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Uma estrutura algébrica corresponde a uma estrutura formada por um conjunto não vazio A e uma ou mais operações binárias definidas sobre A, as quais gozam de propriedades específicas em função da categoria em estudo. Se a estrutura é formada pelo conjunto A e por uma operação *, essa estrutura algébrica pode ser denotada por (A, *). Por exemplo, o conjunto dos números naturais com a operação usual de adição compõe uma estrutura algébrica, que pode ser representada como (N,+), e se considerarmos as operações usuais de adição e multiplicação definidas sobre os úmeros reais, poderemos construir a estrutura algébrica (R,+,.).
De acordo com as propriedades que são satisfeitas, considerando conjunto com operações associadas, podemos analisar diferentes categorias de estruturas algébricas. Dentre as estruturas chamadas de elementares podemos destacar os grupoides, os semigrupos e os monoides, cujas descrições são apresentadas da seguinte forma:

• Um par (A,∗) é classificado como grupoide quando a operação * gozar da propriedade do fechamento em A, isto é, se x y, ∈ A. então x * y ∈ A . (Z,−), composto pelo conjunto de números inteiros e a subtração usual, é um grupoide, pois apenas o fechamento é verificado devido ao fato de a diferença entre números inteiros sempre resultar em um inteiro.

• Um par (A,∗) é classificado como semigrupo quando o fechamento e a associatividade forem satisfeitos para a operação * sobre A. A associatividade é a condição de que x * (y ∗ z) = (x * y) * z para todos x, y, z ∈ A. Podemos destacar como exemplo o conjunto dos números naturais não nulos munido da adição usual, compondo a estrutura (N*, +).

• Um par (A,∗) é classificado como monoide se o fechamento, a associatividade e a existência de elemento neutro forem satisfeitas, considerando a operação * definida sobre A. Na

existência de elemento devemos determinar e ∈ A de modo que x * e = e * x = x para todo x ∈ A. Como exemplo, temos a estrutura (Q, .), composta pelos números racionais e pela multiplicação usual.
Existem outras propriedades que podem ser satisfeitas pelas operações binárias, possibilitando a caracterização de uma das estruturas mais importantes da álgebra: os grupos.

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A teoria de grupos apresenta aplicações nas mais diversas áreas da Matemática, como na Topologia e na Geometria Diferencial, bem como na Física, na teoria musical, entre outras. Historicamente, o conceito de grupo foi apresentado primeiramente nos trabalhos do matemático Arthur Cayley no século XIX, a partir do qual outros matemáticos como Niels Henrik Abel, Felix Klein fizeram suas contribuições para que fosse possível alcançar o nível de desenvolvimento atual desse conhecimento na Álgebra Abstrata.
Uma estrutura algébrica (A,*) é classificada como grupo quando as seguintes propriedades forem satisfeitas pela operação * definida sobre A:

Fechamento: para todos x, y E A é válido que x*y E A.

Associativa: para todos x, y, E A a igualdade (x * y) * z = x * (y * z) é verificada.

Existência de elemento neutro: existe um elemento e E A tal que x * e = e * x = x para qualquer x E A.

Existência de elemento simetrizável: a todo elemento x E A, existe x´E A, tal que x * x´= x´* x = e, sendo e o elemento neutro da operação * definida sobre A.

Podemos comparar a definição de grupo com as estruturas apresentadas anteriormente (grupoides, semigrupos e monoides). Por exemplo, ao comparar as definições de grupo e de semigrupo temos um grupo (A,∗), com A não vazio, que corresponde a um semigrupo no qual as propriedades de existência de elemento neutro e elemento simetrizável são também satisfeitas considerando a operação * sobre A. Dessa forma, podemos comparar as outras estruturas entre si, o que pode contribuir para diferenciação entre as propriedades presentes em cada estrutura.

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Estruturas Algébricas - Aula 1: Teoria de Grupos (definição de grupo, grupo abeliano e exemplos)

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Estruturas Algébricas - Aula 2: Teoria de Grupos (propriedades imediatas, grupos finitos e tábua)

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1°) Em matemática, uma estrutura algébrica consiste de um conjunto munido de uma operação (ou mais de uma operação) que satisfaz (ou satisfazem) propriedades algébricas específicas. Por exemplo, o conjunto poderia ser o conjunto dos números reais e as operações poderiam ser adição, multiplicação, subtração ou divisão.

Consideremos um conjunto A e uma operação * sobre os elementos de A. Nomeamos a estrutura algébrica (A,*) conforme as propriedades satisfeitas pela operação * em A.

De acordo com as informações apresentadas na tabela a seguir, faça a associação dos enunciados contidos na coluna A com suas respectivas definições na coluna B.

Coluna A | Coluna B
I. * é fechada em A, isto é, dados a, b E A vale que a * b E A. | 1. (A,*) é um grupoide.
II. (a * b) * c = a * (b * c), para quaisquer que seja a, b, c E A. | 2. (A,*) é um grupo.
III. *  é fechada e associativa em A. | 3. * é comutativa.
IV.  é fechada e associativa em A, admite elemento neutro e todo elemento de A é simetrizável com respeito a *. | 4. (A,*) é um monoide.
V. a * b = b * a, para quaisquer que seja a, b E A. | 5. (A,*) é um semigrupo.
VI. * é fechada e associativa em A e admite elemento neutro. | 6. * é associativa.

Assinale a alternativa que apresenta a associação correta.

Alternativas:
a) I - 1; II - 6; III - 5; IV - 2; V - 3; VI - 4.
b) I - 5; II - 6; III - 4; IV - 1; V - 3; VI - 2.
c) I - 2; II - 3; III - 1; IV - 4; V - 6; VI - 5.
d) I - 1; II - 6; III - 4; IV - 2; V - 3; VI - 5.
e)I - 4; II - 3; III - 1; IV - 5; V - 6; VI - 2.