioni, alla matematica come forma di filosofia e, soprattutto, alla perdita di fiducia non tanto nella scienza, quanto nella capacità potenziale dell'uomo di comprenderla.

Eppure Pitagora stesso, rispondendo alla domanda: "Perché ci hanno creato?" disse "Per contemplare il cielo". E, aggiungerei, per conoscere ciò che vi è dietro.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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Ci siamo lasciati, nello scorso appuntamento, con il povero pastore preistorico e la sua affermata voglia di saper contare. Pur sembrando lontano del nostro discorso, l'atto del contare (o dell'associare oggetti in corrispondenza uno-a-uno) risulta a ragion dovuta essere uno dei primi esempi di infinito.

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APPUNTAMENTI CON L'INFINITO [n. 3]: Verità paradossali.

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APPUNTAMENTI CON L'INFINITO [n. 3]: Verità paradossali.

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In seguito alla scoperta dell'esistenza dei numeri irrazionali e dell'incapacità dell'essere umano di calcolarne il valore, d'infinito in matematica se ne continuò a parlare per poco: tecnicamente mancavano le basi per poter affermare persino cosa fosse e cosa non fosse infinito. La cultura greca dei grandi politici come Pericle e dalla moltitudine di filosofi, sembrava sorprendentemente incapace di concepire una realtà "incontenibile". Anche per i più acuti geomètri e algebristi era chiaro dover paragonare l'infinito a delle "[...] parole che si sono svuotate completamente da ogni significato intuitivo" citando il matematico J. Dieudonné. Si pensi che tra i filosofi greci vi era la certezza che solo il Divino potesse essere infinito perché ingenerato ed eterno. È chiaro, quindi, che la matematica si va a scontrare con la filosofia e persino con la religione: non poteva esistere un'entità infinita (neanche in matematica) e paragonabile all'immensità delle Divinità. Parlare di infinito, quindi, diventava quasi rischioso e, sicuramente, non più un argomento matematico bensì persino mistico e filosofico.

Fu questo uno dei primi punti di congiunzione tra matematica e filosofia, un punto essenziale per lo sviluppo di una cultura poliedrica, in cui personalmente credo fermamente. Pertanto ci occuperemo, in questo breve "appuntamento", proprio di alcuni esempi di verità matematiche difficili da "digerire" persino per i filosofi più intraprendenti: i paradossi (a cui l'infinito si presta benissimo).

Non possiamo che iniziarci a questo argomento con i celeberrimi paradossi descritti dal filosofo greco Zenone di Elea (489 a.C. - 431 a.C.): Achille e la tartaruga e il paradosso della freccia. In questi due "fattarelli" l'autore descrive un particolare aspetto dell'infinito, più tipico di Pitagora che non del pastore preistorico: l'infinitamente piccolo.
Nel paradosso di Achille e la tartaruga si immagina una gara podistica tra i due. Achille, piè veloce (e sicuramente anche galante), concede un vantaggio di qualche metro alla ben più sfortunata tartaruga. E la gara ha inizio. Achille non aveva però previsto che ogni volta che avrebbe raggiunto il punto in cui la tartaruga si fosse trovata poco prima, questa avrebbe nuovamente fatto qualche passo, e sicuramente non si sarebbe trovata più lì... e chi la prende più?

Come può essere possibile che l'uomo più veloce della storia sia stato battuto da una tartaruga? Potete dormire sogni tranquilli, Achille rimane il più veloce. Ma il nostro intuito ci ha giocato un brutto scherzo: ecco un esempio di come non sappiamo riconoscere l'infinito, non lo possediamo!

E di paradossi sull'infinito se ne possono studiare davvero di curiosi. A dire il vero, non sono questi dei veri e propri paradossi matematici ma dei paradossi logici potremmo dire, o più chiaramente, sono delle osservazioni il cui senso effettivo sfugge al nostro intuito.
Coerentemente, nel XVII secolo Galileo Galilei (1564-1642) affermò:

" Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a gl'infiniti, dandogli quelli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente... "

Pur essendo Galileo noto ai più per le scoperte rivoluzionarie nell'ambito della fisica, non tutti sanno che egli fu anche un attento matematico. Infatti, nell'opera "Discorsi su due nuove scienze" (o nel suo titolo integrale "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica e i movimenti locali") scrisse di matematica ed in particolare di due paradossi assai curiosi, per i quali uno dei suoi protagonisti affermerà in tono quasi d'ammonizione: "Orsù, già che si è messo mano a i paradossi". Anche Galileo aveva ben chiaro che ciò di cui avrebbe seguito a trattare non era di facile comprensione.

Il primo di questi è anche noto come il paradosso dei quadrati.

Si consideri l'insieme dei numeri naturali (più comunemente indicati con la lettera maiuscola N), e se nei consideri il sottoinsieme dei quadrati perfetti. Creiamo un collegamento tra i due insiemi, un'associazione detta uno-a-uno che leghi ad ogni elemento dei numeri naturali uno ed un solo quadrato (un facile esempio di funzione biettiva, che studieremo con più attenzione). Galilei pensò di legare ad ogni numero naturale il suo quadrato. Pertanto, all'uno associamo sé stesso (che è un quadrato perfetto), al due il quattro, al tre il nove... e così via. Essendo questo un palese esempio di funzione biettiva, Galilei mise in luce la stranezza del risultato ottenuto: dire che esiste una corrispondenza uno-a-uno tra questi insiemi significa...che sono ugualmente grandi! Cioè che esistono tanti numeri naturali quanti quadrati perfetti, pur definendo questi ultimi un sottoinsieme proprio dei naturali.

Un confronto similare si può ottenere con il secondo paradosso: il paradosso della ruota.

Si immaginino due ruote concentriche (o semplicemente due circonferenze concentriche) e si immagini di farle scivolare lungo una linea retta. In ogni istante ad un punto della retta
corrispondono esattamente un punto nella ruota più grande ed uno nella ruota più piccola, fino ad aver compiuto un giro completo. Conclusione? Le due ruote (o circonferenze) hanno esattamente lo stesso numero di punti del segmento descritto dall'inizio al termine dello scorrimento lungo la retta. Ma ancora più paradossale è il fatto che le due ruote hanno entrambe lo stesso numero di punti del segmento e quindi...sono di ugual lunghezza.

Beh, forse David Hilbert aveva proprio ragione: "common sense is a very poor guide, when dealing with infinity". Faremmo bene, allora, a convincerci ottimisticamente che la matematica non è null'altro che frutto della mente umana che, spesso, non è in grado di attraversare alcuni confini così facilmente come altri. Ma, in fondo, è davvero così?

E il saggio Galileo resta un punto chiave del nostro "appuntamento" anche perché egli stesso iniziò a considerare la filosofia e la matematica come facce di una stessa medaglia, forse spinto dal misticismo e della forte dose di logica filosofica necessaria a comprendere e trattare argomenti matematici delicati, proprio come l'infinito. Ne " Il Saggiatore " egli scrive:

" La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. "

La portata rivoluzionaria di queste parole diviene ancora più rilevante se contestualizzata in un'epoca, quella dello scienziato, in cui la sola filosofia concepita era figlia di una religione spesso cieca e sicuramente non muta. Unire, quindi, in un'unica visione sia la matematica che la filosofia rende anche il nostro discorso ben più completo e la comprensione dei paradossi una molla che ci innalza verso domande più fini e profonde. Non dimentichiamoci, infatti, che la matematica vive e opera in un contesto, grazie a persone e ne plasma la cultura. Anche la cultura dell'infinito ha permesso, sicuramente in secoli meno buii di quello di Galileo, di liberare il modus vivendi dell'uomo da ogni convinzione e ci ha spinto a capire che la ragione va intesa più in fondo, al di là dell'intuito.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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APPUNTAMENTI CON L'INFINITO [n. 3]: Verità paradossali.

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In seguito alla scoperta dell'esistenza dei numeri irrazionali e dell'incapacità dell'essere umano di calcolarne il valore, d'infinito in matematica se ne continuò a parlare per poco: tecnicamente mancavano le basi per poter affermare persino cosa fosse e cosa non fosse infinito.

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«Il vostro parlare sia sempre con grazia, condito con sale, per sapere come dovete rispondere a ciascuno.»
Lettera ai Colossesi 4:6 NR94

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«Il vostro parlare sia sempre con grazia, condito con sale, per sapere come dovete rispondere a ciascuno.»
Lettera ai Colossesi 4:6 NR94

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Lettera ai Colossesi 4:6 Il vostro parlare sia sempre con grazia, condito con sale, per sapere come dovete rispondere a ciascuno. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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Il vostro parlare sia sempre con grazia, condito con sale, per sapere come dovete rispondere a ciascuno.

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«Un fratello offeso è piú inespugnabile di una fortezza; e le liti tra fratelli sono come le sbarre di un castello.»
Proverbi 18:19 NR94

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«Un fratello offeso è piú inespugnabile di una fortezza; e le liti tra fratelli sono come le sbarre di un castello.»
Proverbi 18:19 NR94

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Proverbi 18:19 Un fratello offeso è piú inespugnabile di una fortezza; e le liti tra fratelli sono come le sbarre di un castello. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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Un fratello offeso è piú inespugnabile di una fortezza; e le liti tra fratelli sono come le sbarre di un castello.

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«La superbia precede la rovina, e lo spirito altero precede la caduta.»
Proverbi 16:18 NR94

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«La superbia precede la rovina, e lo spirito altero precede la caduta.»
Proverbi 16:18 NR94

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Proverbi 16:18 La superbia precede la rovina, e lo spirito altero precede la caduta. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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La superbia precede la rovina, e lo spirito altero precede la caduta.

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«Il cuore dell'uomo medita la sua via, ma il Signore dirige i suoi passi.»
Proverbi 16:9 NR94

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«Il cuore dell'uomo medita la sua via, ma il Signore dirige i suoi passi.»
Proverbi 16:9 NR94

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Proverbi 16:9 Il cuore dell'uomo medita la sua via, ma il Signore dirige i suoi passi. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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Il cuore dell'uomo medita la sua via, ma il Signore dirige i suoi passi.

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«Quando il Signore gradisce le vie di un uomo, riconcilia con lui anche i suoi nemici.»
Proverbi 16:7 NR94

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«Quando il Signore gradisce le vie di un uomo, riconcilia con lui anche i suoi nemici.»
Proverbi 16:7 NR94

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Proverbi 16:7 Quando il Signore gradisce le vie di un uomo, riconcilia con lui anche i suoi nemici. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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Quando il Signore gradisce le vie di un uomo, riconcilia con lui anche i suoi nemici.

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«All'uomo spettano i disegni del cuore; ma la risposta della lingua viene dalSignore.»
Proverbi 16:1 NR94

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«All'uomo spettano i disegni del cuore; ma la risposta della lingua viene dalSignore.»
Proverbi 16:1 NR94

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Proverbi 16:1 All'uomo spettano i disegni del cuore; ma la risposta della lingua viene dalSignore. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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All'uomo spettano i disegni del cuore; ma la risposta della lingua viene dalSignore.

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«Perché chi semina per la sua carne, mieterà corruzione dalla carne; ma chi semina per lo Spirito mieterà dallo Spirito vita eterna.»
Lettera ai Galati 6:8 NR94

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«Perché chi semina per la sua carne, mieterà corruzione dalla carne; ma chi semina per lo Spirito mieterà dallo Spirito vita eterna.»
Lettera ai Galati 6:8 NR94

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Lettera ai Galati 6:8 Perché chi semina per la sua carne, mieterà corruzione dalla carne; ma chi semina per lo Spirito mieterà dallo Spirito vita eterna. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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Perché chi semina per la sua carne, mieterà corruzione dalla carne; ma chi semina per lo Spirito mieterà dallo Spirito vita eterna.

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«C'è chi, parlando senza riflettere, trafigge come spada, ma la lingua dei saggi procura guarigione.»
Proverbi 12:18 NR94

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«C'è chi, parlando senza riflettere, trafigge come spada, ma la lingua dei saggi procura guarigione.»
Proverbi 12:18 NR94

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Proverbi 12:18 C'è chi, parlando senza riflettere, trafigge come spada, ma la lingua dei saggi procura guarigione. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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C'è chi, parlando senza riflettere, trafigge come spada, ma la lingua dei saggi procura guarigione.

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«Il labbro veritiero è stabile per sempre, ma la lingua bugiarda non dura che un istante.»
Proverbi 12:19 NR94

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«Il labbro veritiero è stabile per sempre, ma la lingua bugiarda non dura che un istante.»
Proverbi 12:19 NR94

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Proverbi 12:19 Il labbro veritiero è stabile per sempre, ma la lingua bugiarda non dura che un istante. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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Il labbro veritiero è stabile per sempre, ma la lingua bugiarda non dura che un istante.

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«La sofferenza del cuore abbatte l'uomo, ma la parola buona lo rallegra.»
Proverbi 12:25 NR94

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«La sofferenza del cuore abbatte l'uomo, ma la parola buona lo rallegra.»
Proverbi 12:25 NR94

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Proverbi 12:25 La sofferenza del cuore abbatte l'uomo, ma la parola buona lo rallegra. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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La sofferenza del cuore abbatte l'uomo, ma la parola buona lo rallegra.

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«L'uomo accorto nasconde quello che sa, ma il cuore degli stolti proclama la loro follia.»
Proverbi 12:23 NR94

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«L'uomo accorto nasconde quello che sa, ma il cuore degli stolti proclama la loro follia.»
Proverbi 12:23 NR94

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Proverbi 12:23 L'uomo accorto nasconde quello che sa, ma il cuore degli stolti proclama la loro follia. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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L'uomo accorto nasconde quello che sa, ma il cuore degli stolti proclama la loro follia.

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«Per il frutto della sua bocca l'uomo è saziato di beni, e a ognuno è reso secondo l'opera delle sue mani.»
Proverbi 12:14 NR94

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«Per il frutto della sua bocca l'uomo è saziato di beni, e a ognuno è reso secondo l'opera delle sue mani.»
Proverbi 12:14 NR94

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Proverbi 12:14 Per il frutto della sua bocca l'uomo è saziato di beni, e a ognuno è reso secondo l'opera delle sue mani. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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Per il frutto della sua bocca l'uomo è saziato di beni, e a ognuno è reso secondo l'opera delle sue mani.

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«Chi ama la correzione ama la scienza, ma chi odia la riprensione è uno stupido.»
Proverbi 12:1 NR94

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«Chi ama la correzione ama la scienza, ma chi odia la riprensione è uno stupido.»
Proverbi 12:1 NR94

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Proverbi 12:1 Chi ama la correzione ama la scienza, ma chi odia la riprensione è uno stupido. | Nuova Riveduta 1994 (NR94) | Scarica l'App Bibbia Adesso

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Chi ama la correzione ama la scienza, ma chi odia la riprensione è uno stupido.

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Il concetto matematico di cui non potremmo fare a meno: Infinito (di Sandra Lucente)

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Il concetto matematico di cui non potremmo fare a meno: Infinito (di Sandra Lucente)

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Quali sono i concetti matematici che ritenete indispensabili, ossia di cui proprio non potreste proprio fare a meno? E se aveste solo due ore per insegnare qualcosa a qualcuno che vuole sapere qualcosa di matematica, proprio non riuscireste a non insegnargli quello? Ovviamente potete barare in tutti i modi possibili, come è naturale. Pubblicato originariamente il 13 novembre 2015, ripubblicato il 25 agosto 2016.
Sandra Lucente risponde.

Il concetto matematico di cui non potrei fare a meno? Pastrocchio su un foglio e cerco la risposta. Ho disegnato una spirale, come mi accade spesso. Né lombrico, né galassia. Solo una spirale. Sono partita dal centro e continuo a pastrocchiare sempre più lontano. L'infinito! Il concetto matematico di cui non potrei fare a meno. In tutti i miei fogli di lavoro compare da qualche parte. Non perché io pastrocchi sempre spirali, ma perché su ogni foglio c'è un limite, oppure una serie, o un integrale o un numero irrazionale o la costante ottimale in una disuguaglianza. Persino il numero di pagina e la figura rettangolare del foglio mi rimandano all'idea di infinito. Se sulla spirale scrivessi i nomi dei grandi matematici potrei ripercorrerla all'indietro e riguardare quell'idea nei fogli di tutti i matematici che ci hanno preceduto. Frena, frena. Nella Grecia antica l'infinito apparteva ai filosofi, i matematici al più utilizzavano il non-finito. I numeri primi non sono finiti per Euclide, ma non ha detto che siano infiniti! Qui si disegnano solo curve che richiedono un numero finito di passaggi, e i segmenti prediletti stanno nei quattro numeretti di una proporzione.

Eppure umanamente i greci sono costretti a "fare i conti" con l'infinito. Pur di non cedere alla tentazione di sommare infiniti termini, tifano per una tartaruga piuttosto che per un eroe. Pur di non ammettere che i segmenti del pentagramma stellato, simbolo della scuola pitagorica, non trovano un segmento che li descriva entrambi entrandovi un numero finito di volte, i pitagorici invocano gli dei per naufragi e Zeus non lesina a mandare fulmini. Intanto c'è proprio chi non resiste. La bella circonferenza ottenuta con un solo taglio del cono viene riempita di tanti-tantissimi-troppi poligoni regolari. E la parabola tagliata a bordo pagina (così non si vedono i suoi rami che tra qualche millennio si incontreranno nel punto all'infinito) viene riempita di tanti-tantissimi-troppi triangoli. Archimede si "esaustiona" ma infinito non lo dice! E non dice nemmeno che quei tanti-troppi-tantissimi-troppissimi triangoli sommati diano un'area finita. Il trucco è nel fatto che questi triangoli sono via via più piccoli (certo "via via più piccolo" è un parente di infinitesimo che è cugino di infinito). E se queste quantità non fossero sempre (eccone un'altra di parola pericolosa) più piccole? E se si sommassero e si sottraessero in modo alterno via via-tante-troppe-tantissime quantità? C'è più di un millennio di dubbi prima che Eulero non rompa gli indugi e sommi infiniti termini, addirittura usando infiniti primi! Eulero decide che è ora di "fare i conti" con l'infinito! Quest'atto di coraggio intellettuale è premiato e, grazie al formalismo di Cauchy e Weierstrass, dopo solo un secolo (cosa volete che sia un secolo rispetto al sempre?) un formalismo rigoroso consente anche ai più sospettosi di guardare l'incredibile legame tra il tutto e il nulla, tra lo zero e l'infinito. In mezzo starete pensando a tutti quei numeri così cari ai pitagorici, a tutti quei punti di una retta "che giacciono ugualmente" in Euclide. Beh, no! Trovato un infinito (ovvero assiomatizzata la sua esistenza) se ne trovano tanti. È il paradiso di Cantor, gli interi cari a Pitagora formano un infinito diverso dai punti della retta di Euclide. Addirittura ci sono infiniti infiniti! Ma ognuno di questi è rappresentato da un insieme equipotente ad una sua parte propria. Ad esempio è infinita la spirale visto che possiamo costruire una applicazione che la metta in relazione con quel mio pastrocchio. Se vi piace chiameremo zoom questa applicazione. Facciamo passare un altro secolo, e lo zoom suggerirà di costruire in infiniti passi curve di infinita lunghezza che contengono area finita. Mandelbrot li chiamerà frattali e osserverà anche che un fulmine non viaggia in linea retta.... Già, proprio il fulmine, tra le mani di Zeus, con le diramazioni che ci danno l'idea di infiniti infinitesimi rami. In cima all'Olimpo hanno "fatto i conti" con la potenza del pensiero umano che può persino calcolare la dimensione della folgore del figlio di Crono. Crono il tempo, l'infinito continuo giocattolo di noi esseri numerabili, i soli che con un passaggio possono aiutare Achille a superare le tartarughe, che con una formula possono indovinare se un poligono piace ai greci o no, con un integrale danno senso al metodo di Archimede. Noi che facciamo incontrare le parallele e che sappiamo scrivere $$\liminf (p(n+1)-p(n))=2$$ per raccontare che vi sono infiniti primi gemelli. Beh... Questo però non lo sappiamo ancora dimostrare, l'infinito si fa formalizzare ma richiede ancora tanti fogli da riempire. È il concetto di infinito ad attraversare tutta la storia della matematica, ed è di questa e della sua storia che non posso proprio fare a meno.
In alto: immagine di Robert Lloyd

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#3 Il concetto matematico di cui non potremmo fare a meno: Infinito (di Sandra Lucente)

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Quali sono i concetti matematici che ritenete indispensabili, ossia di cui proprio non potreste proprio fare a meno? E se aveste solo due ore per insegnare qualcosa a qualcuno che vuole sapere qualcosa di matematica, proprio non riuscireste a non insegnargli quello? Ovviamente potete barare in tutti i modi possibili, come è naturale.

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E all’inizio fu Euclide. Anzi no. Forse vi fu prima Pitagora. Beh sicuramente Pitagora è nato molto prima di Euclide, quindi la Matematica sarà nata con lui. Ma pensandoci neanche Talete va sottovalutato. L’aneddoto a cui si fa riferimento parlando di Talete, quello riguardante la serva che lo vide cadere in un pozzo mentre ammirava il cielo stellato camminando, quello sarà sicuramente antecedente a Pitagora e alla sua setta contro le fave. I pitagorici, infatti, sono noti anche per il terrore che avevano nei confronti delle fave. O almeno così dice la leggenda. Addirittura si narra che Pitagora stesso, pur di non attraversarne un campo, si fece catturare dei predoni che attaccarono la città di Crotone. Ma Talete, Talete sicuramente aveva “lavorato” prima di tutte queste vicende.

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Proveremo, allora, a trattare tale argomento più sensibilmente possibile, senza rischiare di incorrere in banali conclusioni, generalmente false. Vedete, infatti, parlare di infinito senza cadere in contraddizioni, evitando errori e soprattutto schivando gli innumerevoli paradossi che potremmo incontrare, non è affatto semplice. Basti pensare a Zenone, il filosofo greco. Come poteva una tartaruga scappare alla corsa di Achille “piè veloce”, pur possedendo pochi metri di vantaggio su di lui? Secondo il filosofo ogni qual volta Achille avesse raggiunto la tartaruga, questa si sarebbe spostata continuando per il suo cammino, ed egli sarebbe stato costretto a seguirla senza mai raggiungerla. È chiaro come il problema non risieda nella povera tartaruga o nella lentezza di Achille, il problema è proprio l’infinito. Come possiamo trattare questi paradossi, non legandoci al senso comune?

"Come potremo vedere il "senso comune" è davvero una povera guida quando si ha a che fare con l'infinito"

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Chi ha paura dell'infinito?

“L'eterno silenzio di questi infiniti spazi mi terrorizza”

Per secoli questa suggestiva frase di Blaise Pascal ha caratterizzato il modus operandi degli scienziati e, in particolare, dei matematici. Il concetto di infinito ha rappresentato, infatti, per moltissimo tempo un grosso buco nero nell’Universo della già smisurata conoscenza umana. Questo fenomeno è stato spesso identificato con il termine Horror Infiniti e riguardo, è interessante poter riportare all’attenzione una breve citazione di David Hilbert