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Tutorías con Ingenio Universidad Nacional

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Video realizado por Silvia Parra, estudiante de Ingeniería Macánica de la Universidad Nacional de Colombia, en el marco del programa de tutorías académicas para los estudiantes de Mecánica de Fluidos . Copyright Disclaimer Under Section 107 of the Copyright Act 1976, allowance is made for "fair use" for purposes such as criticism, comment, news reporting, teaching, scholarship, and research.

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El factor de fricción o coeficiente de resistencia de Darcy-Weisbach (f) es un parámetro adimensional que depende del número de Reynolds y de la rugosidad relativa.
f=f(Re,K/D)

En toda tubería recta que transporta un líquido a una temperatura determinada, existe una velocidad crítica (vc) por debajo de la cual el régimen es laminar.
Este valor crítico que marca la transición entre los dos regímenes, el laminar y el turbulento, se corresponde con un Re = 2300, aunque en la práctica, entre 2000 y 4000 la situación es bastante imprecisa. Por lo tanto:
Re < 2000: Régimen laminar. 2000 < Re < 4000: Zona crítica o de transición.
Re > 4000: Régimen turbulento.

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Para calcular las pérdidas de energía por fricción en una tubería puede utilizarse la expresión racional de Darcy-Weisbach, igualando la fórmula que proporciona el valor de la pérdida de carga continua para régimen laminar de Hagen-Poiseuille.

Si el flujo es laminar f = 64/Re

Si el flujo es turbulento el factor de fricción se obtiene con la relación para f de Colebrook-White.

Inicialmente se puede calcular el factor de fricción con la simplificación obtenida por Swamee-Jain:

Y con el valor obtenido refinar el cálculo del factor de fricción con el modelo de Colebrook-White:

Así es como se calcula f en el procedimiento que se suministra.

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Consideremos ahora un fluido viscoso que circula en régimen laminar por una tubería de radio interior R, y de longitud L, bajo la acción de una fuerza debida a la diferencia de presión existente en los extremos del tubo.

F=(p ₁-p ₂)p r ²

Sustituyendo F en la fórmula (1) y teniendo en cuenta que el área A de la capa es ahora el área lateral de un cilindro de longitud L y radio r.

El signo negativo se debe a que v disminuye al aumentar r.

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Integrando esta ecuación, obtenemos el perfil de velocidades en función de la distancia radial, al eje del tubo. Se ha de tener en cuenta que la velocidad en las paredes del tubo r=R es nula.

que es la ecuación de una parábola.

El flujo tiene por tanto un perfil de velocidades parabólico, siendo la velocidad máxima en el centro del tubo.

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El volumen de fluido que atraviesa cualquier sección normal del tubo en la unidad de tiempo se denomina gasto.

El volumen de fluido que atraviesa el área del anillo comprendido entre

r y r+dr en la unidad de tiempo es v(2prdr). Donde v es la velocidad del fluido a una distancia r del eje del tubo y 2p rdr es el área del anillo.

El gasto se hallará integrando

El gasto

G es inversamente proporcional a la viscosidad h y varía en proporción directa a la cuarta potencia del radio del tubo R, y es directamente proporcional al gradiente de presión a lo largo del tubo, es decir al cociente (p ₁-p ₂)/L.

El gasto se puede expresar G=πR ²<v>, donde <v> es la velocidad media del fluido

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La viscosidad, que constituye una resistencia a la deformación, la cual no sigue las leyes del rozamiento entre sólidos, siendo las tensiones proporcionales, en forma aproximada, a las velocidades de las deformaciones; esta Ley fue formulada por Newton, que decía: cuando las capas de un líquido deslizan entre sí, la resistencia al movimiento depende del gradiente de la velocidad dv/dx, y de la superficie.
En otras palabras, la viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de fluido. A causa de la velocidad, es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra.

En la figura, se representa un fluido comprendido entre una lámina inferior fija y una lámina superior móvil.

La capa de fluido en contacto con la lámina móvil tiene la misma velocidad que ella, mientras que la adyacente a la pared fija está en reposo. La velocidad de las distintas capas intermedias aumenta uniformemente entre ambas láminas tal como sugieren las flechas. Un flujo de este tipo se denomina laminar.

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Como consecuencia de este movimiento, una porción de líquido que en un determinado instante tiene la forma ABCD, al cabo de un cierto tiempo se deformará y se transformará  en la porción ABC’D’.

Sean dos capas de fluido de área S que distan dx y entre las cuales existe una diferencia de velocidad dv.

La fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de velocidad. La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad

h.

(1)

En el caso particular, de que la velocidad aumente uniformemente, como se indicó en la primera figura, la expresión (1) se escribe

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Un fluido ideal (figura de la izquierda) sale por la tubería con una velocidad, , de acuerdo con el teorema de Torricelli. Toda la energía potencial disponible (debido a la altura h) se transforma en energía cinética. Aplicando la ecuación de Bernoulli podemos fácilmente comprobar que la altura del líquido en los manómetros debe ser cero.

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En un fluido viscoso el balance de energía es muy diferente. Al abrir el extremo del tubo, sale fluido con una velocidad bastante más pequeña. Los tubos manométricos marcan alturas decrecientes, informándonos de las pérdidas de energía por rozamiento viscoso. En la salida, una parte de la energía potencial que tiene cualquier elemento de fluido al iniciar el movimiento se ha transformado íntegramente en calor. El hecho de que los manómetros marquen presiones sucesivamente decrecientes nos indica que la pérdida de energía en forma de calor es uniforme a lo largo del tubo.

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1. Fluidos newtonianos: Deformación no recuperable.

2. Fluidos no newtonianos

Comportamiento independiente del tiempo: Se aproximan al comportamiento newtoniano solo a muy bajos esfuerzos cortantes y velocidades de deformación.

1. Plásticos

2. Pseudoplásticos

3. Dilatantes

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Comportamiento dependiente del tiempo: Al aumentar el tiempo de flujo a condiciones constantes pueden desarrollar un aumento o disminución en la velocidad

1. Tixótropicos

2. Reopécticos

2. Fluido viscoelásticos

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Evaluemos los cambios energéticos que ocurren en una porción de fluido, cuando se desplaza a lo largo de una tubería. En la figura, se señala la situación inicial y se compara la situación final después de un tiempo Dt. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior S ₂ se ha desplazado v2 Dt y la cara anterior S ₁ del elemento de fluido se ha desplazado v₁Dt hacia la derecha.

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El elemento de masa Dm se puede expresar como   Dm=r S ₂ v ₂Dt=r S ₁ v ₁Dt= r DV

Comparando la situación inicial en el instante t y la situación final en el instante t+Dt. Observamos que el elemento Dm incrementa su altura, desde la altura y ₁ a la altura y ₂

La variación de energía potencial es DE p=Dm·gy ₂-Dm·gy ₁=r DV·(y ₂-y ₁)g

El elemento Dm cambia su velocidad de v ₁ a v ₂,

La variación de energía cinética es DE k =

El resto del fluido ejerce fuerzas debidas a la presión sobre la porción de fluido considerado, sobre su cara anterior y sobre su cara posterior F ₁=p ₁ S ₁ y F ₂=p ₂ S ₂.

La fuerza F ₁ se desplaza Dx ₁=v ₁Dt. La fuerza y el desplazamiento son del mismo signo

La fuerza F ₂ se desplaza Dx ₂=v 2 Dt. La fuerza y el desplazamiento son de signos contrarios.

El trabajo de las fuerzas exteriores es W ext=F ₁ Dx ₁- F ₂ Dx ₂=(p ₁-p ₂) DV

El teorema del trabajo-energía nos dice que el trabajo de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas modifica la energía del sistema de partículas, es decir, la suma de las variaciones de la energía cinética y la energía potencial del sistema de partículas

W ext=E f-E i=(E k+E p)f-(E k+E p)i=DE k+DE p

Simplificando el término DV y reordenando los términos obtenemos la ecuación de Bernoulli

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Existen unidades de proceso, como columnas de destilación, evaporadores e intercambiadores de calor, en los que los cambios de energía por trabajo de flecha, energía cinética y potencial tienden a ser insignificantes en comparación con los flujos de calor y los cambios de energía interna y entalpia. En consecuencia, en los balances de energía de este tipo de procesos por lo general se omiten los primeros términos y toman la forma simple de Q=U f-U i (sistema abierto) o Q=H f-H i (sistema cerrado).

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En la mayoría de las operaciones en las que los flujos de calor y cambios en la energía interna  son secundarios respecto a los cambios de energía cinética y potencial y el trabajo de flecha, existe un paso de fluidos hacia, desde y entre tanques, receptáculos, pozos y unidades de proceso. Para explicar los flujos de energía en tales procesos, es más conveniente realizar un balance de energía mecánica.

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La forma general del balance de energía mecánica se puede derivar comenzando por el balance de sistema abierto y una segunda ecuación expresando la ley de la conservación del momentum.

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No existe una teoría ue describa el comportamiento de los fluidos en régimen turbulento, o que explique la transición de régimen laminar a turbulento.

Podremos observar que los resultados experimentales se ajustan notablemente a las predicciones del flujo laminar para valores bajos del número de Reynolds R, hasta aproximadamente 3000, y se ajustan a las predicciones del flujo turbulento para valores de R mayores que 4400 aproximadamente. Mientras que los valores intermedios de R cubren una amplia región en la que se produce la transición de flujo y ninguna de las dos teorías reproduce satisfactoriamente los resultados experimentales.

El número de Reynolds es el número adimensional

Donde D es el diámetro del tubo, r la densidad del fluido, y h la viscosidad, y v su velocidad.

Para fluidos no ideales la ecuación de Bernoulli toma la forma

donde el término H se denomina "pérdida de carga". Si el fluido es ideal H=0,

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Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido viscoso la resistencia que presenta el medio depende de la velocidad relativa y de la forma del cuerpo. El régimen de flujo es laminar cuando la velocidad relativa es inferior a cierto valor crítico,  la resistencia que ofrece el medio es debida casi exclusivamente a las fuerzas de rozamiento que se oponen al resbalamiento de unas capas de fluido sobre otras, a partir de la capa límite adherida al cuerpo. Se ha comprobado experimentalmente, que la resultante de estas fuerzas es una función de la primera potencia de la velocidad relativa. Para el caso de una esfera, la expresión de dicha fuerza se conoce como la fórmula de Stokes.

Donde R es el radio de la esfera, v su velocidad y h la viscosidad del fluido.

Una aplicación práctica de la fórmula de Stokes es la medida de la viscosidad de un fluido.

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En muchos casos solo se transfieren cantidades pequeñas de calor hacia o desde los alrededores, la temperatura cambia poco de la entrada a ala salida, y no ocurren cambios de fase ni reacciones. Incluso en estas circunstancias, siempre se transforma algo de energía cinética o potencial en térmica como resultado de la fricción debida al movimiento del líquido a través del sistema.
En consecuencia, la perdida por fricción, que se representa por el símbolo F, queda en el balance como:

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Consideremos una porción de fluido, el instante inicial t y en el instante t+Dt.

En un intervalo de tiempo Dt la sección S ₁ que limita a la porción de fluido en la tubería inferior se mueve hacia la derecha Dx ₁=v ₁Dt. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es Dm ₁=r·S ₁Dx ₁=rS ₁ v ₁Dt.

Análogamente, la sección S ₂ que limita a la porción de fluido considerada en la tubería superior se mueve hacia la derecha  Dx ₂=v ₂Dt. en el intervalo de tiempo Dt. La masa de fluido desplazada es Dm ₂=r S ₂ v ₂Dt. Debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la sección S ₁ en el tiempo Dt, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la sección S ₂ en el mismo intervalo de tiempo. Luego

v ₁ S ₁=v ₂ S ₂

Esta relación se denomina ecuación de continuidad.

En la figura, el radio del primer tramo de la tubería es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.

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Determinar la velocidad del agua en ambos tramos de la tubería, sabiendo que:

Radio del tramo izquierdo de la tubería, 20 cm.

Radio del tramo derecho de la tubería, 5 cm.

Medida de la diferencia de presión, 1275 Pa.

Los datos son:

S ₁=p (0.2)2 m², S ₂=p (0.05)² m², r =1000 kg/m³, y  p ₁-p ₂=1275 Pa.

Empleando la expresión anterior, obtenemos el valor de v ₂=1.6 m/s. Calculamos v ₁ a partir de la ecuación de continuidad (v ₁ S ₁=v ₂ S ₂) obteniendo v ₁=0.1 m/s ó 10 cm/s.

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Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeño chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas.

La sección trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es

S ₀, y la velocidad del agua es v ₀. Debido a la acción de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es

Aplicando la ecuación de continuidad

Despejamos el radio

r del hilo de agua en función de la distancia h al grifo.

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Existen tres leyes de la física que se aplican a cada flujo independientemente de la naturaleza del fluido.

1. Ley de la conservación de la masa

Ecuación de continuidad

2. Segunda ley de Newton del movimiento

Teorema del momentum

3. La primera ley de la termodinámica

Ecuación de la energía

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El término estática de fluidos se refiere al estudio de los fluidos en reposo, mientras que dinámica de fluidos estudia los fluidos en movimiento.

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Considérese la fuerza F que actúa sobre un elemento A del cuerpo la fuerza F se descompone en las componentes normal o perpendicular y paralela de la superficie del elemento.

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La presión en un fluido se debe a la transferencia de energía cinética de las moléculas que lo constituyen en los choques sobre una superficie inmersa en el fluido. En fluidos como la atmósfera el propio peso del fluido afecta a los valores de presión y ésta no es la misma a nivel del mar y en lo alto de una montaña.
Desde un punto de vista más preciso definimos presión en cualquier punto de un fluido como la razón de la fuerza normal dF ejercida sobre una pequeña superficie dA que incluya dicho punto, y dicha área,
dP=dF/dA

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La presión disminuye con la altura, pues ρ y g son definidas positivas. Es decir una variación de la altura
positiva dz > 0 (aumento de altura) implica una variación negativa de la presión (disminución de la presión).
Supongamos dos niveles de altura z₁ y z₂ a los que tenemos una presión P₁ y P₂, entonces tenemos que
P ₂ − P ₁ = −ρ g (z ₂ − z ₁)
Vamos a aplicar esta expresión al caso de un líquido en un recipiente abierto: z₂ es el nivel al que está la
superficie libre del líquido (en contacto con la atmósfera) y z₁ es la altura de cualquier punto en el fluido por
debajo de la superficie libre del líquido.

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La fuerza ejercida por el fluido que lo rodea sobre el elemento en cada punto es perpendicular a su superficie. En las direcciones X e Y la resultante de las fuerzas que actúan son nulas (no hay esfuerzos cortantes netos). En la dirección del eje Z

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Sustancia capaz de fluir, carece de forma fija y adopta la forma del recipiente que lo contiene.

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Los fluidos son sustancias que no soportan esfuerzos cortantes (no aparecen esfuerzos cortantes recuperadores), de forma que cambia continuamente de forma mientras está sometido a dichos esfuerzos, por pequeños que sean.

Los líquidos y gases, son fluidos, ambos sin embargo tienen coeficientes de compresibilidad muy diferentes. Por ejemplo un gas se comprime fácilmente mientras que los líquidos son prácticamente incompresibles.

Aunque los fluidos poseen una estructura discreta (se componen de moléculas que se mueven) vamos a considerar los fluidos como medios continuos sin espacios huecos en ellos. Principio de continuidad.

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El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes:

1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido

2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo

3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo

4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.