# data[].attributes.headline
il modello iperbolico di Klein e il limite del cerchiodi Echer

# data[].attributes.subject
il modello iperbolico di Klein e il limite del cerchiodi Echer

# data[].attributes.body
Fissiamo nel piano euclideo un cerchio di centro O e raggio r. I punti interni al cerchio sono punti iperbolici e le sue corde, estremi esclusi, rappresentano le rette iperboliche.
Ecco l'interprepazione di Escher.

# data[].attributes.body
Se agli assiomi della geometria assoluta aggiungiamo l'assioma che nega l'unicità della parallela otteniamo la geometria iperbolica.
Se modifichiamo opportunamente gli assiomi della geometria assoluta e aggiungiamo l'assioma di Riemann che nega l'esistenza delle rette parallele otteniamo la geometria ellittica.

# data[].attributes.body
Godel dice di no
Kurt Gödel (1906-1978) , in una memoria del 1931, sostiene che una teoria formale, in cui è possibile decidere in un numero finito di passi se una formula della teoria è o non è un assioma, se è sufficientemente espressiva, e supposta coerente,contiene espressioni che non si possono né dimostrare né confutare.

E un corollario del” teorema di incompletezza di Gödel” afferma che nessun sistema formale o calcolo logico, supposto non contraddittorio, può sostenere, nel suo interno, la dimostrazione della propria non-contraddittorietà. Se il calcolo è coerente, dunque, esso è tale che non è dimostrabile al suo interno la formula che esprime la sua coerenza; non è quindi possibile dimostrare la non contraddittorietà di un sistema attraverso ciò che appartiene allo stesso sistema , attraverso cioè assiomi, definizioni, regole di deduzione proprie del sistema dato. Per farlo occorre ricorrere ad un sistema più ampio, più ricco di mezzi logici rispetto al primo. Secondo Gödel la non contraddittorietà di una teoria non è quindi una prova assoluta ma relativa.

# data[].attributes.body
Allego la sistemazioni degli assiomi della geomtria euclidea: se togliamo il quinto postulato abbiamo gli assiomi della geometria assoluta.

# data[].attributes.body
Hilbert dice di sì
E’ comunque solo alla fine del XVIII secolo che si apre per la geometria la possibilità di modificare il proprio linguaggio.

Con Hilbert (1862-1943) si affaccia la concezione formalista della matematica. Egli appartiene pienamente al XX secolo in quanto avverte l’esigenza fondamentale di determinare la non contraddittorietà di un sistema assiomatico: esso esiste, gli enti matematici esistono, se l’ammissione della loro esistenza non è contraddittoria. I criteri di valutazione di un dato sistema di assiomi sono di tipo formale: si richiederanno la coerenza del sistema ed ancora l’ indipendenza di ciascun assioma dagli altri.

Formalizzare non significa tradurre in simboli, ( già la matematica lo fa) ma evidenziare le forme di linguaggio che una teoria usa , così come le regole di formazione dello stesso linguaggio e le regole di manipolazione dello stesso;formalizzare una teoria significa evidenziarla come calcolo secondo regole logiche che presiedono ad un dato linguaggio.

Non casualmente questi requisiti sono soddisfatti dalla ricostruzione della geometria euclidea che lo stesso Hilbert aveva compiuto nei suoi  Fondamenti della geometria (1899).

# data[].attributes.headline
il V postulato è necessario ma non evidente

# data[].attributes.subject
il V postulato è necessario ma non evidente

# data[].attributes.body
Il quinto postulato rimanda a una costruzione in cui si annida l'infinito. Estendendo il piano il punto di interseziuone delle due rette si allontana...in un piano infinito va...dove va?
Allego la figura.

# data[].attributes.body
Per Euclide,assiomi e postulati sono asserzioni assunte per vere in base al criterio d'evidenza intuitiva, ogni altra asserzione è invece dimostrata utilizzando il metodo ipotetico deduttivo.
La " verità" di assiomi e postulati, insieme alla correttezza delle dimostrazioni , garantisce la verità dell'intera teoria.   Allego alcuni dei termini, assiomi, postulati euclidei