# data[].attributes.body
Redactează un eseu despre unul dintre paradoxurile matematice

# data[].attributes.body
Teoreme de incompletitudine ale lui Gödel

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Incompletitudinea Teoreme Gödel sunt două teoreme celebre ale logicii matematice, publicate de Kurt Gödel în 1931, în articolul său Über formală unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und Systeme verwandter ( " La propuneri în mod oficial indecidabila de Principia Mathematica și a sistemelor aferente „). Acestea au marcat un punct de cotitură în istoria logicii, oferind un răspuns negativ la întrebarea demonstrației coerenței matematicii formulată cu mai bine de 20 de ani în urmă de programul lui Hilbert .

În prima incompletitudine teorema stabilește că o teorie suficientă pentru a demonstra teoremele de bază ale aritmetică este în mod necesar incompletă, în sensul că există situații care nu sunt nici demonstrabile, nici refutabile (o declarație este există demonstrabilă, dacă se poate deduce din axiomele teoriei, este infirmabil dacă se poate deduce negația acestuia). Vorbim apoi despre afirmații indecidabile în teorie.

A doua teoremă a incompletitudinii este atât un corolar, cât și o formalizare a unei părți din dovada primei. Se ocupă de problema dovezilor de coerență a unei teorii: o teorie este coerentă dacă există enunțuri care nu pot fi dovedite în ea (sau, ceea ce înseamnă același lucru, dacă nu putem dovedi A și nu A); de exemplu, consistența aritmeticii este adesea exprimată prin faptul că afirmația 0 = 1 nu poate fi demonstrată acolo (știind că, desigur, 0 ≠ 1 este). Sub ipoteze greu mai puternice decât cele din prima teoremă, se poate construi o afirmație care să exprime coerența unei teorii în limbajul acesteia. A doua teoremă afirmă apoi că, dacă teoria este coerentă, această afirmație nu poate fi o consecință, care poate fi rezumată prin: „o teorie coerentă nu își demonstrează propria coerență".

Enunțuri ale celor două teoreme

Prima teoremă a incompletitudinii poate fi afirmată în modul următor, încă oarecum aproximativ aproximativ (termenii tehnici sunt explicați în paragraful următor).

În orice teorie recursiv axiomatizabilă, coerentă și capabilă să „formalizeze aritmetica", se poate construi o afirmație aritmetică care nu poate fi nici dovedită, nici infirmată în această teorie.

Se spune că astfel de afirmații sunt indecidabile în această teorie. Spunem, de asemenea, independent de teorie.

Încă în articolul din 1931, Gödel deduce a doua teoremă a incompletitudinii:

În cazul în care T este o teorie coerentă, care îndeplinește ipoteze similare, consistența T, care poate fi exprimată în T teorie, nu este demonstrabil în T .

Aceste două teoreme sunt valabile, de exemplu, pentru aritmetica lui Peano și, prin urmare, pentru teoriile mai puternice decât aceasta, în special teoriile destinate întemeierii matematicii, cum ar fi teoria mulțimilor sau Principia Mathematica .

Condițiile de aplicare a teoremelor

Pentru a fixa ideile, acum considerăm că teoriile în cauză sunt, la fel ca cele menționate recent (aritmetica Peano, teoria mulțimilor), teorii de ordinul întâi ale logicii clasice, chiar dacă teoremele incompletitudinii rămân valabile, în aceleași condiții, de exemplu în logica intuiționistă sau trecând la o ordine superioară .

Prin teorie recursiv axiomatizabilă înțelegem că teoria poate fi axiomatizată în așa fel încât este posibil să se recunoască axiomele pur mecanic printre enunțurile limbajului teoriei. Acesta este în mod evident cazul cu teoriile utilizate pentru a oficializa tot sau parțial matematica obișnuită.

O teorie este coerentă dacă există enunțuri care nu sunt consecința axiomelor sale; sau cu alte cuvinte dacă nu demonstrează toate afirmațiile. O teorie inconsecventă poate demonstra totul și, prin urmare, nu are sens. Coerența este adesea exprimată sub forma echivalentă: nu se poate dovedi nicio contradicție din axiome. De asemenea, se spune că este consecvent sau nu contradictoriu . Pentru a putea demonstra prima sa teoremă a incompletitudinii în forma sa cea mai generală - există o afirmație care nu este nici demonstrabilă, nici refutabilă în teorie - Gödel a făcut o presupunere de consistență ceva mai puternică. Această presupunere nu este totuși necesară pentru a doua teoremă, care afirmă doar nedemonstrabilitatea afirmației de coerență. Mai mult, John Barkley Rosser a dat în 1936 o dovadă a primei teoreme a incompletitudinii sub această simplă presupunere a coerenței. Strict vorbind, enunțul primei teoreme a incompletitudinii dat mai sus nu este, așadar, exact al lui Gödel; din acest motiv numim această teoremă a lui Gödel-Rosser .

O teorie face posibilă formalizarea aritmeticii dacă, pe de o parte, este posibil să se definească (într-un sens în care ar fi necesar să se specifice) numerele întregi (date de zero și funcția succesor), cu operațiile obișnuite, cel puțin adunarea și multiplicarea și dacă pe de altă parte un anumit număr de enunțuri despre numere întregi este demonstrabil în teorie. (a se vedea Peano aritmetică este o astfel teorie a și satisface ipotezele celor două teoreme incompletitudinii. De fapt, o teorie aritmetică mult mai slabă este suficientă pentru prima (recurența nu este în esență utilă). Pentru al doilea, dovezile obișnuite folosesc un minim de recurență.
Este remarcabil faptul că pentru a formaliza aritmetica, adunarea și multiplicarea sunt suficiente (în plus față de zero și succesorul). Acesta este chiar primul pas către soluționarea celei de-a zecea probleme a lui Hilbert teorema lui Matiyasevich ). Adunarea singură nu este suficientă: aritmetica lui Presburger, care este teoria obținută prin restrângerea aritmeticii lui Peano la limbajul adunării (în plus față de zero și succesor), este completă.

Consecințele imediate ale primei teoreme a incompletitudinii

Putem reformula prima teoremă a incompletitudinii spunând că, dacă o teorie T satisface ipotezele utile, există o afirmație astfel încât fiecare dintre cele două teorii obținute una prin adăugarea la T a acestei afirmații ca axiomă, cealaltă prin adăugarea negației acestei declarație, sunt consistente. Să demonstrăm acest lucru.

Având în vedere o afirmație G, haideți să denotăm negația ei nu de G. Se arată cu ușurință că o afirmație G nu este demonstrabilă în T dacă și numai dacă teoria T + nu G (teoria T la care adăugăm axioma nu G ) este consecventă. Într-adevăr, dacă G este demonstrabil în T, T + nu G este evident contradictoriu. În schimb, să presupunem că T + nu G este contradictoriu. Aceasta înseamnă că, în teoria T, putem deduce o contradicție din non G. Deducem că G este o consecință a lui T (este un raționament prin contrapus).

Prin urmare, este echivalent să afirmăm că o afirmație G este indecidabilă într-o teorie coerentă T și să spunem că cele două teorii T + non G și T + G sunt coerente. Afirmația G, evident, nefiind indecidabilă în fiecare dintre aceste două teorii, vedem că noțiunea de afirmație indecidabilă este, prin natura sa, relativă la o teorie dată.

Astfel, dacă G este o afirmație indecidabilă dată pentru T de prima teoremă a incompletitudinii, vom avea, aplicând din nou această teoremă, o nouă afirmație indecidabilă în teoria T + G (și, prin urmare, și indecidabilă în teoria T ). De fapt, atunci când teorema incompletitudinii se aplică unei teorii T, se aplică tuturor extensiilor coerente ale acestei teorii, atâta timp cât acestea rămân recursiv axiomatizabile: nu există o modalitate eficientă de a completa o astfel de teorie.

De asemenea, putem observa că, oricare ar fi teoria din joc, Gödel a arătat că afirmația indecidabilă pe care o construiește pentru a-și demonstra teorema este aritmetică, adică poate fi exprimată în aritmetica limbajului, deși teoria este mai expresivă. Este chiar o afirmație de aritmetică care, deși este obositoare să scrie explicit, este logic destul de simplă (într-un sens care va fi specificat la sfârșitul articolului). De exemplu, vom obține prin teorema lui Gödel aplicată Zermelo-Fraenkel a teoriei seturi o declarație aritmetică, care va fi însă indecidabila în această teorie același set.

Consecințele imediate ale celei de-a doua teoreme a incompletitudinii

Afirmația celei de-a doua teoreme a incompletitudinii este specială în sensul că folosește formalizarea teoriei în sine, deoarece vorbește despre coerența teoriei ca o afirmație a acesteia. Acest lucru este destul de neobișnuit în matematică și duce cu ușurință la confuzie. Consecințele care urmează sunt imediate, în sensul că sunt deduse „pur și simplu" din a doua teoremă a incompletitudinii, dar această simplitate în sine poate să nu aibă nimic imediat.

Poate fi util să înțelegem afirmația celei de-a doua teoreme a incompletitudinii, să o reformulăm prin contrapus:

Dacă T este o teorie recursiv axiomatizabilă care face posibilă formalizarea „aritmeticii suficiente" și dacă T dovedește o afirmație care exprimă faptul că este consecventă, atunci T este contradictoriu.

Putem observa că această teoremă nu spune nimic în cazul în care T dovedește o afirmație care exprimă faptul că nu este coerentă. De fapt, se poate deduce din a doua teoremă această consecință, aparent paradoxală, că există teorii non-contradictorii care demonstrează propria lor inconsecvență.

Pentru a vedea acest lucru, apel o declarație care exprimă coerența T în teoria T . În același mod ca și în paragraful anterior pentru prima teoremă, reformulăm a doua teoremă a incompletitudinii spunând că, sub ipotezele utile despre T, dacă teoria T este consecventă, teoria este încă consistent. Reamintim că „ T nu este consecventă," înseamnă că există dovezi de o contradicție în T . O dovadă în T este, de asemenea, o dovadă în T ', care are doar o axiomă. Prin urmare, este simplu de arătat într-o teorie precum T, care satisface ipotezele teoremei lui Gödel, că are ca rezultat (să nu uităm, totuși, că și sunt afirmații exprimate în limbajul acestor teorii, ar fi necesar, pentru ca dovada să fie cu adevărat completă, să intrăm în detaliile acestei reprezentări pentru a arăta această implicație).

Prin urmare, am dedus din a doua teoremă a incompletitudinii și din existența unei teorii coerente T care satisface ipotezele acestei teoreme - de exemplu aritmetica lui Peano - existența unei teorii coerente T ' care dovedește , de exemplu Peano aritmetică mărită de o axiomă care exprimă inconsecvența acesteia. Astfel de teorii sunt patologice: nu se găsește nici una dintre teoriile matematice obișnuite.

Dimpotrivă, o teorie incoerentă, în care toate afirmațiile sunt dovedibile, va demonstra în mod evident o afirmație care exprimă coerența.

Un alt exemplu de aplicare simplă, dar destul de surprinzătoare a celei de-a doua , care afirmă că, într-o teorie teoreme a incompletitudinii este teorema lui Löb T care îndeplinește ipotezele utile, pentru a demonstra în T o afirmație sub ipoteza că această afirmație este demonstrabilă în teorie, echivalează cu dovedirea declarației. Cu alte cuvinte, această presupunere este inutilă.

Vedem din aceste diverse observații că a doua teoremă a incompletitudinii nu spune nimic împotriva coerenței unei teorii la care se aplică, de exemplu coerența aritmeticii lui Peano. Tot ce spune el despre acesta din urmă este că nu putem dovedi asta folosind doar axiomele aritmeticii, adică în esență recurența asupra numerelor întregi. Revenim la acest punct de mai jos, dar observăm imediat că aici programul lui Hilbert este contrazis: Hilbert a dorit să demonstreze coerența matematicii într-un fragment finit al acestora, adică într-o teorie precum aritmetica care permite doar manipularea obiecte finite (numere întregi, formule, dovezi etc.); totuși, o astfel de teorie satisface ipotezele celor două teoreme, prin urmare, este incompletă și nu își dovedește propria consistență. Astfel teoremele lui Gödel au ca corolar, în sensul matematic al termenului, imposibilitatea de a realiza programul lui Hilbert.

Primirea teoremelor de către matematicieni

Teoremele incompletitudinii și, în special, consecințele lor asupra concepției pe care matematicienii vremii o aveau asupra disciplinei lor, în special David Hilbert și elevii săi, erau foarte neașteptate. Puțini matematicieni au înțeles mai întâi aceste teoreme și ceea ce implicau. Trebuie să numărăm printre aceștia John von Neumann, care după ce a participat la prima discuție a lui Gödel în 1930 despre prima teoremă a incompletitudinii, i-a trimis o scrisoare menționând un corolar care era a doua teoremă (pe care Gödel o cunoștea deja). Paul Bernays, de asemenea, colaborator apropiat al lui David Hilbert, a înțeles foarte repede consecințele acestor teoreme asupra concepțiilor acestuia din urmă și a dat prima demonstrație detaliată a celei de-a doua teoreme în lucrarea Grundlagen der Mathematik (co-semnat cu Hilbert). În cele din urmă, Gödel a vizitat Statele Unite de mai multe ori în anii 1930. Opera sa a avut un public numeros cu Alonzo Church și studenții săi, Stephen Cole Kleene și J. Barkley Rosser, și a jucat un rol important în nașterea teoriei calculabilității .

A doua problemă din fost aceea a demonstrării consistenței aritmeticii. Aritmetica joacă un rol special în program, deoarece, deși Hilbert nu a definit niciodată cu exactitate ce a vrut să spună prin faimoasa listă pe care Hilbert a prezentat-o ​​la Paris teoria finitară, pare clar că pentru el aritmetica a fost una. Prin urmare, a fost important în ochii săi să demonstreze coerența aritmeticii prin mijloace interne, adică fără a utiliza un principiu matematic mai puternic decât recurența asupra numerelor întregi; după cum am văzut deja, a doua teoremă a incompletitudinii arată că este imposibilă. În mod curios, acest lucru nu i-a împiedicat pe logicieni să continue să caute; astfel Gerhard Gentzen a dat în 1936 o dovadă a coerenței aritmeticii care folosea un principiu de inducție mai puternic decât reapariția numerelor întregi, iar Gödel însuși a produs mai multe construcții, în special interpretarea Dialectica , ducând la dovezi ale consistenței aritmetice. Să menționăm și Biserica Alonzo, al cărei lambda-calcul a fost inițial conceput pentru a dezvolta dovezi elementare de consistență. Astfel, această căutare a dovezilor de coerență, făcută aparent în zadar de teoremele incompletitudinii, a fost dimpotrivă extrem de fructuoasă în stabilirea bazelor teoriei dovezii moderne.

Adevăr și demonstrabil

Teoremele incompletitudinii tratează relația fundamentală în logică dintre adevăr și probabilitate și, mai presus de toate, stabilesc formal că aceste două concepte sunt profund diferite.

În matematică considerăm că, odată ce o afirmație a fost dovedită, aceasta poate fi considerată adevărată, dar în acest sens folosim o condiție importantă, deși rareori explicată: că ipotezele utilizate în dovadă nu sunt contradictorii. O demonstrație pe cât de riguroasă, nu valorează nimic dacă este întemeiată pe fundații neclare, deoarece am văzut că o teorie contradictorie demonstrează orice afirmație (și opusul acesteia). Prin urmare, consistența unei teorii este ingredientul absolut necesar pentru a se asigura că orice teoremă a teoriei este adevărată. Teoremele incompletitudinii arată că acest ingredient nu poate fi intern teoriei. Iată ce exprimă teorema lui Löb : dacă o teorie T dovedește o formulă A sub ipoteza că A este demonstrabilă în T, atunci această ipoteză este inutilă și putem dovedi A fără ea; deoarece deducerea lui A din faptul că A este demonstrabilă echivalează cu utilizarea coerenței lui T ; dar tocmai acesta nu poate fi demonstrat în T și, prin urmare, acest argument nu a putut fi folosit în dovadă.

Teoremele incompletitudinii se bazează pe faptul că este posibil să se definească probabilitatea într-o teorie folosind doar câteva principii ale aritmeticii (și, prin urmare, în orice teorie care conține aceste câteva principii ale aritmeticii). Pe de altă parte, pentru a defini adevărul într-o teorie, este necesar să ne acordăm alte mijloace care în esență presupun că teoria este coerentă: este necesar, de exemplu, să putem construi un model care nu poate fi realizat în general prin utilizarea numai principiile aritmeticii.

Adevărul în modelul standard de aritmetică

În momentul în care Gödel își demonstrează teorema, noțiunea de adevăr nu este formalizată cu adevărat, chiar dacă aceasta este cunoscută de acesta din urmă, de când a demonstrat în 1929 teorema completitudinii . Definiția utilizată în prezent se datorează Alfred Tarski, se găsește într - un articol publicat în 1956.

Adevărul este definit în raport cu o interpretare a formulelor într-un model, o structură matematică: un set prevăzut cu legi și relații. Vom privi adevărul în modelul standard de aritmetică, întregul că „toată lumea știe" că NU există . Rețineți în primul rând că, așa cum sugerează și numele său, există și modele non-standard de aritmetică: teorema incompletitudinii lui Gödel arată existența unor structuri matematice care seamănă cu numere întregi, în sensul că toate axiomele aritmeticii Peano, inclusiv recurența, există fericit, dar nu și de obicei întreg, deoarece acestea verifică declarații false în modelul standard N . Într-adevăr, să fie G prima formulă a teoremei, care, prin urmare, își exprimă propria nedemonstrabilitate în aritmetica lui Peano; această formulă este adevărată în N, tocmai asta demonstrează prima teoremă. Așa cum s-a văzut în secțiunea anterioară, teoria constând din aritmetica Peano mărită de formula non-G este consecventă. Acest lucru înseamnă, în conformitate cu teorema completitudinii a aceluiași Godel, că această teorie admite un model, prin urmare, deosebit de plăcut nu G, și, prin urmare, nu poate fi modelul standard N .

Interpretarea standard constă în asocierea fiecărui simbol al limbajului aritmeticii cu o semnificație din model: constanta 0 este interpretată de numărul întreg 0, simbolul funcției este interpretată ca întregul 2, formula exprimă proprietatea (adevărată în acest caz) că 2 este un număr prim etc. s de funcția succesorului ( ) etc.). Acest dicționar face astfel posibilă transformarea formulelor, obiectelor formale, în enunțuri pe numere întregi. Astfel, expresia formală s (s (0))

Este ușor de verificat că interpretările axiomelor aritmeticii Peano sunt adevărate în Modelul standard, ceea ce nu este surprinzător, deoarece acestea au fost proiectate cu precizie pentru a defini numere întregi.

Este interesant să se ia în considerare unele cazuri particulare de interpretare a formulelor. Cele mai simple sunt formulele atomice închise care devin egalități polinomiale și inegalități pe numere întregi al căror adevăr sau falsitate pot fi verificate algoritmic. Formulele închise fără cuantificatori rămân decisive: ne putem reduce la conjuncții și disjuncții ale egalității și inegalităților polinomiale (≠ și ≤). Putem observa că pentru a decide aceste formule este nevoie de foarte puține instrumente, este suficient doar să știm cum să calculăm sumele și produsele și să avem un algoritm care să decidă egalitățile și inegalitățile dintre numere întregi. De fapt, este ușor de văzut că, dacă interpretarea unei formule închise fără cuantificator este adevărată în modelul standard, atunci această formulă este demonstrabilă în aritmetică folosind doar axiomele care definesc succesorul, suma, multiplicarea și relația de ordine. Acest subsistem de aritmetică, numit aritmetică sau aritmetică elementară, permite, prin urmare, toate dovezile pe numere întregi care nu folosesc recurența.

Și întrucât negarea unei formule închise fără cuantificatori este închisă și fără cuantificatori, dacă aceasta din urmă este falsă, atunci negația sa este demonstrabilă în aritmetica elementară. Pe scurt: aritmetica elementară decide formule închise fără cuantificatori.

Lucrurile se complică atunci când mergem la cuantificatori: o formulă existențială, adică a formei ∃ x ₁ ... x n ( P ( x ₁, ..., x n ) = Q ( x ₁, ..., x n )) unde P și Q sunt polinoame cu n variabile, este adevărat atunci când putem găsi n numere întregi a ₁, ..., a n astfel încât P ( a ₁, ..., a n ) = Q ( a ₁, ..., a n ). Dacă există un astfel de n -pluțit de numere întregi, o mașină va putea să-l găsească, încercând întregi n -upluri unul după altul (de exemplu prin enumerarea tuturor n -duplurilor a căror sumă este 0, atunci toți cei a căror sumă este 0, suma este 1, apoi toți cei a căror sumă este 2 etc.). Cu alte cuvinte, dacă o formulă existențială este adevărată în modelul standard, atunci această formulă este verificabilă algoritmic și, prin urmare, poate fi demonstrată în aritmetica elementară; această remarcă oarecum generalizată este fundamentală în dovada teoremei incompletitudinii, a se vedea paragraful privind formulele Σ de mai jos. Pe de altă parte, dacă o formulă existențială este falsă, atunci acest algoritm nu se va opri. În teorema Matijasevic arată că nu există nici un algoritm care va decide statutul de orice formulă existențială.

Situația este „mai gravă" pentru cuantificatorul universal: o afirmație universală este o afirmație de genul ∀ x ₁ ,..., x n ( P ( x ₁ ,..., x n ) = Q ( x ₁ ,..., x n ) ); această afirmație este adevărată în modelul standard dacă pentru fiecare n -tuple de numere întregi a ₁, ..., a n, egalitatea P ( a ₁, ..., a n ) = Q ( a ₁, ..., a n ) este adevărată: este bine definit, dar, dacă urmăm definiția, necesită un număr infinit de verificări. Putem vedea clar diferența dintre adevăr și probabilitate: o dovadă este în mod necesar finită și este verificată algoritmic. Pentru a demonstra o afirmație universală precum aceasta, de obicei facem o recurență care face posibilă reprezentarea într-un mod finit a infinității de verificări: recurența se poate „desfășura" astfel încât să se construiască o infinitate de dovezi, una pentru fiecare număr întreg. Cu toate acestea, recurența introduce o oarecare uniformitate în aceste dovezi și nu există niciun motiv pentru care orice afirmație universală adevărată din modelul standard să poată fi demonstrată în acest fel; Teorema lui Gödel arată cu exactitate că nu este cazul.

Să aplicăm într-adevăr teorema lui Gödel la aritmetica lui Peano. Afirmația lui Gödel este o afirmație universală, de forma ∀ x H ( x ) unde H este o formulă fără cuantificator și depinde doar de variabila x . Când definim cu precizie afirmația, arătăm că pentru fiecare număr întreg n, H ( n ), este demonstrabil în aritmetica Peano, deci adevărat în modelul standard. Acesta este motivul pentru care ∀ x H ( x ) este adevărat în modelul standard, însă afirmația este construită cu precizie pentru a deduce că atunci nu se poate demonstra în teoria considerată, aici aritmetica lui Peano.

Există un punct subtil aici: teorema demonstrează că ∀ x H ( x ) este adevărat în modelul standard. Dar singura modalitate în matematică de a ne asigura că o formulă este adevărată este să o dovedim, deci avem o dovadă de ∀ x H ( x ) și analizând dovada teoremei ne putem convinge că această dovadă nu folosește principii mai puternice decât cele de aritmetică. Această formulă pare demonstrabilă în aritmetică, dar tocmai teorema lui Gödel asigură că nu este! Motivul este că afirmația „∀ x H ( x ) este adevărată în modelul standard" presupune existența modelului standard, adică presupune consistența aritmeticii; pentru a fi complet exacți, nu am dovedit ∀ x H ( x ) dar: dacă aritmetica este consistentă atunci ∀ x H ( x ); iar această demonstrație poate fi complet formalizată în aritmetică, este, de altfel, cheia celei de-a doua teoreme a incompletitudinii.

Adevăr și incompletitudine

Amintiți-vă că, dacă demonstrăm o afirmație din afirmații care sunt adevărate într-un model, afirmația obținută este adevărată în acest model și că, într-un model, o afirmație (o formulă închisă) este fie adevărată, fie falsă. În consecință, teoria afirmațiilor adevărate din N este închisă prin deducție și completă. Deducem imediat din prima teoremă a incompletitudinii că

Teoria afirmațiilor adevărate în N nu este recursiv axiomatizabilă.

și, prin urmare, adevărul fiind închis prin deducție

În cazul în care T este o teorie recursiv axiomatizable care formalizeaza „destul de aritmetică" și că toate axiomele sunt adevărate în N, există o afirmație adevărată în G N, care nu este demonstrabil în T .

Este o versiune slabă a teoremei incompletitudinii, enunțată pentru teorii ale căror axiome sunt adevărate în N, în timp ce această formă a teoremei lui Gödel este demonstrată sub simpla presupunere a consistenței acestor axiome, care este mult mai generală (toate acestea având specificat ce înseamnă „aritmetică suficientă"). Nici nu poate fi formalizat direct în aritmetică, pentru a deduce a doua teoremă a incompletitudinii din ea. Așa cum este, poate fi dedus din teorema lui Tarski (1933), care este mai ușor de demonstrat decât cea a lui Gödel. Deoarece afirmația nedemonstrabilă G este adevărată în N și teoria demonstrează doar afirmațiile adevărate în N, nici negarea acestei afirmații nu este demonstrabilă.

Este posibil să se dea o afirmație în această formă, care este într-adevăr echivalentă cu cea demonstrată de Gödel, prin specificarea complexității logice a enunțului G, a se vedea sfârșitul diagonalizării paragrafului . După cum sa spus deja, simpla presupunere a coerenței este suficientă astfel încât afirmația G adevărată în N să nu poată fi dovedită și aceasta reprezintă esența teoremei. Odată ce complexitatea logică a lui G a fost specificată, faptul că nici negarea lui G nu este demonstrabilă este o consecință aproape imediată a unei presupuneri de coerență oarecum mai puternice făcute de Gödel, ceea ce implică faptul că toate teoremele complexității logice a negării G sunt adevărate în N .

Exemple de sisteme incomplete și afirmații indecidabile

O teorie de ordinul întâi este incompletă atunci când există afirmații exprimabile de ordinul întâi în limbajul teoriei care nu sunt determinate de teoria respectivă (adică sunt indecidabile în teoria respectivă).

Existența unor teorii incomplete este banală în sensul că există „insuficiente" axiome pentru a determina toate afirmațiile. Astfel putem spune în prima ordine cu egalitate că există cel puțin două elemente distincte sau, dimpotrivă, că există doar unul, adică teoria simplă a egalității, dar și de exemplu teoria grupurilor sau teoria corpurilor este evident incompletă. Prin adăugarea axiomelor se poate spera să completeze o teorie determinând-o, astfel teoria câmpurilor închise algebric ale unei caracteristici date, teoria câmpurilor reale închise sunt teorii complete.

Acest lucru nu este posibil pentru aritmetică așa cum arată teorema lui Gödel: chiar și prin adăugarea axiomelor nu vom obține o teorie completă (atâta timp cât lista axiomelor este recursiv axiomatizabilă, adică în esență, poate fi descrisă în mod explicit). Teoria mulțimilor, deși poate demonstra mai multe afirmații aritmetice decât aritmetica lui Peano, nu le determină pe toate ( teoria mulțimilor este, de asemenea, incompletă din motive care nu au nimic de-a face cu teoremele lui Gödel, vezi mai jos).

Aritmetică Presburger (aritmetică de adăugare) este un exemplu de teorie aritmetică completă: limbajul expresiv prea puțin, astfel încât să putem demonstra teorema lui Gödel. În general, conform teoremei lui Gödel, teoriile complete, precum cele deja citate sau axiomatizarea geometriei elementare (asociată cu cea a corpurilor reale închise) nu sunt suficient de expresive pentru a face aritmetica (cu adunare și multiplicare).

Afirmații nedecidabile în aritmetica Peano

Aplicate aritmeticii, teoremele lui Gödel oferă enunțuri a căror semnificație este destul de interesantă, întrucât este vorba de coerența teoriei. Cu toate acestea, aceste afirmații depind de codificarea aleasă. Sunt dureroși să scrie explicit.

Paris și Harrington au arătat în 1977 că o consolidare a , adevărată în teoremei finite N, nu este demonstrabilă în aritmetica lui Peano. Acesta este primul exemplu de afirmație indecidabilă în aritmetică care nu utilizează codarea limbajului. De atunci, am descoperit altele. Teorema lui Goodstein este o astfel de declaratie o; dovada sa este deosebit de simplă (când cunoaștem ordinalii ), dar folosește o inducție până la ordinala numărabilă . Laurence Kirby și Jeff Paris au demonstrat în 1982 că nu se poate dovedi această teoremă în aritmetica lui Peano.

Afirmațiile de acest fel care au fost descoperite sunt rezultate ale combinatoriei. Dovezile lor nu sunt neapărat foarte complicate și, de fapt, nu există niciun motiv să credem că există o legătură între complexitatea tehnică a unei dovezi și posibilitatea de a o formaliza în aritmetica lui Peano.

Afirmații indecidabile în teoria mulțimilor

În teoria mulțimilor, avem alte afirmații indecidabile decât cele furnizate de teorema lui Gödel care pot fi de altă natură. Astfel, conform lucrării lui Gödel, apoi a lui Paul Cohen, axioma alegerii și ipoteza continuumului sunt afirmații indecidabile în ZF teoria seturilor de Zermelo și Fraenkel, a doua fiind de altfel indecidabilă în ZFC (ZF plus axioma de alegere). Dar, pe de o parte, acestea nu sunt afirmații aritmetice. Pe de altă parte, teoria obținută prin adăugarea la ZF axioma de alegere sau negația acesteia este echi-consistentă cu ZF: coerența uneia aduce coerența celeilalte și invers. Același lucru este valabil și pentru ipoteza continuumului. Acesta nu este cazul unei afirmații care exprimă coerența ZF, în conformitate cu a doua teoremă de incompletitudine. Același lucru se aplică uneia dintre cele două afirmații obținute prin dovezile obișnuite ale primei teoreme a incompletitudinii (este echivalent cu o afirmație de consistență).

Luați în considerare o teorie set T + A . Demonstreze un set (un obiect al teoriei) este un model al teoriei set T este de a demonstra consistența T . Presupunând că se poate face o astfel de demonstrație, putem deduce de - a doua teorema de incompletitudine că, dacă T este consistentă, A nu este demonstrabil în T . Arătăm astfel că anumite axiome care afirmă existența cardinalilor „mari", nu pot fi dovedite în .

Teoreme ale incompletitudinii și calculabilității

Noțiunea de calculabilitate intră în joc în diferite moduri în ceea ce privește teoremele incompletitudinii. A fost folosit pentru a defini ipotezele. Este implicat în demonstrarea primei teoreme a incompletitudinii (Gödel folosește funcții recursive primitive ). În cele din urmă, incompletitudinea și indecidibilitatea aritmeticii sunt legate.

Nedecidabilitate algoritmică

Există o , funcțiile recursive generale, descrise într-o scrisoare pe care i-a adresat- o legătură strânsă între decizibilitatea algoritmică a unei teorii, existența unei metode mecanice pentru a testa dacă o afirmație este sau nu o teoremă și exhaustivitatea acestei teorii. O teorie recursiv axiomatizabilă și completă este decisă. Prin urmare, putem demonstra prima teoremă a incompletitudinii arătând că o teorie care satisface ipotezele utile este indecidabilă. Acest rezultat, indecidibilitatea algoritmică a teoriilor care satisfac ipotezele primei teoreme a incompletitudinii, a fost demonstrată independent de Turing și Church în 1936 (vezi problema deciziei ), folosind metodele dezvoltate de Gödel pentru prima sa teoremă de incompletitudine. Pentru un rezultat al indecizibilității, care este un rezultat negativ, este necesar să fi formalizat calculabilitatea și să fii convins că această formalizare este corectă, o convingere care nu se poate baza doar pe baze matematice. În 1931, Gödel cunoaște un model de calcul pe care acum îl vom numi Turing-complete Jacques Herbrand și pe care el însuși l-a clarificat și expus în 1934. Cu toate acestea, el nu a fost convins la timpul pentru a fi descris toate funcțiile calculabile în acest fel. În urma lucrărilor lui Kleene, Church și Turing, aceștia din urmă au afirmat independent în teza Bisericii din 1936 : funcțiile calculabile sunt funcții recursive generale.

Putem fi mai precise oferind o clasă restrânsă de afirmații pentru care probabilitatea este indecidabilă. Dacă luăm argumentele dezvoltate în paragraful Adevăr și Demonstrabilitate de mai sus, vedem, de exemplu, că clasa de enunțuri fără cuantificatori (și fără variabile) este ea însăși decisivă.

Folosind argumentele dezvoltate de Gödel, arătăm că probabilitatea afirmațiilor Σ ₁ este indecidabilă. Fără a intra în detaliul definiției formulelor Σ ₁ (făcută mai jos), nu pare atât de departe de o soluție negativă la a zecea problemă a lui Hilbert : existența unui algoritm de decizie pentru soluția ecuațiilor diofantine. Dar au fost necesare câteva decenii și eforturile succesive ale mai multor matematicieni, printre care Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson și în cele din urmă Yuri Matiiassevitch pentru a ajunge acolo în 1970 (a se vedea teorema lui Matiiassevitch ).

Se poate deduce cu adevărat prima teoremă a lui Gödel din teorema lui Matiiassevitch . Acest lucru poate părea artificial, deoarece este suficient un rezultat al indecizibilității care este mult mai ușor de demonstrat. Dar putem deduce afirmații indecidabile ale unei forme deosebit de simple. Într-adevăr, teorema lui Matiiassevitch este echivalentă cu a spune că adevărul afirmațiilor (formule închise) care sunt scrise ca egalități polinomiale cuantificate existențial, nu este decis . Aur:

se pot recunoaște astfel de afirmații mecanic și, prin urmare, negațiile lor;

setul de astfel de afirmații adevărate este recursiv enumerabil și, prin urmare, conform teoremei lui Matiiassevitch, setul unor astfel de afirmații false nu este recursiv enumerabil ;

ansamblul teoremelor unei teorii recursiv axiomatizabile este recursiv enumerabil (a se vedea teoria recursiv axiomatizabilă ) și, prin urmare, ansamblul teoremelor care sunt scrise ca negația unei egalități polinomiale cuantificate existențial, de asemenea;

Presupunerea de consistență a lui Gödel pentru prima sa teoremă a incompletitudinii are consecința directă că egalitățile cuantificate existențial și falsele egalități nu pot fi demonstrate.

Deducem că există enunțuri adevărate nedemonstrabile, care sunt scrise ca negarea unei egalități polinomiale cuantificate existențial sau mai simplu ca o inegalitate polinomială cuantificată universal.

O dovadă parțială a primei teoreme a incompletitudinii

Dovada lui Gödel a primei sale teoreme a incompletitudinii folosește în esență două ingrediente:

codificarea prin numere întregi de limba și funcțiile care permit ca acesta să fie manipulat, care se numește aritmetizarea sintaxei ;

un argument diagonal care, folosind aritmetizarea sintaxei, aduce o afirmație similară cu paradoxul mincinos : afirmația lui Gödel este echivalentă, prin codificare, cu o afirmație care își afirmă propria sa neprobabilitate în teoria considerată.

Dar afirmația lui Gödel nu este paradoxală. Este adevărat în N, pentru că dacă ar fi fals, ar fi demonstrabil. Cu toate acestea, această afirmație are o complexitate logică suficient de simplă, astfel încât probabilitatea sa într-o teorie coerentă capabilă să codifice aritmetica implică adevărul său în N (nu este necesar să presupunem că N este un model al teoriei). Este adevărat în N . Prin urmare, nu este dovedibil, prin definiția afirmației.

Pentru a arăta că nici negarea afirmației lui Gödel nu este dovedibilă, avem nevoie de o ipoteză de coerență mai puternică, precum cea făcută de Gödel. Rosser a modificat inteligent enunțul pentru a putea folosi pur și simplu consistența (vezi „ Sfatul lui Rosser "). În ceea ce privește dovada lui Gödel, argumentul este următorul: afirmația fiind adevărată, negația sa este falsă. Dacă am presupune că N este un model al teoriei, ar fi suficient pentru ca acesta să nu poată fi demonstrat. Dar Gödel a construit o afirmație cu o complexitate logică suficient de redusă încât o ipoteză mult mai slabă este suficientă: este în esență o problemă de a spune că astfel de afirmații false nu pot fi demonstrate și el poate să o exprime sintactic.

Dovada prezentată mai sus este preluată mai precis în paragraful „diagonalizare".

Aritmetizarea sintaxei

În zilele noastre, oricine cunoaște puțină informatică nu are nicio dificultate în a-și imagina că se pot reprezenta afirmațiile unei teorii prin numere. Cu toate acestea, este necesară și manipularea teoretică a acestor codificări. Dificultatea constă în restricțiile limbajului: o teorie de ordinul întâi cu adunare și multiplicare în esență ca simboluri funcționale. Aceasta este dificultatea pe care Gödel o rezolvă pentru a arăta că probabilitatea poate fi reprezentată printr-o formulă în teorie.

Restul este cam tehnic. La prima lectură, putem simplifica argumentul presupunând că N este un model al lui T, caz în care nu trebuie să fim atenți la complexitatea logică a enunțului. Partea despre funcția β și reprezentarea recurenței rămâne utilă. De asemenea, specificăm concepte și rezultate care au fost menționate sau redactate aproximativ mai sus.

Poate fi amuzant să scrii tu coduri, este cu siguranță mult mai puțin distractiv să citești codurile altor persoane. Prin urmare, există o mulțime de varietate în literatură. Alegerea codării nu este foarte importantă în sine. În cele din urmă, unele vor fi „tratate" mai ușor în teorie. Deoarece formulele și dovezile pot fi văzute ca secvențe finite de caractere, litere, spațiu, punctuație, iar acestea în număr finit, se pot codifica cu un număr, acesta fiind scris într-o bază de dimensiune numărul de caractere necesar sau prin orice alt mijloc care face posibilă codificarea secvențelor finite de numere întregi (Gödel folosește exponenții descompunerii unui număr în factori primi ). Putem folosi, de asemenea, o codificare a perechilor (a se vedea mai jos) pentru a reprezenta secvențe finite, copaci și, prin urmare, structuri sintactice utile ...

O problemă mai importantă este de a avea funcții pentru manipularea acestor structuri, echivalentul programelor de calculator: este mai mult sau mai puțin clar că nu se poate mulțumi cu compoziții de funcții constante, de adunări și multiplicări, adică polinoame cu coeficienți întregi pozitivi . Vom reprezenta funcțiile utile prin formule. Să vedem un exemplu, care este, de asemenea, foarte util pentru codificare. Bijecția Cantor dintre N × N și N este bine cunoscută și destul de calculabilă: enumerăm perechile de numere întregi diagonale cu diagonală (sumă constantă), de exemplu prin creșterea celei de-a doua componente:

<x, y> = [1 + 2 + ... + (x + y)] + y = ½ (x + y) (x + y + 1) + y

Această funcție nu mai este reprezentată de un termen al limbajului, din cauza împărțirii la 2, dar este reprezentată de formulă (folosim „≡" pentru relația de echivalență):

Să trecem acum la funcțiile de decodare, adică la o pereche de funcții inverse. Vom avea nevoie de cuantificatori:

Prin urmare, am reprezentat o funcție, mai exact graficul acesteia (formula subliniată) printr-o formulă în limbajul aritmeticii. Formulele de mai sus sunt foarte specifice: prima este o egalitate polinomială; dacă înlocuim cele trei variabile libere cu termeni închisi ai limbajului, reprezentând numere întregi ( s ... s0 ), devine decisibil. Următoarele două folosesc un cuantificator mărginit : „∃x≤z A" înseamnă „există un x mai mic sau egal cu z astfel încât A". Din nou, dacă înlocuim cele două variabile libere cu numere întregi, această formulă devine decisivă: pentru a verifica o cuantificare existențială mărginită, este suficient să căutăm până la limită, fie că am găsit, iar afirmația este verificată, fie nu avem nu l-am găsit și nu este. Acesta nu mai este cazul (pentru a doua parte a afirmației) dacă cuantificarea existențială nu este delimitată. Putem păstra această proprietate de decizie prin adăugarea de cuantificări universale mărginite, notate „∀ x≤ p A" („pentru orice x mai mic sau egal cu p, A"). Formulele construite din egalități polinomiale folosind conectorii booleeni obișnuiți și numai cuantificările mărginite se numesc . Observați că negarea unei formule Σ ₀ este Σ ₀ .

Ne convingem cu ușurință, argumentele sunt date chiar deasupra și în paragraf adevăr și probabilitate, că adevărul din N al formulelor închise Σ ₀ este decisiv: avem un mod mecanic de a ști dacă sunt adevărate sau false. Pentru a dovedi lui Gödel prima teorema de incompletitudine (un pic mai mult pentru Gödel-Rosser, recurență pentru a doua), condiția minimă asupra teoriei, în afară de a fi recursiv axiomatizable și o ipoteză consistență, este de a demonstra toate formulele sigma ₀ adevărat în N și, prin urmare, prin stabilitate prin negarea lui Σ ₀ și consistență, să nu dovedim niciun fals. Aceasta se înțelegea prin „formalizarea unei aritmetici suficiente". Rețineți că aceasta este o presupunere asupra axiomelor teoriei. De exemplu, setul de formule Σ ₀ adevărat în N fiind decizibil, îl putem alege ca sistem de axiome pentru o teorie care va fi recursiv axiomatizabilă (o putem simplifica evident). În special putem demonstra:

În aritmetica lui Peano, formulele închise Σ 0 sunt adevărate în N dacă și numai dacă sunt dovedibile.

Rezultatul care este demonstrat în plus fără a utiliza cu adevărat axiomele recurenței aritmeticii lui Peano (ceea ce este firesc deoarece nu există o cuantificare cu adevărat universală în aceste afirmații).

Ar fi foarte convenabil să ne mulțumim cu funcțiile de manipulare reprezentabile de formulele Σ ₀ : adevărul și probabilitatea sunt confundate, aceste formule sunt decizibile, prin urmare funcțiile reprezentate de formulele Σ ₀ sunt calculabile. Dar „limbajul de programare" indus nu este suficient de bogat. Trebuie să introducem formulele Σ ₁, care se obțin prin plasarea unui cuantificator existențial în capul unei formule Σ ₀ . În general, negarea unei formule Σ ₁ nu este echivalentă cu o formulă Σ ₁ . Avem următoarea proprietate:

Într-adevăr, o formulă Σ ₁ "∃ x A x " este adevărată în N înseamnă că pentru un anumit număr întreg, pe care îl putem scrie "s ... s0", formula " A s ... s0" este adevărată, dar această formulă este Σ ₀ .

Există teorii aritmetice coerente, care dovedesc formule închise false Σ ₁, spre deosebire de ceea ce se întâmplă pentru Σ ₀ . Trebuie remarcat faptul că astfel de teorii aritmetice sunt destul de patologice, precum cele care demonstrează o afirmație care exprimă propria lor contradicție (a se vedea începutul articolului). Ipoteza de coerență suplimentară utilă pentru prima teoremă a incompletitudinii, pe care o vom numi coher- coerență, este tocmai să presupunem că teoria nu dovedește nicio formulă închisă Σ ₁ falsă. Presupunem că anumite formule nu sunt dovedibile, prin urmare contradicția nu este: este într-adevăr o presupunere de coerență cel puțin la fel de puternică ca simpla coerență. Este cu adevărat mai puternic: putem exprima negarea coerenței unei teorii printr-o formulă Σ ₁ .

Funcții definibile, funcții reprezentabile

Un subset E al lui N, sau mai general al lui N p este definibil în aritmetică dacă există o formulă F de aritmetică cu p variabile libere precum:

Un subset E al lui N p este reprezentabil într-o teorie T dacă există o formulă F de aritmetică cu p variabile libere astfel încât:

O funcție f multivariată pe N se poate defini în N, dacă graficul său este definit în N, să fie reprezentat într - o teorie T dacă graficul ei este reprezentabil în T . Un set sau o funcție este definibilă printr-o formulă Σ ₁ dacă și numai dacă și numai dacă el sau ea este reprezentabilă prin această formulă într-o teorie Σ-coerentă unde toate afirmațiile Σ ₀ sunt dovedibile.

Există alte noțiuni mai puternice de reprezentabilitate, atât pentru seturi, cât și pentru funcții. Pentru cel introdus aici, spunem adesea „slab reprezentabil".

Vom indica {{{1}}} o formulă Σ ₁ care definește sau reprezintă f . Pentru teorema lui Gödel este utilă noțiunea de funcție sau set reprezentabil, dar noțiunea de funcție sau set definibil este mai ușor de manipulat și, deoarece suntem interesați de cazurile în care sunt echivalente, în cele ce urmează vom vorbi despre definibilitate prin o formulă Σ ₁ .

Putem observa că conjuncția, disjuncția a două formule Σ ₁, cuantificarea existențială a unei formule Σ ₁, cuantificarea universală mărginită a unei formule Σ ₁, sunt echivalente în N (denotăm ≡ N ) cu o formulă Σ ₁ :

∃x A ∨ ∃x B ≡ ∃x (A ∨ B); ∃x ∃y A (x, y) ≡ N ∃z ∃x≤z ∃y≤z A (x, y); ∃x A ∧ ∃y B ≡ ∃x ∃y (A ∧ B); ∀x≤z ∃y A (x, y) ≡ N ∃ u ∀x≤z ∃y≤u A (x, y).

Setul de funcții la dispoziția noastră este deci stabil prin compoziție (dăm exemplul unei variabile, generalizăm cu ușurință funcțiile mai multor variabile):

De asemenea, definim în mod natural:

Cu toate acestea, pentru a putea avea un limbaj suficient de expresiv pentru a defini funcții utile pe sintaxă, lipsește o noțiune foarte utilă: definirea prin inducție. Ideea de a o obține este de a utiliza o codificare a secvențelor finite (listele de informatică). Să presupunem că avem o astfel de codificare, notată cu întregul care codifică secvența finită n ₀, ..., n p . Este necesar să putem decoda: să notăm cu elementul în locul i al secvenței codate de l (valoarea nu contează dacă i este prea mare). Să presupunem că avem o funcție g de la N la N (o serie infinită de numere întregi) definită de:

și f este definibil în N . Atunci putem defini funcția g prin:

formula care este echivalentă în N cu o formulă Σ ₁ imediat ce graficul lui β este Σ ₁ . Acest lucru se generalizează la schema de recurență utilizată pentru funcțiile recursive primitive . Prin urmare, este suficient să se găsească o formulă Σ ₁ care definește o funcție β: aceasta este principala dificultate care trebuie rezolvată pentru codificarea sintaxei.

Numele funcției β este preluat din articolul original al lui Gödel. Pentru a o defini, el a avut ideea de a utiliza teorema restului chinezesc : pentru a codifica n ₁, ..., n p vom da p numere întregi prime între ele două câte două, generate dintr-un singur număr întreg d, și un număr întreg a ale cărei resturi ale diviziunilor după fiecare dintre aceste numere întregi sunt n ₁, ..., n p . Secvența n ₁, ..., n p va fi deci codificată de cele două numere întregi a și d, numărul întreg <a, d> dacă vrem doar unul. Câteva numere întregi (o infinitate!) Vor codifica aceeași secvență, ceea ce nu este o problemă dacă ne gândim la obiectiv (codificarea definițiilor prin inducție). Principalul lucru este că ne asigurăm că orice secvență finită are cel puțin un cod.

Având în vedere numărul întreg n ₁ ,..., n p, alegem un număr întreg s, astfel încât s ≥ p și pentru toate n i, s≥n i . Numerele întregi sunt apoi prime între ele două câte două. Mai mult, n i <d i . Prin teorema chineză deducem existența unui întreg unui astfel încât pentru fiecare număr întreg n i al secvenței finite, restul divizării unei prin d i este n i . Prin urmare, avem, prin setarea d = s! :

β (d, a, i) = r (a, 1 + (i + 1) d); z = r (a, b) ≡ z <b ∧ ∃q≤aa = bq + z.

Avem o funcție β definită printr-o formulă Σ ₀ .

Deducem că:

dacă o funcție este definită prin inducția primitivă din funcții definibile prin formulele Σ ₁, aceasta poate fi definită printr-o formulă Σ ₁ .

Puteți calcula o mulțime de lucruri cu funcții recursive primitive. Odată realizat acest lucru, restul este doar o chestiune de îngrijire. Metode mai mult sau mai puțin inteligente pot fi utilizate pentru a face față problemelor de legare variabilă. Arătăm că funcția care codifică substituirea unui termen pentru o variabilă într-o formulă este recursivă primitivă, că setul de (coduri de) dovezi ale unei teorii recursiv axiomatizabile T este recursiv primitiv și, în cele din urmă, că funcția care extrage un dovada concluzia acesteia este primitivă recursivă. A spune că o formulă este demonstrabilă în T, înseamnă a spune că există o dovadă a acestei formule în T, care, codificată în teorie, rămâne Σ ₁, deși predicatul „a fi demonstrabil" nu este, el, recursiv primitiv, nici măcar recursiv.

În concluzie, pentru o teorie recursiv axiomatizabilă T, avem două formule Σ ₁, Dem T (x) și {{{1}}}, cum ar fi:

⌈ este notat F în jurul ⌉ care codifică formula F .

Deoarece formulele sunt Σ ₁, putem înlocui „adevărat" cu „demonstrabil în T " sub ipoteze suficiente.

Diagonalizare

Construcția declarației lui Gödel se bazează pe un argument diagonal . Mai întâi construim formula cu o variabilă liberă Δ ( x ): care poate fi interpretat în N prin „formula de cod x aplicată propriului său cod nu poate fi demonstrată în T " și aplicăm această formulă întregului ⌈Δ⌉. Acest lucru dă G = Δ (⌈Δ⌉), o formulă care spune o mare parte din ea însăși nu este demonstrabil în T . Luăm din nou prin specificarea argumentului deja dat mai sus. Presupunem că T este recursiv axiomatizabil, dovedește toate formulele Σ ₀ adevărate în N, deci toate formulele Σ ₁ adevărate în N și că este Σ-consecventă.

G = Δ (⌈Δ⌉) este o formulă închisă, echivalentă cu negarea unei formule Σ ₁ ;

dacă formula G au fost demonstrate, negarea G este Σ ₁ nu poate fi adevărat, deoarece atunci ar fi demonstrată, și, prin urmare, ar contrazice consistența T . Prin urmare, formula G ar fi adevărată în N, ceea ce ar însemna, prin construcția lui G, că formula G nu ar fi demonstrabilă, o contradicție. Deci G nu este demonstrabil.

dacă negarea formulei G ar fi demonstrabilă în T, prin coerență Σ ar fi adevărat, dar este falsă în funcție de ceea ce precede. Deci negarea lui G nu este demonstrabilă.

Deci, putem vedea, ultimul argument este mai degrabă tautologică, că adevăratul conținut al teoremei este în non-provability a G . Prin urmare, prima teoremă a incompletitudinii lui Gödel poate fi de asemenea enunțată ca:

Dacă T este o teorie recursiv axiomatizable, consistente și arată toate formulele sigma 0 true în N, atunci există o formulă G, negarea unei formule Σ ₁, care este adevărat în N, dar nu și demonstrabil în T .

Rețineți că formula G în cauză este echivalentă cu o formulă universală ∀ x H ( x ), unde H este Σ ₀ . Această formulă fiind adevărată, pentru fiecare număr întreg n (reprezentat prin s ... s 0) H ( n ) este adevărat, prin urmare demonstrabil fiind Σ ₀ . Prin urmare, noi avem, anunțate în conformitate cu „adevăr și provability" declarație universal ∀ x H ( x ), care nu este demonstrată în T, în timp ce pentru fiecare număr întreg n, H ( n ) este demonstrabilă în T .

Argumentul dovezii celei de-a doua teoreme a incompletitudinii

Pentru a demonstra prima teoremă a incompletitudinii, am formalizat probabilitatea într-o teorie aritmetică. Este astfel posibil (sub ipotezele primei teoreme) să construim o afirmație care înseamnă că „0 = 1 nu este dovedibil" (0 = 1 sau orice propoziție contradictorie din teorie), adică pentru a construi o afirmație exprimând coerența teoriei. A doua teoremă a incompletitudinii afirmă că, sub ipoteze un pic mai puternice decât pentru prima teoremă, o astfel de afirmație nu este demonstrabilă.

Putem observa deja că formula G pe care o construim pentru a demonstra prima teoremă a incompletitudinii și care depinde de teoria luată în considerare, afirmă că o anumită afirmație (ea însăși, în acest caz) nu poate fi demonstrată în această teorie. Prin urmare, este deja într-o anumită măsură o afirmație de coerență, întrucât într-o teorie incoerentă totul este demonstrabil; de fapt, G are ca rezultat consistența teoriei. Pentru a doua teorema de incompletitudine, este suficient să se arate că coerența teoriei conduce G .

A doua teoremă de incompletitudine este dovedită, în esență, prin formalizarea dovada primei teoremei de incompletitudine pentru o teorie T în aceeași teorie T . Într-adevăr, s-a arătat mai sus că, dacă teoria era coerentă, formula Gödel G (care depinde de T ), nu este demonstrabilă. Dar formula lui Gödel este echivalentă cu non-probabilitatea sa. Așa că am arătat consistența teoriei T presupune G . Dacă acum T formalizează această probă, se arată în teoria T ca consistența teoriei T presupune G . Dar precis, dacă T este consistentă, G nu este demonstrabil în T . Prin urmare, nu putem demonstra consistența lui T în T dacă această ultimă teorie este consecventă.

Pentru acest raționament, folosim doar nedemonstrabilitatea lui G, astfel încât simpla presupunere a consistenței este suficientă. Pe de altă parte, pentru a formaliza raționamentul, presupunem că teoria T este mai puternică decât pentru prima teoremă a incompletitudinii, în special vom folosi recurența.

Condițiile pe care teoria T trebuie să le verifice pentru a demonstra a doua teoremă a incompletitudinii au fost specificate pentru prima dată de Paul Bernays în Grundlagen der Mathematik (1939) co-scris împreună cu David Hilbert, apoi de Martin Löb, pentru demonstrarea teoremei sale, o variantă a a doua teoremă a incompletitudinii. Condițiile Hilbert-Bernays-Löb se referă la predicatul de probabilitate din teoria T, care se va numi Dem T ca mai sus :

Condiția D1 a apărut implicit pentru a demonstra prima teoremă a incompletitudinii. A doua condiție D2 este o formalizare în teoria lui D1 . În cele din urmă, ultima, D3, este o formalizare a regulii logice primitive cunoscută sub numele de modus ponens . Să notăm prin coh T formula care exprimă coerența lui T, adică absurdul, pe care îl notăm cu ⊥, nu este dovedibil (negația este acum notată ¬):

Deoarece negarea unei formule F, ¬ F, este echivalentă cu F implică absurditatea, F ⇒⊥, deducem din condiția D3 că

Pentru a deduce a doua teoremă a incompletitudinii celor trei condiții Gödel-Bernays, este suficient să repetăm ​​raționamentul deja făcut mai sus. Fie G formula lui Gödel construită pentru teoria T, care, dacă aceasta din urmă este consecventă, implică ¬Dem T (⌈ G ⌉ ). Conform D1 și a coerenței teoriei T, G nu poate fi demonstrat în T (prima teoremă). Acum formalizează acest raționament în T . Prin D2. demonstrăm în T că Dem T (⌈ G ⇒ ¬Dem T (⌈ G ⌉ ) ⌉ ). Este dedus de D3 în T, Dem T (⌈ G ⌉) se demonstrează că Dem T (⌈¬Dem T (⌈ G ⌉) ⌉), urmat de D2 și D'3, ¬coh T . Așa că, în T că Dem T (⌈ G ⌉) ⇒ ¬coh T, adică, prin definiție G, ¬ G ⇒ ¬coh T, și contrapositive COH T ⇒ G . Acum am văzut că G nu este demonstrabil în T, astfel încât COH T nu este demonstrabil în T .

Dovada lui D1 a fost deja schițată în ceea ce privește prima teoremă a incompletitudinii: este vorba de formalizarea corectă a probabilității și folosim faptul că formulele închise true ₁ adevărate sunt probabile.

Condiția D3 formalizează regula modus ponens, o regulă pe care avem tot interesul să o avem în sistemul pe care l-am ales pentru a oficializa dovezile. Ar fi necesar să intrați în detaliile codării pentru a da dovada D3, dar nu va fi foarte dificil. Trebuie acordată atenție formalizării rezultatului indicat în teoria aleasă: variabilele în joc (de exemplu, există un x care este codul unei dovezi a lui F ) sunt variabilele teoriei. Va lua unele proprietăți ale ordinii și va ști cum să demonstreze unele rezultate elementare pe dovezile din teorie.

Condiția D2 se dovedește a fi cea mai dificil de demonstrat. Acesta este un caz special al proprietății

formalizarea (în T ) decât orice formulă închisă Σ ₁ real este demonstrabil în T . Niciun detaliu nu a fost dat mai sus cu privire la dovada acestui ultim rezultat, T fiind de exemplu aritmetica lui Peano. Dacă am da unele, ne-am da seama că nu avem nevoie de axioma inducerii teoriei, ci că, pe de altă parte, motivăm prin inducție asupra lungimii termenilor, a complexității formulelor ... Pentru a formaliza această dovadă în teorie, avem nevoie de recurență. Pentru a rezuma situația: când am demonstrat serios prima teoremă a incompletitudinii pentru aritmetica lui Peano, am făcut această dovadă, care este puțin lungă, dar nu prezintă nicio dificultate. Pentru a doua teoremă, singurul lucru de făcut acum este să arătăm că această dovadă este formalizată în aritmetica lui Peano însăși, care este intuitiv relativ clară (când am făcut dovada), dar foarte dureroasă pentru a explica pe deplin.

De fapt, putem demonstra a doua teoremă a incompletitudinii pentru o teorie mai slabă decât aritmetica primitivă aritmetică a lui Peano . Extindem limbajul astfel încât să avem simboluri funcționale pentru toate funcțiile primitive recursive și adăugăm teoriei axiomele care definesc aceste funcții. Restricționăm recurența la formule fără cuantificatori, ceea ce înseamnă că sunt „imediate". Aritmetica recursivă primitivă este adesea văzută ca formalizarea matematicii finitare, cu care Hilbert spera să poată dovedi consistența teoriilor matematice.

Generalizări și presupuneri

Rezultatele lui Cristian S. Calude sugerează că aproape orice afirmație matematică este indecidabilă.

Leonid Levin demonstrează că algoritmii probabilistici nu pot completa recursiv o teorie incompletă. El conjecturează în continuare că lumea fizică nu poate rezolva imposibilitățile matematice expuse de teoremele de limitare, cum ar fi cea a opririi mașinilor Turing.

Note și referințe

Bibliografie

In franceza

Raymond Smullyan, Teoremele incompletitudinii lui Gödel, Dunod, 2000

Mai multe dovezi ale primei teoreme a incompletitudinii, inclusiv varianta Gödel-Rosser, dintre care prima este simplificată prin întărirea ipotezelor. O discuție rapidă pe a doua.

și Daniel Lascar, Logica . Funcții recursive, teorema lui Gödel, teoria mulțimilor, teoria modelelor [ detaliul edițiilor ]

Dovada teoremei Gödel-Rosser prin indecidibilitatea teoriei.

, cap. 9

O dovadă a celei de-a doua teoreme a incompletitudinii în teoria mulțimilor folosind consecința semantică.

Ernest Nagel, James R. Newman, Kurt Gödel și Jean-Yves Girard, Le theorème de Gödel, Éditions du Seuil,[ detaliul ediției ]

Oferă, între două comentarii informale, o traducere în franceză a demonstrației originale a lui Gödel din 1931.

Jean Ladrière Limitările interne ale formalismelor. Studiu asupra semnificației teoremei lui Gödel și a teoremelor conexe în teoria bazelor matematicii, Jacques Gabay, 1957 . Stuf. ed. J. Gabay, col. „Marile clasici", Paris 1992 [ prezentare online ] .

Andrzej Mostowski, Sentences Undecidable in Formalized Arithmetic: An Exposition of the Theory of Kurt Godel, North-Holland, Amsterdam, 1952.

Stephen Cole Kleene, Introducere în metamatematică, Amsterdam, Olanda de Nord,, x + 550 p. - Numeroase reeditări, în 1957, 1959, 1962, 1964, 1967, 1971, 1974, 1980, 1988, 1991, 1996, 2000, 2009 în special de Wolters-Noordhoff (Groningen) , conform notificării Sudoc. Multe traduceri.

Craig Smorynski, Teoria numerelor logice I - O introducere, Springer Verlag, 1991 - - .

Teoreme ale indecizibilității și incompletitudinii (prima), teorema lui Matiiassevitch ...

Craig Smorynski, The Incompletness Theorems, în Handbook of Mathematical Logic editat de J. Barwise, North Holland, 1977 -

Cele două teoreme de incompletitudine, context, dovezi relativ detaliate, extensii.

Jean-Yves Girard, Teoria dovezii și complexitatea logică, volumul 1. Bibliopolis, 1987.

În special detalii despre dovada celei de-a doua teoreme a incompletitudinii.

Articole originale

(de) K. Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. („ Despre propunerile formal nedecidabile ale Principia Mathematica și sistemele conexe ") Monatshefte für Mathematik und Physik, 38 (primit), publicat în 1931), p. 173-198. Tradus în engleză de van Heijenoort în De la Frege la Gödel . Harvard University Press, 1971. p. 596-616, precum și de Martin Hirzel, Boulder (2000)

(ro) K. Gödel, Câteva teoreme de bază despre fundamentele matematicii și implicațiile acestora (1951). Tipărit în Lucrări colecționate / Kurt Gödel v.III; editat de Solomon Feferman . Clarendon Press; New York: Oxford University Press, 1995. p. 304-323.

(ro) J. Barkley Rosser, Extensii ale unor teoreme ale lui Gödel și Church . Journal of Symbolic Logic, 1 (1936), N1, p. 87-91.

(în) Martin Davis (ed.), The Undecidable . Publicații Dover. Colecție de articole majore ale lui Gödel, Church, Turing, Rosser, Kleene și Post. 2004 (1965).

(ro) Jeff Paris și Leo Harrington, „A Mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic", în J. Barwise, Handbook of Mathematical Logic, Amsterdam, North-Holland, .

Cărți de popularizare

Jean-Paul Delahaye ,

Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: Strands of an Eternal Garland - Dunod, 2000 -

Raymond Smullyan ,

Care este titlul acestei cărți? , Dunod, 1993

Enigmele Șeherezadei, Flammarion, 1998

Puzzle-uri logico-matematice, dintre care unele sunt inspirate din teorema lui Gödel.

William Poundstone , Labirintele rațiunii, Belfond, 1998

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">

# data[].attributes.attachment_link.title
Teoreme de incompletitudine ale lui Gödel

# data[].attributes.attachment_link.description
Incompletitudinea Teoreme Gödel sunt două teoreme celebre ale logicii matematice, publicate de Kurt Gödel în 1931, în articolul său Über formală unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und Systeme verwandter ( " La propuneri în mod oficial indecidabila de Principia Mathematica și a sistemelor aferente „).