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Funciones de la forma f(x)=log a x, donde:
la variable x es positiva
la base a es positiva y distinta de 1.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
En análisis matemático el logaritmo en base b de un número real positivo n, es el exponente x de b para obtener n:

La base tiene que ser positiva y distinta de 1.

Cuando la base es 10, esta no se pone, y se escribe como y cuando es se escribe como

Así, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 10 al cubo vale 1000:

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos o logaritmación es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base, y después el número cuyo logaritmo se desea hallar o expresar. Por ejemplo, 3 ⁵=243, luego log ₃ 243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos y fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho, importante en sí mismo -por identidades logarítmicas-, de que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

La noción actual de los logaritmos proviene de Leonhard Euler, quien los conectó con la función exponencial en el siglo XVIII y también introdujo el Número de Euler (representado por la letra e) como base de los logaritmos naturales.

Los logaritmos, que hacen posible transformar una multiplicación en una suma, una división en una resta, una potencia en un producto y una raíz en una división, tuvieron gran importancia porque simplificaban los cálculos numéricos; hoy en día, con las calculadoras y los ordenadores, las operaciones con logaritmos han cambiado sustancialmente.​

Logaritmación es el proceso de hallar el exponente al cual fue elevada la base para obtener un número.

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.​

que se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n si y solo si b elevado a la n da por resultado x.

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles, la base b tiene que ser positiva y distinta de 1 ( b> 0 y b ≠ 1), x tiene que ser un número positivo ( x > 0) y n puede ser cualquier número real ( n ∈ R).​

Así, en la expresión 10 ² = 100, el logaritmo en base 10 de 100 es 2, y se escribe como log ₁₀ 100 = 2.

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, el logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b ¹ = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b ⁰ = 1.

Si b es entero ( Z) y el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1, entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si el logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También usando la identidad logarítmica logb( x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a⁻¹ será mayor que uno, con lo que logb( a)=logb(1/ a⁻¹) = logb 1 - logb( a⁻¹)= -logb( a⁻¹). Lo cual puede resumirse así: Sea b ∈ Z ∧ 0<a<1 ⇒ log b(a)= -c.

Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que b n será mayor que cero, b n > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer b n = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.

Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc., y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4, ..., etc., ya que 2 ⁰ = 1, 2 ¹ = 2, 2 ² = 4, 2 ³ = 8, y 2 ⁴ = 16, etc., luego 1 = 0, log ₂ 2 = 1, log ₂ 4 = 2, log ₂ 8 = 3 y log ₂ 16 = 4, etc.

En esta parte se destaca la capacidad operativa del uso de logaritmos en el sentido de operaciones coligadas; mediante logaritmos, una operación se convierte en otra operación de menor nivel. Por ejemplo, un producto de n factores se reduce a una adición de n sumandos.

Ciertamente, las siguientes proposiciones funcionan como identidades para los valores de su dominio de definición. Sin embargo, el éxito de la invención y uso de los logaritmos, justamente, radicó en poder convertir productos en sumas; cocientes en restas; potencia en producto y raíz de grado n en un cociente. Este hecho permite decir que, en su momento, el uso de logaritmos produjo un cambio revolucionario en los cálculos, empleados en la astronomía, navegación y matemática financiera aplicada a la banca y los negocios colaterales.​ Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 ( logaritmo común), base 2 ( logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que, todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):

en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k= x, obtendremos:

El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad ( candela), de intensidad de sonido ( dB), de la energía de un terremoto ( escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.

Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de . Un ejemplo es la función que produce la x-ésima potencia de b para cualquier número real x, donde la base (o raíz) b es un número fijo. Esta función se escribe como

Para garantizar la definición de logaritmos, es necesario demostrar que para la ecuación exponencial

existe una única solución x , asumiendo que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental.​ Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no "salta", esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.

Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función . Puesto que 0 < f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número y > 0 que se encuentra entre f( x ₀) y f( x ₁) para un adecuado x ₀ y x ₁. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f( x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para b < 1).​

La única solución x es el logaritmo de y en la base b, logb( y). La función que asigna a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica (o logaritmo a secas).

La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número x,

En lenguaje llano, tomando la base- x-ésima potencia de b y luego el b logaritmo se vuelve a obtener x. De modo contrario, dado un número positivo y, la fórmula

dice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a obtener y. Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base b es la función inversa de .​

Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales. Sus gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha: un punto ( t, u = b t) sobre el gráfico de f proporciona un punto ( u, t = logb u) sobre el gráfico del logaritmo y viceversa.

Como consecuencia, logb( x) tiende a + infinito (se hace más grande que cualquier número dado) si x aproxima a + infinito, siempre que b sea mayor que 1. En ese caso, logb( x) es un función creciente. Para b < 1, logb( x) tiende a menos infinito en lugar de a infinito. Cuando x se aproxima a cero, logb( x) tiende a menos infinito para b > 1 (a más infinito cuando b < 1, respectivamente). En cualquier caso, y para todo valor apropiado de la base b, la gráfica de la función logarítmica corta al eje de las abscisas en el punto (1,0).

Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas.​ Así, como es una función continua y diferenciable, también lo será logb( y). Toscamente hablando, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene "trazos puntiagudos". Más aún, como la derivada de f( x) evaluada en ln( b) b x por las propiedades de la función exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de logb( x) es dada por​​

Esto es, la base-ln( pendiente de la tangente que toca el gráfico del logaritmo en b en el punto es igual a . En particular, la derivada de ln( x) es 1/ x, lo que implica que la integral indefinida de 1/ x es x) + C.La derivada con un argumento funcional generalizado f( x) es

El cociente del miembro derecho es denominado derivada logarítmica de f. Calcular f'( x) por medio de la derivada de ln( f( x)) se conoce como diferenciación logarítmica.​ La integral indefinida del logaritmo natural ln( x) es:​

Fórmulas relacionadas, tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras bases pueden ser obtenidas de esta ecuación usando el cambio de bases.​

El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/ x dx desde 1 a t:

En otras palabras, ln( t) es igual al área entre el eje x y el gráfico de la función 1/ x, recorrido desde x = 1 a (figura a la derecha). Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln( x) sea 1/ x. El miembro de la derecha de esta ecuación puede servir con una definición para el logaritmo natural. Las fórmulas del producto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidas de esta definición.​ Por ejemplo, la fórmula del producto se deduce como:

La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable ( ). En la ilustración de abajo, la descomposición corresponde a dividir el área en las partes azul y amarilla. Reescalando el área azul de la izquierda verticalmente mediante el factor t y contrayendo esta por el mismo factor horizontalmente no se cambia su tamaño. Moviéndola apropiadamente, el área de la gráfica se ajusta a la función de nuevo. Por lo tanto, el área azul del término izquierdo, que es la integral de f( x) desde t a tu es la misma que la de la integral desde 1 a u. Esto justifica la igualdad (2) con otra demostración geométrica más.

La fórmula de la potencia puede ser obtenida de manera similar:

La segunda igualdad usa los cambios de variable ( integración por sustitución), .

La suma sobre los inversos de los números naturales,

es llamada serie armónica. Está estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando n tiende a infinito, la diferencia,

converge (es decir, se aproxima arbitrariamente cerca) a un número conocido como constante de Euler-Mascheroni. Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos, como quicksort.​

El logaritmo es un ejemplo de función trascendente y desde un punto de vista teórico, el teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores "difíciles". La declaración formal se basa en la noción de números algebraicos, que incluye a todos los números racionales, pero también números tales como la raíz cuadrada de 2 o

Números complejos que no son algebraicos son llamados transcendentes;​ por ejemplo, π y e son dos de esos números. Casi todos los números complejos son trascendentes. Usando estas nociones, el teorema de Gelfond-Scheider declara que dados dos números algebraicos a y b, logb( a) es, o un número trascendente, o un número racional p / q (en cuyo caso a q = b p, de manera que, para empezar, a y b estaban estrechamente relacionados).​

Los logaritmos son fáciles de calcular en algunos casos, tales como log ₁₀(1000) = 3. En general, los logaritmos pueden ser calculados usando series de potencias o la media aritmético-geométrica, o ser obtenidos de una tabla de logaritmos precalculada que proporciona una precisión fijada.​​ El método de Newton, un método iterativo para resolver ecuaciones aproximadamente, puede ser usado también para calcular el logaritmo, porque su función inversa, la función exponencial, puede ser calculada eficientemente.​ Usando tablas de referencias, métodos como CORDIC pueden ser usados para calcular logaritmos si la únicas operaciones disponibles son la adición y el desplazamiento de bits.​​ Más aún, el algoritmo del logaritmo binario calcula lb( x) recursivamente basado en la repetición cuadrática de x, aprovechando la relación

Serie de Taylor

Para cualquier número real 0 < z que satisfaga z < 2, la siguiente serie de potencias se cumple:​​

Esta es una manera rápida de decir que ln( z) puede ser aproximado a un valor más y más preciso mediante las siguientes expresiones:

Por ejemplo, con z = 1.5 la tercera aproximación obtiene 0.4167, que es alrededor de 0.011 mayor que ln(1.5) = 0.405465. Esta serie aproxima ln( z) con precisión arbitraria, siempre que el número de sumandos sea lo suficientemente grande. En cálculo elemental, ln( z) es por tanto, el límite de la serie. Esta es la serie de Taylor del logaritmo natural en z = 1. La serie de Taylor de ln z proporciona una particular aproximación útil de ln(1+ z) cuando z es pequeño, |z| << 1, puesto que

Por ejemplo, con z = 0,1 el primer orden de aproximación da ln(1,1) ≈ 0.1, que es menor del 5 % del valor correcto 0,0953.

Series más eficientes

Otra serie está basada en la función argumento de tangente hiperbólica:

para cualquier número real z > 0.​​ Usando la notación sumatorio esta también puede ser escrita como

Esta serie se puede obtener de la serie de Taylor anterior. Converge más rápido que la serie de Taylor, especialmente si z es cercano a 1. Por ejemplo, para , los tres primeros términos de la segunda serie aproximan ln(1,5) con un error del entorno de 3×10 −6. La rápida convergencia para z cercano a 1 puede ser tomada como una ventaja de la siguiente manera.: da una aproximación de baja exactitud y calculando

el logaritmo de z es:

Cuando mejor es la aproximación inicial y, más cerca está A de 1, así que su logaritmo puede ser calculado eficientemente. A puede ser calculado usando la serie exponencial, que converge rápidamente siempre que y no sea demasiado grande. Calculando el logaritmo de un z mayor, puede ser reducido a valores más pequeños que z mediante la escritura , así que .

Un método íntimamente relacionado puede ser utilizado para calcular el logaritmo de enteros. De la serie anterior, se deduce que:

Si el logaritmo de un entero grande n es conocido, entonces esta serie obtiene una veloz serie convergente para log( n+1).

La media aritmético-geométrica da aproximaciones con gran precisión del logaritmo natural. ln( x) es aproximado con una precisión de 2 −p (o p bits precisos) mediante la siguiente fórmula (dada por Carl Friedrich Gauss):​​

Aquí M denota la media aritmético-geométrica. Se puede obtener mediante el cálculo repetido de la media ( media aritmética) y de la raíz cuadrada del producto de dos números ( media geométrica). Más aún, m es escogido tal que

Ambas, media aritmético-geométrica y las constantes π y ln(2) pueden ser calculadas mediante series convergentes muy rápidas.

Es posible extender el concepto de logaritmo más allá de los reales positivos.

Para enteros b y x, el número es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o x tienen un factor primo que el otro no tiene.

El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos solo puede hacerse introduciendo números complejos.

Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la más frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.

El logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln( z) que sea solución de la ecuación:

(*)

La ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de soluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número complejo z escrito en forma polar, una solución posible de la ecuación () es b ₀:

Puede comprobarse que esta no es la única solución, sino que para cualquier valor resulta que el número complejo bk, definido a continuación, también es solución:

De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.

Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base (la unidad imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:

Dónde z es cualquier número complejo excepto 0. Sin embargo, cabe señalar que la fórmula anterior solo es una de las posibles soluciones ya que la ecuación:

admite no solo la solución dada anteriormente sino que cualquier x de la forma:

también es solución.

Una matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:

A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre. En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo esté definido para todos y cada uno de los autovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz está definido y es logaritmo de una matriz con autovalores positivos es otra matriz real. Si el 0 es un autovalor de la matriz, entonces su logaritmo no está definido.

Si el logaritmo está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores y estos incluyen algún número negativo, aun así es posible definir una matriz logaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos de números negativos o complejos), aunque no resulta única.

En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que requiere encontrar primero su forma canónica de Jordan.

Los logaritmos discretos son los análogos en teoría de grupos de los logaritmos ordinarios. En particular, un logaritmo ordinario loga( b) es una solución de la ecuación a x = b sobre números reales o números complejos. De manera similar, si g y h son elementos de un grupo cíclico finito G, entonces una solución x de la ecuación g x = h es llamada logaritmo discreto en la base g de h en el grupo G.

Si ( G, ·) es un grupo cíclico finito de orden n, donde · es el operador multiplicación, si se escoge un generador g de G, entonces cada elemento h de G puede ser escrito como h = g k para algún entero k, de manera que la función

Este logaritmo tiene aplicaciones en criptografía, en especial en el método de intercambio de claves de Diffie-Hellman o en el sistema de ElGamal.

El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.

Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación marítima y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10 −7 = 0,999999 (Bürgi eligió r = 1 + 10 −4 = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 10 ⁷ = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula: N = 10 ⁷(1 − 10 −7)L. Donde (1 − 10 −7) es aproximadamente 1/e, haciendo L/10 ⁷ equivalente a log 1/e N/10 ⁷. Véase logaritmo neperiano.

Inicialmente, Napier llamó "números artificiales" a los logaritmos y "números naturales" a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος ( logos) el sentido de proporción, y ἀριθμός ( arithmos) significado número, y se define, literalmente, como "un número que indica una relación o proporción". Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su "teorema fundamental", que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una progresión aritmética de logaritmos corresponde a una progresión geométrica de números. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo xvii y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

1. La misma serie se cumple para el valor principal del logaritmo complejo para números complejos z que satisfacen que |z − 1| < 1.

2. La misma serie se cumple para el valor principal del logaritmo complejo para números complejos z con parte real positiva.

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Logaritmo - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En análisis matemático el logaritmo en base b de un número real positivo n, es el exponente x de b para obtener n: La base tiene que ser positiva y distinta de 1.

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Función de la forma f(x)=a x, donde la variable x se presenta como un exponente.

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En matemáticas, una función exponencial es una función de la forma en el que el argumento x se presenta como un exponente. Una función de la forma también es una función exponencial, ya que puede reescribirse como:

Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, su derivada) es directamente proporcional al valor de la función. La constante de proporcionalidad de esta relación es el logaritmo natural de la base b: La constante e = 2.71828... es la base única para la cual la constante de proporcionalidad es 1, de modo que la derivada de la función es en sí misma: Dado que el cambio de la base de la función exponencial simplemente da como resultado la aparición de un factor constante adicional, es computacionalmente conveniente reducir el estudio de las funciones exponenciales en el análisis matemático al estudio de esta función particular, llamada convencionalmente la "función exponencial natural",​​ o simplemente, "la función exponencial" y denotada por o bien Si bien ambas notaciones son comunes, la primera se usa generalmente para los exponentes más simples, mientras que la última tiende a usarse cuando el exponente es una expresión complicada.

La función exponencial satisface la identidad multiplicativa fundamental para todo Esta identidad se extiende a los exponentes de valores complejos. Se puede mostrar que cada solución continua, distinta de cero, de la ecuación funcional es una función exponencial, con La identidad multiplicativa fundamental, junto con la definición del número e como e ¹, muestra que para enteros positivos n y relaciona la función exponencial con la noción elemental de exponenciación.

El argumento de la función exponencial puede ser cualquier número real o complejo o incluso un tipo de objeto matemático completamente diferente (por ejemplo, una matriz).

Su omnipresente aparición en matemáticas puras y aplicadas ha llevado al matemático W. Rudin a opinar que la función exponencial es " la función más importante en matemáticas".​ En los ajustes aplicados, las funciones exponenciales modelan una relación en la que un cambio constante en la variable independiente proporciona el mismo cambio proporcional (es decir, aumento o disminución de porcentaje) en la variable dependiente. Esto ocurre ampliamente en las ciencias naturales y sociales; por lo tanto, la función exponencial también aparece en una variedad de contextos dentro de la física, la química, la ingeniería, la biología matemática y la economía.

La gráfica de está inclinada hacia arriba, y aumenta más rápido a medida que x aumenta. El gráfico siempre se encuentra por encima del eje x, pero puede estar arbitrariamente cerca de él para x negativo; Así, el eje x es una asíntota horizontal. La pendiente de la tangente a la gráfica en cada punto es igual a su coordenada y en ese punto, como lo indica su función derivada. Su función inversa es el logaritmo natural, denotado antilogaritmo. ​ ​ o debido a esto, algunos textos antiguos​ se refiere a la función exponencial como el

La función exponencial real se puede caracterizar de varias maneras equivalentes. Más comúnmente, se define por las siguientes series de potencias:​

Como el radio de convergencia de esta serie de potencias es infinito, esta definición es, de hecho, aplicable a todos los números complejos .

La diferenciación término por término de esta serie de potencias revela que para todas las x reales, lo que lleva a otra caracterización común de como la única solución de la ecuación diferencial

satisfaciendo la condición inicial

Basándose en esta caracterización, la regla de la cadena muestra que su función inversa, el logaritmo natural, satisface para o Esta relación lleva a una definición menos común de la función exponencial real como la solución a la ecuación

Por medio del teorema del binomio y la definición de la serie de potencias, la función exponencial también se puede definir como el siguiente límite:​

La función exponencial surge cuando una cantidad crece o decae a una tasa proporcional a su valor actual. Una de esas situaciones es el interés continuamente compuesto, y de hecho, fue esta observación la que llevó a Jacob Bernoulli en 1683 ​ al número

ahora conocido como e. Más tarde, en 1697, Johann Bernoulli estudió el cálculo de la función exponencial.​

Si una cantidad principal de 1 gana intereses a una tasa anual de x capitalización mensual, entonces el interés ganado cada mes es veces el valor actual, por lo que cada mes el valor total se multiplica por , y el valor al final del año es . Si, en cambio, el interés se agrava diariamente, esto se convierte en . Dejar que el número de intervalos de tiempo por año crezca sin límite lleva a la definición límite de la función exponencial,

primero dado por Leonhard Euler.​ Esta es una de varias caracterizaciones de la función exponencial; Otros implican series o ecuaciones diferenciales.

De cualquiera de estas definiciones se puede mostrar que la función exponencial obedece a la identidad de exponenciación básica,

lo que justifica la notación .

La derivada (tasa de cambio) de la función exponencial es la función exponencial en sí misma. Más generalmente, una función con una tasa de cambio proporcional a la función en sí misma (en lugar de ser igual a ella) es expresable en términos de la función exponencial. Esta propiedad de función conduce a un crecimiento exponencial o decaimiento exponencial.

La función exponencial se extiende a una función completa en el plano complejo. La fórmula de Euler relaciona sus valores en argumentos puramente imaginarios con funciones trigonométricas. La función exponencial también tiene análogos para los cuales el argumento es una matriz, o incluso un elemento de un álgebra de Banach o un álgebra de Lie.

La importancia de la función exponencial en matemáticas y ciencias proviene principalmente de su definición como función única que es igual a su derivada y es igual a 1 cuando x = 0. Es decir,

Las funciones de la forma para la constante c son las únicas funciones que son iguales a su derivada (por el teorema de Picard-Lindelöf). Otras formas de decir lo mismo incluyen:

La pendiente de la gráfica en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.

La tasa de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.

La función resuelve la ecuación diferencial .

exp es un punto fijo de derivado como funcional.

Si la tasa de crecimiento o decaimiento de una variable es proporcional a su tamaño, como es el caso del crecimiento poblacional ilimitado (ver catástrofe maltusiana), interés compuesto continuamente o decaimiento radiactivo, entonces la variable puede escribirse como una función exponencial por el tiempo. Explícitamente para cualquier constante real k, una función satisface si y solo si f (x) = cekx para alguna constante c. k, a function satisfies if and only if for some constant c.

Además, para cualquier función diferenciable f(x), encontramos, por la regla de la cadena:

Una fracción continua para puede obtenerse a través de una identidad de Euler:

La siguiente fracción continua generalizada para converge más rápidamente:​

con un caso especial para z = 2:

Esta fórmula también converge, aunque más lentamente, para z> 2. Por ejemplo:

Como en el caso real, la función exponencial se puede definir en el plano complejo en varias formas equivalentes. La definición más común de la función exponencial compleja es paralela a la definición de la serie de potencias para los argumentos reales, donde la variable real se reemplaza por una compleja:

La multiplicación de dos copias de estas series de potencias en el sentido de Cauchy, permitida por el teorema de Mertens, muestra que la propiedad multiplicativa definitoria de las funciones exponenciales sigue siendo válida para todos los argumentos complejos:

para todo

La definición de la función exponencial compleja a su vez conduce a las definiciones apropiadas que extienden las funciones trigonométricas a argumentos complejos.

En particular, cuando ( real), la definición de la serie produce la expansión

En esta expansión, la reorganización de los términos en partes reales e imaginarias se justifica por la convergencia absoluta de la serie. Las partes reales e imaginarias de la expresión anterior de hecho corresponden a las expansiones de la serie de y , respectivamente.

Esta correspondencia proporciona motivación para definir el coseno y el seno para todos los argumentos complejos en términos de y la serie de potencias equivalentes:​

y para todo

Las funciones exp, cos y sin, así definidas, tienen un radio infinito de convergencia por la prueba de relación y, por lo tanto, son funciones completas (es decir, holomorfas en ). El rango de la función exponencial es , mientras que los rangos de las funciones complejas de seno y coseno son en su totalidad, en de acuerdo con el teorema de Picard, que afirma que el rango de una función completa no constante es o excluyendo un valor lacunario.

Estas definiciones para las funciones exponenciales y trigonométricas conducen trivialmente a la fórmula de Euler:

para todo

Alternativamente, podríamos definir la función exponencial compleja basada en esta relación. Si , donde y son reales, podríamos definir su exponencial como

donde exp, cos y sen en el lado derecho del signo de definición deben interpretarse como funciones de una variable real, previamente definida por otros medios.​

Para , la relación se mantiene, por lo que para real y mapea la línea real (mod ) al círculo unitario. Sobre la base de la relación entre y el círculo unitario, es fácil ver que, restringido a argumentos reales, las definiciones de seno y coseno dadas anteriormente coinciden con sus definiciones más elementales basadas en nociones geométricas.

La función exponencial compleja es periódica con el período y para todos .

Cuando su dominio se extiende desde la línea real al plano complejo, la función exponencial conserva las siguientes propiedades:

Extender el logaritmo natural a argumentos complejos produce el log logaritmo complejo z, que es una función multivalor.

Podemos definir una exponenciación más general:

para todos los números complejos log z y w. Esta es también una función multivalor, incluso cuando z es real. Esta distinción es problemática, ya que las funciones multivalor z y se confunden fácilmente con sus equivalentes de un solo valor al sustituir un número real por z. La regla sobre la multiplicación de exponentes para el caso de números reales positivos debe modificarse en un contexto multivalor:

La función exponencial mapea cualquier línea en el plano complejo a una espiral logarítmica en el plano complejo con el centro en el origen. Cabe señalar dos casos especiales: cuando la línea original es paralela al eje real, la espiral resultante nunca se cierra sobre sí misma; cuando la línea original es paralela al eje imaginario, la espiral resultante es un círculo de algún radio.

Considerando la función exponencial compleja como una función que involucra cuatro variables reales:

La gráfica de la función exponencial es una superficie bidimensional que se curva a través de cuatro dimensiones.

Comenzando con una parte codificada por colores del dominio , las siguientes son representaciones de la gráfica como se proyecta de manera diversa en dos o tres dimensiones.

La segunda imagen muestra cómo se mapea el plano complejo de dominio en el plano complejo de rango:

cero se asigna a 1

el eje real se asigna al eje real positivo

el eje imaginario se envuelve alrededor del círculo unitario a una velocidad angular constante

los valores con partes reales negativas se asignan dentro del círculo unitario

los valores con partes reales positivas se asignan fuera del círculo unitario

los valores con una parte real constante se asignan a círculos centrados en cero

los valores con una parte imaginaria constante se asignan a rayos que se extienden desde cero

La tercera y cuarta imágenes muestran cómo el gráfico en la segunda imagen se extiende en una de las otras dos dimensiones que no se muestran en la segunda imagen.

La tercera imagen muestra el gráfico extendido a lo largo del eje real . Muestra que la gráfica es una superficie de revolución sobre el eje de la gráfica de la función exponencial real, que produce una forma de bocina o embudo.

La cuarta imagen muestra el gráfico extendido a lo largo del eje imaginario . Muestra que la superficie del gráfico para valores positivos y negativos realmente no coinciden con el eje real negativo, sino que forma una superficie en espiral alrededor del eje . Debido a que sus valores se han extendido a ± 2π, esta imagen también representa mejor la periodicidad 2π en el valor imaginario .

Sin embargo, cuando b no es un número entero, esta función es multivalor, porque θ no es única.

Si se toma como base el número complejo a diferente de e, y como variable el exponente z, se tiene que la función exponencial general w = f( z)= , se define como: ​:

Es una familia de funciones unívocas, no ligadas entre sí, que se distinguen por los factores exp(2kπi z), siendo k cualquier número entero. ​

La definición de la serie de potencias de la función exponencial tiene sentido para las matrices cuadradas (para las cuales la función se denomina matriz exponencial) y más generalmente en cualquier álgebra B de Banach. En esta configuración, , y es invertible con e inversa para cualquier x en B. Si , entonces , pero esta identidad puede fallar para no conmutar x e y.

Algunas definiciones alternativas llevan a la misma función. Por ejemplo, puede definirse como:

Dado un GL(M( Grupo de Lie G y su álgebra de Lie asociada , el mapa exponencial es un mapa ↦ G que satisface propiedades similares. De hecho, dado que R es el álgebra de Lie del grupo de Lie de todos los números reales positivos bajo multiplicación, la función exponencial ordinaria para los argumentos reales es un caso especial de la situación del álgebra de Lie. De manera similar, como el grupo de Lie n, n × n, n × n, la función exponencial para matrices cuadradas es un caso especial de Mapa exponencial de álgebra de Lie. R), el espacio de todas las matrices n tiene como álgebra de Lie R) de matrices invertibles

La identidad puede fallar para los elementos del álgebra de Lie x y y que no conmutan; La fórmula de Baker - Campbell - Hausdorff proporciona los términos de corrección necesarios.

La función no está en (es decir, no es el cociente de dos polinomios con coeficientes complejos).

La función es trascendental sobre

Al computar (una aproximación de) la función exponencial, si el argumento está cerca de 0, el resultado será cercano a 1, y computar la diferencia puede producir una pérdida de precisión.

Siguiendo una propuesta de William Kahan, puede ser útil tener una rutina dedicada, a menudo llamada expm1, para calcular ex − 1 directamente, sin pasar por el cálculo de . Por ejemplo, si la exponencial se calcula utilizando su serie de Taylor

uno puede usar la serie de Taylor

Esto se implementó por primera vez en 1979 en la calculadora Hewlett-Packard HP-41C, y fue proporcionado por varias calculadoras,​​ sistemas de álgebra computacional y lenguajes de programación (por ejemplo, C99).​

Se ha utilizado un enfoque similar para el logaritmo.(ver lnp1).​

Una identidad en términos de la tangente hiperbólica,

proporciona un valor de alta precisión para valores pequeños de x en sistemas que no implementan expm1( x).

Bibliografía

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Ahlfors, Lars. Complex Analysis: an Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (1953, 1966, 1979) (ISBN 0-07-000657-1)

A similar approach to reduce round-off errors of calculations for certain input values of trigonometric functions consists of using the less common trigonometric functions versine, vercosine, coversine, covercosine, haversine, havercosine, hacoversine, hacovercosine, exsecant and excosecant.

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2. Courant; Robbins (1996). Stewart, ed. What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (2nd revised edición). Oxford University Press. p. 448. . "This natural exponential function is identical with its derivative. This is really the source of all the properties of the exponential function, and the basic reason for its importance in applications... ".

3. ↑ Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (3rd edición). New York: McGraw-Hill. p. 1. .

4. In pure mathematics, the notation log x generally refers to the natural logarithm of x or a logarithm in general if the base is immaterial.

5. The notation ln log x is the ISO standard and is prevalent in the natural sciences and secondary education (US). However, some mathematicians (e.g., Paul Halmos) have criticized this notation and prefer to use x for the natural logarithm of x.

6. Converse; Durrell (1911). Plane and spherical trigonometry. C. E. Merrill Co. p. 12. "Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm) ... "

7. ↑ John J O'Connor; Edmund F Robertson. "The number e". School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland.

8. "A.2.2 The exponential function." L. Lorentzen and H. Waadeland, Continued Fractions, Atlantis Studies in Mathematics, page 268.

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11. HP 48G Series - Advanced User's Reference Manual (AUR) (4 edición). Hewlett-Packard. December 1994. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2.

12. HP 50g / 49g+ / 48gII graphing calculator advanced user's reference manual (AUR) (2 edición). Hewlett-Packard. 14 de julio de 2009. HP F2228-90010. Searchable PDF

13. Beebe, Nelson H. F. (9 de julio de 2002). "Computation of expm1 = exp(x)−1". Salt Lake City, Utah, USA: Department of Mathematics, Center for Scientific Computing, University of Utah.

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Función exponencial - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemáticas, una función exponencial es una función de la forma en el que el argumento x se presenta como un exponente. Una función de la forma también es una función exponencial, ya que puede reescribirse como: Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, su derivada) es directamente proporcional al valor de la función.

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Funciones determinadas con el objetivo de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Estas usualmente incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos.

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En matemática, las funciones trigonométricas son las funciones determinadas con el objetivo de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Estas usualmente incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos, tal como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos.

Las funciones trigonométricas se pueden definir como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

La siguiente tabla resume los valores algebraicos más simples y/o comunes de las funciones trigonométricas. ​ El símbolo ∞ representa el punto del infinito en la línea real proyectada extendida; la cual no tiene signo, porque, cuando aparece en la tabla, la función trigonométrica correspondiente tiende a +∞ en un lado y a −∞ en el otro lado, cuando el argumento tiende al valor en la tabla.

No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de para valores de menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida radianes. Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas coseno y seno como la abscisa (x) y la ordenada (y), respectivamente, de un punto P de coordenadas (x, y), perteneciente a la circunferencia, siendo el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.

Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica. Si el valor de x está fuera del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo a términos de , o convirtiendo a términos de :

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:

Y para el caso alternativo:

La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes).

El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno.

Series de potencias

A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.

Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas según la fórmula de Euler:

Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

A partir de ecuaciones diferenciales

Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:

Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación, las variables dependientes, juntas, pueden formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.

Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = − y implica que son funciones propias del operador de la segunda derivada.

La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal

satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.

La función arcoseno real es una función , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.

Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:

Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.

A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.

El primer uso de la función seno ( sin(·)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler".

La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos

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Función trigonométrica - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemática, las funciones trigonométricas son las funciones determinadas con el objetivo de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Estas usualmente incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos, tal como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

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Funciones que solamente contienen expresiones algebraicas, relacionadas con las operaciones básicas:

+, -, ×, ÷, xⁿ, ⁿ√x

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En esta función, x es la variable, n (el mayor de los exponentes a los que está elevada la variable) indica el grado del polinomio y los coeficientes a₀, a₁, ..., an son números reales.

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Función polinómica de primer grado, de la forma

f(x)=mx+b

m es la pendiente
b el intercepto con el eje y

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En estas funciones la variable x puede ser un exponente ax, el índice de una raíz x√a, un ángulo en una función trigonométrica o el argumento de un logartimo loga x. NO contienen las operaciones básicas:

+, -, ×, ÷

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f(x)=-3x²+5x-1

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F(x)=5

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f(x)= sin x

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(x)=sec(x)

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EQUIPO 14
f(x)=log_5x

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f(x)=cotx

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f(x)=ln(x)

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Ejemplo función coseno

f(x)=cosx

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f(x)=|x|

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f(x)=⌈x⌉

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f(x)=5x³−x2+2x−4

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