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數學是你的

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畫出你的數學來之五

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在「畫出想法來」的課堂，有一些非常重要的環節，是讓學生們哇啦哇啦地說個不停，和同學或老師之間對話，可以讓學生放聲思考，打通自己的思路。... Continue reading

為了讓學生投入學習，有時在數學課中，處理同一作業題時，老師會請幾位同學分別在黑板列出不同的數式和計算方法，然後請同學核對步驟和答案的正誤。至於學生怎樣理解問題，如何構想處理的方法，和對自己做法的檢討，就很難有機會在課堂展示了。於是很多課堂上的對話，都局限在一些預期的套路，偶然遇到另類答案和想法，也沒有時間和空間去討論。

即使有時間討論，由於數式和計算步驟已經是一些學習成果，很難再追溯學生的想法是怎樣形成的。所以有一種做法是在學生開始解題時，就讓他們畫出自己的想法來，讓他們用圖像或用日常語言去展示腦海中的思考過程，而不是即時從文字或數式題目，跨過思考過程，但求學生熟識套路，直接跳到數式和計算結果，核對答案。

之前寫了四篇「畫出你的數學來」（註1），關於八鄉中心小學的兩位老師，安排了八節課，用故事說出有關分數的文字題，請小五和小六的同學，在寫出數式和計算之前，先用圖像展現他們怎樣理解故事中有關分數的情境，下一步才寫出數式和計算。結果，學生們都高高興興地用五花八門的圖畫表現自己的理解能力，也給老師帶來好一些驚喜。

用畫圖打開數學的話匣子

以往要求學生一開始就用數式去翻譯文字題的情境，總會有不少學生交白卷或亂寫一些數式來敷衍。但是，要求他們畫圖表達，就全部人都可以參與。學生打從一開始拿到彩筆，就會滿有信心地塗畫。結果也顯示原來他們都明白文字內容的意思，只是走到應用數式或計算途中，有人思路接駁不上而已。

所以，在「畫出想法來」的課堂，有一些非常重要的環節，是讓學生們哇啦哇啦地說個不停，和同學或老師之間對話，可以讓學生放聲思考，打通自己的思路。

這些環節讓課堂變得鬧哄哄，老師大概順序安排如下：

1. 學生畫圖後，要和鄰座同學互相解說為什麼會這樣畫，

2. 列出數式後，找不同畫法或做法的同學，互相說明圖像和數式的關係，

3. 期間，老師巡視學生的作品，遇見獨特（而不論對錯）的表現，可以和學生對談，聽他們怎樣講自己的想法，

4. 老師遇到停滯了的學生，會傾談一下，稍加協助，鼓勵學生放膽嘗試，

5. 全班完成畫圖後和列寫數式後，老師都會邀請學生向全班同學展示自己的作品和解說，同學可以提問，討論和比較不同的做法，有時原作者未能清楚說明以至同學誤解，會有明白了的同學幫助辨解。

課堂內的對話，有時同學之間的對話會比師生之間進行得更好。因為老師腦中已有慣用的答案，而學生的構想有時只是稍具雛形，甚至是凌亂，所以有些老師聽到這些另類說法，可能轉不過彎來，未能試用新的角度去接收。若要學生樂於使用放聲思考的學習方法，首要老師用心聆聽和耐性引導。

真誠地發聲，細心地聆聽

就如上一篇寫過的例子（註2），老師提出的文字題是「一班40位同學，其中3／8的人得獎，問有幾多位同學獲獎呢？」學生Mike在解說問題時，把40人誤作80人處理，發現錯處後，就以40作為80的半數來思考，把做法矯正過來。後來更洋洋自得地搶着向全班展示和解說。

Mike的解說，有兩點令人出乎意料。最初也令老師摸不着頭腦。

第一點：有別於一般學生急於掩蓋或塗掉錯誤部分的習慣，Mike把他錯誤的原作，毫不掩飾地暴露在全班同學面前。（見圖1.1）

第二點，Mike沒有單刀直入說出正解，他解說的重點是怎樣把錯誤轉化為正解的思考過程：「如果是80人時，每一格有10人，40是80的一半，每一格有5人，......。」（見圖1.2）

當老師預期學生直接說出正解時，首先看到是錯的做法，難免未能適應過來。於是，迷茫的老師抓抓頭，坦誠地回應：「我不明白為什麼是80人，突然又可以變為40人呢？！」

後來老師細心一想，才記起Mike開始時用了「如果」兩個字，所以Mike所用的80只是一個假設的數據，真正的是40。而Mike隨着80這個假設數據開始的一切運作是正確的，他只需要把所有數字減半便成了正解。老師想通後，幫忙把Mike的解說稍為重整一下，確認了他的處理方法。

如果老師沒有認真的聆聽，很容易便會錯失了學生解說中的重點，把學生獨特的思考方法輕易誤判為雜亂無章了。

謙虛地融合

另一方面，安排時間給學生對話或當小老師，除了讓他們有機會表現自己，原來當聆聽者的同學也真的有在消化別人的思考，融合為自己的知識。以下是一個令人讚嘆的例子。

Fanny在解答「一班40位同學，其中3／8的人得獎，問有幾多位同學獲獎呢？」這個問題時，她用的是畫圖法（見圖2.1）。她畫的比Mike仔細，具體用40個小圈代表40人，這樣當然會比較花時間，如果稍進一步抽象化，就可以像Mike那樣，用長條或格子代表10人或5人。

除了以上自己的解法之外，Fanny還欣賞到鄰座Jojo有別於自己的做法，以至在自己的畫作旁，加入了Jojo的的列式計算表達法，更標籤了原作者Jojo的名字（見2.2）。

最後，從Mike的解說中，你猜猜Fanny又吸收了什麼新東西？原來當老師努力拆解Mike到底在說些什麼時，Fanny已經吸納了用每一長條代表10人的做法，加在自己畫作之下，再標明這麼做法是源自Mike的。（見圖2.3）

Fanny的學習態度實在是非常謙虛，她能夠在其他同學的作品中，找出獨特的東西，消化融合成為自己的知識和技能。由此可見她的學習不限於老師和課本，而是從任何人或事都可以有所得益。

當然，像文中所寫這樣充滿真對話的學習群體，不是從開始就達到文章所展示的教學效果，這是經過全校師生努力建立起來的（註3）。開始時總會混亂和嘈雜，但是只要能夠達到讓學生自主學習、樂於學習而又學得到的目標，實在值得一試。如果你不想再把學生埋在操練中，而又事倍功半，甚至是徒勞無功的困局，這更是一個好選擇。

註1： 文章 「畫出你的數學來」之一至之四 。

註2：上一篇 〈數衷情：錯中有思考〉 。

註3：力推正向教育的八鄉中心學校，透過課程和活動，提供很多機會讓學生學習表達和聆聽的溝通能力，即使在數學課也如是。就像在合適的土壤上栽種，老師用心設計和推行「畫出想法來」的課節，給老師和學生都帶來寶貴的學習經歷。
畫出你的數學來之五
本系列文章：
數衷情：畫出你的數學來

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數衷情：畫出真對話|潘瑩明

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在「畫出想法來」的課堂，有一些非常重要的環節，是讓學生們哇啦哇啦地說個不停，和同學或老師之間對話，可以讓學生放聲思考，打通自己的思路。... Continue reading ...

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其實老師都會認同，學生犯錯是一個很好的學習切入點。學生敢於寫出有別於標準答案的做法，我們才能夠和他們有真正的思想交流，不用強逼他們不明不白地死跟一種做法。... Continue reading

看到下面三位小學生的數學作業，你會把重點放在那裏呢？作業的問題是：「你有5塊曲奇餅，把一半給了我。你還有多少塊餅呢？」

你會欣賞不拘一格的圖解部分，還是因為看到不知所云的計算數式，而懷疑學生的能力呢？

圖一至三分別是三位小五、六同學給出的答案。當時老師請同學閉目聆聽問題後，請他們畫出分餅的做法，看看是多少塊。大家都說得出是兩塊半。老師也讓他們互相解說各自的想法和畫法。

到了最後才要求他們用數式寫出計算方法。

有朋友非常欣賞老師的安排，因為他看到的亮點是學生在畫圖部分的表現，看得出學生自有一套想法，只在老師要求學生冩出數式和計算時，才適應不來。朋友説：「在這種教學法之下，未算完全想得到正解的同學，得以局部被肯定，學會去蕪存菁，學會回到自己道路的中途，吸收新元素，殊途同歸於正解；而不是不必要地全盤自我否定，喪失自信，生吞活剝死記硬背一套完全陌生的『唯一』正確道路，又可能進入愈學愈蠢、愈學愈無能的險境。」

感激學生犯錯！

朋友的話聽來説得重了，但我是能理解的，可能在他的學習經歷裹，遭遇過不少的打擊。老實說，作為數學老師看學生作業，重點當然放在數式和計算上，因為畫圖部分是拿不到分數的。況且以上三份作業出亂子的部分早已教了「正確的做法」，現在卻發現他們腦子裏竟然另有一套莫名其妙的做法。老師看到在數式計算部分的重災區，怎會不擔心學生的成績呢。

其實老師都會認同，學生犯錯是一個很好的學習切入點。學生敢於寫出有別於標準答案的做法，我們才能夠和他們有真正的思想交流，不用強逼他們不明不白地死跟一種做法。正如一位台裔奧地利籍音樂人楊佳恬（註）表揚她所遇到充滿教學熱忱的老師：「把『尋找屬於個人的答案』看得比『該給什麼答案』更重要！」

楊女士慶幸在奧地利的中學數學老師身上學到：「數學也沒有絕對正確的答案。數學其實是一種藝術。她一直很鼓勵我們用自己的算法，就算答案錯誤，也沒有關係。」她甚至會「感激學生犯錯，因為這樣才能知道真正還可以加強的地方在哪裏，我們才能一起來糾正，一起成長。」

沒有一個答案對也考得到高分

楊女士感激學生犯錯的想法，切實地發揮在她的教琴課：「如果學生彈錯音，我會先等學生開心彈完，⋯⋯ 然後，我再各彈一次學生錯誤的版本以及正確的版本。讓學生聽，到底有什麼不一樣。有的學生 ⋯⋯ 聽力還比較弱，會不解的看着我，回問，我覺得兩個版本都很對欸，哪裏有錯？我就是在等這句話！因為這就是我的切入點，聽不出來錯音，表示耳朵不了解和聲運作，我可以趁機教一下這裏的和聲環節。⋯⋯ 」

楊女士甚至豁達到：「也有發生過不少次學生下次回來上課，說他覺得改過來的正確版本不好聽，他覺得錯的比較好聽。如果學生堅持，我就讓他們彈他們的錯音版本，聽到時還是覺得挺可愛的。有時候還真的比較好聽欸，So，why not？」

為什麼在奧地利學習數學可以開心地犯錯，而又可以是有效的學習呢？除了老師的耐性，原來還有他們獨特的打分法：「我（楊女士）就考過幾乎沒有一個答案對、卻還幾乎滿分的數學考卷，因為自己想出來的解題方式都跟老師的不一樣，一路被加分加上去。她在打分數的時候，有時候答案錯誤，她會看算式，看你是在哪個步驟出錯，然後前面對的步驟還是給分，如果還想出跟老師不同的解題方式，還會給你加分。」

驟然看來，這種有如身處天堂的打分法，在我們的現實中遙不可及，但是原來在日常課堂，還是可以為學生開拓出空間的。這些例子下期續寫。

（註）本文撮用楊佳恬的兩篇文章：
為何我們的老師那麼愛出選擇題？奧地利一張全非選考卷，讓她看見台灣教育最大盲點 為何答案幾乎全錯的數學考卷，卻將近滿分？她在奧地利，經歷台灣很難學到的珍貴一課 畫出你的數學來之三
本系列文章：
數衷情：畫出你的數學來

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數衷情：錯得好！|潘瑩明

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其實老師都會認同，學生犯錯是一個很好的學習切入點。學生敢於寫出有別於標準答案的做法，我們才能夠和他們有真正的思想交流，不用強逼他們不明不白地死跟一種做法。... Continue reading 看到下面三位小學生的數學作業，你會把重點放在那裏呢？作業的問題是：「你有5塊曲奇餅，把一半給了我。你還有多少塊餅呢？」 你會欣賞不拘一格的圖解部分，還是因為看到不知所云的計算數式，而懷疑學生的能力呢？

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畫出你的數學來之四

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「畫出想法來」是先給學生打開一個投入學習的闊門，營造一個活潑貼地的學習氛圍，讓學生放膽嘗試，用自己擅長的工具去展示自己的思考的角度。... Continue reading

有些學生喜歡數學是因為：「數學考試最公道，因為對錯分明，評分標準乾淨俐落，最好一點是不用寫很多文字。」看看這填充題："5 x 0.5 = ＿＿＿" （問題1），不用解釋，只要簡單填上2.5就對，可以拿滿分了。

不過，如果你填上0.25 就肯定錯了，得分是零。老師可不會顧念你還背得出乘數表的五五二十五，給你打一半的分數喔。這可是有人快樂有人愁了。而且，假如數學試題都是這樣，而數學學習又以這樣的試題為目標，豈不是在訓練機械人的思考方法？

是機械還是人的思考

那麼，把上述問題1改為文字題：「你有5塊曲奇餅，把一半給了我。你還有多少塊餅呢？」（問題2）， 加入處境應用的意義，可算是一條給人做的問題吧。這時學生答：

"5 x 0.5 = 0.25"，雖然最後的數字答案還是錯了，但他可是有經過思考而用數式，至少"5 x 0.5"表達「平分一半」的意思，這正是錯誤中的正確思考。

可惜，即使只要學生列式計算，也有不少學生會錯用了："5 x 2"，"0.5 x 2"的數式（註1），還是看不出他們由閲讀理解到寫出數式之間，出了什麼岔子。有老師試過在課堂提出這個分餅問題，而且在要求列式計算前，先讓學生畫出分餅的做法，看看學生在處理文字題時，關卡在那裏。

結果，全部學生都能夠成功表達他們對問題的理解（例如圖1A和2），而且口頭也說得出答案是「兩塊半餅」。

學生畫出不同的分餅法：

當時就是畫出圖1A的學生，寫了對的數式而算出錯的答案"0.5 x 5 = 0.25"。因為老師不是為了試卷評分，而是更想知道學生怎樣算出0.25，所以老師沒有即時指出0.25是錯的，反而請學生說明一下為什麼是0.25。於是學生便充滿自信地，指着圖1A中4塊切走了一半的餅，再在下面加上標記，並寫下"0.5 x 4 = 0.20"，成為圖1B，然後指着最右邊半塊餅説：「這就是那0.05塊餅。所以合起來 0.20 ＋ 0.05就是0.25了。」學生理直氣壯地解說了怎樣得出這個他從來不認為是錯的答案。

這次，老師終於明白了這名學生，為什麼他的小數答案總是出錯了。其實學生不是不受教，只是平日老師教了一套小數的記數方法，而學生不明白，所以不願意死跟，於是用自己的角度去思考，把老師的一套自行消化，做出另一套小數記數法。

經過認真思考的改正

可以向老師詳細講出自己想法的學生是幸運的，他們有機會為自己的想法辯解，在辯解中繼續用思考去學習，不用硬吞一些不明所以的知識和道理。老師耐性的詢問和聆聽，往往鼓勵到學生愈戰愈勇。

同一群學生，到了「畫出想法來」的第6節課，老師提出這樣的問題：「一班40位同學，其中3／8的人得獎，問有幾多位同學獲獎呢？」同樣讓他們先畫圖，跟同學互相解說，再列式計算，最後選派兩位學生，向全班同學演示不同的處理方法，讓同學談論不同方法的異同。

這次，我留意到有一位學生Mike的畫作和數式（圖3）。單看圖和數式是沒有錯的，但是檢查一下題目原意是40人，當學生把全班人數分成8格，然後隨意地把每格當成代表10人，總數便變成80人了。當時其實不少學生都有犯上這個大意的錯誤。

於是我指着Mike的畫作問：「你這裏有多少人呢？」他説80人。跟着我指住他之前寫下題目時的40，問他：「你怎樣比較這兩個數字呢？ 」想了一會兒，他看出了40是80的一半，所以他說圖中的每一格也應該是10的一半，即是5人而不是10人。我看他已找出線索，就轉去看看其他學生的做法。

稍後，老師邀請個別同學站出來展示和解説自己的做法時，Mike熱切地舉手爭取得到出來演示。我還以為他會像一般學生的做法，塗去原有錯誤的部分，以便只把成功的一面展示給人。

但他竟然毫不掩飾自己錯了的部分（即圖3），之後加上（圖4）解說他怎樣從錯誤中出正確解答的思考過程（註2）。由於Mike結結巴巴的解說，險些兒令老師和同學着眼於（圖3）錯誤的部分，再跳去（圖4）的數式，聽不懂他是怎樣轉變過來呢？

有思考地錯，認真的學習

「聽一次就明白，練習多幾次就記得。」 這是對學生不切實際的期待。學生不是按程式操作的機械人。無論老師的講解多有條理，多清楚明確，學生也不會單一地按老師指定的角度來接收。有時學生出錯只不過是他們用了另外的角度去思考，這麽主動積極的學習，絕對要多加鼓勵。

在數學課中，其實列式計算應該已到了展示學習成果的一步，之前要經過多少思考和抉擇，也即是要經過多少出錯的關卡，才能走到這一步。「畫出想法來」是先給學生打開一個投入學習的闊門，營造一個活潑貼地的學習氛圍，讓學生放膽嘗試，用自己擅長的工具去展示自己的思考的角度。再加上讓學生先用日常語言向同學解説自己的想法，不用一下子就跳去列式計算。即使到了列式計算，仍然鼓勵學生們互相解説自己選擇的數式和計算方法。遇到不同的想法就互相檢查、比較、辯解，這樣，老師不用做批改作業的判官，不只看數式和數字答案，不會見到不符標準答案就打一個交叉；跟着，也不會造成，即使學生不明緣由，也要抄寫一次標準答案作為改正這種反教育的常規操作。

「畫出想法來」的數學課，容許學生犯錯，老師欣賞他們的錯是經過主動思考的另類想法。這樣的課節比較花時間和心力。但是保留以至增長了學生主動學習的動力，這樣不是比起重覆走過聽課、看例題、做練習、交習作、做改正的過程，更符合少年人的本性嗎？而且還學到德育，因為，這一回竟然不是按權威來災對錯，而是學生從被尊重中學會尊重別人，也就比較聽得入別人的不同説法，願意再思考來調整自己的想法。

註1：文中的例子來自八鄉中心學校，老師們用心設計和進行了7次「畫出想法來」的數學課節，讓學生學習表達和聆聽的溝通能力，給學生和老師帶來寶貴而有效的學與教經歷。

註2：八鄉中心學校的學生，多來自少數族裔家庭，包括尼泊爾、巴基斯坦、印尼等，校內以英語作溝通語言。
畫出你的數學來之四
本系列文章：
數衷情：畫出你的數學來

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數衷情：錯中有思考|潘瑩明

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「畫出想法來」是先給學生打開一個投入學習的闊門，營造一個活潑貼地的學習氛圍，讓學生放膽嘗試，用自己擅長的工具去展示自己的思考的角度。... Continue reading 有些學生喜歡數學是因為：「數學考試最公道，因為對錯分明，評分標準乾淨俐落，最好一點是不用寫很多文字。」看看這填充題："5 x 0.5 = ＿＿＿" （問題1），不用解釋，只要簡單填上2.5就對，可以拿滿分了。 ...