# data[].attributes.body
Una matriz es una forma rectangular donde se ordenan los números reales mediante coordenadas reflejadas en los subíndices.
La dimensión de una matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión de la columna. Denominamos (m) para la dimensión de las filas y (n) para la dimensión de las columnas. Entonces, una matriz mxn tendrá m filas y n columnas.

# data[].attributes.body
Suma:
Existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica o mediante el uso de geometría analítica

# data[].attributes.body
Para sumar dos o más vectores se suman sus respectivas componentes de cada vector.

# data[].attributes.body
El método algebraico es conocido como método directo.
*Los métodos usando geometría analítica son conocidos como, el método del polígono, el método del triángulo y el método del paralelogramo se utilizan para la suma dos vectores.

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En caso de llevar a cabo la suma de dos vectores se usa la siguiente fórmula.

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Y se opera de esta manera:

# data[].attributes.body
MÉTODO DEL TRIÁNGULO.
Para sumar dos vectores libres  y  se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

# data[].attributes.body
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

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MÉTODO DEL POLÍGONO.
Consiste en colocar un vector a continuación del otro, de modo que el extremo de uno coincida con el origen del otro, y así sucesivamente, hasta colocar todos los vectores, la resultante será es aquel que va desde el inicio del primero al extremo del último vector.

# data[].attributes.body
PRODUCTO PUNTO.
El producto punto de los vectores u = ⟨u₁, u₂, u₃⟩ y v = ⟨v₁, v₂, v₃⟩ viene dado por la suma de los productos de los componentes:

u ∙ v = u ₁ v ₁ + u ₂ v ₂ + u ₃ v ₃.

# data[].attributes.body
(Recomendación)
Tenga en cuenta que, si u y v son vectores bidimensionales, calculamos su producto punto de manera similar. Por lo tanto, si u = ⟨u ₁, u ₂⟩ y v = ⟨v ₁, v ₂⟩, entonces

u ∙ v = u ₁ v ₁ + u ₂ v ₂.

# data[].attributes.body
Cuando dos vectores se combinan bajo suma o resta, el resultado es un vector. Cuando dos vectores se combinan usando el producto punto, el resultado es un escalar. Por esta razón, al producto punto a menudo se llama producto escalar. También se le puede llamar el producto interno.

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EJEMPLO DE PRODUCTO PUNTO

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PRODUCTO POR ESCALAR.
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

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PROYECCIÓN.
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

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Propiedades del producto escalar.

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EJEMPLO.

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PRODUCTO CRUZ.
es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.

# data[].attributes.body
Propiedades del punto cruz.

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Estas propiedades se prueban mediante las propiedades de los determinantes. El vector u × v es perpendicular a los vectores u y v simultáneamente, y, por lo tanto, al plano que los contiene. Al igual que en la definición de un sistema de coordenadas derecho, el sentido del vector u × v está determinado por la regla de la mano derecha: al orientar los dedos de la mano derecha excepto el pulgar, desde el vector u hasta el vector v, el vector u × v apunta en la dirección del dedo pulgar.

# data[].attributes.body
PRODUCTO TRIPLE.
Es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.  Se puede calcular también como el determinante de la matriz que se forma con las componentes de los vectores

# data[].attributes.body
¿Cuál es la formula?

Para hallar una fórmula que permita calcular el valor del producto mixto a partir de las coordenadas de los vectores procedemos a realizar la sustitución del producto cruz.

Sean u, v, w ∈ R3 . El triple producto escalar se define por:

u · (v × w) = u · v × w =

u1(v2w3 − w2v3) − u2(v1w3 − w1v3) + u3(v1w2 − w1v2) =

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El producto mixto de los vectores es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. El producto mixto se representa por:

# data[].attributes.body
El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

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EJEMPLO.

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Una determinante es una Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas.

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NOTA.
Al determinante de una matriz cuadrada de orden n se le llama determinante de orden n.
(Se va a denotar por V1,V2,...,Vn , las filas de una matriz A en Mn ).

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El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes:

# data[].attributes.body
El determinante de una matriz con alguna fila o columna de ceros es 0

Ejemplo.

# data[].attributes.body
Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor.

Ejemplo.
Extraemos el factor común 2 de la segunda fila:

# data[].attributes.body
Se puede extraer el mismo factor común de n filas o columnas multiplicando el determinante por el factor elevado a n.

Esta propiedad es consecuencia de la propiedad anterior.
Extraemos el factor común 2 de la segunda y la tercera fila:

Ejemplo.

# data[].attributes.body
Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo.

Ejemplo.
Cambiamos el orden de las filas segunda y tercera:

# data[].attributes.body
Si se cambia el orden de

n filas o columnas, el determinante cambia de signo si  n es impar.
Ejemplo.
Esta propiedad es una consecuencia de la propiedad anterior.

Cambiamos la primera fila por la segunda y, después, la segunda por la tercera. El determinante debe coincidir (número par de cambios):

# data[].attributes.body
Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante:

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Ejemplo.

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El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta:

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Ejemplo.

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Si una matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes, entonces su determinante es 0.

Ejemplo.
Las filas 2 y 3 de la matriz son múltiplos de la primera

# data[].attributes.body
El determinante no cambia si se suman filas (o columnas) multiplicadas por números distintos de 0.

Ejemplo.
Hemos sumado 5 veces la fila 3 a la fila 1.

# data[].attributes.body
El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal.

Ejemplo.

# data[].attributes.body
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal.

Ejemplo.

# data[].attributes.body
Tiene la forma: A=(a)
El determinante de A es el único elemento de la matriz.

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Ejemplo:

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Su determinante es:
Regla mnemotécnica: multiplicamos en las diagonales y las restamos.

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Ejemplo:

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Tiene la forma:

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Su determinante se calcula mediante la regla de Sarrus.

# data[].attributes.body
Permite calcular el determinante de matrices cuadradas de cualquier dimensión, pero normalmente se utiliza para dimensión mayor que 3.

# data[].attributes.body
Por fila:
Siendo aij los elementos de la fila i y Aij la que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j a la matriz A.

# data[].attributes.body
Ejemplo:

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Por columna:
El desarrollo por columnas es análogo. La fórmula para el desarrollo por la columna j es.

# data[].attributes.body
El estudio de vectores y matrices es la médula del álgebra lineal. El estudio de vectores comenzó esencialmente con el trabajo del gran matemático irlandés sir William Hamilton (1805-1865). Su deseo de encontrar una forma de representar un cierto tipo de objetos en el plano y el espacio lo llevó a descubrir lo que él llamó cuaterniones. Esta noción condujo al desarrollo de lo que ahora se conoce como vectores.

# data[].attributes.body
Es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B.

# data[].attributes.body
Los vectores son matrices de un reglón o columna. Cada vector es un tipo especial de matriz. Así, por ejemplo, el vector reglón de n componentes (a1, a2,... an) es una matriz de 1x n, mientras que el vector columna de n componentes es una matriz de n x 1.

# data[].attributes.body
En  se denomina la primera componente del vector, x2 es la segunda componente, y así sucesivamente. En términos generales, xk se denomina la       k-ésima componente del vector.

# data[].attributes.body
VECTOR RENGLÓN DE n COMPONENTES(VECTOR  DIMENSIÓN n).

Un vector de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números denominados escalares, escritos de la siguiente manera:

# data[].attributes.body
VECTOR COLUMNA DE n COMPONENTES( O VECTOR DE DE DIMENSIÓN n)
Es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera:

# data[].attributes.body
VECTOR NULO O CERO.
Cualquier vector cuyos elementos sean todos cero se denomina vector cero. Juega el papel de elemento neutro para la suma de vectores. En cierto sentido es una anomalía pues no tiene dirección ni sentido.

# data[].attributes.body
VECTOR UNITARIO.
Se trata de un vector de módulo = 1. En ciertas ocasiones, a los vectores unitarios también se les da el nombre de vector normalizado.

Por ello, el paso necesario para encontrar este tipo de vectores consiste en dividir un vector por su módulo.

Por lo tanto, si dividimos un vector por sí mismo, tendremos un vector unitario.

Al multiplicar un escalar por un vector unitario, el escalar dará la magnitud mientras que el vector unitario dará la dirección.

# data[].attributes.body
El vector unitario  tiene magnitud 1 y su dirección es paralela al eje.

# data[].attributes.body
De igual manera los vectores unitarios tienen magnitud 1 y son paralelos a los ejes y  y   z, respectivamente.

# data[].attributes.body
EJEMPLO.

# data[].attributes.body
Una matriz A=(aij)A=(aij) es diagonal cuando los elementos que no están en la diagonal son 0. Es decir, aij=0aij=0 si i≠ji≠j.
Ejemplo:
La matriz identidad es una matriz diagonal.

# data[].attributes.body
Normalmente, las matrices diagonales se escriben indicando su diagonal. Por ejemplo, las matrices anteriores son:

# data[].attributes.body
MATRIZ BIDIAGONAL
*Una matriz AA es bidiagonal superior si sus todos los elementos por encima de la diagonal 1 y por debajo de la diagonal 0 son 0's.
Ejemplo.

# data[].attributes.body
*Una matriz AA es bidiagonal inferior si sus todos los elementos por encima de la diagonal 0 y por debajo de la diagonal -1 son 0's.
Ejemplo.

# data[].attributes.body
MATRIZ TRIDIAGONAL.
Una matriz AA es tridiagonal si sus todos los elementos por encima de la diagonal 1 y por debajo de la diagonal -1 son 0's.
Ejemplo.

# data[].attributes.body
Las matrices diagonales, bidiagonales y tridiagonales son casos particulares de las matrices banda

# data[].attributes.body
Sea AA una matriz de dimensión mxn mxn,

Es una matriz triangular superior si tiene 0's por debajo de la diagonal, es decir, si aij=0aij=0 para i>ji>j.
Ejemplo.

# data[].attributes.body
*Es una matriz triangular inferior si tiene 0's por encima de la diagonal, es decir, si aij=0aij=0 para i<ji<j.
Ejemplo.

# data[].attributes.body
Una matriz AA es simétrica si es igual a su traspuesta, es decir, A=ATA=AT. Como consecuencia de la definición, la matriz AA tiene que ser cuadrada.
Ejemplo.

# data[].attributes.body
La matriz traspuesta de una matriz AA de dimensión mxn mxn es una matriz de dimensión nxm nxm que tiene por columnas a las filas de AA. Se denota como ATAT (o A′A′ si la matriz es real).
Ejemplo.

# data[].attributes.body
El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.

# data[].attributes.body
Se calcula a través de los siguientes métodos.
El método de Gauss y el método por cálculo de determinantes.

# data[].attributes.body
Ejemplo.

# data[].attributes.body
Paso 1:Calculamos el determinante de la matriz.
En el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

# data[].attributes.body
Paso 2:°  Hallamos la matriz adjunta.

Es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

# data[].attributes.body
Paso 3:Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

# data[].attributes.body
Paso 4: La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

# data[].attributes.body
Una Matriz Nula (Matriz Cero) es aquella matriz en la que todos sus valores son igual a 0

Un  ejemplo de matriz nula es:

# data[].attributes.body
Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, matriz anti simétrica, matriz nilpotente  y matriz singular.

# data[].attributes.body
Si  es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.

# data[].attributes.body
Ejemplo:

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Sólo podemos calcular potencias de matrices cuadradas. Por ejemplo, la potencia A ² es el producto de matrices A·A, lo que exige que A tiene que ser cuadrada.
Ejemplo.

# data[].attributes.body
Una matriz cuadrada es cuando tiene la misma cantidad de filas que de columnas. Formalmente, diremos que una matriz A es cuadrada si tiene  n filas y  n columnas, en este caso diremos que es de tamaño n. Escrito de forma exhaustiva, tenemos que:

# data[].attributes.body
Las matrices cuadradas pueden tener distintos tamaños.
Ejemplos:
*Matriz cuadrada de tamaño 2x2.

# data[].attributes.body
*Matriz cuadrada de tamaño , 3x3.

# data[].attributes.body
*Matriz cuadrada de tamaño 4x4.

# data[].attributes.body
Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumadas

# data[].attributes.body
¡Importante! La suma de matrices es conmutativa.

# data[].attributes.body
Suma y restas de matrices (ambas deben ser del mismo tamaño) cantidad de renglones por columnas

# data[].attributes.body
Entrada es la posición en que se encuentra cada número.

# data[].attributes.body
Ejemplo.