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Distribución binomial (video) | Khan Academy

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Problemas resueltos de Distribución Binomial

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Problemas resueltos de Distribución Binomial

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1) Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan 3 caras.

2) Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan como máximo 2 caras.

8) Una familia tiene 10 hijos. La distribución por sexos es igualmente probable. Hallar la probabilidad de que haya :
a) Como mucho tres niñas.
b) Al menos una niña.
c) Al menos ocho niños.
d) Al menos una niña y un niño.

10) Una prueba de inteligencia está compuesta de 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas, siendo solo una de ellas correcta. Un alumno tiene prisa por acabar la prueba y decide contestar de forma aleatoria. Se pide :
a) Probabilidad de no acertar ninguna pregunta.
b) Probabilidad de acertar exactamente cuatro preguntas.
c) Probabilidad de acertar todas las preguntas.
d) Probabilidad de acertar al menos siete preguntas.
e) Probabilidad de acertar menos de cuatro preguntas.

12) Si el 20 % de las tartas elaboradas en una fábrica tienen trazas de nueces, ¿cuál es la probabilidad de que, entre cuatro tartas elegidas al azar, a lo sumo dos contengan trazas de nueces?

14) Si la probabilidad de que ocurra un suceso A es P ( A ) = 1 / 5, ¿cuál es el mínimo número de veces que hay que repetir el experimento para que la probabilidad de que ocurra al menos una vez el suceso A sea mayor que 1 / 2 ? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos dos veces A al realizar 5 veces el experimento?

1) Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan 3 caras.

2) Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan como máximo 2 caras.

0

1

2

3

4

0,0016

0,0256

0,1536

0,4096

0,4096

Sea X la variable que representa el número de tornillos. Tenemos una distribución binomial, con n = 3 y p = 0,3 : B ( 3 ; 0,3 ).

Sean :
X = "número de enfermos que experimentan mejoría"
n = "número de pacientes a los que se les suministra el tratamiento"
p = "probabilidad de mejoría"
Si p = 0,8 ⇒ q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2

Sea X la variable que exprese el número de personas que asisten al acto. Se trata de una distribución binomial de parámetros n = 10 y p = 0,4 : B ( 10 ; 0,4 ).

8) Una familia tiene 10 hijos. La distribución por sexos es igualmente probable. Hallar la probabilidad de que haya :
a) Como mucho tres niñas.
b) Al menos una niña.
c) Al menos ocho niños.
d) Al menos una niña y un niño.

Tenemos una distribución binomial en la que p = 1 = 0,5 puesto que la probabilidad de que haya una niña o un niño es igual. Lla variable X hará mención a las niñas y la variable Y a los niños.

Tenemos de nuevo una distribución binomial, donde p = 0,2 y q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8 : B ( 6 ; 0,2 ).

10) Una prueba de inteligencia está compuesta de 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas, siendo solo una de ellas correcta. Un alumno tiene prisa por acabar la prueba y decide contestar de forma aleatoria. Se pide :
a) Probabilidad de no acertar ninguna pregunta.
b) Probabilidad de acertar exactamente cuatro preguntas.
c) Probabilidad de acertar todas las preguntas.
d) Probabilidad de acertar al menos siete preguntas.
e) Probabilidad de acertar menos de cuatro preguntas.

Sea X la variable dscreta que expresa el número de preguntas acertadas en el test de inteligencia. Tenemos una distribución binomial de parámetros n = 10 y p = 0,25. Es decir, B ( 10 ; 0,25 ).

Sea X la variable aleatoria que expresa el número de personas que están a favor de la construcción de la planta nuclear.

a)
En este caso tenemos una distribución binomial de parámetros n = 5 y p = 0,2.

b)
Ahora volvemos a tener una distribución binomial, pero cuyos parámetros son n = 20 y p = 0,2.

12) Si el 20 % de las tartas elaboradas en una fábrica tienen trazas de nueces, ¿cuál es la probabilidad de que, entre cuatro tartas elegidas al azar, a lo sumo dos contengan trazas de nueces?
X = número de tartas con trazas de nueces
p = probabilidad de tarta con trazas de nueces = 0,2
n = número de tartas seleccionadas = 4
Tenemos por tanto una distribución binomial B ( 4 ; 0,2 ).

14) Si la probabilidad de que ocurra un suceso A es P ( A ) = 1 / 5, ¿cuál es el mínimo número de veces que hay que repetir el experimento para que la probabilidad de que ocurra al menos una vez el suceso A sea mayor que 1 / 2 ? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos dos veces A al realizar 5 veces el experimento?

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Ejercicios resueltos de distribucion binomial. Distribución binomial ejemplos. Ejercicios y problemas de distribución binomial.

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1) Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan 3 caras. 2) Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan como máximo 2 caras. 8) Una familia tiene 10 hijos. La distribución por sexos es igualmente probable.

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Explicación y ejemplos.

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La distribución de Poisson fue propuesta por primera vez por Simeón Poisson en libro publicado en 1837. A medida que pasaron los años, el número de aplicaciones comenzó a aumentar, sobre todo el siglo XX y con la aparición de las computadoras en el siglo XXI permitió incrementarlas aún más. La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta, que describe el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo específico; el cual puede ser de tiempo, distancia, área, volumen, entre otros. Por ejemplo, son variables de Poisson: el número de llamadas que recibe una central telefónica en el período de 1 minuto, el número de bacterias en un volumen de 1 litro de agua o el número de fallas en la superficie de una pieza de cerámica rectangular.

Veamos este tema a detalle con ayuda de ejemplos y ejercicios.

1) Introducción

Como les había contado antes, de profesor de matemáticas me va muy mal, por eso paso la mayor parte de mi día trabajando en una veterinaria. Todos los días llegan muchos pacientes, sobre todo perros y gatos, pero han llegado también algunas tortugas, mapaches, serpientes, tiburones, vacas, dinosaurios y patos. Esperamos cada día la llegada de 4 pacientes, pero algunos días llegan más, otros menos.

¿Será posible calcular la probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día? o ¿5 pacientes en un día?

La respuesta es que sí, gracias a la fórmula de la distribución de Poisson. Eso sí, antes de aplicar la fórmula de la distribución de Poisson, tenemos que verificar que nos encontramos ante un experimento de Poisson. Si no estamos en un experimento de Poisson, no podemos aplicar la fórmula.

2) Experimento de Poisson

En una distribución de Poisson, se cumplen siempre los siguientes supuestos:

i) la variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido. El intervalo puede ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna unidad similar.

X = número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido

ii) la probabilidad de ocurrencia es la misma para cualesquiera 2 intervalos de igual longitud.
iii) la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
iv) dos eventos no pueden ocurrir exactamente al mismo tiempo.

Si se cumplen esas condiciones, la variable aleatoria discreta X sigue una distribución de Poisson y podemos aplicar la fórmula de la distribución de Poisson.

Aquí algunos ejemplos típicos de variables aleatorias que siguen una distribución de Poisson:

El número de clientes que ingresan a un supermercado en un día.

El número de accidentes registrados en una fábrica durante una semana.

El número de llamadas que recibe una central telefónica en el período de un minuto.

El número de bacterias en un volumen de un litro de agua.

El número de vehículos que llegan a una gasolinera en una hora.

El número de fallas en la superficie de una pieza de cerámica rectangular.

El número de toxinas en partes por millón encontradas en un litro de agua de un río.

3) Distribución de Poisson

Se dice que una variable aleatoria discreta X tiene una distribución de Poisson con parámetro μ (μ>0) si la función de probabilidad de X es:

\[f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\mu}\cdot\mu^x}{x!}; ~~~~ x=0; 1;2;3;4;...\]

Donde:

f(x) = P(X=x) : probabilidad de x ocurrencias en un intervalo.

μ: valor esperado o media de X.

e: base de los logaritmos naturales. Su valor es 2,71828...

Además, en una distribución de Poisson:
La veterinaria de Jorge recibe un promedio de μ = 4 pacientes por día. Sabiendo que el número de pacientes que llegan en un día sigue una distribución de Poisson, calcular: a) la probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día.
Primero definimos nuestra variable aleatoria:
X = número de pacientes que llegan en un día.
Además, nos indican que esta variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson, entonces podemos aplicar la fórmula:

\[f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\mu}\cdot\mu^x}{x!}\]

Calculamos la probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día, es decir, f(3). Además, el enunciado nos indica que llegan en promedio 4 pacientes por día, es decir, μ = 4.

\[f(3)=P(X=3)=\frac{e^{-4}\cdot4^3}{3!}\\~\\f\left(3\right)=P\left(X=3\right)=\frac{0,01832\cdot64}{3\cdot2\cdot1}\\~\\f(3)=P(X=3)=0,1954\]

La probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día es de 0,1954 o 19,54 %.
b) la probabilidad de que lleguen 5 pacientes en un día.
Calculamos la probabilidad de que lleguen 5 pacientes en un día, es decir, f(5). Además, el enunciado nos indica que el enunciado que llegan en promedio 4 pacientes por día, es decir, μ = 4.

\[f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\mu}\cdot\mu^x}{x!} \\~\\f(5)=P(X=5)=\frac{e^{-4}\cdot4^5}{5!}\\~\\f\left(5\right)=P\left(X=5\right)=\frac{0,01832\cdot1024}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}\\~\\f(5)=P(X=5)=0,1563\]

La probabilidad de que lleguen 5 pacientes en un día es de 0,1563 o 15,63 %.

5) Guía de ejercicios

Desde el botón que viene a continuación, podrás descargar la guía de ejercicios de la distribución de Poisson:

Descarga la guía de ejercicios

Veamos las video clases de la distribución de Poisson:

7)Referencias

Para elaborar este artículo, hemos empleado las siguientes referencias:

Devore, J., 2018. Fundamentos de probabilidad y estadística. 1ra ed. México: Cengage Learning, pp.124-131.

Córdova Zamora, M. (2009). Estadística descriptiva e inferencial. 5a ed. Lima: Moshera, pp.268-272.

Wiśniewski, P., 2014. Estadística y probabilidad. 1ra. ed. México: Editorial Trillas, pp.141-153.

Lind, D., Marchal, W. y Wathen, S., 2015. Estadística aplicada a los negocios y la economía. 10a ed. México: McGraw-Hill, p.173.

Newbold, P., Carlson, W. y Thorne, B., 2008. Estadística para administración y economía. 6a ed. Madrid: Pearson Educación, pp.173-178.

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La distribución de Poisson fue propuesta por primera vez por Simeón Poisson en libro publicado en 1837. A medida que pasaron los años, el número de aplicaciones comenzó a aumentar, sobre todo el siglo XX y con la aparición de las computadoras en el siglo XXI permitió incrementarlas aún más.

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Distribución de Poisson | Ejercicio resuelto 2

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
La distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad individual más importante. La distribución normal nos permite crear modelos de muchísimas variables y fenómenos, como por ejemplo, la estatura de los habitantes de un país, la temperatura ambiental de una ciudad, los errores de medición y muchos otros fenómenos naturales, sociales y hasta psicológicos. Por ello, hoy vamos a revisar sus características y muchísimos problemas resueltos en 3 niveles de dificultad.

¿Qué pasaría si se realiza una encuesta en una ciudad a personas adultas consultando su estatura? A partir de los resultados obtenidos, se puede elaborar un histograma que tendría la siguiente forma:

Como vemos, el histograma tiene forma de campana, una característica importante de la distribución normal.

Un parámetro muy importante es la media (µ) y siempre estará al centro de la curva con forma de campana. Por ejemplo, aquí tenemos la gráfica de una distribución normal con media igual a 8.

Además de la media, existe otro parámetro muy importante, se trata de la desviación estándar, representada con la letra griega σ. La desviación estándar es la medida de variabilidad más utilizada y nos indica que tan dispersos se encuentran los datos. Por ejemplo, aquí veremos dos curvas normales, una con desviación estándar pequeña, y otra con desviación estándar grande. Cuando la desviación estándar es pequeña, los datos tienen una dispersión baja y se agrupan alrededor de la media. En cambio, cuando la desviación estándar es alta, los datos tienen una dispersión alta y se alejan de la media.

Características de la distribución normal

Existe una función matemática con forma de campana que tiene la siguiente definición:

Si se grafica esta función, se obtiene como resultado la curva normal:

Además, tiene las siguientes características:

Toma en cuenta la media(µ) y la desviación estándar(σ).

El área bajo la curva es igual a 1.

Es simétrica respecto al centro, o a la media.

50% de los valores son mayores que la media, y 50% de los valores son menores que la media.

La media es igual a la mediana y a la moda.

Tiene una asíntota en y = 0 (eje x).

Algunos otros ejemplos de variables con distribución normal:

Notas en un examen.

Errores de medida.

Presión sanguínea.

Tamaño de las piezas producidas por una máquina.

Para encontrar las probabilidades o cantidad de datos entre determinados valores de la variable, se calcula el área bajo la curva normal, que se encuentra en la tabla z o tabla de áreas bajo la curva normal estandarizada.

La distribución normal estándar

La distribución normal estándar, es aquella distribución normal que tiene una media igual a cero, y una desviación estándar igual a uno. Veamos la función densidad normal estandarizada, que trabaja con la variable estandarizada z en el eje horizontal:

Por ejemplo, si se desea encontrar la probabilidad de que la variable estandarizada z, tome un valor entre 0 y 1,50; hay que encontrar el área bajo la curva entre z = 0 y z = 1,50.

Para calcular el valor de esta área, se utiliza la tabla z y se busca el valor de 1,50:

Como vemos, el valor del área bajo la curva es de 0,4332, y esa sería la probabilidad de que la variable estandarizada z, tome un valor comprendido entre 0 y 1,50.

¿Y si mi distribución normal no es estandarizada?

En la mayoría de problemas, cuando se analizan diferentes variables x, la distribución normal no tiene la forma estandarizada, es decir, la media no es cero y la desviación estándar no es uno. En esos casos, se convierten los valores de la variable (x) a z, es decir, se estandarizan los valores de la variable (x).

La fórmula de la variable estandarizada "z", la cual indica cuántas desviaciones estándar se aleja el valor x de la media, es la siguiente:

Y luego, con los valores de z, se utiliza la tabla y se calculan las áreas bajo la curva, porcentajes o probabilidades. En los videos que vienen líneas abajo, encontrarás muchos ejemplos.

Por ejemplo, si tenemos una variable aleatoria continua X con una distribución normal no estandarizada, con media igual a 10 y desviación estándar igual a 1, y el problema pide calcular la probabilidad de que la variable X tome un valor entre 10 y 11,50, hay que estandarizar los valores de la variable X aplicando la fórmula de z:

Ahora, veamos la gráfica de esta distribución normal:

Y usando la tabla z, se calcula el área bajo la curva. Cuando z es igual a 1,50, el área bajo la curva es de 0,4332.

Podemos concluir que la probabilidad de que la variable estandarizada z, tome un valor comprendido entre 10 y 11,50 es de 0,4332.

Descarga la tabla z

Desde el siguiente enlace podrás acceder a la tabla de áreas bajo la curva normal. Recuerda imprimirla y llevarla a tu examen.

Tabla z distribución normal estandarizada - MateMovil

Descarga la guía de ejercicios

Además, hemos preparado una guía con varios ejercicios propuestos de distribución normal.
Distribución Normal Ejercicios Propuestos PDF
En el primer nivel, vamos a revisar las características de la distribución normal y luego resolveremos algunos problemas interesantes con ayuda de la tabla z:

En este nivel, vamos a resolver varios problemas de nivel intermedio. Además, veremos como resolver problemas de distribución normal al instante usando un simulador o una calculadora.

Viene ahora el nivel 3, en el que vamos a combinar ejercicios de distribución normal con otros temas matemáticos:

Antes de ir a tu examen, puedes practicar con estos ejercicios. Encontrarás la solución líneas abajo:
6. Los sueldos mensuales en una empresa siguen una distribución normal con media de 1200 soles, y desviación estándar de 200 soles. ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 soles? 7. Una fábrica de producción de agua embotellada, cuenta con una máquina de envasado automático, la cual vierte en cada botella una cierta cantidad de agua que sigue una distribución normal con media de 500 mililitros y una varianza de 25 mililitros. ¿Qué porcentaje de las botellas se llenan con agua entre 490 y 507 mililitros? Solución
Descarga la solución de ambos problemas desde aquí:

Distribución Normal Ejercicios Resueltos PDF

¿Quieres aprender un poco más?

Te dejo por aquí un artículo de distribución normal que está muy interesante.

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Distribución normal, ejercicios resueltos | Matemóvil

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La distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad individual más importante. La distribución normal nos permite crear modelos de muchísimas variables y fenómenos, como por ejemplo, la estatura de los habitantes de un país, la temperatura ambiental de una ciudad, los errores de medición y muchos otros fenómenos naturales, sociales y hasta psicológicos.

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Variable independiente

Una variable independiente es aquella cuyo valor no depende del de otra variable.

La variable independiente en una función se suele representar por x.

La variable independiente se representa en el eje de abscisas.

Variable dependiente

Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable.

La variable dependiente en una función se suele representar por y.

La variable dependiente se representa en el eje ordenadas.

La variable y está en función de la variable x.

Variables estadísticas

Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden. Por ejemplo:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar o peraciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta

Una variable discreta es aquella que solo puede tomar un número finito de valores entre dos valores cualesquiera de una caraterística.

El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una caraterística.

La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Variable aleatoria

Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.

Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.

Ejemplos

El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Ejemplos

La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

Variable aleatoria binomial

La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

Ejemplo

k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.

Variable aleatoria normal

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:

1.

La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞ )

2.

La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss.

Variable estadística bidimensional

Una variable bidimensional es una variable en la que cada individuo está definido por un par de caracteres, (X, Y).

Estos dos caracteres son a su vez variables estadísticas en las que sí existe relación entre ellas, una de las dos variables es la variable independiente y la otra variable dependiente.

# data[].attributes.attachment_link.title
tipos de variables - Diccionario de Matemáticas | Superprof

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Variable independiente Una variable independiente es aquella cuyo valor no depende del de otra variable. La variable independiente en una función se suele representar por x. La variable independiente se representa en el eje de abscisas. Variable dependiente Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen...

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Ejercicio sencillo.
El vídeo dura sólo 6 minutos.

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La distribución de probabilidad binomial es una distribución discreta que tiene muchísimas aplicaciones. Se asocia con un experimento de múltiples pasos que se llama experimento binomial. La palabra binomial viene de otra palabra que significa "dos nombres" y esto nos hará recordar que en cada ensayo que veremos en este tema siempre habrá dos resultados: éxito y fracaso. Si es que respondes una pregunta de alternativas al azar, la respuesta es correcta o incorrecta. Si es que realizas un control de calidad a un producto, este será defectuoso o no defectuoso. Si es que lanzas una moneda, sale cara o sale cruz. Veamos a detalle la distribución binomial, su fórmula y por supuesto, muchos ejercicios.

Para estudiar esta distribución binomial, empezaremos conociendo los experimentos binomiales, como, por ejemplo, el lanzamiento de una moneda.

Un experimento binomial es un experimento que cumple las siguientes condiciones:

i) El experimento consta de una secuencia de n ensayos idénticos.
ii) En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de ellos se le llama éxito y al otro, fracaso.
iii) La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro, nunca cambia y se denota por p. Por ello, la probabilidad de fracaso será 1 - p. Esto se debe a que la probabilidad de éxito más la probabilidad de fracaso suman 1.
iv) Los ensayos son independientes, de modo que el resultado de cualquiera de ellos no influye en el resultado de cualquier otro ensayo.

Antes de resolver un ejercicio aplicando la fórmula de probabilidad binomial, tenemos que verificar siempre que se cumplen estas cuatro condiciones, pues esta fórmula solo funciona para experimentos binomiales.

Esta ya se está poniendo muy aburrido, mejor veamos un ejemplo.

2) Las hamburguesas de Jorge

Últimamente con las clases de matemática no me va muy bien, por eso, he puesto mi cafetería. Preparo unas cosas riquísimas, pasteles, pizza, agua helada, pero lo más vendido son las matehamburguesas, las únicas hamburguesas que se venden con papas y leche chocolatada.

La probabilidad de que a un cliente nuevo le guste la matehamburguesa es de 0,8. Si vienen 3 nuevos clientes a mí cafetería ¿cuál será la probabilidad de que solo a dos de ellos les guste la hamburguesa?
Si al cliente le gusta la hamburguesa tendrá carita feliz y si no le gusta, tendrá carita molesta. Por ejemplo, si a los dos primeros les gusta y al tercero no, colocaré esta gráfica:

Pero no es la única opción, en total son tres opciones. Que a los dos primeros les guste y al tercero no. Que al primero y al tercero les guste, y al segundo no. O que les guste al segundo y tercero y al primero no. Graficamos estas tres opciones:

Si la probabilidad de que a un cliente le guste la matehamburguesas es de 0,8, entonces, la probabilidad de que no le gusten será:

Ahora calcularemos la probabilidad de que ocurra cada evento. Por ejemplo, en la primera línea, calcularemos la probabilidad de que al primer y al segundo cliente les guste la hamburguesa y que al tercero no. Aplicaremos la regla de la multiplicación de probabilidades para eventos independientes.

Coloco ahora todas las opciones.

Esas mismas probabilidades, las colocaré en forma de potencias:

Me quedaré solo con las potencias, eliminando el resto.

A continuación, calculamos la probabilidad total de que solo a 2 de los 3 clientes les guste mi hamburguesa empleando la regla de la suma de probabilidades para eventos mutuamente excluyentes.

Si esta multiplicación la metemos a la calculadora, nos quedaría 0,384.

¿Es un poco largo este cálculo? Pues sí, está larguísimo. Imagínate que ahora llegan 10 clientes nuevos a mi cafetería y queremos calcular la probabilidad de que a 4 de ellos les guste la matehamburguesa. Me tardaría horas, por eso es mejor usar la fórmula de la función de probabilidad binomial. Esta fórmula permite encontrar la probabilidad para cada posible valor de x (número de éxitos). Veamos los detalles:

3) Función de probabilidad binomial (fórmula)

Para un experimento binomial, sea p la probabilidad de "éxito" y 1-p la probabilidad de un "fracaso" en un solo ensayo; entonces la probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos, está dada por la función de probabilidad f(x):

Siendo el coeficiente binomial o número combinatorio:

Por eso, en algunos libros encontrarás la función de probabilidad binomial f(x) con el coeficiente binomial ya incorporado y presentada de la siguiente manera:

¿Cuál de las formas es la mejor? Eso ya depende de lo que diga tu corazón, pero recuerda que el resultado es el mismo.

La función de probabilidad binomial se aplica a cualquier experimento binomial. Si una situación demuestra las propiedades de un experimento binomial y se conocen los valores de n y p, se puede usar la ecuación de arriba para calcular la probabilidad de x éxitos en n ensayos. Recuerda, antes de usar la fórmula de probabilidad binomial, siempre verifica que te encuentres ante un experimento binomial.

La media, la varianza y la desviación estándar se pueden encontrar con estas fórmulas:

Media:

Varianza:

Desviación estándar:

La probabilidad de que a un cliente nuevo le guste la matehamburguesa de Jorge es de 0,8. Si llegan 5 clientes nuevos a la cafetería, ¿cuál es la probabilidad de que solo a 3 de ellos les guste la matehamburguesa?

Solución:

Antes de aplicar la fórmula, verificamos que se trate de un experimento binomial. Para ello, tiene que cumplir con las 4 condiciones que mencionamos arriba. Efectivamente, se trata de un experimento binomial.

En este caso, vamos a centrarnos en los clientes a los que les gusta esta hamburguesa, por ello diremos que:

X = número de clientes nuevos de 5 a los que les gusta la matehamburguesa
Entonces consideramos un éxito si al cliente le gusta esta hamburguesa.

Aplicaremos la fórmula binomial:

Ahora colocamos los valores de n, k y p. Recuerda que n es el número de ensayos, k el número de éxitos y p la probabilidad de éxito.

Reemplazamos estos valores en la fórmula:

La respuesta sería 0,2048.

Recuerda que X, nuestra variable aleatoria, es el número de clientes nuevos de 5 a los que les gustan las hamburguesas de Jorge. Aunque el problema no lo pide, vamos a elaborar la tablita de distribución de probabilidad. Para calcular todas las probabilidades, usaré la misma fórmula de arriba.

Vamos a elaborar una gráfica para representar esta distribución de probabilidad, empleando un diagrama de barras.

Algunos usan los histogramas, también es válido.

De todas las flores plantadas por una empresa de jardinería, el 90% sobrevive. Si se plantan 10 flores ¿cuál es la probabilidad de que 9 o más sobrevivan?
Solución:
Antes de aplicar la fórmula, verificamos que se trate de un experimento binomial. Para ello, tiene que cumplir con las 4 condiciones que mencionamos arriba. Efectivamente, se trata de un experimento binomial.

En este caso, vamos a centrarnos en las flores que sobreviven, por ello diremos que:
X = número de flores de 10 que sobreviven
Entonces consideramos un éxito si la flor sobrevive. A las que flores que se mueren, las consideramos como un fracaso.

Aplicaremos la fórmula binomial:

Nos piden calcular la probabilidad de 9 o más sobrevivan.

Este problema tiene trampa, porque dado que se plantaron 10 flores, la máxima cantidad de flores que pueden sobrevivir es 10, por lo tanto:

- ¿Y no pueden sobrevivir 11 flores?

- No se puede, porque solo se plantaron 10.

- ¿Y si las flores tienen hijitos bonitos?

- Alumno por favor, tome menos azúcar. Concéntrese y sigamos con la clase.

Ahora colocamos los valores de n, k y p. Recuerda que n es el número de ensayos, k el número de éxitos y p la probabilidad de éxito. En este caso:
Solución:
Regresamos con la fórmula de arriba:
X = número de éxitos en n ensayos.
Vamos a calcular cada probabilidad por separado, empezando con P(X = 9):

Continuamos con P(X = 10).

Regresamos con esta fórmula:

Y reemplazamos lo calculado:

Considere un experimento binomial con dos ensayos y p=0,4.
a) Calcular la probabilidad de no obtener ningún éxito.
b) Calcular la probabilidad de obtener al menos 1 éxito.

Iniciamos definiendo la variable aleatoria de interés en nuestro experimento binomial:

El enunciado nos dice que: n = 2 y que p = 0,4; con ello podemos definir la función de probabilidad de X.

a) Calcular la probabilidad de no obtener ningún éxito: P(X = 0).

b) Calcular la probabilidad de obtener al menos 1 éxito.

Aquí nos piden calcular:

Pero:

Además:

Reemplazamos:

Esa sería la respuesta: 0,64.

Una forma alternativa de desarrollar el apartado b, sería usando la siguiente

"La suma de las probabilidades para todos los resultados del experimento debe ser igual a 1".

Pero recuerda que P(X=0) ya lo calculamos en el apartado a, y es igual a 0,36.

Desde el botón que viene a continuación, podrás descargar la guía de ejercicios de distribución binomial.

Descarga la guía de ejercicios

A continuación, viene la primera clase de distribución binomial, en la cual realizamos la introducción y resolvemos un problema bien interesante.

En este , encontrarás muchas otras clases y videos de distribución binomial.

Para elaborar este artículo y los videos de arriba, hemos empleado los siguientes libros:

Anderson, D., Sweeney, D. y Williams, T., 2012. Estadística para negocios y economía. 11a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, pp.207-221.

Johnson, R. y Kuby, P., 2012. Estadística elemental. 11a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, pp.243-262.

Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros. 1a ed. México: McGraw-Hill, pp.195-206.

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Distribución binomial, ejercicios resueltos | Matemóvil

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La distribución de probabilidad binomial es una distribución discreta que tiene muchísimas aplicaciones. Se asocia con un experimento de múltiples pasos que se llama experimento binomial. La palabra binomial viene de otra palabra que significa "dos nombres" y esto nos hará recordar que en cada ensayo que veremos en este tema siempre habrá dos resultados: éxito y fracaso.

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Montero Espinosa - Academia universitaria en Madrid - Ejercicios resueltos

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Diferentes herramientas para resolver ejercicios. 

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Diferentes herramientas para resolver ejercicios. 

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Esta página comparte algunos ejemplo y cómo resolverlos en excel, Geogebra y calculadora.

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Los siguientes son ejercicios resueltos de distribución binomial. Están tomados de la práctica 3 de la guía de ejercicios de Probabilidad y Estadística de UTN-FRBA (versión 2016).

Aclaraciones importantes:

1. Esta no es la explicación del tema "distribución binomial" (eso lo vamos a publicar en un posteo aparte). Así que es necesario tener claros los conceptos básicos de esa distribución antes de hacer los ejercicios.

2. No es recomendable leer la resolución de los ejercicios sin antes intentar resolverlos primero. No se aprende tanto leyendo una resolución, cómo enfrentandose uno mismo al problema. Si previamente trabajan sobre el ejercicio, después leer la resolución puede ser muy útil.

Cualquier comentario lo pueden dejar al final ;).

Ejercicio 1

La probabilidad de que el comprador de un osciloscopio haga uso del service dentro del plazo de garantía es 0,2. Para los 5 osciloscopios que cierta empresa ha vendido independientemente a 5 compradores este mes:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de los compradores hagan uso de la garantía?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 o más compradores hagan uso de la garantía?

Resolución del ejercicio 1

Cada comprador puede hacer uso (éxito) o no (fracaso) de la garantía. La probabilidad elemental de éxito (probabilidad de que un único comprador haga uso de la garantía) es \(0,2\). Se consideran cinco osciloscopios (\(n = 5\)).

Entonces la variable binomial es:

\(X\): cantidad de compradores de osciloscopios que hacen uso de la garantía de un total de \(5\)

\[X \sim Binomial\left( {n = 5,p = 0,2} \right)\]

Ya conocemos todos los datos para calcular la probabilidad pedida:

\[P\left( {X = 3} \right) = 0,0512\]

Pero... ¿Cómo calculamos esa probabilidad binomial?

Las probabilidades binomiales se pueden calcular:

Usando la fórmula de probabilidad puntual de la binomial

Usando software (Excel, GeoGebra, o Probability Distributions)

Usando las tablas de probabilidades binomiales

Usando la fórmula de probabilidad puntual

\[P\left( {X = 3} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right){0,2^3}{\left( {1 - 0,2} \right)^{5 - 3}} = 0,0512\]

Usando Probability Distributions

Probaiblity Distributions es una app que está para Android y iOS. Para calcular probabilidades binomiales: > Seleccionamos Distribución Binomial > Luego completamos los valores de \(n = 5\) , \(p = 0,2\) y \(x = 3\), y > elegimos la opción de probabilidad puntual:

Usando Excel

En Excel hay que escribir la función de probabilidades binomiales y completar los datos cómo se muestra a continuación:

Usando GeoGebra

GeoGebra es un software libre y gratuito que entre otras cosas sirve para calcular probabilidades. A continuación, un gif que vale más que mil palabras:

Con tabla de probabilidades puntuales binomiales

Hay muchas tablas con diferente estructura. Así que hay que conocer cada una para ver cómo leerla. En la que se muestra a continuación elegimos el valor de \(n\), el de \(x\) el de \(p\), y luego queda determinada la probabilidad \(P\left( {X = x} \right)\):

Usando alguno de los métodos explicados para calcular probabilidades binomiales podemos hallar \(P\left( {X \ge 3} \right)\):

\[P\left( {X \ge 3} \right) = P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 5} \right)\]

\[P\left( {X \ge 3} \right) = 0,05792\]

En general cuando se piden probabilidades acumuladas a derecha se puede:

Calcular las probabilidades puntuales y sumarlas. En este caso:

\[P\left( {X \ge 3} \right) = P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 5} \right)\]

O se puede usar la función de probabilidad acumulada a izquierda. De esa forma re-escribimos la probabilidad pedida en términos de una probabilidad acumulada a izquierda. En este caso:

\[P\left( {X \ge 3} \right) = 1 - P\left( {X \le 2} \right)\]

O se puede usar software que calcule la probabilidad acumulada a derecha. Cómo Probability Distributions, o GeoGebra (pero no Excel).

Ejercicio 4

Los cuatro motores de un avión cuatrimotor (dos en cada ala) fallan, cada uno con probabilidad 0,04, en forma independiente, durante un trayecto de 20.000 kilómetros. El avión no entra en emergencia mientras funcionen sin fallar por lo menos dos motores:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión no entre en emergencia?

2. ¿Cuál será esa probabilidad si se agrega la restricción de que, al menos debe funcionar un motor en cada ala?

Resolución del ejercicio 4

Para responder a la pregunta "¿Cuál es la probabilidad de que el avión no entre en emergencia?", vamos a definir una variable binomial.

\(X\): número de motores que fallan de un total de cuatro motores

\(X \sim Binomial\left( {n = 4,p = 0,04} \right)\)

Que el avión no entre en emergencia es equivalente a que la cantidad de motores que fallan sea menor o igual a dos.

\[P\left( {no\;entre\;en\;emergencia} \right) = P\left( {X \le 2} \right)\]

\[P\left( {X \le 2} \right) = P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right){\rm{\;}}\]

Se pueden calcular las probabilidades puntuales usando la fórmula de probabilidad puntual de una variable binomial:

\{P\left( {X = 0} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right).{\left( {0,04} \right)^0}.{\left( {0,96} \right)^4} \cong 0,8493\]

\[P\left( {X = 1} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\1\end{array}} \right).{\left( {0,04} \right)^1}.{\left( {0,96} \right)^3} \cong 0,1416\]

\[P\left( {X = 2} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right).{\left( {0,04} \right)^2}.{\left( {0,96} \right)^2} \cong 0,0088\]

\[P\left( {X \le 2} \right) \cong 0,8493 + 0,1416 + 0,0088 \cong 0,9998\]

También se puede usar GeoGebra para calcular la probabilidad binomial:

Ahora se agrega la restricción de que para que el avión no entre en emergencia debe funcionar al menos un motor en cada ala.

Llamemos \(A\) al suceso de que funciona al menos un motor en el ala izquierda y \(B\) al suceso de que funciona al menos un motor en el ala derecha.

Otra vez vamos a definir una variable binomial que nos ayude a calcular la probabilidad del suceso.

Sea \(Y\) el número de motores que funcionan bien en el ala izquierda.

La distribución de \(Y\) es:

\[Y \sim Bi\left( {n = 2;p = 0,04} \right)\]

\[P\left( A \right) = P\left( {Y \le 1} \right) = 0,9984\]

Pero cómo los motores fallan con la misma probabilidad independientemente del ala del avión entonces:

\[P\left( B \right) = 0,9984\]

Es posible expresar al suceso de que el avión no entra en emergencia cómo la intersección de A y B:

\[No\;entra\;en\;emergencia = A \cap B\]

Cómo los sucesos \(A\) y \(B\) son independientes:

\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = {0,9984^2} = 0,9968{\rm{\;}}\]

Ejercicio 5

Suponga que los motores de un aeroplano operan en forma independiente y que fallan con una probabilidad excesivamente alta de \(0,4\). Suponga también que uno de estos artefactos realiza un vuelo seguro en tanto se mantenga funcionando cuando menos la mitad de sus motores.

1. Determine qué aeroplano, uno de \(4\) motores o uno de \(2\) motores, tiene mayor probabilidad de terminar el vuelo exitosamente

2. Determine lo mismo que en a) pero cuando la probabilidad de falla es \(0,2\)

3. ¿Cuál debe ser el valor de probabilidad de falla de un motor para que sea indiferente volar en un aeroplano de \(4\) motores que en uno de \(2\) motores?

Resolución del ejercicio 5

Vamos a definir variables binomiales que nos ayuden a responder la pregunta. Sean:

\(X\): número de motores que fallan de un total de cuatro motores.

\(X \sim Binomial\left( {n = 4,p = 0,4} \right)\)

\(Y:\) número de motores que fallan de un total de dos motores

\(Y \sim Binomial\left( {n = 2,p = 0,4} \right)\)

La probabilidad de que un avión de cuatro motores termine bien el vuelo es:

\[P\left( {X \le 2{\rm{\;}}} \right) = 0,8208\]

La probabilidad de que un avión de dos motores termine bien el vuelo es:

\[P\left( {Y \le 1} \right) = 0,84\]

A continuación una comparación de las distribuciones de X y de Y:

El avión de dos motores tiene más probabilidad de terminar el vuelo exitosamente.

Se trata el mismo problema, pero con otra probabilidad de éxito.

Probabilidad de que el avión de cuatro motores termine bien el vuelo:

\[P\left( {X' \le 2{\rm{\;}}|{\rm{\;}}n = 4{\rm{\;}},{\rm{\;}}p = 0,2} \right) = 0,9728\]

Probabilidad de que el avión de cuatro motores termine bien el vuelo:

\[P\left( {Y' \le 1{\rm{\;}}|{\rm{\;}}n = 2{\rm{\;}},{\rm{\;}}p = 0,2} \right) = 0,96\]

En este caso tiene mejor probabilidad de terminar el vuelo exitosamente el avión de cuatro motores.

Que sea indiferente volar en un avión de dos o cuatro motores, es equivalente a afirmar que la probabilidad de que el vuelo sea exitoso es la misma:

\[P\left( {X \le 2} \right) = P\left( {Y \le 1} \right)\]

\[P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right) = P\left( {Y = 0} \right) + P\left( {Y = 1} \right)\]

Cómo no conocemos la probabilidad elemental de éxito (el parámetro \(p\)) usamos la fórmula de probabilidad puntual para obtener una ecuación de incógnita \(p\):

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right).{p^0}.{\left( {1 - p} \right)^4} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\1\end{array}} \right).{p^1}.{\left( {1 - p} \right)^3} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\end{array}} \right).{p^2}.{\left( {1 - p} \right)^2}\]

\[ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\0\end{array}} \right).{p^0}.{\left( {1 - p} \right)^2} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right).{p^1}.{\left( {1 - p} \right)^2}\]

Resolviendo la ecuación se encuentran los siguientes valores posibles para \(p\):

\[p = 0\;\;\;\; \vee \;\;\;p = 1\;\; \vee \;\;p = \frac{1}{3}\]

Notemos que los valores \(p = 0\) y \(p = 1\) eran obvios. Si los motores fallan siempre \(\left( {p = 1} \right)\) da igual en qué tipo de avión se viaje. Si los motores no fallan nunca \(\left( {p = 0} \right)\), también da igual en qué tipo de avión se viaje.

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Distribución Binomial: Ejercicios Resueltos (Parte 1) - PROBA FÁCIL

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Los siguientes son ejercicios resueltos de distribución binomial. Están tomados de la práctica 3 de la guía de ejercicios de Probabilidad y Estadística de UTN-FRBA (versión 2016). Aclaraciones importantes: Esta no es la explicación del tema "distribución binomial" (eso lo vamos a publicar en un posteo aparte).

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Inicio/Estadística/Variables discretas y continuas, ejemplos y ejercicios

Veamos las diferencias entre las variables discretas y continuas, y muchos ejemplos.

Una variable discreta es aquella que Tanto las variables discretas, como las continuas, son puede asumir un número contable de valores. Mientras que una variable continua es aquella que puede asumir un número incontable de valores. variables estadísticas cuantitativas, recordemos la clasificación:

Es aquella que puede asumir un número contable de valores.

Ejemplos de variables cuantitativas discretas:

El número de hijos de una familia.

La cantidad de dedos que tienes en la mano.

El número de faltas en un partido de fútbol.

Número de personas que llegan a un consultorio en una hora.

El número de árboles que hay en un parque.

El número de canales de televisión que tienes en casa.

Número de animales en una granja.

Cantidad de empleados que trabajan en una tienda.

Número de libros vendidos cada mes en Amazon.

Número de clientes que visitan un supermercado por día.

Es aquella que puede asumir un número incontable de valores.

Ejemplos de variables cuantitativas continuas:

La estatura de tu mejor amigo.

El ancho de una pelota de fútbol.

Volumen de agua en una piscina.

El peso de una persona.

La velocidad a la que va a un tren.

Longitud en centímetros de un tenedor.

Tiempo que demora el delivery de Pizza Hut en entregar un pedido.

El volumen de cerveza en una jarra.

Peso de las vacas en una granja.

Tiempo que esperas al amor de tu vida.

Distancia que recorren los autos en una ciudad.

Velocidad a la que viaja un avión.

El diámetro de una esfera.

Claro que sí, el hecho de tener o no decimales no permite diferenciar a una variable discreta de una continua, y en el video que viene líneas abajo presentaremos ejemplos de variables cuantitativas discretas que presentan valores decimales.

Mucho cuidado, es muy común escuchar en la web la siguiente falsedad: si una variable presenta decimales, entonces es continua, de lo contrario, es discreta. ¡Tremendo error! Esto no tiene nada que ver con la definición de variables discretas y continuas.

Desde aquí puedes descargar la guía de ejercicios con muchos problemas de variables estadísticas. Resolveremos algunos en los videos.

Descarga la guía de ejercicios

En el siguiente video vamos a revisar a detalle algunos conceptos importantes, además de varios ejemplos.

Dado que hay diferentes definiciones en los libros, colocaré otras definiciones.

Definición alternativa 1

Una variable que puede tomar cualquiera de los valores entre dos números dados es una variable continua contrario, de lo contrario, se trata de una variable discreta.

Definición alternativa 2

Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria cuyos valores posibles constituyen un conjunto finito o bien pueden ser puestos en lista en una secuencia infinita en la cual existe un primer elemento, un segundo elemento, y así sucesivamente ("contablemente" infinita).

Una variable aleatoria es continua si ambas de las siguientes condiciones aplican:

1. Su conjunto de valores posibles se compone de todos los números que hay en un solo intervalo sobre la línea de numeración (posiblemente de extensión infinita, es decir, desde -∞ hasta +∞) o todos los números en una unión excluyente de dichos intervalos (p. ej., [0, 10] ∪ [20, 30]).

2. Ningún valor posible de la variable aleatoria tiene probabilidad positiva, esto es, P(X = c) = 0 con cualquier valor posible de c.

Esta última definición pertenece al libro de estadística de Devore, encontrarás el libro en las referencias.

Indica si se trata de una variable discreta o continua:
Solución:
7. Longitud de 150 tornillos producidos en una fábrica.
8. Número de pétalos que tiene una flor.
10. Tiempo requerido para responder las llamadas en un call center.
13. Número de páginas de una serie de libros de estadística.
5. Lugar que ocupa un nadador en una competencia.

7. Variable cuantitativa continua.
8. Variable cuantitativa discreta.
10. Variable cuantitativa continua.
13. Variable cuantitativa discreta.
5. No es discreta ni continua, es una variable cualitativa ordinal.

Si quieres aprender un poco más de este curso, recuerda que tenemos muchos otros temas en nuestro curso de estadística.

Para elaborar esta clase de estadística, hemos utilizado estos libros como referencia:

Johnson, R. y Kuby, P., (2012). Estadística elemental. 11a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, p.231.

Devore, J. (2016). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. 9a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, p.95.

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Variables discretas y continuas, ejemplos y ejercicios | Matemóvil

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Inicio / Estadística /Variables discretas y continuas, ejemplos y ejercicios Veamos las diferencias entre las variables discretas y continuas, y muchos ejemplos. Una variable discreta es aquella que Tanto las variables discretas, como las continuas, son puede asumir un número contable de valores.