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En la antigüedad, el meridiano cero solía establecerse coincidiendo con la última tierra conocida, más allá de la cual solo existía océano inexplorado

Visitantes en el Real Observatorio de Greenwich, en Londres (Reino Unido). Mike Kemp (In Pictures / Getty Images)

Durante muchos siglos el problema de determinar la posición de un buque en alta mar resultó muy complicado, aunque latitud y longitud plantean dos dificultades muy distintas. La latitud se mide con respecto a una referencia muy clara: el ecuador; en cambio, para la longitud no existe un punto de partida concreto, ya que todos los meridianos son iguales.

La latitud podía establecerse fácilmente sin más que medir la altura de la estrella Polar sobre el horizonte (en el hemisferio austral, la Cruz del Sur ofrecía un sustituto aceptable aunque no tan exacto). De día, la referencia era el Sol, si bien el cálculo exigía aplicar algunas correcciones según la hora y la época del año, solo al alcance de profesionales entrenados.

La longitud era otro asunto. El concepto de "meridiano" no apareció hasta el siglo XVI; los navegantes medievales calculaban su rumbo a estima o aplicando "recetas" que elaboraban los cartógrafos. Estas rutas establecían singladuras entre origen y destino, guiándose por la rosa de los vientos o siguiendo un paralelo dado. Ni que decir tiene que estos especialistas eran tan celosos de sus conocimientos (y su negocio) que una vez establecidas las rutas en sus cartas de navegación solían entregar al cliente una simple indicación de los rumbos a seguir en cada tramo de la singladura y borraban todas las anotaciones hechas en su carta para poder reutilizarla.

En la antigüedad, el meridiano cero solía establecerse coincidiendo con la última tierra conocida, más allá de la cual solo existía océano inexplorado. Parece que Ptolomeo utilizó las islas Canarias o, más probablemente, las de Cabo Verde. Todas las longitudes se medían desde él hacia el Este, puesto que aún no estaba extendido el significado de los números negativos.

Colón fue el primero en notar que la aguja de la brújula no señalaba justo al norte, pero que a medida que avanzaba por el Atlántico, la desviación iba disminuyendo hasta que el norte magnético y el geográfico coincidían. Ese meridiano no tenía nada de especial; simplemente parecía una forma "natural" de establecer una referencia. Aunque el método de determinar la longitud en el mar mediante la declinación magnética no resultaría práctico debido a las irregularidades del campo magnético.

El tratado de Tordesillas, que establecía las zonas de influencia portuguesa y española en el Nuevo Mundo, solo prescribía que la línea de demarcación se encontraría a 370 leguas al oeste de las islas de Cabo Verde. Bastante más que las 100 leguas establecidas el año anterior por bula papal, pero ninguna referencia concreta a grados de longitud. Los geógrafos se enzarzaron en interminables discusiones sobre cuántas leguas abarcaba un grado. Y más tarde si la línea (definida como "de polo a polo") se extendía al otro hemisferio, ya que de ello dependían las áreas del Pacífico que pudieran colonizarse.

Durante muchos años Cabo Verde serviría de referencia más o menos oficial para el meridiano cero. A mediados del XVI, Mercator lo trasladó a la isla de Fuerteventura, pero tampoco ese fue un acuerdo universal, puesto que cada cartógrafo solía asignarlo donde más le conviniera según criterios prácticos, nacionalistas o religiosos.

Así, el origen de longitudes estuvo localizado durante cortos periodos de tiempo, en Jerusalén, Roma, Pisa, San Petersburgo, la pirámide de Cheops o Copenhague (quizás en homenaje a Tycho Brahé). En el siglo XVII, el cardenal Richelieu decretó que Francia adoptaría el meridiano de la isla de Hierro, a 19º 55′ Oeste, que luego se redondearía a 20º solo para que el 0º correspondiese a París.

Durante mucho tiempo, la longitud solo pudo calcularse por métodos astronómicos. Los eclipses lunares ofrecían un buen sistema: Ocurrían simultáneamente en todo el planeta, pero cada observador los veía a una hora diferente, según su posición geográfica. El propio Colón lo intentó dos veces durante su segundo y cuarto viaje; aunque las pocas efemérides disponibles entonces no ofrecían muchas garantías.

Otros astrónomos, Galileo entre ellos, sugirieron utilizar un reloj cósmico muy exacto: los eclipses de los satélites de Júpiter. Se llegaron a compilar tablas de cálculo para ayudar en la tarea. En teoría, podría haber funcionado en tierra firme, pero localizarlos desde la bamboleante cubierta de un buque en alta mar resultaba imposible.

Hacia el siglo XVIII, el cálculo de la longitud seguía siendo un problema no resuelto. Los métodos de estima, o sea, determinar la posición en función del rumbo y camino recorrido, suponían errores de muchas decenas de kilómetros. Fue la causa de numerosas tragedias: capitanes que no daban con su isla de destino hasta el punto de no saber si se encontraba a este u oeste y que en el retraso por encontrarla media tripulación murió de escorbuto; o naufragios como el de las islas Scilly en el que la Marina británica perdió en una sola noche cuatro navíos de línea y más de 2.000 vidas.

A raíz de esos incidentes, el Almirantazgo británico promocionó la búsqueda de un sistema más fiable para deducir la longitud. Por lo menos, con un margen de error aceptable. Desde mucho tiempo atrás se sabía que la solución pasaba por comparar la hora local con la hora en el meridiano de referencia, pero al no existir relojes fiables, esta debía calcularse por otros métodos. El más utilizado, el de distancias lunares.

En esencia, se basaba en medir el ángulo entre el centro del disco lunar y una estrella brillante. Las estrellas estaban fijas, pero la posición de la Luna cambiaba a lo largo de la noche. Los astrónomos podían calcular cómo variaba minuto a minuto y plasmar los resultados en tablas referidas a un meridiano de referencia. Por lo general, claro, el mismo desde donde se habían hecho los cálculos.

Ciertamente, era un trabajo formidable, que exigió el esfuerzo colectivo de varias generaciones de matemáticos. Porque no solo se trataba de predecir distancias, sino también ayudar en las múltiples correcciones que harían falta. Por ejemplo, el efecto de la refracción provocada por la atmósfera o el diferente tamaño aparente de la Luna según se encontrase en apogeo o perigeo, lo cual, a su vez, afectaba a la determinación de su centro.

Fue el quinto astrónomo real, el inglés Nevil Maskelyne, quien, con la publicación del Almanaque Náutico (1767) daría un gran impulso al método de cálculo por distancias lunares. No era un sistema cómodo ni rápido: exigía complejos cálculos que podían llevar más de cuatro horas hasta llegar a un resultado aceptable. El propio Maskelyne, durante un viaje a la isla de Santa Helena, tardó ocho horas.

Por entonces, un carpintero y relojero aficionado llamado John Harrison construyó el primer cronómetro marino suficientemente preciso para mantener la hora con apenas unos pocos segundos de error pese a las malas condiciones de un viaje por mar. Con su ayuda, el cálculo de la longitud no solo era sencillo y rápido, sino mucho más preciso.

El inconveniente del reloj de Harrison era su precio, puesto que se trataba de una auténtica pieza de orfebrería. Por eso, hasta que, con el tiempo, se hizo más asequible, los marinos continuaron utilizando el método de las distancias lunares. Y como las tablas del Almanaque se habían calculado desde el observatorio real en Greenwich, su meridiano (y su hora local) se convirtió en una referencia "de facto".

En la segunda mitad del siglo XIX, la necesidad de adoptar una referencia común se hacía más y más evidente, no ya solo por imperativos de la navegación, sino por unificar los horarios de los ferrocarriles. En Estados Unidos cada población se regía por un horario referido a su propio meridiano, tomando como origen el de Washington (que también había servido para establecer los límites de numerosos Estados en el Medio Oeste).

Tras varios intentos, en octubre de 1884 se convocó en Washington una conferencia internacional con, entre otros, el objeto de definir oficialmente el meridiano de Greenwich como origen de las mediciones de longitud. El acuerdo se adoptó por 23 votos contra uno. Solo Santo Domingo votó en contra; Francia y Brasil se abstuvieron. De hecho, Francia aún se resistiría durante 30 años a aceptar la preeminencia de Greenwich, hasta el punto de recurrir al eufemismo "tiempo medio de París menos 9 minutos y 21 segundos"

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Por qué el meridiano 0 es el que pasa por Greenwich

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La trigonometría y la geometría clásica han sido fundamentales desde el diseño de los trajes voladores hasta el desarrollo de los primeros aviones

Primer vuelo de los hermanos Wright. NASA

En estos momentos hay entre ocho mil y veinte mil aviones surcando el cielo simultáneamente en el mundo. Cada uno de estos vuelos es posible gracias a las matemáticas, en aspectos que van desde la planificación del consumo del combustible al diseño y mejora de los aparatos. Los primeros vehículos que permitieron al ser humano alzarse sobre la superficie terrestre (globos aerostáticos, dirigibles, planeadores y aviones) se sustentaron en diversos conceptos geométricos, algebraicos o analíticos.

En el siglo IX, los hombres pájaro se convirtieron en precursores de la aviación. Sin un soporte teórico y únicamente con la esperanza de poder volar, abrían las alas tejidas a sus trajes y se lanzaban de grandes alturas, fallando una y otra vez en el intento. Tras ellos, el primer vuelo en paracaídas, más o menos exitoso, fue realizado por el químico, físico y matemático Abbas Ibn Firnás (810, Ronda; 887, Córdoba) en ese mismo siglo, lo que sentaría las bases para los futuros diseñadores de aeronaves.

La trigonometría y la geometría clásica desempeñaron un papel esencial en el estudio de la aviación durante este primer periodo; permitieron a los pilotos y navegantes calcular distancias, ángulos y altitudes con mayor precisión. En concreto, fueron clave los métodos trigonométricos que el matemático árabe Al-Biruni había desarrollado entre los siglos X y XI para resolver problemas astronómicos y geodésicos, como la medición del radio de la Tierra.

Las primeras aeronaves que surcaron los cielos fueron las "más ligeras que el aire", que se llenan con helio o hidrógeno, de manera que su peso total es menor que el peso del aire que desplazan. Ejemplos de estas aeronaves son el globo aerostático, cuyo primer vuelo fue realizado por los hermanos Montgolfier; y el dirigible, diseñado en Alemania por Ferdinard von Zeppelin. Para definir su diseño y estabilidad se usaron los estudios sobre proporciones y volúmenes que Leonardo Fibonacci había hecho en los siglos XII y XIII. También se emplearon sus trabajos sobre proporciones armónicas, para establecer las dimensiones de diferentes componentes de las aeronaves (como las alas, fuselajes u otros elementos), lo que dio como resultado diseños armónicos y estéticamente agradables.

En los siglos del XVIII al XIX, las investigaciones en geometría permitieron desarrollar perfiles de alas más eficientes. Un perfil aerodinámico es una forma geométrica, normalmente curva, presente en alas de aviones, aspas de helicópteros, alerones y timones, diseñada para optimizar el comportamiento de una superficie que interactúa con un flujo de aire, garantizando el menor arrastre posible causado por el viento.

Ejemplo del principio de Bernoulli aplicado a un perfil aerodinámico asimétrico en contacto con el aire. Debido a la alta velocidad por encima del perfil, existe una presión baja en esta zona, mientras que hay baja velocidad y presión alta, debajo del mismo. Esta diferencia de presiones crea una fuerza de levantamiento. Y.D.

Matemáticos como Daniel Bernoulli estudiaron la geometría de las alas y también otros aspectos estructurales, que buscaban lograr, por primera vez, el vuelo de una aeronave más pesada que el aire. Aunque no lo consiguió, el trabajo de Bernoulli fue clave para comprender la interacción existente entre el aire y los objetos. De hecho, uno de los teoremas que propuso se sigue empleando hoy en día en una de las explicaciones de por qué vuelan los aviones. Este determina cómo la velocidad del viento, al interactuar con las alas, causa una distribución de presiones que elevan un avión.

Otro enfoque frecuente para justificar el vuelo de las aeronaves recurre a la tercera ley de Isaac Newton: las partículas del viento son direccionadas hacia abajo, lo que causa la fuerza de levantamiento en el avión. Efectivamente, las leyes del movimiento y de la gravitación universal formuladas por Newton en el siglo XVII (una descripción matemática precisa de cómo los cuerpos se mueven en el espacio) fueron la base para establecer los principios del vuelo de los aviones en tiempos cercanos a su invención. Sin embargo, en la actualidad hay otras explicaciones más aceptadas, basadas en el uso de la dinámica de fluidos computacionales.

Palas de un motor turbofán moderno. En el centro del motor se aprecia una espiral sobre una forma cónica utilizada para ahuyentar aves durante el vuelo. Jorge Láscar

En 1799, el británico George Cayley desarrolló el perfil de ala simétrica, en el que la parte superior como la inferior son iguales, uno de los primeros perfiles aerodinámicos reconocidos. Sin embargo, el verdadero avance en el diseño de perfiles aerodinámicos no se produjo hasta finales del siglo XIX, con nuevas investigaciones exhaustivas sobre la aerodinámica de las alas. Fue entonces cuando Otto Lilienthal realizó numerosos vuelos en planeadores (aeronaves diseñadas para volar sin motor). A través de sus experimentos, recopiló datos y refinó perfiles aerodinámicos que maximizaban la sustentación y minimizaban la resistencia.

Unos años más tarde, en 1903, los hermanos Wright fueron los primeros en lograr el vuelo motorizado controlado. Su trabajo, basado principalmente en experimentos con túneles de viento, es la base en la comprensión de la forma de las palas en los motores turbofán, los más utilizados en los aviones comerciales actualmente. Este tipo de motores contiene un ventilador de gran tamaño que comprime el aire entrante, el cual es mezclado con combustible, generando gases de alta velocidad que son expulsados para propulsar la aeronave. El diseño óptimo de la geometría de estos vehículos permite reducir la resistencia del aire, ahorrando combustible, reduciendo el ruido de los motores y evitando turbulencia durante los vuelos.
Yoshua Díaz Interian Café y Teoremas Edición y coordinación: Ágata Timón García-Longoria. Es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas". es investigador predoctoral en el Instituto Politécnico Nacional (México).
Desde comienzos del siglo pasado, la industria aeronáutica ha evolucionado de manera abrupta gracias al uso de herramientas teóricas y computacionales, diversos teoremas, ideas y teorías matemáticas que se emplean en el análisis y la optimización de diversos aspectos de la aviación. A esto dedicaremos un siguiente artículo de Café y Teoremas.

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