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Per determinare i punti di intersezione tra una retta e parabola é sufficiente risolvere il sistema formato dalle equazioni

1

oppure, nel caso di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse

Quindi, le soluzioni, se esistono, del sistema (1) sono le coordinate dei punti di intersezione della retta con la parabola.

Per risolvere il sistema sostituiamo nella prima equazione la y espressa dalla seconda equazione. Otteniamo così l’equazione

Come solito per le equazioni di secondo grado andiamo a calcolare il discriminante e vediamo quali sono i casi che si presentano in funzione del valore che esso assume.

In questo caso, il discriminante vale

e si possono avere gli usuali tre casi

1. Se abbiamo due radici reali e distinte quindi la retta interseca la parabola

2. se abbiamo due radici reali e coincidenti quindi è tangente

3. se non abbiamo radici reali quindi la retta é esterna alla parabola

NOTA: Se é parallela all’asse di simmetria della parabola, il sistema ammette una soluzione quindi ci sarà un solo punto di intersezione della retta con la parabola.

Per quanto riguarda le intersezioni fra una retta tangente ad una parabola da un punto esterno procediamo alla stesso modo delle altre coniche ossia annullando il discriminante dell’equazione risolvente del sistema fra retta generica per un punto e parabola, cioé:

Scriviamo adesso la formula di sdoppiamento quando non é esterno alla parabola ma appartiene alla curva; se indichiamo con il punto appartenente alla parabola di equazione abbiamo:

se appartiene alla parabola di equazione allora abbiamo:

Esempio 1

Scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola di equazione

condotte dal punto e individuare i punti di tangenza.

Scriviamo l’equazione del fascio di rette che passa per il punto

Mettiamo a sistema le equazioni della curva con quella del fascio per poi individuare la retta tangente. Abbiamo:

2

facendo le opportune sostituzione otteniamo

affinchè la retta sia tangente alla parabola poniamo il delta uguale a zero

pertanto, sostituendo i valori di m nell’equazione del fascio, otteniamo le due rette di equazione

Infine, per calcolare i punti di tangenza, sostituiamo nella (2) i valori di m delle due rette tangenti e risolviamo rispetto ad x ed y. Abbiamo dunque

che genera la soluzione

e dall’altra equazione

che genera la soluzione

Ora possiamo disegnare il grafico della parabola con le due tangenti

Esempio 2

Trovare l’equazione della tangente alla parabola

nel suo punto di ordinata -3.

Prima di tutto ricaviamo l’ascissa di :

pertanto per passerà la tangente alla parabola. Utilizzando la formula di sdoppiamento abbiamo:

abbiamo infine

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Prendendo per direttrice l'asse y e per fuoco il punto (1;0)  si ha la seguente equazione polare per una conica:
Se si vogliono ottenere equazioni cartesiane, dette (x;y) le coordinate del punto P, mantenendo la stessa direttrice e fuoco, e sfruttando la stessa relazione usata per la costruzione, si ha:
Che diventa l'equazione cartesiana generale di una conica:

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STRUTTURA DELLE FIGURE CONICHE - YouTube

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La storia della parola “parabola” (ah, lo sapete che “parola” deriva proprio da “parabola”? Se masticate un po’ di spagnolo, dove “parola” si dice “palabra”, magari ve ne eravate già accorti) è un po’ complicata. Forse una volta non la si sentiva usare più di tanto, al più erano gli sportivi che vedevano le automobili percorrere una curva parabolica oppure osservavano la parabola di un lancio; oggi però sembra che tu non sia nessuno se non hai la parabola per ricevere centinaia se non migliaia di canali televisivi via satellite e non guardarne mai più di due o tre.

Naturalmente le parabole di cui ho appena parlato corrispondono effettivamente alla curva nel senso matematico. Più precisamente quella televisiva è (parte di) un paraboloide di rotazione perché è tridimensionale, e forse la curva parabolica non è affatto una parabola; ma se è solo per questo nemmeno la parabola di un oggetto lanciato verso l’alto lo è (lo sarebbe se la Terra fosse piatta). Insomma, fin qua siamo sulla parola matematica vera e propria.

Però c’è anche un altro tipo di parabola, quello “evangelico”, che a prima vista non ha nulla a che fare con la figura geometrica. Non ci crederete, ma invece sì! Entrambe le accezioni derivano dal termine greco parabolé che significa “io confronto, metto in parallelo”. Nel caso della parabola intesa come figura geometrica, il nome è stato probabilmente dato perché se si facesse un tavolo da biliardo a forma di parabola e si colpisse – senza effetto – una biglia messa nel fuoco della parabola, dopo avere rimbalzato su un punto qualunque della parete la sua traiettoria sarebbe sempre nella stessa direzione. A sua volta, come dice etimo.it, parabolé è costituito da para-, confronto, e -ballo, getto oppure pongo; la balestra e la balistica (toh…) hanno la stessa radice. Ma torniamo al racconto con la morale. Il parallelismo con la figura deriva dal fatto che già prima della nascita dei vangeli i greci stavano usando la parola con il significato di “parallelo che serve a chiarire un argomento più difficile mettendolo a fianco di uno più chiaro e noto”: insomma, quello che oggi chiameremmo un esempio. Da lì il termine è stato riciclato dagli estensori del Nuovo Testamento, e come è capitato spesso il significato traslato dato dagli evangelisti è diventato quello principale.

Ah, a proposito dei significati traslati: quando si parla di “parabola di un potente” ovviamente si pensa alla figura geometrica, anche se un po’ distorta. Insomma, l’importante è che qualcosa prima cresca, rimanga per un po’ all’incirca costante, e poi cali; non è necessario che abbia la forma specifica di una parabola. Però non mi sento di cassare questo significato: ci sono cose molto peggiori!

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La parabola (---> clicca qui per vedere il video) fornisce un modo di amplificare i suoni provenienti da una posizione e allo stesso tempo attenuare tutti gli altri suoni. Nella parabola, tutte le onde sonore vengono riflesse in un unico punto detto fuoco. Ponendo un piccolo microfono proprio in questo punto si riceverà tutta l'energia che colpisce il piatto della parabola

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Il più antico autore delle coniche si chiama Menecmo; che descrisse le coniche come intersezione di un cono circolare retto.