# data[].attributes.body
Porción indefinida de plano limitada por dos líneas que parten de un mismo punto o por dos planos que parten de una misma línea y cuya abertura puede medirse en grados.

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Nombrar el angulo (o vértice) con una letra.  Y tiene que nombrase las rectas con letras distintas. Para luego escribir empezando con el símbolo <, continuando con una letra de las rectas, luego el vértice y luego la siguiente recta.

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Para trazar un ángulo necesitamos de un transportador y una regla. Y seguir los siguientes pasos:

1.  Primero trazamos una semi-recta con ayuda de nuestra regla.

2. Centramos el transportador para que la línea que trazamos se encuentre con la marca de 0° del transportador.

3. Ubicamos donde se encuentra el ángulo deseado y lo marcamos trazando un punto.Con ayuda de la regla unimos el inicio de la semi- recta con el punto que se trazó con anterioridad.

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CÓMO DIVIDIR UN ÁNGULO EN PARTES IGUALES

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Línea formada por una serie continua de puntos en una misma dirección que no tiene curvas ni ángulos y cubre la menor distancia posible entre dos puntos.

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Las rectas se nombran con letras minúsculas. Y se utilizan los superíndices para indicar el tipo de proyección que son las siguientes:

VT: verdadero tamaño de las rectas.

α: Ángulo que forma la recta con el plano horizontal.

β: Ángulo que forma la recta con el plano vertical.

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1. Línea recta: Conjunto de puntos que se colocan uno al lado del otro formando una línea en una misma dirección.

2. Semi-recta: Recta que es dividida en dos semi-recta por un punto. Esta semi-recta tiene principio, pero nunca tiene final.

3. Recta paralela: Dos líneas rectas que son colocadas en un plano y que nunca se interceptan o se cortan sin importar cuanto las mismas se prolonguen.

4. Rectas secantes: Dos líneas rectas que se cortan únicamente cuando se unen por uno de sus puntos.

5. Recta de punta: Esta es perpendicular al plano vertical.

6. Recta vertical:  Recta que se presenta de forma perpendicular al plano horizontal.

7. Rectas de perfil: Rectas que siempre se presentan oblicuas con relación al plano vertical y al horizontal.

8. Rectas coincidentes: Dos rectas que presentan todos sus puntos en común al ubicarse en un mismo plano, los cuales se colocan una encima de la otra.

9. Rectas convergentes: Rectas que en un plano parten de dos puntos distintos, y las mismas van juntándose a medida que avanzan.

10. Rectas divergentes: Rectas que parten en un mismo punto del plano y al avanzar nunca se unen, más bien se van separando más una de la otra.

11. Rectas oblicuas: Rectas que al cortarse crean ángulos desiguales.

12. Mediatriz del segmento: Una recta perpendicular que llega a dividir en dos partes iguales un segmento.

13. Rectas perpendiculares: Rectas que al cortar llegan a formar cuatro ángulos de 90 grados, o sea crean cuantos ángulos rectos.

14. Rectas inclinadas: Rectas que tienen una pendiente diferente de 0. Está pendiente es finita.

15. Rectas horizontales: Rectas que posee una pendiente de 0. En este el eje Y siempre es igual independientemente al punto X.

16. Rectas verticales: Rectas donde el eje que siempre permanece es igual a X, independientemente del punto Y.

17. Recta tangente: Rectas que solo tienen un punto en común con relación a una línea curva.

18. Recta poligonal: Esta se forma al ubicar diversas rectas una seguida de la otra, de forma no alineada. Estas rectas deben ser combinadas en una misma dirección. Con la unión de estas a través de sus extremos se pueden crear diversas figuras planas.

19. Rectas concurrentes: Rectas que siempre llegan a un punto en común.

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Identificar dos puntos (con una separación medida con regla si es necesario) en el plano, luego con los instrumentos como la regla unimos los puntos con un linea, creando así una recta.

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Es un polígono de tres lados que da origen a tres vértices y tres ángulos internos. Es la figura más simple, después de la recta en la geometría. Como norma general un triángulo se representa con tres letras mayúsculas de los vértices (ABC).

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Podemos clasificar los triángulos según 2 criterios:

Según la medida de sus lados

1.  Equilátero:

- Los 3 lados (a, b y c) son iguales    - Los 3 ángulos interiores son iguales.

2.  Isósceles:

- Tienen 2 lados iguales (a y b) y un lado distinto (c)

- Los ángulos A y B son iguales, y el otro agudo es distinto.

3.  Escaleno:

-  Los 3 lados son distintos

-  Los 3 ángulos son también distintos.

Según la medida de sus ángulos

1.  Acutángulo:
- Tienen los 3 ángulos agudos (menos de 90 grados).

2.  Rectángulo:
- El ángulo interior A es recto (90 grados) y los otros 2 ángulos son agudos.
- Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos (c y b), el otro lado hipotenusa.

3.  Obtusángulo:
- El ángulo interior A es obtuso (más de 90 grados)
- Los otros 2 ángulos son agudos

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Los vértices se designarán mediante letras mayúsculas, los lados se designarán mediante la misma letra del vértice opuesto, pero en minúscula.

# data[].attributes.body
1.  Traza un segmento AB que será la base del triángulo.

2.  Abre el compás tanto como mide el segmento de la base.

3.  Apoyando el compás en A, traza un arco de desde B hasta 90° del punto A.

4. Apoyando el compás en B, traza un arco de desde A hasta 90° del punto B.

5.  Marca con la letra C el punto donde se cortan los arcos trazados. Éste será el tercer vértice del triángulo.

6.  Ahora une A con C y B con C, Y haz trazado tu triángulo equilátero.

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1.  Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia

a < b + c

a > b – c

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

3.  El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = A + B

α = 180º - C

4.  En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5.  Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

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Rectas Notables De Un Triangulo

- Mediatrices: Son las rectas perpendiculares a los lados que dividen a éstos en partes iguales.

- Bisectrices: Son las rectas que dividen a los ángulos en partes iguales.

- Medianas: Son los segmentos que unen los vértices con los puntos medios de los lados opuestos.

-   Alturas: Son los segmentos perpendiculares a los lados (o a la prolongación de éstos) que tienen su otro extremo en el vértice opuesto.

Puntos Notables De Un Triángulo.

- Circuncentro: Es el punto en el que se encuentran las mediatrices. Este punto no siempre es interior al triángulo. (En los triángulos con un ángulo obtuso, es exterior; en el caso de los triángulos rectángulos, pertenece a la hipotenusa.)

- Incentro: Es el punto en el que se encuentran las bisectrices. El incentro es siempre interior al triángulo, de ahí su nombre.

- Baricentro: Es el punto en el que se encuentran las medianas. En un cuerpo real de forma triangular, el baricentro es el centro de masa (de ahí su nombre, gr. baros = "gravedad"), es decir, el punto desde el cual se puede tomar el cuerpo sin que manifieste tendencia a girar. El baricentro es siempre interior al triángulo

- Ortocentro: es el punto de encuentro de las alturas. Este punto no siempre es interior al triángulo. (En los triángulos con un ángulo obtuso, es exterior. En el caso de los triángulos rectángulos, coincide con el vértice del ángulo recto.)

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La resolución de triángulos (del latín solutio triangulorum) es uno de los principales problemas de los que se ocupa la trigonometría. Consiste en determinar las dimensiones características de un triángulo (sus ángulos y las longitudes de sus lados), cuando algunos de estos datos son conocidos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).

La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

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Cuadrilátero significa "cuatro lados"
(cuad significa cuatro, látero significa lado).

Las figuras de cuatro lados se llaman cuadriláteros, pero los lados tienen que ser rectos, y la figura tiene que ser bidimensional.

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Observa en la figura adjunta cómo se nombran los vértices con letras mayúsculas (A, B, C, D) y los lados con minúsculas (a, b, c, d). Además, aparecen dispuestos de forma consecutiva, siguiendo el sentido contrario de las agujas del reloj.

Para los ángulos se utilizan letras griegas (α, β, γ, δ).

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Trazar un cuadrado conociendo el lado.

1.  Se coloca el lado A en la posición de la base.

2. Desde los extremos del lado A, se trazan dos perpendiculares.

3. Mediante dos arcos, se lleva el lado a sobre las perpendiculares.

4. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el cuadrado pedido.

Construir un cuadrado conociendo su diagonal d.

1. Sobre un punto cualquiera se trazan dos rectas perpendiculares entre si: recta r y recta s.

2. Se traza la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas r y s.

3. Sobre la bisectriz se lleva la diagonal.

4. Desde este punto se trazan paralelas a las rectas r y s.

5. Utilizando estos puntos, se construye el cuadrado.

Construir un rectángulo conocidos los lados.

1. Sobre una recta cualquiera r se coloca un lado del rectángulo, por ejemplo, el lado a.

2. Sobre un extremo del lado a (por ejemplo, el punto A) se traza una recta s perpendicular a este lado y, sobre la perpendicular, se lleva el lado b.

3. Desde el otro extremo del lado a (punto B) se traza un arco de radio b.

4. Desde el punto D (extremo del lado b) se traza un arco de radio igual al lado a.

5. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el rectángulo.

Construir un rectángulo conocidos la diagonal y un lado.

1. Se coloca la diagonal d (segmento AB) sobre una recta cualquiera r.

2. Se halla el punto medio M de la diagonal y se traza una circunferencia que pase por sus extremos (puntos A y C).

3. Desde A y C se trazan dos arcos de radio a.

4. Se unen los puntos hallados (B y D), con los extremos de la diagonal (A y C), y se obtiene el rectángulo.

Construir un rombo conocidos una diagonal y su lado.

1. Se coloca la diagonal sobre una recta r cualquiera. Se obtienen los puntos A y C.

2. Con el lado a como radio, se trazan dos arcos desde A y C. Obtenemos los puntos B y D.

3. Se unen los extremos de la diagonal (A y C) con los puntos hallados (B y D) y se obtiene el rombo.

Construir un romboide conocidos los lados y la altura.

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el lado AB.

2. Se traza una perpendicular al lado AB en uno de sus extremos (por ejemplo, en B) y se lleva la altura h.

3. Por el punto 1 se traza una paralela a lado AB. Desde los extremos A y B, se trazan dos arcos, de radio BC.

4. Se unen los puntos A, B, C y D y se obtiene el romboide.

Construir un trapecio recto conocidos sus lados paralelos y la altura.

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB.

2. Se traza una perpendicular a AB en uno de sus extremos (por ejemplo, en A) y se lleva la altura h.

3. Por D se traza una paralela a AB y se lleva la base superior CD.

4. Se unen los puntos A, B, C y D y se obtiene el trapecio recto.

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Dibujar un romboide de lado AB y diagonales AC y CD dadas.

1.- Como las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto medio.

2.- Dibujamos el triángulo AOB que tiene como lados AB y las mitades de sus diagonales: AO=AC/2 y BO=BD/2.

3.- Una vez situadas las diagonales, las prolongamos las distancias AC y BD y señalamos sus extremos C y D, para definir ABCD.

Dibujar un rombo de diagonal BD y lado AB dados.

1.- Se dibuja la diagonal DB.

2.-Se trazan arcos con centro en sus extremos y radio AB, para hallar A y C.

Rombo de lado AB y altura h dados.

Recordamos que la altura en un paralelogramo es la distancia entre dos lados paralelos. Como el rombo tiene los lados iguales sólo tiene una altura, luego la solución es única.

1.- Trazamos dos rectas paralelas a la distancia h.

2.- Con centro en un punto D arbitrario trazamos un arco de radio AB que corta a las rectas en A y C.

3.- Hacemos AB=DC.

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geometría (Del griego : γεωµετρία : geo = Tierra, Metria = medida) es el campo del conocimiento dedicado a las relaciones espaciales. Junto a la teoría de números conforma el antecedente más claro de la matemática moderna. El principal ámbito de aplicación de la geometría clásica fue la construcción de edificios, canalizaciones y la distribución del terreno. La geometría primordial se basaba en una colección de enunciados descubiertos empíricamente en relación con longitudes, ángulos, áreas, y volúmenes de diversos objetos, y que fueron desarrollados para satisfacer necesidades en agrimensura, construcción, astronomía y artesanía. Entre estos principios algunos destacan por ser sorprendentemente sofisticados, hasta el punto de que su justificación ha requerido una compleja elaboración incluso para la matemática y el cálculo modernos. En la actualidad, los conceptos geométricos han alcanzado un alto nivel de abstracción y complejidad debido a la influencia del cálculo y el álgebra, de modo que la geometría moderna es apenas reconocible como heredera de la antigua.

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Es razonable pensar que los orígenes de la Geometría se encuentran en los primeros pictogramas del hombre primitivo (prehistoria, + 3300 a. C.), que de esta forma clasificaba inconscientemente los objetos que le rodeaban atendiendo a su forma o dimensiones. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento intuitivo e informal a la geometría.

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El desarrollo de la geometría primitiva fue paralelo al de los números y la aritmética. La introducción de los numerales fue un paso decisivo en la abstracción que dejaba atrás las marcas de cuenta utilizadas por los hombres primitivos. Uno de los primeros esfuerzos serios datados se remonta a la antigua Mesopotamia hace 6000 años. A continuación repasaremos sus logros más importantes.

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Los geómetras babilónicos tenían conocimientos básicos de trigonometría. Estaban familiarizados con el teorema de Pitágoras, y comprendían su principio general. Conocían también el teorema, atribuido a Tales de Mileto, según el cual el ángulo inscrito en un semicírculo es recto. Además, sabían que “los lados correspondientes de dos triángulos rectángulos semejantes son proporcionales”, y que “la perpendicular trazada desde el vértice de un triángulo isósceles divide la base de este triángulo en dos partes iguales”.

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La Geometría en el Antiguo Egipto tuvo gran importancia a tenor de los escritos de los historiadores griegos Herodoto, Estrabón y Diodoro, quienes incluso atribuían a los egipcios el nacimiento de esta ciencia. Con posterioridad éstos se la transmitieron a los griegos. Estos historiadores nos relataron que los conocimientos egipcios sobre geometría –así como los de las culturas mesopotámicas– pasaron íntegramente a los griegos a través de Tales de Mileto, los pitagóricos, y Euclides. Las inundaciones provocadas por el Nilo en el antiguo Egipto obligaban a los agrimensores o "tensadores de cuerda", como los llamó Heródoto, a recalcular las lindes de los campos año tras año. Por tanto, y desde muy antiguo, tuvieron que resolver problemas de medición de la tierra, esto es, de geometría (γεωµετρία), imprescindibles en una sociedad compleja que contaba con una nutrida corte de registradores. Los egipcios se enfrentaron al cálculo del área de cuadriláteros y triángulos, y alcanzaron una buena aproximación al cálculo del área del círculo.

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Se denomina polígono a cualquier figura plana cerrada compuesta por segmentos de recta concatenados.

Un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos interiores iguales. Algunas de sus propiedades son éstas:

Los polígonos regulares son equiláteros, esto es, todos sus lados tienen la misma longitud.

Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son congruentes.

El centro de un polígono regular es un punto que equidista de todos sus vértices. O lo que es lo mismo, existe una circunferencia llamada inscrita cuyo centro es el centro del polígono y que pasa por todos sus vértices.

Los polígonos se pueden dividir en triángulos isósceles cuyos lados son el lado del polígono y los dos segmentos que unen el centro y los vértices (radios). El ángulo menor de estos triángulos isósceles es siempre 360º dividido entre el número de lados del polígono.

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Los elementos de los polígonos regulares son:

Los vértices (A,B,C,D..).

Los lados (AB, BC, CD…).

El centro (O).

Los ángulos interiores (uno por cada vértice).

Los apotemas, segmentos que unen el centro y el punto medio de cada lado del polígono.

Los radios, segmentos que unen el centro y cada vértice.

Las diagonales, que unen vértices no contiguos (por ejemplo, AD).

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Los nombres de los polígonos regulares básicos son los siguientes:3 lados: Triángulo equilátero4 lados: Cuadrado5 lados: Pentágono regular6 lados: Hexágono regular7 lados: Heptágono regular8 lados: Octágono regular9 lados: Eneágono regular10 lados: Decágono regular11 lados: Endecágono regular12 lados: Dodecágono regular13 lados: Tridecágono regular14 lados: Tetradecágono regularetc…

# data[].attributes.subject
Los nombres de los polígonos regulares básicos son los siguientes:3 lados: Triángulo equilátero4 lados: Cuadrado5 lados: Pentágono regular6 lados: Hexágono regular7 lados: Heptágono regular8 lados: Octágono regular9 lados: Eneágono regular10 lados: Decágono regular11 lados: Endecágono regular12 lados: Dodecágono regular13 lados: Tridecágono regular14 lados: Tetradecágono regularetc…

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Los polígonos de 3, 4, 6 y 8 lados pueden trazarse sin dificultad, porque los ángulos que lo forman son múltiplos de 30 o de 45º.

Para trazar un pentágono regular inscrito en una circunferencia existe un procedimiento simple:

Trazamos dos diámetros perpendiculares de la circunferencia (PQ y RS en la figura). P será uno de los vértices del pentágono.

Determinamos el punto medio M del segmento OS y trazamos la recta QM.

Con centro en M, trazamos la circunferencia de radio MO, que se corta en U y V con la recta PM.

Los arcos de centro Q y radios QU y QV determinan los cuatro vértices restantes del pentágono regular.

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En general, cualquier polígono regular puede trazarse dividiendo los 360º de una circunferencia en tantas partes como lados tenga el polígono. En la figura siguiente se muestra uno de los procedimientos generales que existen para dibujar polígonos regulares de 7 a 13 lados. Se basa en dividir una circunferencia en un número de partes igual al número de lados, y circunscribir después el polígono en ella. Para hacer esta división, seguimos estos pasos:

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Dibujamos dos diámetros perpendiculares, por comodidad uno horizontal (AB) y otro vertical (CD).

Dividimos uno de ellos (en la figura, el vertical) en tantas partes como lados tendrá el polígono. Lo hacemos aplicando el teorema de Tales.

Con centro en el punto D, trazamos un arco de radio igual al diámetro de la circunferencia (CD) hasta que corte a la prolongación del otro diámetro (en el punto P).

Unimos ese punto P con la segunda división del diámetro CD, prolongando la recta hasta que toque a la circunferencia, en un punto que será el segundo vértice del polígono (M).

Con ayuda de un compás encontramos la longitud del lado, y la vamos copiando sobre la circunferencia mediante arcos iguales consecutivos para encontrar el resto de vértices.

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Estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho.

# data[].attributes.body
Punto:  Es el objeto fundamental en geometría, el punto representa solo posición y no tiene dimensión.
Linea: Tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto infinito de puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones.
Plano: Tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones.

# data[].attributes.body
Igualdad de distancia entre todos los puntos de dos o más líneas o planos.

# data[].attributes.body
Que forma un ángulo recto con otra línea u otro plano.

# data[].attributes.body
Dos rectas, planos u objetos están inclinados entre si, cuando no son ni paralelos, ni perpendiculares.

# data[].attributes.body
Se comprende como la adición de dos o más elementos para formar uno nuevo.

# data[].attributes.body
Se dice que un elemento u objeto esta contenido en otro, cuando esta totalmente dentro de él.

# data[].attributes.body
Lugar en que se cortan o se encuentran dos líneas, dos superficies o dos sólidos.

# data[].attributes.body
Espacio Bidimensional Horizontal (X, Y)

Es un espacio plano colocado, comprendido o paralelo al horizonte. Está delimitado por dos ejes de referencia que mutuamente se cortan y que Consiste en dos rectas perpendiculares entre sí y que dividen el espacio plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes y a su intersección le llamaremos origen. Los puntos se ubican en el espacio plano en base a dos distancias medidas perpendicularmente desde cada uno de los ejes coordenados “X” y “Y”.

La distancia o las distancias asignadas a un punto se llaman coordenada, o coordenadas del punto.

La asignación de coordenadas es la asociación de cada punto en el plano con una pareja de números. El cuadrante superior derecho se llama primer cuadrante y los otros se enumeran a partir de este y en dirección contraria a las manecillas del reloj.

# data[].attributes.body
El desplazamiento de un punto en el plano hacia la derecha o izquierda del Eje “Y”. El desplazamiento de un punto en el plano hacia la Arriba o hacia abajo del Eje “X”. Consideradas juntas, la Abscisa y la Ordenada se llaman coordenadas del punto. Las coordenadas se escriben entre paréntesis, primero la abscisa y separara de la ordenada mediante una coma. (X, Y)

Si un punto (x, y) queda en el primer cuadrante ambos son positivos.

Si un punto (x, y) queda en el segundo Cuadrante, “X” es negativo y “Y” es positiva.

Si un punto (x, y) queda en el tercer Cuadrante, ambos son negativos.

Si un punto (x, y) queda en el cuarto Cuadrante, “X” es positiva y “Y” es negativo.

# data[].attributes.body
Esta también son coordenadas rectangulares pero a diferencia de las coordenadas totales este sistema relaciona los puntos extremos de la recta, utilizando como punto de referencia el inicio de la recta dada desde el cual se procede a medir sobre X´ y sobre Y´ las coordenadas relativas al extremo de la recta.

# data[].attributes.body
Son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo.