# data[].attributes.body
SOLUTİON APPROACHES

Modelling and Covid19

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Dünya gündemine oturan COVID-19 salgınına ilişkin gözler devlet yetkililerden, bilim adamlarından ve sağlık profesyonellerinden gelecek açıklamalara çevrilmişken, koronavirüse ilişkin günlük haberler de matematikle dolu: Oranlar ve veriler, çizelgeler ve grafikler, olasılıklar... Salgını ve bununla ilişkili tüm sosyal ve ekonomik sonuçları anlamaya çalıştığımız bugünlerde matematiksel ve istatistiksel okuryazarlık mevcut krizi anlamak için büyük önem taşıyor. Önlemlerin alınması geciktiğinde ne olur? Sosyal mesafeye uymamanın sürece etkisi nedir? Normale dönmek ne zaman güvenli olacak? Bu sürecin ekonomiye etkisi ne olacak? gibi pek çok soruya yanıt ararken işte salgının arkasındaki matematik:

406 sadece bir sayı değil!

Fiziksel teması azaltmak için alınan önlemlerden sosyal mesafelendirme, COVID-19 gibi damlacık ve temas yolu ile bulaşan bir hastalığa karşı ilk savunma hattıdır. Bu önlemin enfeksiyonun yayılmasının önüne geçme noktasında nasıl bir etki yaratabileceğine bakacak olursak; Kaliforniya San Diego Üniversitesi tıp profesörlerinden Robert A. J. Signer'ın hesaplamaları 3 farklı senaryo özelinde 30 günlük süre zarfında yeni enfeksiyonların sayısını tahmin etmeyi mümkün kılıyor. İlk senaryoya göre sosyal mesafeye uyulmazsa enfekte olmuş bir kişi ortalama olarak 5 gün içinde virüsü 2,5 kişiye geçiriyor. 30 gün sonunda ise yeni enfeksiyon sayısı 406'ya ulaşıyor. Bu noktada alınacak yüzde 50'lik bir tedbir ile 30 gün sonra bir kişinin neden olduğu yeni enfeksiyonların sayısı ortalama 15 kişiye gerilerken, yüzde 75'lik bir değişiklik ile ise 2,5 yeni vaka tespiti ile sağlık hizmetleri üzerindeki yükün büyük ölçüde azalabileceğine ve ülkelerdeki yeni vaka tespitinin de hızlı bir şekilde gerileyeceğine dikkat çekiliyor.

Zamanlama her şeydir

Yukarıdaki sayılar matematiksel tahminlerin sonuçları olmakla birlikte, uzmanlar sosyal mesafeleri çeşitli açılardan da ele alıp inceliyor. Yapılan bir araştırmada salgını önlemek için gereken sosyal mesafe tedbirlerinin zamanlaması ve büyüklüğünü belirlemek için simülasyonlar kullanılmıştır. Buna göre okulların kapatılması, semptomların görüldüğü anda kişilerin karantinaya alınması, bireyin yüzde 50 oranında evden çalışma ortamına sahip olması, bireylerin toplulukla olan temaslarını her gün yarıya indirmesi ve bu 4 önlemin aynı anda uygulanması ile vaka sayılarının kontrol altına alınabileceği öngörülüyor. Araştırmanın sonuçlarına göre herhangi bir önlem alınmadığında nüfusun yüzde 65'inin hastalığa yakalanabileceği tahmin ediliyor. Ancak, bunun yerine 4 önlemin bir kombinasyonu uygulandığında 4 haftalık bir gecikme ile önlemin alınmasının bu oranı yüzde 45'e, 3 haftalık gecikmede yüzde 21'e 2 haftalık gecikmede ise yüzde 7'ye çekeceği belirtiliyor. Burada özetle sosyal mesafe tedbirleri gecikmeyle hayata geçirilirse vaka sayısının da önemli ölçüde artacağı gerçeğidir.

Grafikler ne anlatıyor?

Koronavirüs vakalarındaki değişim oranlarını gösteren grafikler normale dönüşün ne zaman başlayabileceğine, sürecin ne zaman sona erebileceğine ilişkin tahminleri kolaylaştırıyor. Gerçek zamanlı dünya istatistiklerine yer veren "Worldometer" internet sitesinde yer alan Türkiye özelindeki veriler ve grafikler incelendiğinde günlük vaka sayısındaki ve aktif vaka sayısındaki düşüş dikkat çekiyor. Günlük vaka sayısı 11 Nisan'da şimdiye kadarki en yüksek seviyesini görmesinin ardından zaman zaman yükselişe geçse de aşağı yönlü trendini sürdürüyor. Aktif vaka sayısının ise 25 Nisan itibarıyla düşüş eğilimine geçtiği gözleniyor. Diğer tüm parametrelerin sabit kalması, tedbirlerin/önlemlerin devam etmesi durumunda haziran ayında toplam vaka sayısında da stabile geçiş bekleniyor.

Geçmiş geleceğin feneri

COVID-19 salgını dünyanın karşılaştığı ilk epidemiyolojik kriz değildir. Amerikan New York Times gazetesinde yer alan bir makalede 1918'den günümüze kadar karşılaşılan büyük salgınlar ve etkileri ele alınıyor. Alan Cowell tarafından kaleme alınan makalede yer alan salgınlara ilişkin veriler günümüze de ışık tutuyor. Makalede 1918-1919 yılları arasında görülen İspanyol Gribi'nin yaklaşık 50 milyon insanın ölümüne neden olduğu belirtilirken, 1968'de ortaya çıkan Hong Kong Gribi'nin de sosyal izolasyon sağlanamaması sebebiyle 1 milyonu aşkın kişinin hayatına mal olduğu ifade ediliyor. Ayrıca devam eden küresel bir pandemi olan AIDS, tarihi bir pandemi olan Domuz Gribi'nin yanı sıra ve SARS, Ebola, MERS gibi salgın hastalıklar da koronavirüsün mevcut sürecini anlama noktasında önem taşıyor.

Küresel ekonomiye etkileri

Koronavirüs pandemisinden kaynaklanan ekonomik zararın büyüklüğünü net bir şekilde ortaya koymak mümkün olmasa da ekonomistler arasında küresel ekonomi üzerinde ciddi olumsuz etkilerinin olacağına dair yaygın bir fikir birliği var. Almanya merkezli istatistik portalı Statista'nın araştırmasına göre 2020 yılında küresel reel Gayri Safi Yurtiçi Hasıla'nın (GSYİH) koronavirüs pandemisi nedeniyle bir önceki yıla kıyasla yüzde 0,5 oranında azalması bekleniyor. G20 ülkelerinde ise 2020 yılında GSYİH'deki gerilemenin bir önceki yıla oranla yüzde 0,4 seviyesinde gerçekleşeceği tahmin ediliyor.
KAYNAKLAR: https://www.statista.com/topics/6139/covid-19-impact-on-the-global-economy/https://www.statista.com/chart/21198/effect-of-social-distancing-signer-lab/

Ece Tuçaltan

Please enable JavaScript to view the

# data[].attributes.attachment_link.description
Dünya gündemine oturan COVID-19 salgınına ilişkin gözler devlet yetkililerden, bilim adamlarından ve sağlık profesyonellerinden gelecek açıklamalara çevrilmişken, koronavirüse ilişkin günlük haberler de matematikle dolu: Oranlar ve veriler, çizelgeler ve grafikler, olasılıklar... Salgını ve bununla ilişkili tüm sosyal ve ekonomik sonuçları anlamaya çalıştığımız bugünlerde matematiksel ve istatistiksel okuryazarlık mevcut krizi anlamak için büyük önem taşıyor.

# data[].attributes.attachment_link.title
Covid-19 Pandemi Sürecinde Matematiksel ve Hesaplamalı Epidemiyoloji Uygulamaları

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
KORONAVİRÜS HABERLERİ

Alanya Alaaddin Keykubat Üniversitesinde ( ALKÜ) görevli iki bilim insanının yeni tip koronavirüsün ( Kovid-19) pandemisine ilişkin hazırladığı ve uluslararası bir bilim dergisinde yayımlanan matematiksel modelleme çalışması, Türkiye'de zamanında alınan önlemlerin vaka ile ölüm sayısını yarı yarıya düşürdüğünü ortaya koydu.

ALKÜ Eğitim Fakültesi Matematik Eğitimi Ana Bilim Dalı Başkanı Doç. Dr. Zafer Çakır ile ALKÜ Tıp Fakültesi Tıbbi Biyokimya Ana Bilim Dalı Doktor Öğretim Üyesi Hasan Basri Savaş, Kovid-19'un Türkiye'deki seyrini matematiksel modelleme çalışmasıyla ortaya koymaya çalıştı.

Koronavirüsün yayılış hızını gözlemleyen Çakır ile Savaş, alınan ve alınacak önlemlerle pandeminin kaç kişiye bulaşacağını ne kadar kişinin yaşamını yitireceğini rakamlarla belirledi.

Türkiye'de ilk vakanın yaşandığı tarihi dikkate alarak hazırlanan similasyon ile nisan ayı sonuna kadar yaşanacak vaka ve ölüm sayısını belirleyen iki bilim insanı, hazırladıkları modellemeyle alınan önlemlerin eklenmesiyle hastalığın seyrinin düştüğünü gördü.

Sokağa çıkmama, maske ve eldiven, kolonya kullanma, ellerin sabunla iyi yıkanması, birden fazla insanla bir araya gelmeme, kişilerle belirli mesafede kalma ile doğru beslenme ve bağışıklık sistemini güçlendiren egzersizler gibi önlemler modellemede değerlendirildiğinde virüsün yayılım hızı ve ölüm oranının yarı yarıya düştüğü ifade edildi.

Hazırlanan, 'Türkiye Koronavirüs Yayılım Matematik Model Similosyonu' İngiltere'de uluslararası bilimsel bir dergide yayınlandı.

Alınan önlemler vaka sayısını düşürdü

Doktor Öğretim Üyesi Hasan Basri Savaş, AA muhabirine, Türkiye'de Kovid-19'un yayılma hızı ve ölümlerinin alınan doğru kararlara uyulmasıyla beklentilerin altında gerçekleşebileceğini söyledi.

Pandeminin sonunun ne olacağına dair matematiksel modellemeyle bu çıkarıma vardıklarına değinen Savaş, "Bu pandeminin nasıl seyredeceğine dair matematiksel bir modelleme yaptık. Bu modellemeyle rakamları ortaya koyduk. Alınan tedbirlerle bu rakamların nasıl ve ne kadar düşebileceğini simüle ettik. Bilim dünyasından gelen geri dönüşler tıbbi ve matematiksel anlamda makalenin doğru tespitler içerdiği ve bu mücadeleye ışık tutacağı yönünde." diye konuştu.

Kovid-19'da tedbirlerin önemli olduğuna dikkati çeken Savaş, şimdiye kadar doğru tedbirlerin alındığını ifade etti.

Araştırma sonuçlarının da tedbirlerin doğru ve etkili olduğunu gösterdiğini aktaran Savaş, "Şimdiye kadar alınan tedbirler yaptığımız hesaplamalara göre hem kaybedilen hasta sayısını hem de enfekte olan hasta sayısını yarı yarıya azaltmış durumda. Tedbirlerin zamanında alınmış olması da bunda etkili. Eğer tedbirler alınmamış olsaydı hasta ve kaybedilen sayısı bugünün iki katı olabilirdi." değerlendirmesinde bulundu.

"Alınan önlemler vaka ve ölüm sayısının azalmasında etkin rol oynadı"

Eğitim Fakültesi Matematik Eğitimi Ana Bilim Dalı Başkanı Doç. Dr. Zafer Çakır ise daha önce literatürde olan bir modeli koronavirüs için yenilediklerini bildirdi.

Koronavirüsün Türkiye'deki seyrine ışık tutmak istediklerini anlatan Çakır, şunları söyledi:

"Yaptığımız modelle hastalığın seyrini öğrenmeye çalıştık. 'Hastalığın yayılma hızının, hasta olanlar ile olmayanların teması, yani çarpımıyla orantılı' olduğundan hareketle, modeli Türkiye gerçekliği özelinde geliştirdik. Gerçek verileri kullanarak, önümüzdeki bir aylık süreçte bu virüsün kaç kişiye bulaşabileceğini ortaya koymak istedik."

Çakır, 26 Mart'a kadarki vaka ve vefat sayılarını dikkate alarak yaptıkları modellemeye göre, alınan önlemlerin vaka ve ölüm sayısının azalmasında etkin rol oynadığını tespit ettiklerini ifade etti.

Hazırladıkları çalışmanın kamunun aldığı önlemlerin hastalığın seyrini düşürdüğünü ortaya koyduğunu belirten Çakır, virüsün yayılmasında artık kamu hizmetinden ziyade halkın duruşuna bağlı bir sürecin ortaya çıktığını dile getirdi.

Çakır, bireysel korumada üst düzey önlem alınması halinde vaka sayılarının daha da düşük olacağına işaret ederek, "Önümüzdeki 12-13 günlük dönemde hızlı artışlar olabilir. Ancak örneklemeler 15 Nisan sonrasında salgının yayılma hızının yavaşlayacağını gösteriyor." dedi.

Anadolu Ajansı web sitesinde, AA Haber Akış Sistemi (HAS) üzerinden abonelere sunulan haberler, özetlenerek yayımlanmaktadır. Abonelik için lütfen iletişime geçiniz.

# data[].attributes.attachment_link.description
KORONAVİRÜS HABERLERİ Alanya Alaaddin Keykubat Üniversitesinde ( ALKÜ) görevli iki bilim insanının yeni tip koronavirüsün ( Kovid-19) pandemisine ilişkin hazırladığı ve uluslararası bir bilim dergisinde yayımlanan matematiksel modelleme çalışması, Türkiye'de zamanında alınan önlemlerin vaka ile ölüm sayısını yarı yarıya düşürdüğünü ortaya koydu. ALKÜ Eğitim Fakültesi Matematik Eğitimi Ana Bilim Dalı Başkanı Doç.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
COVID-19'un son birkaç haftada bütün dünyada küresel bir kriz haline gelmesiyle birlikte bu virüsü anlamak ve hasta kişiler için tedavi geliştirmek için bütün kaynaklar kullanılıyor. Bu çabalar her ne kadar epidemiyoloji ve tıp biliminin bir uğraşı olsa da COVID-19'un genel popülasyon üzerindeki yayılma mekanizması, sosyo-ekonomik etkisi ve buna bağlı alınacak kitle önlemlerinin öngörülebilmesi aslında matematikçiler tarafından çalışılıyor!

Matematikçilerin bu amaç için kullandıkları araçlardan bir tanesi de ağ bilimi! Ağ bilimi, matematiğin bir alt dalı olan graf teorisinin gerçek dünyadaki veriye uygulanmasıyla ortaya çıkmış bir araştırma alanı [1]. Ağ biliminin çalıştığı objeler ağlar! Ağ dendiğinde düşünmemiz gereken şey bir "noktalar" ve "kenarlar" kümesi yani graf!

Ağ teorisine göre çeşitli insan dinamikleri bir ağ ile temsil edilebilir ve daha da iyisi, insan popülasyonu (noktalar kümesi) üzerindeki hastalık gibi bir etkileşim (kenarlar kümesi) (Şekil 1) çeşitli simülasyonlarla uzun vadeli tahmin edilebilir ve buna göre önlemler alınması sağlanabilir.

Bu yazıda ağlar üzerindeki en basit epidemik modellerinden olan SIR modelinin matematiğinden bahsedeceğiz. Bu basit modeldeki varsayımları anlatıp denklemleri çıkaracağız ve bu denklemlerden yapılabilecek çıkarımları anlatacağız. Yazının en sonunda da COVID-19'un da aktif olarak çalışıldığı SIRS ve SEIR modellerine de değineceğiz.
SIR Modeli
Diyelim ki popülasyonda hastalığın etkileyebileceği toplam birey sayısı N. SIR modeli olarak da bilinen modelin varsayımları şu şekilde:

Populasyondaki her birey üç harften biriyle temsil edilecek,

S (Susceptible)- Hastalığa henüz yakalanmamış ve yakalanmaya açık sağlıklı bireyler

I (Infected) - Enfekte olmuş/hasta bireyler

R (Recovered/Removed) - İyileşen ve hastalığa bağışıklık kazanan veya hastalık yüzünden ölen bireyler

Bu gruplardaki birey sayıları zaman içinde değişecek fakat her anda S+I+R=N olmalı.

SIR modelinin iki aşaması var. İlk aşamada sağlıklı (S) bireyler hastalığa β hızıyla yakalanıyor. İkinci aşamada ise hasta (I) bireyler γ hızıyla iyileşiyor (veya ölüyor) (Şekil 2).

Burada tanıştığımız parametreler tanıdık olduğumuz olgularla ilişkili:

β =her bireyin birim zamanda temas ettiği ortalama birey sayısı (a) x hastalığı bulaştırma olasılığı (b)

γ ≈ 1 / hastalığın süresi

β ve γ parametrelerinin ikisi de sıfırdan büyük ve gerçek veriden kolayca hesaplanabiliyor.

SIR modelin uygulayabilmemiz için birkaç varsayımda bulunmamız gerekiyor:

1. Popülasyon dış etkilerle değişmiyor; popülasyon doğum, ölüm (COVID-19 hariç) ve göç gibi etmenlere kapalı

2. Hastalığın ömrü sınırlı

3. Hastalığı atlatan bireyler hastalığa tam bağışıklık kazanıyor

4. Virüsün kuluçka dönemi yok. Yani hastalığa yakalanan her birey hastalığı alır almaz başkalarını hasta edebiliyor.

Birinci varsayım çok gerçekçi olmasa da gerekli. İkinci varsayımı meraklılar için yazının sonunda notlar altında ele alıyoruz [2]. Üçüncü varsayımın COVID-19 için geçerli olup olmadığını bu yazının yayınlandığı tarihte bilmiyoruz ama geçerli olduğunu umuyoruz. Dördüncü varsayımın ise COVID-19 için geçerli olmadığını biliyoruz (kuluçka süresi 3-14 gün ve bu süre boyunca hastalığın bulaşmadığı düşünülüyor).

3. ve/veya 4. varsayımlar geçerli olmadığı durumda kullanılabilecek modelleri yazının sonunda tanımlayacağız.

SIR Modeli denklemleri

Bu varsayımlara göre SIR modelini aşağıdaki üç denklemle ifade edebiliriz. Bu denklemleri nasıl elde ettiğimizi aşağıda anlatacağız.

Öncelikle şunu belirtelim. Bu tür denklemlere diferansiyel denklem deniyor. Diferansiyel denklemlerin özelliği değişkenlerin değişim hızlarının değişkenlere bağlı olması. Sol taraftaki dS/dt, dI/dt ve dR/dt terimleri S, I ve R sayılarının olabildiğince sık zaman aralıklarıyla ölçülerek belirlenebilecek artış veya azalma hızlarını veriyor. '"Türev'' denen bu ifadeler pozitif olursa artış negatif olursa azalma olur. Sağ tarafta a, b, γ katsayıları pozitif sayılar olduğundan (-) işaretli terimler azalmaya, (+) işaretli terimler artışa katkı yapıyor.

Birinci denkleme göre sağlıklı insanların sayısı hasta olanların sayısı arttıkça azalacak. Hasta kişiler (I), birim zamanda a tane kişiyle hastalık bulaştırabilecek kontak kuruyorlar, bu kontakların S/N kadarı sağlıklı bireyler oluyor ve onları b olasılıkla hasta ediyorlar. Böylece S'nin azalma hızı hem I hem de S'ye bağlı oluyor.

İkinci denklemde hasta sayısının değişim hızında iki etken var. Birinci etken hasta sayısının değişimi, hızını arttırıyor. Bu sağlıklı bireylerin hasta olmasından kaynaklanan artış yine hem S hem de I'ye bağlı. Bunu dengeleyen ikinci terim ise hasta sayısının değişim hızını azaltıyor ve artık hastalıktan kurtulan ve başka insanları hasta edemeyecek bireylerin etkisi.

Üçüncü denkleme göre ise hasta insanların iyileşme hızı, hasta insan sayısıyla doğru orantılı hatırlayın ki γ pozitif bir sayı.

Son olarak S + I + R = N ve de S, I, R bu altgruplara ait toplam insan sayısı.

Böylece S'nin azalma hızı hem I hem de S'ye bağlı oluyor.

Şimdi bu denklemleri S, I ve R gruplarının popülasyondaki oranları için yazalım ki hesap daha kolay olsun. Yani s=S/N, i=I/N ve r=R/N ve s+i+r=1 olacak şekilde yeniden düzenleyelim. β =ab, hastalığın bulaşma hızı

geçirmiş insanların oranı olan r(t) ilk zamanlarda üssel olarak (katlanarak) artıyor. En sonunda ise yine üssel sönümle belli bir doyum oranına yaklaşıyor. Arada basit üssel artışı sonundaki üssel sönüme bağlayan bir geçiş süreci var. Süreç içinde hastaların oranı da önce üssel olarak artıyor, sonunda üssel olarak sıfıra iniyor. Hiç hasta olmamış sağlıklıların oranı ise süreç boyunca azalarak sonunda küçük bir oranda sabitleniyor.

SIR Modelinin çözümleri

(1) ve (3) nolu denklemleri kullanarak yeni bir denklem edebiliriz: İki tarafın da salgının başlangıcı olarak kabul ettiğimiz bir andan (t=0) başlayarak integralini alırsak (integralini almak anlık değişimleri toplararak belli bir t zamanında ulaşılacak son s(t) ve r(t)'yi bulmak demek) aşağıdaki denklemi elde ediyoruz :

sonuçlarını elde ederiz.

İlk andaki (t=0 anındaki) değerler s ₀ ve r ₀ ile gösteriliyor. Burada ilk anda r grubunda kimsenin olmadığını kabul ediyoruz. Yani r ₀= 0.

Hatırlarsanız s+i+r=1, yani i=1-r-s. Bildiklerimizi denklem (3)'e geri koyalım:

Sadece r(t) için bir denklem elde ettik. Bunu çözebilirsek r'nin zaman içinde nasıl değiştiğini bileceğiz. r ve s'nin bağlantısını denklem (4)'ten biliyoruz. i=1-r-s olduğuna göre bütün bu gruplardaki birey sayısının zaman içindeki değişimlerini bulabiliriz.

Denklem (5)in çözümü kolay olsa da elde edebileceğimiz integrali kapalı formda hesaplamamız mümkün değil. Numerik metotlarla yani bilgisayar yardımıyla bu denklemleri çözdüğümüzde s, i ve r için aşağıdaki gibi çözümler buluyoruz.

Şekil 3 de dikkatimizi çekecek birkaç şey var.

S bireyler I bireye dönüştükçe S'lerin popülasyondaki oranı monoton bir şekilde azalıyor ve R'lerin popülasyondaki oranı monoton bir şekilde artıyor. I'lerin oranı ise başta biraz artsa da zamanla azalıyor.

Bir başka ilginç gözlem ise S'lerin oranı 0'a gitmiyor çünkü belirli bir zaman sonra popülasyonda hasta birey kalmadığı için daha fazla bireyi hasta edemiyor. Yani popülasyonun bir kısmı hastalığa yakalanmadan epidemiği atlatabiliyor.

R'nin uzun zaman geçtikten sonraki değerinin önemli bir anlamı var: Hastalık ortaya çıktığı andan itibaren hastalığa yakalanmış, herhangi bir zaman aralığında I olmuş bireylerin sayısı yani epidemiğin bilançosu!

Uzun zaman sonunda dr/dt=0 olacak, yani sayıların artık değişmediği durum. Denklem (5)'i kullanarak epidemiğin bilançosunu bulabiliriz.

Çok büyük popülasyonlar için (örneğin dünya nüfusu) yani N sonsuza giderken, s ₀ yaklaşık 1 olacak. Dolayısıyla epidemiğin bilançosu için aşağıdaki ifadeyi bulabiliriz:

R ilk başlarda üssel artış gösteriyor. En sonunda üssel sönümle hastalığı geçirenlerin bilançosu olan Rsayısına ulaşıyor. Aradaki evrede model üssel artıştan doyuma nasıl ulaşıldığını gösteriyor. Hasta sayısı I ise ilk başta üssel olarak, katlanarak artıyor, en sonunda üssel olarak azalıyor, arada geçiş sürecinde en yüksek sayıya ulaşıyor.

El yıkama/sosyal mesafenin önemi ve epidemik eşiği

Epidemiğin bilançosu için bulduğumuz ifadeyi aslında β/γ'nin bir fonksiyonu olarak görebiliriz. Öyle ki β≤γ ise epidemiğin bilançosu 0'a yaklaşacak. Bunun anlamı uzunca bir zaman geçtikten sonra hastalığın toplam seyri boyunca popülasyonun bir kısmı herhangi bir şekilde hastalığa yakalanmadan bu süreci atlatabilecek.

Bu bir anlamda akla yatkın, çünkü β≤γ olursa, hastalığa yakalanan kişilerin iyileşme hızları hasta olmayan kişilerin hastalığa yakalanma hızından daha büyük olduğu için belirli bir süre sonra hastalık azala azala kaybolacak.

Bu ne yazık ki hastalığın öldürücülüğü hakkında bir şey söylemiyor. COVID-19'a neden olan SARS-CoV2'nin kuzeni SARS virüsünü düşünün. 2003'ten beri bu virüs ortalıkta olmasına rağmen hastalığın bulaşıcılığı çok düşük olduğundan (yani β çok küçük), bu hastalık epidemik kategorisine erişemedi ve küresel bir kriz haline gelmedi. Buna rağmen bu hastalık yüzünden insanlar öldü ve halen ölümler oluyor.

Ancak hasta bireylere uygulanan karantina aynı şekilde devam ettiği sürece birkaç yüzyıl içinde belki de SARS virüsünün insan popülasyonu üzerinden temizleneceğini öngörebiliriz (hasta olan herkes birdenbire iyileşseydi veya hayatını kaybetseydi, hastalığı bulaştıracak yeni birey kalmadığı için hastalık yok olacaktı.)

Tam tersi durumda yani β > γ olduğunda bütün popülasyon patojenden etkilenmiş olacak, yani popülasyonun bir kısmı iyileşecek ancak bir kısmı da ölecek (hatırlayın ki R bireyler hastalıktan ölüm dahil bir şekilde kurtulanları temsil ediyor). Yani uzun süre boyunca eğer her an hasta olan insanların oranı iyileşen insanların oranından büyük kalırsa kaçınılmaz son olarak hepimiz bu hastalığa bir kere yakalanacağız.

Bu demek oluyor ki eğer β'yı yani bireylerin hastalığa yakalanma hızını düşürebilirsek, epidemiği kontrol altına alabiliriz. Bu iki rejim arasındaki ince çizgi β = γ olduğunda çiziliyor ve bu nokta epidemik eşiği olarak tanımlanıyor.

Eğer epidemik eşiğinin üzerindeyseniz, zaman sonsuza gittikçe, yeterli zaman geçtikten sonra, popülasyonun tamamı hastalıktan etkilenecek. Ama eğer epidemik eşiğin altındaysanız zaman sonsuza gittikçe hastalık popülasyondan temizlenecek.

Yani alınan bütün bu kitle önlemleri, okulların tatil edilmesi, büyük buluşmaların iptal edilmesi, sınırların kapatılması veya bireysel önlemler ellerin sık yıkanması çok önemli. Epidemiğin eşiğin altında kalmak için bunlar şart!

Ne de olsa β=ab; yani kontak kişileri (a) azaltmak (sosyal mesafe ve karantina) ve bulaştırma olasılığını (b) azaltmak (el yıkama vs) β'yı azaltıyor!

Daha karmaşık modeller: SIRS modeli ve SEIR modeli

SIR modelinde yaptığımız varsayımlardan birisi R olarak tanımladığımız bireylerin bir daha hasta olmayacağı, hastalığı geçirdikten sonra hastalığa tam bağışıklık kazanacaklarıydı. COVID-19 için bu yazının yayınlandığı tarihte henüz bu varsayımının doğruluğundan emin değiliz. Eğer hastalığa bir süre bağışıklık kazanılsa da iyileşen bireyler tekrar hastalığa yakalanabiliyorsa bu tip sistemler için SIRS modeli kullanılıyor. SIR modeli için tanımladığımız parametrelerin üzerine yeni bir δ parametresini hastalığı atlatan bireylerin hastalığa olan bağışıklıklarını kaybetme hızı olarak tanımlayacağız. O zaman SIRS modeli şu üç diferansiyel denklemle ifade edilebilir:

Ve yine s+i+r=1 geçerli.

Birinci denkleme göre hastalığa yakalanmaya açık insanların sayısındaki değişim hasta olup hastalığı atlattıktan sonra bağışıklığını kaybeden bireyler tarafından artıyor ve hastalığa yakalanma hızıyla azalıyor.

İkinci denklem SIR modeliyle aynı.

Üçüncü denkleme göre ise hastalığı atlatan insanların sayısındaki değişim iyileşen insanların sayısıyla artıyor ve bağışıklığını kaybeden insanların sayısı ile azalıyor.

SIR modelinin aksine SIRS modeli analitik olarak çözülemiyor. Ancak lineer stabilite analizi ve diğer nonlineer teknikler kullanılarak analiz edilebiliyor. Numerik çözümler bu sistemin çok zengin bir dinamiği olduğunu gösteriyor. Örneğin hastalık epidemik halinde uzun süre devam edip daha sonra epidemik eşiğinin altına düşme eğilimi gösterebiliyor, bu rutini periyodik olarak tekrarlayabiliyor.

COVID-19'un bir kuluçka süresi olduğunu biliyoruz. Bu sürede hastalığı hasta olmayan bireylere bulaştıramayacağımız varsayılıyor [3,4,5]. Bu tür durumlarda kullanılan model SEIR modeli ve hastalığın seyir şeması şu şekilde (Şekil 4)

Buradaki adresten çeşitli parametreleri değiştirerek SEIR modeline göre hastalığın gidişatı öngörülebilir [6].

Son olarak bu modellerden literatürde çok fazla olduğunu ve değişik varsayımlar altında farklı modeller kullanmamız gerektiğini unutmayalım (örneğin aşı bulunduğunda SEIR modelinden de vazgeçip başka bir model benimsememiz gerekecek).

Epidemik modelleri hastalığın seyrini öngörebilmek için kullanılan matematiksel sistemler ve gerçek hayata kritik etkileri olabilir. Bu modellerdeki parametreler gerçek verilerle hesaplandığı için paylaşılan olguların şeffaflığı üzerine bir fikir verebilir. Konu tüm şeffaflığıyla anlaşılmadığında ekonomilere ve sağlık sistemlerine çok daha fazla yük olacaktır.

Notlar/Kaynaklar:

[1] M.E.J. Newman, Networks: An Introduction, Oxford University Press, 2010.
[2] Herhangi bir T zaman aralığında γ'yi bildiğimiz sürece hastalığa yakalanan bir bireyin iyileşmeden önce ne kadar süre boyunca hasta kalacağını hesaplayabiliriz.

Herhangi bir verilen Δ t zaman aralığında bir bireyin iyileşme olasılığı (γ &Delta t) ve iyileşmeme olasılığı (1-γ Δt) olmalı. O zaman verilen Δt zamanından sonra hala hasta kalma olasılığı

ve de T süresince iyileşmeyen bir bireyin T+Δt zaman aralığında iyileşme olasılığı p(T)dT

[3] Analysis and projections of transmission dynamics of nCoV in Wuhan [5] MRC Centre for Global Infectious Disease Analysis, https://cmmid.github.io/topics/covid19/current-patterns-transmission/wuhan-early-dynamics.html
[4] Nowcasting and forecasting the potential domestic and international spread of the 2019-nCoV outbreak originating in Wuhan, China: a modelling study https://www.thelancet.com/journals/lancet/article/PIIS0140-6736(20)30260-9/fulltext
https://www.imperial.ac.uk/mrc-global-infectious-disease-analysis/news-wuhan-coronavirus/
[6] Epidemic Calculator, http://gabgoh.github.io/COVID/index.html

# data[].attributes.attachment_link.description
COVID-19'un son birkaç haftada bütün dünyada küresel bir kriz haline gelmesiyle birlikte bu virüsü anlamak ve hasta kişiler için tedavi geliştirmek için bütün kaynaklar kullanılıyor. Bu çabalar her ne kadar epidemiyoloji ve tıp biliminin bir uğraşı olsa da COVID-19'un genel popülasyon üzerindeki yayılma mekanizması, sosyo-ekonomik etkisi ve buna bağlı alınacak kitle önlemlerinin öngörülebilmesi aslında matematikçiler tarafından çalışılıyor!

# data[].attributes.attachment_link.title
COVID - Coronavirus Statistics - Worldometer

# data[].attributes.attachment_link.description
Daily and weekly updated statistics tracking the number of COVID-19 cases, recovered, and deaths. Historical data with cumulative charts, graphs, and updates.

# data[].attributes.body
Mathematical Modelling April Problem

# data[].attributes.headline
MERDİVEN PROBLEMİ                                                   Bir merdiven duvara dayalı olarak, halı üzerinde kaymadan, şekildeki gibi durmaktadır. Halı çekilince merdivenin ayağı duvardan sabit hızla uzaklaşmaktadır. Merdiven üzerindeki herhangi bir noktanın, merdivenin kayma sürecindeki hareketini ifade eden matematiksel modeli oluşturunuz.STAIR PROBLEM                                                    A ladder rests against the wall without slipping on the carpet as in the figure. When the carpet is pulled, the foot of the ladder moves away from the wall at constant speed. Create a mathematical model that expresses the movement of any point on the ladder during the sliding process of the ladder. 

# data[].attributes.subject
MERDİVEN PROBLEMİ                                                   Bir merdiven duvara dayalı olarak, halı üzerinde kaymadan, şekildeki gibi durmaktadır. Halı çekilince merdivenin ayağı duvardan sabit hızla uzaklaşmaktadır. Merdiven üzerindeki herhangi bir noktanın, merdivenin kayma sürecindeki hareketini ifade eden matematiksel modeli oluşturunuz.STAIR PROBLEM                                                    A ladder rests against the wall without slipping on the carpet as in the figure. When the carpet is pulled, the foot of the ladder moves away from the wall at constant speed. Create a mathematical model that expresses the movement of any point on the ladder during the sliding process of the ladder. 

# data[].attributes.body
Mathematical Modelling  March Problem

# data[].attributes.body
Mathematical Modelling February Problem

# data[].attributes.body
Mathematical Modelling December Problem

# data[].attributes.headline
Bir bilgisayar şirketi eğitim kurumlarına bilgisayar destekli eğitim amaçlı programlar hazırlamaktadır. Şirkete bağlı bir ekip öğrencilerin grafik çizme ve yorumlama becerilerini geliştirmeye yardımcı olacakBir su deposu doldurma animasyonu üzerinde çalışmaktadır. Ekibin bu animasyonu oluşturabilmesi için su deposu doldurulurken depoda biriken suyun hacmine bağlı olarak su yüksekliğini gösterenBir grafiğe ihtiyaç vardır.Ekibin matematikçi üyesi olarak sizden istenen aşağıda verilen depolar için bu grafikleri yaklaşık olarak çizmeniz ve herhangi bir şekle sahip bir su deposu için su miktarına bağlı olarak suyun yüksekliğini gösterecek olan grafiğin nasıl çizileceğini açıklayan bir yönerge hazırlamanızdır.           Water tankA computer company prepares computer-aided educational programs for educational institutions. A team connected to the company will help students develop their ability to draw and interpret graphicsHe is working on a water tank filling animation. In order for the team to create this animation, when the water tank is being filled, it shows the water height depending on the volume of water accumulated in the tank.A graph is needed.As a mathematician member of the team, you are required to draw these graphs for the following reservoirs, and prepare a guideline for a water tank of any shape, which will show the height of the water, depending on the amount of water.

# data[].attributes.subject
Bir bilgisayar şirketi eğitim kurumlarına bilgisayar destekli eğitim amaçlı programlar hazırlamaktadır. Şirkete bağlı bir ekip öğrencilerin grafik çizme ve yorumlama becerilerini geliştirmeye yardımcı olacakBir su deposu doldurma animasyonu üzerinde çalışmaktadır. Ekibin bu animasyonu oluşturabilmesi için su deposu doldurulurken depoda biriken suyun hacmine bağlı olarak su yüksekliğini gösterenBir grafiğe ihtiyaç vardır.Ekibin matematikçi üyesi olarak sizden istenen aşağıda verilen depolar için bu grafikleri yaklaşık olarak çizmeniz ve herhangi bir şekle sahip bir su deposu için su miktarına bağlı olarak suyun yüksekliğini gösterecek olan grafiğin nasıl çizileceğini açıklayan bir yönerge hazırlamanızdır.           Water tankA computer company prepares computer-aided educational programs for educational institutions. A team connected to the company will help students develop their ability to draw and interpret graphicsHe is working on a water tank filling animation. In order for the team to create this animation, when the water tank is being filled, it shows the water height depending on the volume of water accumulated in the tank.A graph is needed.As a mathematician member of the team, you are required to draw these graphs for the following reservoirs, and prepare a guideline for a water tank of any shape, which will show the height of the water, depending on the amount of water.

# data[].attributes.body
Mathematical Modelling November Problem

# data[].attributes.headline
Modeling Questions from Everyday Life for High School Mathematics TopicsAncient RuinsDuring the construction of a road, bones that were thought to belong to people living in ancient times were found. Although not all skeletons were found, it was understood from their position that they belonged to two separate persons. The bones found and their lengths are shown in Table 1; The locations of these and other bones in the human body are shown in Figure 1.Table 1. Types and lengths of the bones foundFirst Skeleton Second Skeleton Biceps bones: 47.5 cm, 47.6 cm Bicep bone: 34.7 cm Front arm bone: 25.8 cm Front arm bone: 20.5 cmIt is important for historians to determine the physical characteristics of people who lived many years ago. Historians ask you (mathematicians like you) for help. Of course, your methods should be scientific and reliable. Turkey's Forensic Data Center may be useful in this regard (I Tatvan) statistical information obtained from the database is shown in Figure 2. In this table, compiled bone measurements from individuals of different ages and genders are given.In the problem, obtaining the linear functions (y = ax + b) expressing the students' height (B) and their independent variables (C, D, E, F) according to the values given in Table 1 will be useful for the solution.

# data[].attributes.subject
Modeling Questions from Everyday Life for High School Mathematics TopicsAncient RuinsDuring the construction of a road, bones that were thought to belong to people living in ancient times were found. Although not all skeletons were found, it was understood from their position that they belonged to two separate persons. The bones found and their lengths are shown in Table 1; The locations of these and other bones in the human body are shown in Figure 1.Table 1. Types and lengths of the bones foundFirst Skeleton Second Skeleton Biceps bones: 47.5 cm, 47.6 cm Bicep bone: 34.7 cm Front arm bone: 25.8 cm Front arm bone: 20.5 cmIt is important for historians to determine the physical characteristics of people who lived many years ago. Historians ask you (mathematicians like you) for help. Of course, your methods should be scientific and reliable. Turkey's Forensic Data Center may be useful in this regard (I Tatvan) statistical information obtained from the database is shown in Figure 2. In this table, compiled bone measurements from individuals of different ages and genders are given.In the problem, obtaining the linear functions (y = ax + b) expressing the students' height (B) and their independent variables (C, D, E, F) according to the values given in Table 1 will be useful for the solution.

# data[].attributes.body
Mathematical Modeling October Problem