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Hola, hola!!!

Bienvenidos al Mundo Fascinante de las Matematicas, este es un espacio donde podras aprender de forma facil, practica y divertida.

Nosostros somo Yorgen Franco y Arnulfo Gomez, docentes en diferentes Instituciones Educativas, y al mismo tiempo somos estudiantes de la Especialización en la Aplicación de TIC para la Enseñanza - EATICE de la UDES. Es un gusto para nosotros que juntos puedas desarrollar tus habilidades matematicas, en esta ocasión en la resolución de operaciones combinadas.

¿Qué esperas? diviertete, aprendiendo.

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Contextualización del área y grado escolar

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Contextualización del área y grado escolar

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Haz clic en la imagen para que descubras este espacio interactivo

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HOLA!!!!! Has llegado al Mundo Fascinante de las Matemáticas | Genially

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Contextualización de la asignatura y grado escolar

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Los estudiantes son chicos que estan entre los 11 y 12 años de edad, que se encuentra en un nivel de educación básica secundaria. son estudiantes que reflejan el deseo de aprender y superarse. Son niños que han sido criados en el campo, la mayoria de ellos ejercen labores de agricultura y ganaderia. Son pocos los padres de familia que sirven como apoyo en la formación academica de sus hijos ya que en algunos casos la prioridad son las actividades del campo y por otro lado esta la falta de conocimiento pues la mayoria solo pudieron hacer la primaria o no cursaron ningun grado de escolaridad. Sin embargo, son muchachos que se esfuerzan por aprender.

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En los estudiantes del grado sexto, se ha detectado una necesidad educativa relacionada con la comprensión y aplicación correcta de las operaciones combinadas. Muchos de ellos presentan dificultades para resolver expresiones que involucran varias operaciones matemáticas, debido a una débil apropiación de conceptos básicos como la jerarquía de operaciones y los signos de agrupación.

Lo que se desea es que los estudiantes desarrollen habilidades para interpretar y resolver correctamente expresiones matemáticas con operaciones combinadas, aplicando el orden lógico y los procedimientos adecuados.

Aunque se han implementado algunas estrategias como ejercicios de práctica repetitiva, explicación en el tablero y resolución de problemas en grupo, estas no han sido suficientes para alcanzar las metas de aprendizaje.

Por lo tanto, se hace necesario replantear las estrategias pedagógicas, incorporando materiales más didácticos, actividades lúdicas, recursos digitales y un enfoque más activo y participativo, que permita cerrar las brechas de aprendizaje y fortalecer las competencias matemáticas esenciales y de esta manera se logre un aprendizaje significativo.

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General:

Comprender y aplicar correctamente la jerarquia de operaciones en expresiones matemáticas que involucren números naturales, enteros y fracciones, utilizando adecuadamente los signos de agrupación.

Especificos:

Reconocer la jerarquía de operaciones matemáticas y su importancia en la resolución correcta de ejercicios.

Aplicar adecuadamente el uso de paréntesis, corchetes y llaves en expresiones con operaciones combinadas.

Resolver ejercicios que involucren operaciones combinadas con números naturales, enteros y fraccionarios, respetando el orden de operaciones.

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Los logros que se esperan obtener en los estudiantes son los siguintes:

Interpreta correctamente la jerarquía de operaciones matemáticas, comprendiendo su función dentro del proceso de resolución de problemas.

Aplica de manera adecuada los signos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves) como herramientas para organizar operaciones de forma estructurada y coherente.

Resuelve expresiones numéricas complejas que incluyen operaciones con números naturales, enteros y fraccionarios, aplicando el orden correcto.

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Para impulsar al estudiante a fortalecer sus conocimientos y habilidades matemáticas y así lograr los objetivos planteados se porpone lo siguiente estrategia:

Una metodología Activa y participativa: el estudiante construye el conocimiento a través de la interacción con recursos digitales.

Un aprendizaje autónomo y autorregulado: los recursos interactivos permiten equivocarse y corregir, promoviendo el ensayo y error.

Integración TIC: se hace uso de videos, plataformas interactivas y ejercicios gamificados para dinamizar la clase.

Evaluación formativa: se evidencia el aprendizaje con pantallazos y respuestas comprobadas, lo que permite retroalimentar el proceso.

Recursos a utilizar

RED como poruectodescartes.org y colombiaaprende.edu.c

Plataforma interactiva tipo exploración (como Educaplay, Intermatia o similar).

Video educativo (YouTube).

Documentos PDF

Actividades autocorregibles con posibilidad de reintento.

WhatsApp como medio para entregar evidencias.

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Desarrollar en los estudiantes la comprensión y aplicación adecuada de la jerarquía de operaciones matemáticas, utilizando recursos digitales interactivos para favorecer el aprendizaje autónomo, la ejercitación guiada y la evaluación práctica.

Esta secuencia didáctica tiene como objetivo que los estudiantes comprendan y apliquen correctamente la jerarquía de operaciones matemáticas, mediante el uso de recursos digitales que les permitan construir el conocimiento de forma activa, significativa y progresiva.

En la primera fase, correspondiente a la activación de saberes previos, se propone una actividad breve de exploración interactiva con una duración de 10 minutos. A través de esta experiencia, se busca detectar conocimientos previos, identificar posibles errores comunes y generar disposición al aprendizaje. El ejercicio inicial estimula la curiosidad del estudiante y lo prepara para abordar el nuevo contenido desde una perspectiva más consciente.

Seguidamente, en la fase de apropiación del conocimiento, el estudiante accede a un video explicativo disponible en YouTube, con una duración aproximada de 20 minutos. En este recurso audiovisual se presentan ejemplos claros sobre cómo aplicar correctamente la jerarquía de operaciones, incluyendo el uso de signos de agrupación y el orden establecido (paréntesis, potencias, multiplicaciones o divisiones, sumas o restas). El video permite que el estudiante comprenda de manera visual y secuencial los pasos necesarios para resolver correctamente este tipo de expresiones.

La tercera fase corresponde al desarrollo de actividades de aprendizaje, con una duración total estimada de 1 hora y 5 minutos. En esta etapa, el estudiante participa en un juego didáctico titulado “Completa la frase”, en el que refuerza conceptos clave de forma lúdica. Además, realiza ejercicios interactivos tipo “exploración”, donde aplica lo aprendido en diferentes situaciones. Estas actividades permiten que el estudiante corrija sus errores, repita los ejercicios si es necesario y fortalezca la comprensión del tema a través de la práctica constante.

Finalmente, en la fase de evaluación formativa, con una duración aproximada de 1 hora, el estudiante resuelve una serie de ejercicios interactivos en los que debe respetar el orden correcto de las operaciones. Al finalizar cada ejercicio, verifica los resultados directamente en la plataforma, lo que le permite recibir retroalimentación inmediata. Como evidencia del aprendizaje, el estudiante toma una captura de pantalla del último resultado obtenido y la envía al docente para su revisión.

Esta secuencia didáctica promueve un aprendizaje autónomo y significativo, apoyado en el uso de recursos digitales interactivos, y permite una evaluación continua del proceso, centrada en el desarrollo de habilidades matemáticas esenciales.

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Aplicar adecuadamente el uso de paréntesis, corchetes y llaves en expresiones con operaciones combinadas.

Esta secuencia didáctica tiene como propósito que los estudiantes apliquen de forma adecuada los signos de agrupación —paréntesis, corchetes y llaves— en expresiones numéricas que implican operaciones combinadas, respetando el orden jerárquico establecido.

La secuencia inicia con una actividad titulada “Ejercita tus saberes: Aprende jugando”, con una duración de 15 minutos. En esta fase inicial, el estudiante accede al siguiente enlace: https://acortar.link/eyHnPD, donde encuentra una actividad interactiva que le permite, de manera lúdica, reforzar lo aprendido previamente sobre el uso del paréntesis en expresiones matemáticas. Esta actividad sirve como punto de partida para diagnosticar y activar los conocimientos previos del estudiante mediante ejercicios inmediatos que estimulan su interés y participación.

A continuación, en la fase de apropiación del conocimiento, se desarrollan dos actividades complementarias. La primera consiste en una lectura teórica sobre la eliminación de signos de agrupación, con una duración de 30 minutos. El estudiante accede al documento disponible en el siguiente enlace: https://acortar.link/FLmnfY y debe leer detenidamente desde la página 21 hasta la página 25. Este contenido explica el procedimiento correcto para eliminar paréntesis, corchetes y llaves en operaciones combinadas, respetando la jerarquía matemática. La segunda actividad consiste en visualizar un video explicativo de apoyo, con una duración de 20 minutos, disponible en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=ePUcCGPn_4Q. Se recomienda ver el video más de una vez para facilitar la comprensión y reforzar los conceptos trabajados en la lectura.

Posteriormente, se desarrolla una fase de verificación del aprendizaje a través de un taller colaborativo, con una duración estimada de 30 minutos. El estudiante accede al siguiente enlace: https://acortar.link/4vHumI, donde encuentra una actividad con ejercicios prácticos orientados a la eliminación correcta de signos de agrupación. Esta actividad permite aplicar lo aprendido previamente, trabajando en parejas o de forma individual, y ofrece retroalimentación inmediata al verificar las respuestas.

Como cierre de la secuencia, se propone una actividad interactiva con ejercicios que aumentan en complejidad progresivamente. Nuevamente, a través del enlace https://acortar.link/4vHumI, el estudiante resuelve seis ejercicios de operaciones combinadas con agrupaciones. Luego de cada ejercicio, el sistema le muestra el resultado correcto si se equivoca, lo que permite el autoaprendizaje. Al finalizar, el estudiante debe tomar una captura de pantalla del último ejercicio resuelto y enviarla al docente como evidencia de su desempeño.

La evaluación se lleva a cabo mediante la observación del desarrollo de las actividades, la participación activa en el taller y el envío de evidencias. Esta secuencia integra recursos digitales diversos, favorece el aprendizaje autónomo, promueve el uso adecuado de los signos de agrupación y fortalece el razonamiento matemático mediante la práctica constante.

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Resolver ejercicios que involucren operaciones combinadas con números naturales, enteros y fraccionarios, respetando el orden de operaciones.

Esta secuencia didáctica está orientada a lograr que los estudiantes resuelvan correctamente ejercicios que involucren operaciones combinadas con números naturales, enteros y fraccionarios, aplicando la jerarquía de operaciones.

La secuencia inicia con una actividad de activación de saberes previos titulada “Ejercita tus saberes”, con una duración de una hora. En esta fase, el estudiante accede al siguiente enlace: https://acortar.link/4vHumI, donde encuentra una serie de ejercicios interactivos con nivel de dificultad progresivo. El estudiante debe resolver al menos seis ejercicios, escribiendo el resultado y dando clic en “COMPROBAR”. En caso de error, la plataforma muestra el procedimiento correcto. Esta actividad permite practicar lo aprendido en sesiones anteriores y afianzar el reconocimiento de signos matemáticos específicos como la división (:) y la multiplicación (·).

A continuación, se propone una fase de apropiación del conocimiento que tiene una duración aproximada de 22 minutos. En esta parte, el estudiante accede al video explicativo disponible en el enlace: https://www.youtube.com/watch?v=Qc0s_mh3WCc. Este video presenta de forma clara y didáctica cómo resolver operaciones combinadas que incluyen números naturales, enteros y fraccionarios. Se recomienda al estudiante visualizar el video dos veces para asegurar la comprensión del procedimiento y tomar nota de los pasos clave.

Luego, se lleva a cabo una actividad de verificación del aprendizaje mediante un taller colaborativo en parejas, con una duración de 40 minutos. En este taller, los estudiantes acceden al siguiente recurso en formato PDF: https://acortar.link/Xu0oav, y se dirigen a la página 36 para resolver las actividades 16.1 y 16.2. Esta actividad les permite aplicar de forma práctica los conceptos trabajados, compartir estrategias de resolución y comparar resultados.

Finalmente, la secuencia concluye con un taller evaluativo titulado “Juega y comprueba lo aprendido”, que tiene una duración de una hora. A través del enlace https://acortar.link/7XfGM4, los estudiantes acceden a un juego interactivo donde deben resolver cinco ejercicios de operaciones combinadas seleccionando la respuesta correcta. Al finalizar, toman un pantallazo de sus resultados y lo envían al docente por WhatsApp como evidencia de su participación y aprendizaje.

La evaluación se realiza de manera continua a través de la observación del desempeño en el taller colaborativo, la resolución de ejercicios interactivos, y el envío de evidencias del taller evaluativo. Esta secuencia permite integrar recursos digitales, promover el trabajo colaborativo, fortalecer la autonomía y evaluar de forma formativa los aprendizajes adquiridos.

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Desarrollo Objteivo 1: Jerarquía De Operaciones Matemáticas

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Desarrollo Objteivo 1: Jerarquía De Operaciones Matemáticas

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Objetivo 1:

Reconocer la jerarquía de operaciones matemáticas y su importancia en la resolución correcta de ejercicios.

Proceso de aprendizaje:

1. Ejercita tus saberes: (10 minutos)

En el siguiente enlace encontrarás un ejercicio matemático, intenta resolverlo, no te preocupes, solo hazlo, tú puedes!

https://acortar.link/GzkPwa

Sigue los siguintes pasos:

Haz clic en el enlace.

En la ventana que aparecerá, encontrarás un bonton que dice: EXPLORACIÓN, dale clic a ese botón.

Resuelve desplegando una ventanita que aperece a tu lado izquierdo de la pantalla, e intenta resolver seleccionando la operación que crear correcta.

2. Apropiate Del Conocimiento: (20 minutos)

Haz clic en el siguiente enlace y observa atentamente el video, donde vas a conocer de una forma muy facil que es la jerarquia de las operaciones y cómo se desarrolla:

https://www.youtube.com/watch?v=XV5PiV2-91U

Al final del video aparecen unos ejercicios para desarrollar, resuelvelos en tu cuaderno

3. Actividades de Aprendizaje:

3.1 Completa la Frase (5 minutos)

Haz clic en el siguiente enlace, ahí encontrarás una forma didactica de reforzar lo aprendido, si te equivocas tienes la opción de reintentarlo hasta que lo logres, ánimo, sí se puede!!!

https://acortar.link/C1U2IR

3.2 Ejercicios Practicos: (1 hora)

En el siguiente enlace encontraras un ejercicio matemático, resuelvelo en tu cuaderno, y acorde a la respuesta que te dé selecciona algunas de las alternativas que aparece en la actividad, al finalizar el primer ejercicio, vas a dar clir en el botón que dice: "Otro Ejercicio"

y realiza el mismo proceso. Desarrolla tres ejercicios practicos.

Nota: desarrolla los ejercicios hasta que logres el resultado correcto

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JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES Superfácil - Para principiantes

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Sección 2: Jerarquía de las Operaciones Matemáticas

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Sección 2: Jerarquía de las Operaciones Matemáticas

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4. Verifiquemos lo aprendido, actividad evalautiva. (1 hora)

En el siguiente enlace podras ejercitar lo aprendido, encontrarás una serie de ejercicios, resuelve respetando la jerarquía de las operaciones. Luego de resolverla, das clic en el boton verificar, tomas un pantallazo, y lo envias al WhatsApp de tu profesor.

https://acortar.link/GzkPwa

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Bloque I - Jerarquía de las operaciones.

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Desarrollo Objetivo 2: Signos de Agrupación

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Desarrollo Objetivo 2: Signos de Agrupación

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Objetivo 2:

Aplicar adecuadamente el uso de paréntesis, corchetes y llaves en expresiones con operaciones combinadas.

Proceso de aprendizaje:

1. Ejercita tus saberes: Aprende Jugando (15 minutos)

En este lugar encontraras una serie de ejercicios donde vas a poner a prueba lo aprendido en la sección anterior con el uso del parentesis en la resolucion de expresiones matemáticas.

Haz clic en el enlace y diviertate aprendiendo!!

https://acortar.link/eyHnPD

2. Apropiate del conocimiento: Eliminación de signos de agrupación (1 hora)

En este espacio entrarás cómo se usan o cómo se resuelven expresiones matemáticas con signos de agrupación, así que haz clic en el enlace, y lee detenidamente, y si ves necesarios relee el contenido. Iras desde la página 21 a la 25. (30 minutos) https://acortar.link/FLmnfY

Luego, abre el siguiente enlace para a traves de un video explicativo puedas reforzar lo aprendido en la teoria. Si lo deseas repite el video para una mejor comprensión (20 minutos)

https://www.youtube.com/watch?v=ePUcCGPn_4Q

3. Verifiquemos lo aprendido, Taller colaborativo (30 minutos)

En este taller encontraras un pequeño refuerzo teorico, y al mismo timepo una serie de ejercicios donde vas a elimiar de forma correcta los signos de agrupación, teniendo en cuenta la jerarquía de operaciones.

Haz clic en el enlace y comprueba lo aprendido

https://acortar.link/4vHumI

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Marco Tulio Mesa Cardona
Institución Universitaria Pascual Bravo

Fondo Editorial Pascual Bravo
Medellín
2020

Título de la obra:
Matemáticas Operativas

Autor:
Marco Tulio Mesa Cardona

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas:$\KaTeX$
Colaborador: Juan Guillermo Arango Arango
Núcleo del libro interactivo: julio 2022

Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co
ISBN: 978-958-52584-7-1

LICENCIA

Creative Commons Attribution License 4.0.

Este libro de texto "Matemáticas Operativas" se ha trabajado para hacer del estudio de las matemáticas una actividad interesante, agradable e interactiva, manteniendo el rigor matemático inherente a la asignatura. Con este objetivo en mente, el contenido se ha desarrollado y organizado para proporcionar una progresión lógica de conceptos fundamentales a conceptos más avanzados, basándose en lo que los estudiantes ya han aprendido y enfatizando en las conexiones entre temas y entre teoría y aplicaciones. El objetivo es permitir que los estudiantes no solo reconozcan los conceptos, sino que trabajen con ellos de manera que sean útiles en cursos posteriores y carreras futuras.

La obra incluye 110 escenas interactivas, diseñadas en DescartesJS y GeoGebra, lo que facilita un mayor acercamiento a los conceptos trabajados. Se incluyen, también, 15 vídeos subidos a YouTube de diversos autores, que apoyan el desarrollo de los contenidos de la obra.

La obra se ha dividido en cinco capítulos, que responden al currículo de la asignatura "Matemáticas Operativas" de la Institución Universitaria Pascual Bravo; no obstante, el texto también es útil en niveles de secundaria o para otras instituciones de educación superior, que incorporan, en sus planes de estudio, cursos de matemáticas en un nivel básico o, si se prefiere, de nivelación postsecundaria.

Para evitar, al máximo, la dependencia con la conectividad en la red, las expresiones matemáticas se han construido recurriendo al API de $\KaTeX$.

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números con determinadas características que los diferencian de los demás, recordaremos el conjunto de los reales (ℝ), los racionales (ℚ), los enteros (ℤ), los naturales (ℕ) y los irracionales (ℚ').

Los números naturales

El conjunto se formalizó para dar respuesta a la necesidad de contar en una base generalizada, la base $10$. Con los dígitos se forma cualquier número natural. El conjunto de los números naturales, se denota por $ℕ$, y se representa así:

$$\color{brown}ℕ=\{ 1,2,3,4,5,6,7,...\}$$

Los números enteros.

El conjunto surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los números Naturales. Por ejemplo: $5-20$? Se denota por (ℤ) y se representa así:

$$\color{brown}ℤ=\{ ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$$

Los números racionales.

Son un subconjunto de los números reales, conformado por el conjunto de los enteros (ℤ) y los naturales (ℕ). Es el resultado del cociente entre dos enteros $\frac{p}{q}$, siempre y cuando el denominador ($q$) sea diferente de cero.

$$\color{brown}ℚ=\bigg\lbrace\dfrac{p}{q}\bigg|p\hspace{0.1cm}y\;q\;\text{\;son\;números\;enteros},\;q=\not 0\bigg\rbrace$$

Los números racionales se ubican en una de las siguientes características: Ser entero, tener una expresión decimal finita, o tener una expresión decimal infinita periódica.

Ejemplos con fracciones

$\cfrac{10}{2} = 5, \quad \cfrac{30}{8} = 3,75$ y $\cfrac23 = 0,66666666$

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Carlos Rojas Hincapié, lo cual permitirá que se presente una representación gráfica, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales que representan números enteros. También, puedes hacer uso del zoom para visualizar mejor la partición en la recta numérica o, si lo deseas, hacer clic en el botón ampliar para ver la escena en un tamaño más grande.

Prueba con las siguientes fracciones: $\cfrac{3}{4}$, $\cfrac{7}{5}$, $\ldots$

Los números irracionales

Es el conjunto de números cuya expresión decimal no es finita ni periódica, estos números no pueden transformarse en una fracción. Se denota con la letra (ℚ'). Como ejemplos de ellos tenemos todas las raíces no exactas como $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, etc., igualmente el número $\pi$, la constante "e" de la base de los logaritmos naturales, entre otros.

Representación gráfica del conjunto de los números reales: En la Figura 1, se puede visualizar la representación gráfica de los números reales.

Figura 1. Conjuntos numéricos (adaptado del libro Precálculo de Stewart).

Los números reales

Es el conjunto de números formado por la unión de los números Racionales (ℚ) y los Irracionales (ℚ'). Se denota por la letra $ℝ$ y se representa así:

$ℝ = \{ ℚ \cup ℚ' \}$

Propiedades de las operaciones con los reales.

Las propiedades de las operaciones con los números reales, son aquellas cualidades o atributos que facilitan la solución de gran cantidad de problemas.

Veamos algunas de ellas: Sean $a$, $b$ y $c$ números reales cualesquiera. Puedes ampliar la imagen al hacer clic sobre ella.

Tabla 1. Propiedades de las operaciones en ℝ.

Los números complejos

Es el conjunto formado por la unión de los números reales y los números imaginarios. Un número complejo puede representarse de la forma $a + bi$, que es la suma de un número real y un número imaginario. Se denota por ℂ y se representa así:

$ℂ = \{ ℝ \cup i \}$

Los números imaginarios son números complejos, cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: los números $5i$, $i$ o $-i$ son números imaginarios, donde la letra $i$ denota la raíz cuadrada de $-1$. Esto es:

$i = \sqrt{-1}$, por lo tanto $i^2 = -1$

Antes de empezar a clasificar los números propuestos en la escena interactiva, de nombre "Clasifica los siguientes números" y así dar inicio a las operaciones básicas que te abrirán el camino para resolver ejercicios en contexto aplicando conjuntos numéricos y propiedades de las expresiones aritméticas, en el siguiente video, realizado por César Moisés Grillo Soliz, recordarás lo que se ha visto hasta el momento.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Carlos Rojas Hincapié, podrás identificar el número dado, al oprimir los botones correspondientes según el conjunto numérico al cual pertenece.

Basta con oprimir el botón correspondiente ℕ (Naturales), ℤ (Enteros), ℚ (Racional), ℚ' (Irracional) o ℝ (Real) y verifica la respuesta. Intenta obtener la mayor cantidad de aciertos, recuerda que un racional puede ser un entero.

Podrás observar, como un número a parte de pertenecer al conjunto de los reales, puede ser ℕ (Natural) y/o, ℤ (Entero) y/o, ℚ(Racional) y/o, ℚ' (Irracional), según el caso.

como ejemplos, de lo que puedes encontrar en la escena interactiva, podemos mencionar: $-79$, que es un entero, racional y real al mismo tiempo, o ${\sqrt{80}}$, que es irracional y real, o $-\cfrac{18}{15}$ que es racional y real.

Operaciones entre conjuntos numéricos.

Cuando se realizan operaciones entre los conjuntos numéricos, se debe tener en cuenta la aplicación de las propiedades mencionadas anteriormente.

Eliminación de signos de agrupación.

En caso de presentarse signos de agrupación, como llaves, corchetes o paréntesis, se recomienda tener en cuenta las siguientes indicaciones:

$\bullet\hspace{0.3cm}$Los signos de agrupación indican el orden en que se deben realizar las operaciones.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Los paréntesis deben estar dentro de los corchetes y los corchetes dentro de llaves.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Cuando se eliminan signos de agrupación, es recomendable iniciar con los más internos.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Un signo negativo, antes de un signo de agrupación, cambia todos los signos internos.

$\bullet\hspace{0.3cm}$No olvides la ley de los signos que se muestran en la gráfica.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Se quitan primero los parénesis, luego los corchetes y finalmente las llaves.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Se tienen en cuenta los signos de las diferentes operaciones aritméticas, sin olvidar que signos iguales dan positivo y signos contrarios dan negativo.

$\bullet\hspace{0.3cm}$En operaciones aritméticas mixtas, primero se realizan las multiplicaciones y divisiones y luego las sumas y restas.

Figura 2. La jerarquía de las operaciones.
Fuente: https://www.twinkl.com

Ejemplos de operaciones con los reales.

En los siguientes ejemplos, podrás observar el orden en que se deben hacer las operaciones, para eliminar los signos de agrupación.

Se eliminaron los paréntesis y se agrupan, $8+7$, al mismo tempo se agrupan $6+3$ y $9+15$.

Se suma la cantidad entre llaves, { 2 + 24 }

Se eliminaron las llaves y se agrupan $2+24$.

Se agrupan $13+26$.

13 + 4

Se eliminaron los paréntesis, haciendo operación de signos y agrupando.

Se eliminaron los corchetes, haciendo operación de signos y agrupando.

Se eliminan las llaves y se hacen las operaciones de signos y agrupando.

20 + 11

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Leopoldo Aranda Murcia., podrás realizar sumas y restas de números enteros.

No debes olvidar que signos iguales se suman y se coloca el mismo signo, signos contrarios se restan y se coloca el signo del mayor.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Ceferino A., puedes seguir realizando operaciones con números enteros.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA.
Todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos excepto por el orden.

Ejemplo del Teorema fundamental de la aritmética

$\hspace{0.2cm}20808 = 2^3 \times 3^2 \times 17^2$

$\hspace{0.2cm}4500=2^2\times3^2\times5^3$
NÚMEROS PRIMOS.
Se denomina número primo a todo número natural diferente de uno, cuyos únicos divisores POSITIVOS son el mismo número y la unidad; los números que no son primos se denominan compuestos.

Eratóstenes de Cirene (276-194 a de C) Matemático griego, ideó una forma de determinar los primeros números primos al construir la denominada Criba de Eratóstenes.

En la siguiente tabla encontrarás los primeros 100 números primos, que te serán de utilidad cuando estés descomponiendo números para determinar el m.c.m y el M.C.D, amplia haciendo clic sobre ella.

Tabla 2. Primeros 100 números primos.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El Mínimo Común Múltiplo ("m.c.m.") de dos o más números naturales es el menor número natural (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos.

Hallar al m.c.m entre $4, 8$ y $12$

$m_{\left( 4\right) }=\left\{ 4,8,12,16,20,\red{24},\ldots\right\}$

$m_{\left( 8\right) }=\left\{ 8,16,\red{24},\ldots\right\}$

$m_{\left( 12\right) }=\left\{ 12,\red{24},\ldots\right\}$

Así, el $m_{\left(4,8,12\right) }=\left\{\red{24}\right\}$

Por el método abreviado, se descomponen en todos los números en sus factores primos a la vez, teniendo en cuenta que si en alguno no coincide con el factor que se está sacando, se baja el número, hasta llegar a la unidad y luego se multiplican los factores verticalmente.

Otro método es descomponer los números en factores primos y tomar los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

$m.c.m_{\left(4,8,12\right) }=\left\{\red{2^3\times3}\right\}$

$m.c.m_{\left(4,8,12\right) }=\left\{\red{24}\right\}$
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El Máximo Común Divisor ("M.C.D.") de dos o más números naturales es el mayor número natural que los divide todos ellos.

$M.C.D_{\left(48,60\right) }=\left\{\red{2^2\times3}\right\}$

$M.C.D_{\left(48,60\right) }=\left\{\red{12}\right\}$

Por el método abreviado, se descomponen todos los números en sus factores primos a la vez, teniendo en cuenta que si en alguno no coincide con el factor que se está sacando, se baja el número, hasta llegar a la unidad y luego se multiplican los factores comunes a todos.

$M.C.D_{\left(48,60\right) }=\left\{\green{12}\right\}$

Hallar el M.C.D y el m.c.m entre:

Puedes utilizar la siguiente escena interactiva, adaptada de Eduardo Barbero Corral, sólo necesitas ingresar cada número en la casilla inferior derecha y pulsar "Enter" y con los resultados obtenidos determinar el M.C.D y el m.c.m.

Ejemplo para hallar el M.C.D y el m.c.m

Para hallar el M.C.D, son los factores primos comunes, con su menor exponente.

Para hallar el m.c.m, son los factores primos comunes y no comunes, con su mayor exponente.

1. $\;\;\;\;M.C.D_{\left(148,156\right) }=2^2$

$\;\;\;\;M.C.D_{\left(148,156\right) }=\red{4}$

1. $\;\;\;\;m.c.m_{\left(148,156\right) }=\left\{{2^2\times3\times13\times37}\right\}$

$\;\;\;\;m.c.m_{\left(148,156\right) }=\left\{{4\times3\times13\times37}\right\}$

$\;\;\;\;m.c.m_{\left(148,156\right) }=\red{5772}$

Observa la forma abreviada y compara con los resultados anteriores.

En la siguiente escena interactiva, encontrarás seis ejercicios de aplicación de mínimo común múltiplo (mcm) y de máximo común divisor (MCD), en la cual podrás identificar en que tipo de problemas puedes utilizar cada uno de ellos.

Debes identificar cual de los dos debes utilizar mcm=1 o MCD=2, e ingresarlo en la casilla "Elegir". Cuando la escena te indique que es "¡CORRECTO!" habilita las "Respuestas" y te da la posibilidad de ingresar los datos que te plantea el problema en estricto orden en las casillas correspondientes, no olvides ingresar uno de los datos en las casillas restantes en caso de ser necesario, es decir, cuando el

problema plantea dos o tres datos para analizar ingresa uno de los dos o tres en la casilla restante.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
En tu cuaderno, para la siguiente tabla; escriba sí o no para indicar si el número de la primera columna es divisible por cada uno de los números de la fila superior.

Un número es divisible por otro, cuando cumple las condiciones que presentan a continuación:

Tabla 3. Criterios de divisibilidad.

Operaciones con fracciones.

Los fraccionarios pertenecen al conjunto de los racionales, formados por dos números enteros; el numerador que está en la parte de arriba y el denominador en la parte de abajo. Así un fraccionario se expresa de la forma:

$\dfrac{a}{b},\;\;con \;\; b=\not0$
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d},\; \;con\; \; ad = bc$

Si se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada. Al primer caso le llamamos amplificar, al segundo simplificar.

Ejemplos de fracciones equivalentes

Amplificar los siguientes racionales

Simplificarlos siguientes racionales

Solución

Amplificar

1. $\hspace{0.2cm}\dfrac{2}{5}\times\dfrac{4}{4}=$${\dfrac{8}{20}}$

$\hspace{0.1cm}$

2. $\hspace{0.2cm}\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{5}=$${\dfrac{15}{20}}$

Simplificar

1. $\hspace{0.2cm}\dfrac{8}{20}\div\dfrac{4}{4}=$${\dfrac{2}{5}}$

$\hspace{0.1cm}$

2. $\hspace{0.2cm}\dfrac{15}{20}\div\dfrac{5}{5}=$${\dfrac{3}{4}}$

Con base en los ejemplos realizados anteriormente y con los que se plantean a continuación, puedes simplificar las expresiones racionales propuestas.

Ejemplos de simplificación de expresiones racionales

Para simplificar expresiones racionales, puedes utilizar los criterios de divisibilidad e ir simplificando paso a paso, o buscar el M.C.D entre el numerador y el denominador y luego, los divides por el valor encontrado.

Utiliza la escena interactiva de la página 38, para que puedas encontrar con facilidad el M.C.D.

$\hspace{0.2cm}\dfrac{45}{120}$

Se descompone el numerador y el denominador en sus factores primos:

$45=3^2\times 5$ $\;\wedge\;$ $120=2^3\times 3\times 5$

Por la definición del M.C.D, se obtiene:

$\;\;\;\;M.C.D_{\left(45,120\right) }=3\times 5$

$\;\;\;\;M.C.D_{\left(45,120\right) }=$$15$

Ahora se divide numerador y denominador, por el el M.C.D.

$\;\;\dfrac{45\div15}{120\div15}=$$\dfrac{3}{8}$

Factores primos:

$370=2\times 5\times 37$ $\;\wedge\;$ $444=2^2\times 3\times 37$

$\;\;\;\;M.C.D_{\left(370,444\right) }=2\times 37$

$\;\;\;\;M.C.D_{\left(370,444\right) }=$$74$

Ahora se divide.

$\;\;\dfrac{370\div74}{44\div74}=$$\dfrac{5}{6}$

Es el momento de poner en práctica los conocimientos adquiridos, realiza los siguientes ejercicios. Recuerda que puedes cambiar el tamaño de la imagen al hacer clic en Tabla 4, o sobre sobre la misma imagen.
Propiedades de las fracciones
En Tabla 4, podrás observar algunas propiedades de las fracciones.

Tabla 4. Propiedades de las fracciones.
Tipos de fracciones
Fracciones Propias:$\hspace{0.1cm}$Cuando el numerador es menor que el denominador. Su valor es mayor que 0 y menor que 1.

Estos son algunos ejemplos de fracciones propias: $\dfrac{2}{5}, \;\dfrac{3}{7} \;y\;\dfrac{9}{11}$

Fracciones Impropias: cuando el numerador es mayor o igual que el denominador. Su valor es mayor o igual a uno.

Ejemplos: $\hspace{0.2cm}\dfrac{5}{2}, \;\dfrac{7}{3}, \;\dfrac{11}{9}\;y\;\dfrac{5}{5}$

En la siguiente escena interactiva, adaptada de Fernanda Mejía Palomino y otro, podrás entender la diferencia entre fracciones propias e impropias, en el momento que hagas uso de los deslizadores.

Fracciones Mixtas: Este tipo de fracciones está compuesta de una parte entera y otra fraccionaria. Se obtienen de una fracción impropia, donde la parte entera corresponde al cociente y la fraccionaria del residuo (numerador), dividido por el divisor (denominador), como se muestra en la imagen de la página siguiente.

Ejemplos:

$3\dfrac{2}{5}, \;1\dfrac{3}{7}, \;5\dfrac{9}{11}$

Para facilitar su comprensión, analizaremos la fracción impropia $\dfrac{17}{5}$

$3\dfrac{2}{5}$

Para pasar un número mixto a una fracción impropia se procede de la siguiente manera:

a. Se multiplica la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria.

b. Se le suma el numerador de la parte fraccionaria.

c. Luego se divide por el denominador de la parte fraccionaria.

$$\dfrac{17}{5}$$

Suma y resta de fracciones: En la suma y resta de fraccionarios se pueden presentar dos tipos de operaciones, cuando tienen el mismo denominador (homogéneas) y cuando su denominador es diferente (heterogéneas).

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Suma y resta de fracciones homogéneas: En este caso se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.

En la siguiente escena interactiva, podrás realizar los ejercicios propuestos al pulsar "Otro ejercicio", para que te familiarices con el procedimiento.

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Suma y resta de fracciones heterogéneas: Se puede hacer lo siguiente.

Para la suma o resta de dos fraccionarios, con denominadores pequeños (menores que 10), se recomienda aplicar la siguiente propiedad:

$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}, \;con\; b\; y\; d=\not 0$

Ejemplos de suma y resta de fracciones

1. $\;\;\dfrac{5}{3}\pm\dfrac{4}{5}=\dfrac{25\pm12}{15}$

1. $\;\;\dfrac{12}{7}\pm\dfrac{5}{4}=\dfrac{48\pm35}{28}$

2. $\;\;\dfrac{8}{5}\pm\dfrac{3}{6}=\dfrac{48\pm15}{30}$

Para la suma o resta de dos fraccionarios, con denominadores grandes (mayores que 10), se recomienda encontrar el (m.c.m) entre los denominadores y hacer lo siguiente:

a. Determinar el m.c.m de los denominadores.

b. Dividir el m.c.m encontrado, por el denominador de la primer fracción.

c. Multiplicar resultado anterior, por el numerador de la primer fracción.

d. Se repite el mismo procedimiento para cada uno de las demás fracción.

e. Finalmente se realizan las operaciones y se simplifica, si es posible.

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Suma y resta de fracciones mixtas: Para sumar o restar fracciones mixtas, lo más conveniente es convertirlas en fracciones impropias y realizar las sumas o restas como se indicó anteriormente.

También se pueden convertir las fracciones en fracciones equivalentes y de esta forma llevar las operaciones con fracciones heterogéneas. a homogéneas

En el siguiente ejemplo se realiza el procedimiento.

Ejemplo de suma y resta de fracciones

$\dfrac{7}{12}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{24}$

Debes realizar los siguientes pasos:

a. Determinar el m.c.m de los denominadores (en el ejemplo es 24).

b. Convertir las fracciones heterogéneas en homogéneas, utilizando el concepto de fracciones equivalentes, esto es, multiplicando numerador y denominador por el factor que haga falta para que el denominador de cada fracción sea igual al m.c.m.

Veamos:

1. $\dfrac{7}{12}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{24}=\dfrac{(7\times2)}{(12\times2)}+\dfrac{(1\times4)}{(6\times4)}-\dfrac{5}{24}$

Se realizan las operaciones para obtener fracciones HOMOGÉNEAS.

$\hspace{2.1cm}= \dfrac{14}{24}+\dfrac{4}{24}-\dfrac{5}{24}$

Recuerda que para realizar operaciones con fracciones homogéneas, se toma el mismo denominador y se hacen las operaciones de los numeradores.

$\dfrac{7}{12}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{24}=\dfrac{13}{24}$

2. $\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{(3\times9)}{(5\times9)}-\dfrac{(1\times15)}{(3\times15)}+\dfrac{(2\times5)}{(9\times5)}$

$\hspace{2.1cm}= \dfrac{27}{45}-\dfrac{15}{45}+\dfrac{10}{45} \hspace{2.1cm}$

$\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{22}{45}$

En la siguiente escena interactiva, diseñada por José Luis Abreu León y otros, puedes interactuar, determinando el m.c.m de los denominadores y practicar lo aprendido en las páginas anteriores, y sólo podrás avanzar si aciertas con la información solicitada.

En el siguiente escena interactiva, diseñada por Diego Luis Feria Gómez, puedes interactuar y ampliar los conocimientos adquiridos.

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Producto de fracciones: Para multiplicar fraccionarios, se multiplican numeradores y denominadores entre sí. Se aplica la siguiente propiedad:

$\dfrac{a}{b}\;\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}, \;con\;b\; y \;d=\not 0$

$\bullet\hspace{0.3cm}$ División de fracciones: Se multiplica el numerador del primer fraccionario, por el denominador del segundo fraccionario (será el numerador) y el denominador del primero por el numerador del segundo (será el denominador). En conclusión, se multiplican en cruz. Se aplica la siguiente propiedad:

$\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\cdot bc}{bd},\;con\; b\; y \;d=\not 0$

Antes de explicar algunos ejemplos de aplicación sobre operaciones con fracciones, es importante que trates de comprender como se convierte un lenguaje verbal en un lenguaje matemático.
Ejemplo

1. $\begin{aligned}\dfrac {5}{2} \;de\; x\\[8pt]\end{aligned}$

2. La mitad de un número "$x$"$\begin{aligned} \\[7pt]\end{aligned}$

3. La cuarta parte de la suma de $\begin{aligned} \\[12pt]\end{aligned}\;x\wedge y$

4. El triple de un número incrementado en 10, equivale a la tercera parte de disminuir el número en 2.

5. El doble de un número "$x$" disminuido en 10. $\begin{aligned} \\[1pt]\end{aligned}$

Expresión Matemática

1. $\cfrac{5}{2}x$

2. $\cfrac{1}{2}x$

3. $\cfrac{1}{4}(x+y)\begin{aligned} \\[1pt]\end{aligned}$

4. $3x+10=\cfrac{1}{3}(x-2)\begin{aligned} \\[55pt]\end{aligned}$

5. $2x-10$

Ejercicios de aplicación

a. La población de un pequeño pueblo disminuyó de 1750 a 1700 habitantes. ¿Cuál es el porcentaje de decrecimiento?

R. $\dfrac{1750-1700}{1750}\times100\%=0.0285714\times100\% =2.86\%$

b. El salario por hora de trabajo de un estudiante se elevó de $5.25$ dólares a $5.75$. ¿Cuál es el porcentaje de incremento?

Recta numérica.

Los números reales están ordenados de menor a mayor, de izquierda a derecha, en lo que se conoce como la recta numérica. Decimos que $a < x < b$, siempre y cuando $x - a \;\wedge\; b - x$ son números positivos. Quiere decir que todos los números que se ubiquen a la izquierda de un punto de referencia cualquiera, serán menores que los que se ubique a su derecha.

De la gráfica de la recta numérica se puede concluir que $a < x < b$.

$a < x < b$

Si, $a < b, \;a=b \;\vee\; a> b$, se llama ley de tricotomía.

Si, $a < b \wedge b < c,\Rightarrow \hspace{0.1cm}a < c$

Se conoce como Propiedad transitiva.

Ejemplos de de la recta numérica

Si, $x <12 \wedge 12 <y$, concluimos de la propiedad anterior que $x <y$. Veamos el ejemplo gráficamente.

Los intervalos pueden ser abiertos o cerrados, los abiertos se representan con paréntesis y los cerrados con corchetes.

En la siguiente escena interactiva puedes darte cuenta del significado de lo que es un intervalo abierto y un intervalo cerrado. Observa cuando la escena te muestra en las opciones de intervalos, como incluye el valor cuando se trata de un intervalo cerrado y como se acerca con muchas cifras decimales, pero no lo toma cuando se trata de un intervalo abierto. También podrás ver como puedes desplazar el punto rojo, sólo hasta donde el intervalo te lo permite.

Realiza diferentes modificaciones en "Seleccione intervalo" y en el valor del "Extremo inferior" y observa los cambios en la escena interactiva.

En la siguiente escena interactiva, adaptada de Alfredo Cortés Sánchez, podrás interactuar realizando cambios en los rangos para que profundices en tus conocimientos.

En la siguiente escena interactiva diseñada por Juan Guillermo Rivera, al realizar los ejercicios propuestos, pondrás a prueba los conocimientos adquiridos.

Conjuntos e intervalos.
Unión e Intersección de intervalos.
Unión de intervalos: En la unión de intervalos, se encuentran todos los elementos que pertenecen a los conjuntos numéricos en referencia.

Ejemplo de unión de intervalos

Sea $A$=$[-1,2)$, $B$ = $\left[ 1,4\right] \wedge C=\left( -3,\infty \right)$

Gráficamente lo podemos representar de la siguiente forma:

En los siguientes ejercicios, podrás ver la respuesta al frente de cada uno para su análisis

Intersección de intervalos: En la intersección de intervalos, se encuentran SÓLO los elementos comunes que pertenecen a los conjuntos numéricos en referencia.

Para una mejor comprensión, se continuará con el mismo ejemplo.

Ejemplo de intersección de intervalos

Sea $A$=$[-1,2)$, $B$ = $\left[ 1,4\right] \wedge C=\left( -3,\infty \right)$

Gráficamente lo podemos representar de la siguiente forma:

Hallar:

Observa que no se incluye el número 2 en la intersección, ya que NO ES COMÚN para el conjunto A.

En la siguiente escena interactiva, adaptada de EducaticMeta , podrás interactuar realizando cambios en los rangos para que profundices en tus conocimientos.

En la escena que se presenta, puedes modificar los rangos, utilizando los deslizadores y de forma similar a la escena anterior, puedes cambiar los intervalos, interactuando entre abiertos y cerrados.

En el siguiente video realizado por Matemáticas Profe Alex, vas a repasar los conceptos de intervalos abiertos y cerrados explicados anteriormente y podrás ver cómo influyen en la solución de la unión de intervalos.
De igual forma podrás ver la representación gráfica y en forma de intervalos de la respuesta final.

En el siguiente video realizado por Matemáticas Profe Alex, vas a repasar los conceptos de intervalos abiertos y cerrados explicados anteriormente y podrás ver cómo influyen en la solución de la intersección de intervalos.
De igual forma podrás ver la representación gráfica y en forma de intervalos de la respuesta final.

Valor absoluto y distancia

El valor absoluto de un número $a$, denotado por $\left| a\right|$, es la distancia desde $a$ hasta $0$ sobre la recta numérica. La distancia es siempre positiva o cero, de modo que tenemos para cada número a $\left| a\right| \geq 0$. Tenga en cuenta que $\text-a$ es cuando $a$ es negativa.

$\left| a\right| =\begin{cases}\;\;\;a,\;\;Si\;a\geq 0\\ -a,\;\;Si\;a < 0\end{cases}$

Hallar:

En la tabla siguiente, encontrará las principales propiedades del valor absoluto. Así como un ejemplo de cada una de ellas y su descripción.

Tabla 5. Propiedades del valor absoluto.
Distancia entre dos puntos.
Si $a$ y $b$ son números reales, entonces la distancia entre ellos en la recta numérica es:

$d_{\left( a , b \right)} = \left| b-a\right|$

Ejemplos de distancia entre dos puntos

1. $\hspace{0.1cm}A=\left[-1,2\right)\\[0.2cm]$

2. $\hspace{0.1cm}B=\left[1,4\right]\\[0.2cm]$
$d_{\left(1,\ 4\right)}=\mid 4-1\mid=\mid 3\mid=\color{brown} 3$

Regla de tres

Regla de tres simple

Es un mecanismo matemático que sirve para la solución de problemas que tienen una relación de proporcionalidad, se deben conocer tres datos y con su utilización, se encuentra el cuarto. Siempre que existe un cambio en uno de los datos, los otros cambiarán en forma proporcional.

Ejemplos de regla de tres simple

$\hspace{0.1cm}$Si cuatro libros cuestan $\$ 8$, ¿Cuánto cuestan 15 libros?
Solución: $\hspace{3.1cm}{\hspace{0.5cm}}\\[-1pt] \hspace{3.8cm}\text - \hspace{1.5cm}\text + $
$\hspace{1cm}$Supuesto$\ldots\ldots\;4\hspace{0.1cm} libros\ldots\ldots\$ 8$

$\hspace{1cm}$Pregunta$\ldots\ldots15\hspace{0.1cm} libros\ldots\ldots\$ x$ $\hspace{3.8cm}\text + \hspace{0.5cm}\\[3pt] \hspace{3.1cm}\overline{}{\hspace{0.5cm}}$
Comparamos:
A más libros más pesos; luego, estas magnitudes son directamente proporcionales: ponemos $(+)$ debajo de los libros y $(\text-)$ encima; ponemos $(+)$ también a $\$ 8$. Ahora, el valor de $x$ será igual al producto de $8$ por $15$, que son los que tienen el signo $(+)$, partido por $4$ que tiene $(-)$, y tendremos:

$\color{brown}x=\dfrac{8\cdot15}{4}=\$30$

1. Si para la elaboración de una torta se necesitan 5 huevos, cuántos se necesitarán para la elaboración de siete (7) tortas?.

Se define con la variable $x$ = la cantidad de huevos que se necesitan para la elaboración de las 7 tortas.
Solución: $\hspace{3.1cm}{\hspace{0.5cm}}\\[-1pt] \hspace{3.8cm}\text - \hspace{2.2cm}\text + $
$\hspace{1cm}$Supuesto$\ldots\ldots\;1\hspace{0.1cm} Torta\ldots\ldots\ 5 \;Huevos$
$\hspace{1cm}$Pregunta$\ldots\ldots7\hspace{0.1cm} Tortas\ldots\ldots\ x\; Huevos$ $\hspace{3.8cm}\text + \hspace{0.5cm}\\[3pt] \hspace{3.1cm}\overline{}{\hspace{0.5cm}}$

Al realizar el mismo procedimiento del ejemplo anterior, nos queda:

$\color{brown}x=\dfrac{7\cdot5}{1}=35\; Huevos$

Como existe una proporcionalidad o equivalencia, lo podemos resolver teniendo en cuenta la definición vista en la pagina 39 para fracciones equivalentes.

Lo que sería:

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d},\; \;con\; \; ad = bc$

Luego,

$\dfrac{1}{7}=\dfrac{5}{x}$, se lee uno $(1)$ es a siete $(7)$, como cinco $(5)$ es a $x$.

Aplicamos la definición de fracciones equivalentes y se resuelve de igual forma:

$( 1 ) x = 7 \cdot 5 $, luego:

$\color{brown}x = 35\;\; huevos$

$\hspace{0.1cm}$Cuatro $(4)$ hombres hacen una obra en $12$ días. ¿En cuántos días podrían hacer la obra $7$ hombres?
Solución: $\hspace{3.1cm}{\hspace{0.5cm}}\\[-1pt] \hspace{3.8cm}\text{+}\hspace{2.2cm}\text{+} $
$\hspace{1cm}$Supuesto$\ldots\ldots 4\hspace{0.1cm} Hombres\ldots\ldots\ 12\;d\text{í}as$

$\hspace{1cm}$Pregunta$\ldots\ldots 7\hspace{0.1cm} Hombres\ldots\ldots\ x\;d\text{í}as$ $\hspace{3.8cm}\text - \hspace{0.5cm}\\[3pt] \hspace{3.1cm}\overline{}{\hspace{0.5cm}}$
Comparamos:
A más hombres, menos días; luego, son inversamente proporcionales.

Ponemos $(-)$ debajo de hombres y $(+)$ arriba; ponemos $(+)$ también a $12$ días. Ahora, el valor de $x$ será igual al producto de $12$ por $4$, que son los que tienen signo $(+)$ dividido por $7$ que tiene $(-)$, y tendremos:

$\color{brown}x=\dfrac{12\cdot4}{7}=\dfrac{48}{7}=6\dfrac{6}{7}\; d\text{í}as$

Regla de tres compuesta

Ejemplo de regla de tres compuesta

$\hspace{0.1cm}$Tres $(3)$ hombres trabajando $8$ horas diarias han hecho $80$ metros de una obra en $10$ días. ¿Cuántos días necesitarán $5$ hombres trabajando $6$ horas diarias para hacer $60$ metros de la misma obra?

Solución:

$\hspace{-1cm}$Supuesto$\ldots 3\hspace{0.1cm} Hombres\ldots8\hspace{0.1cm} Horas(d\text{í}a)\ldots80\hspace{0.1cm} m.\ldots10\hspace{0.1cm}d\text{í}as$

$\hspace{-1cm}$Supuesto$\ldots 5\hspace{0.1cm} Hombres\ldots6\hspace{0.1cm} Horas(d\text{í}a)\ldots60\hspace{0.1cm} m.\ldots \; x \hspace{0.1cm} d\text{í}as$ $\hspace{2.3cm}\text - \hspace{2.2cm}\text{-}\hspace{2cm}\text{+}\hspace{1.3cm}\\[3pt] \hspace{3.1cm}\overline{}{\hspace{0.5cm}}$
Comparamos:
A más hombres, menos días; ponemos $(\text-)$ debajo de hombres y $(+)$ encima; a más horas diarias de trabajo, menos días en hacer la obra; ponemos $(\text-)$ debajo de horas diarias y $(\text+)$ encima; a más metros, más días, ponemos $(\text+)$ debajo de metros y $(\text-)$ encima; ponemos $(\text+)$ también a $10$ días.

$\color{brown}x=\dfrac{10\cdot60\cdot8\cdot3}{80\cdot6\cdot5}=6\; d\text{í}as$

Aplicaciones con porcentajes.

En la siguiente escena interactiva, adaptada de Leslye RS, Fabián Colombo, podrás observar que el denominador determina en cuantas partes se divide una unidad y el numerador determina la fracción (parte del denominador) o porcentaje que se toma. En la escena interactiva el "lado", elevado al cuadrado determina el denominador y el deslizador es el numerador.

Observa lo que sucede al ingresar los lados $10, 8, 6$ y mueve el deslizador (numerador) a $50, \;32 \;y\; 18$ respectivamente; en cada uno de ellos.

En cada cambio que realices, sobre la escena interactiva puedes hacer clic izquierdo en tu mouse y dejarlo presionado, desplazando hacia la izquierda o derecha para una mejor visualización de la escena.

Puedes realizar diferentes cambios en el "lado" de la escena interactiva y mover el deslizador para que observes como cambia el fraccionario, el decimal y el porcentaje, en cada uno de los ejercicios que te propongas realizar.

Ejemplo de fracciones y porcentajes

$\hspace{0.2cm}$Si compras un televisor, para el que su precio se estima en $1.800.000 y te dan un descuento del 15%, cuanto estarías pagando?

1.$800.000 - \dfrac{1.800.000\times15}{100 }= 1.800.000 - 270.000 = 1.530.000$. Que sería equivalente a pagar: $1.800.000\times0.85 = 1.530.000$

$1.800.000 - \dfrac{1.800.000\times15}{100 }= 1.800.000 - 270.000 = 1.530.000$. Que sería equivalente a pagar: $1.800.000\times0.85 = 1.530.000$

1. $\hspace{0.2cm}$Si se paga la matricula de la universidad la fecha indicada, se pagarán $1.980.000. Si excedes la fecha limite se te cobrará un 25% adicional.

$1.980.000 + \dfrac{1.980.000\times25}{100}= 1.980.000 + 495.000 = 2.475.000$. Que sería equivalente a pagar: $1.980.000\times 1.25 = 2.475.000$

2. $\hspace{0.2cm}$Si las ventas de determinado producto, para el mes de enero fueron de 250.000 unidades y en el mes de febrero las ventas de ese mismo producto alcanzaron los niveles de 290.000 unidades, cuánto fue el crecimiento en las ventas?.

$\dfrac{290.000 - 250.000}{250.000} = 0.16\times100% = 16\%$

También puedes dividir las ventas de febrero por las ventas de enero y obtienes el incremento $\dfrac{290.000}{250.000}= 1.16$, esto quiere decir que las ventas se incrementaron un $16\%$

En la siguiente escena interactiva, diseñada por @prende.mx, podrás interactuar para observar las distintas maneras de representar porcentajes, explorar la relación existente entre porcentajes y fracciones, aprender a representar porcentajes y fracciones y finalmente podrás a prueba los conocimientos adquiridos al responder sin limite de tiempo 10 preguntas. !Buena Suerte!.

Practiquemos

En las siguientes escenas interactivas, diseñadas por Javier Cayetano Rodriguez , podrás resolver los ejercicios planteados con aproximación de dos cifras decimales y pondrás a prueba tus conocimientos.

En las siguientes escenas interactivas, adaptadas de Juan Guillermo Rivera, podrás resolver los ejercicios planteados sobre operaciones con fraccionarios y pondrás a prueba tus conocimientos.

En cada escena interactiva dispones de 45 minutos para realizar los ejercicios e ir eligiendo la respuesta correcta en el cuestionario. Al finalizar tendrás la posibilidad de ingresar tu nombre y enviar las respuestas a tu docente ingresando su correo en el espacio destinado para ello.

Al solucionar los ejercicios propuestos en las escenas interactivas, estarás en capacidad de resolver los ejercicios propuestos para el capitulo 1.

Opción 1. Operaciones con fraccionarios.

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Potenciación

En la potenciación se distinguen tres partes importantes, una base, un exponente y una potencia. El exponente son las veces que se debe multiplicar la base por sí misma y el resultado de este producto, es la potencia.

Ejemplos de potenciación

1. $\;\;5^3=5\cdot 5\cdot 5=125$

2. $\;\;\left(-3\right)^3=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot= - 27$

3. $\;\;8^2=8\cdot 8=64$

4. $\;\;12^5=12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12=248832$

5. $\;\;7^6=7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7=117649$

6. $\;\;\left(-2\right)^6=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=64$

En la siguiente escena interactiva, adaptada de Orlando, El Sueniero, podrás resolver los ejercicios planteados y de esta manera ampliar tus conocimientos en potencias de números enteros.

Propiedades de la potenciación

En la siguiente escena interactiva, diseñada por José Luis Abreu León y otros, podrás analizar las propiedades de las potencias y los radicales con ejercicios propuestos.

Con lo que aprendas en la escena interactiva, estarás en capacidad de resolver correctamente los ejercicios que se presenten sobre potenciación.

Operaciones con potencias

En la Tabla 6, se resumen las propiedades de las potencias y las podrás utilizar para realizar las actividades propuestas en la siguiente escena interactiva.

Tabla 6. Propiedades de las potencias.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Erika Paulina Tovilla Quesada, puedes interactuar y practicar con las propiedades de las potencias.

Ejemplos de operaciones con potencias potencias

Para realizar operaciones con potencias, se debe tener en cuenta la aplicación de las propiedades que se vieron con anterioridad, no olvidar que sólo se pueden sumar o restar aquellas potencias idénticas, es decir, que tengan la misma base y el mismo exponente.

Posteriormente se deben realizar las simplificaciones respectivas. A continuación se realizarán algunos ejemplos.

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Suma:

$$\color{black}\begin{aligned} 5(2^2)+12 &= 5(2^2)+3(2^2)\\[15pt] &= 8(2^2)\\[15pt] &=8(4)=\color{brown}32 \end{aligned}$$

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Resta:

$$\color{black}\begin{aligned} 5(2^2)-12 &= 5(2^2)+3(2^2)\\[15pt] &= 2(2^2)\\[15pt] &=2(4)=\color{brown}8 \end{aligned}$$

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Producto:

$$\color{black}\begin{aligned} 5(2^2)\times12 &= 5(2^2)\times3(2^2)\\[15pt] &= 15(2^4)\\[15pt] &=15(16)=\color{brown}240 \end{aligned}$$

Por ser potencias idénticas, se pueden sumar

Se puede observar que el resultado es $\color{brown}32$.

Por ser potencias idénticas, se pueden restar

Se puede observar que el resultado es $\color{brown}8$.

Se descompone el 12 en sus factores primos y por ser potencias idénticas, se pueden multiplicar los coeficientes de las potencias y aplicar las propiedades.

Se puede observar que el resultado es $\color{brown}240$.

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Cociente:

$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{5(2^2)}{12} &= \dfrac{5({\color{Red}\bcancel {{\color{black}2^2}}})}{3({\color{Red}\bcancel {{\color{black}2^2}}})}\\[15pt] &=\color{brown} \dfrac{5}{3} \end{aligned}$$

Se descompone el 12 en sus factores primos y por ser potencias idénticas, se pueden dividir los coeficientes y simplificar las potencias aplicando las propiedades.

Se puede observar que el resultado es $\color{brown}\dfrac{5}{3}$.

Simplificar expresiones con potencias

Para simplificar expresiones aritméticas racionales con potencias, se aplican las propiedades tanto al numerador y al denominador y luego se simplifica (si es posible).

Ejemplos de simplificación de expresiones con potencias

Ejemplo 1: Se aplican las propiedades de las potencias al numerador y al denominador.

$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{2(3^3)^\frac{1}{3}\cdot5(3^2)^2\cdot3(3^2)^\frac{5}{2}}{3(3^2)^2\cdot4(3^\frac{1}{2})^2\cdot5(3^4)^\frac{1}{2}}&=\dfrac{2(3)\cdot5(3^4)\cdot3(3^5)}{3(3^4)\cdot4(3)\cdot5(3^2)}\\[15pt] &=\dfrac{\quad {\color{Red}\bcancel {{\color{black}30}}}(3^{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}10}}}})}{\quad {\color{Red}\bcancel {{\color{black}60}}}({\color{Red}\bcancel {{\color{black}3^7}}})} \end{aligned}$$

Se multiplican los coeficientes, luego por ser potencias de la misma base, se suman sus exponentes y finalmente se simplifica.

$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{2(3^3)^\frac{1}{3}\cdot5(3^2)^2\cdot3(3^2)^\frac{5}{2}}{3(3^2)^2\cdot4(3^\frac{1}{2})^2\cdot5(x^4)^\frac{1}{2}}&=\dfrac{\quad {\color{Red}\bcancel {{\color{black}30}}}(3^{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}10}}}})}{\quad {\color{Red}\bcancel {{\color{black}60}}}({\color{Red}\bcancel {{\color{black}3^7}}})}\\[15pt] &=\dfrac{3^3}{2}\\[15pt] &=\color{brown}\dfrac{27}{2} \end{aligned}$$

Ejemplo 2: Para simplificar expresiones con variables, se procede de igual forma. En el ejemplo se puede ver el procedimiento.

$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{2(x^3)^\frac{1}{3}\cdot5(x^2)^2\cdot3(x^2)^\frac{5}{2}}{3(x^2)^2\cdot4(3^\frac{1}{2})^2\cdot5(x^4)^\frac{1}{2}}&=\dfrac{2(x)\cdot5(x^4)\cdot3(x^5)}{3(x^4)\cdot4(3)\cdot5(x^2)}\\[15pt] &=\dfrac{\quad {\color{Red}\bcancel {{\color{black}30}}}(x^{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}10}}}})}{\quad {\color{Red}\bcancel {{\color{black}60}}}({\color{Red}\bcancel {{\color{black}x^7}}})} \end{aligned}$$

$\dfrac{2(3^3)^\frac{1}{3}\cdot5(3^2)^2\cdot3(3^2)^\frac{5}{2}}{3(3^2)^2\cdot4(3^\frac{1}{2})^2\cdot5(3^4)^\frac{1}{2}}=\color{brown}\dfrac{x^3}{2}$

Se cambió el $3$ por la "$x$" para mostrar que se procede de las misma forma.

Con lo que estudiaste en los ejemplos anteriores, estas en capacidad de resolver los siguientes ejercicios.

1. $\hspace{0.1cm}\left( \dfrac {2}{3}\right) ^{-3}+\dfrac {5}{2^{2}}-\left( \dfrac {3}{2}\right)^{2}\cdot \left( \dfrac {1}{2}\right)\\[0.3cm]$

2. $\hspace{0.1cm}3\left[ \left( 2\cdot 3\right) ^{-1}\cdot \dfrac {1}{2^{3}}\right] ^{-1}\left(3\cdot 2\right) ^{-2}\\[0.3cm]$

3. $\hspace{0.1cm}\left\{ \left( \dfrac {3^{2}}{2}\right) ^{2}\left[ \dfrac {3^{3}}{2^{2}}\cdot \left( \dfrac {3}{2}\right) ^{-1}\right] ^{-2}\right\} ^{-1}\\[0.3cm]$

4. $\hspace{0.1cm}\left[ \dfrac {\left[ \left( 2\cdot \dfrac {3}{9}\right) \div 3\right]^{-2}}{\left( \dfrac {9}{4}\right) ^{2}\cdot \left( \dfrac {5}{2}\right) ^{-1}}\right]^{-1}\\[0.3cm]$

5. $\hspace{0.1cm}\dfrac {a^{2}\left( 2^{3}\cdot C^{-2}\right) }{\left[ \left( \dfrac {a}{2}\right)^{3}\right] ^{-2}}-2\left[ \dfrac {c}{\left( a^{2}\cdot 2^{-1}\right) ^{2}}\right] ^{-2}\\[0.3cm]$

6. $\hspace{0.1cm}\dfrac {3^{-1}+2^{-1}}{2^{-1}-3^{-1}}\\[0.3cm]$

7. $\hspace{0.1cm}\left( \dfrac {a^{-2}+a^{-1}\cdot b^{-1}}{a^{-2}-a^{-1}\cdot b^{-1}}\right)^{-1}\\[0.3cm]$

El primer intento por representar números demasiados grandes fue emprendido por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrito en su obra El contador de Arena en el siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos.

A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939). (Wikilibros, 2019)

En la siguiente escena interactiva, adaptada de Juan Guillermo Rivera Berrío para el presente libro, podrás interactuar y mediante emparejamiento, recordarás y poner a prueba los conocimientos adquiridos.

Practiquemos

En la siguiente escena interactiva, podrás comprobar lo que has aprendido sobre potencias, poniendo a prueba tus conocimientos con 8 preguntas que debes responder en 5 minutos.

Radicación

La expresión $\LARGE\color{brown}\sqrt [b] {c^a}$, que representa la raíz $ n-\text ésima$ principal de $c$ se llama radical, el entero $b$ es el índice del radical y el número real $c$ se llama radicando, con un exponente $a$. Si el índice b es 2, normalmente se omite del radical.

Para convertir expresiones radicales en potencias, debes tener cuenta la siguiente imagen para su conversión.

Expresión en Radicales

$\LARGE\color{brown}\sqrt [b] {c^a}$

Expresión en Exponentes

$\LARGE\color{brown}c^{\frac {a}{b}}$

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Miguel Angel Cabezón Ochoa, podrás analizar las propiedades de los radicales para convertir radicales en potencias en cada uno de los ejercicios propuestos. Analiza las indicaciones de la página anterior.

Ejemplos con radicales

$\sqrt {125}=\sqrt {5^2\cdot5}=\color{brown}5\sqrt {5}$

$\sqrt [5] {-32}=\sqrt [5] {-2^5}=\color{brown}-2$

$\sqrt [3] {125}=\sqrt [3] {5^3}=\color{brown}5$

$\sqrt [4] {\dfrac{1}{81}}=\dfrac{\sqrt [4]{1}}{\sqrt[4]{3^4}}=\color{brown}\dfrac{1}{3}$

Propiedades de la Radicación

En la Tabla 7, se resumen las propiedades de la radicación y las podrás utilizar para realizar las actividades propuestas en la siguiente escena interactiva.

Tabla 7. Propiedades de la radicación

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Hernán Darío Ortiz Alzate, puedes interactuar y comprender la relación entre la radicación y la potenciación.

Operaciones con expresiones Radicales

En las siguientes escenas interactivas, diseñadas por Carlos Rojas Hincapié, puedes realizar sumas o restas de expresiones radicales, teniendo en cuenta que debes convertirlas en expresiones semejantes (mismo índice y mismo radicando). Intenta encontrar la solución con la ayuda de la escena "Descomposición factorial del número" diseñada por Eduardo Barbero Corral.

Antes de pasar a la siguiente página, te recomiendo que analices los siguientes ejemplos.

Ejemplos de suma y resta de expresiones radicales

Ejemplo 1: Para la primera escena interactiva, si el ejemplo fuera.

$\sqrt {810}+4\sqrt {10}$

$$\color{black}\begin{aligned} \sqrt {810}+4\sqrt {10}&=\sqrt {2\cdot3^4\cdot5}+4\sqrt {10}\\[40pt] &=9\sqrt {10}+4\sqrt {10}\\[35pt] &=\color{brown}13\sqrt {10} \end{aligned}$$

Con la ayuda de la escena interactiva "Descomposición factorial del número", busca los factores primos de 810.

Observa que $810=2\cdot3^4\cdot5$, por lo que sale el $3^2=9$, quedando $\sqrt {2\cdot5}=\sqrt{10}$ dentro del radical. Ahora puedes sumar radicales semejantes.

Luego de realizar los cálculos, puedes presionar "SOLUCIÓN" en la escena interactiva y confirmar el resultado.

Realiza el procedimiento anterior y continua con otros ejercicios propuestos en la escena interactiva.

Ejemplo 2: Para la segunda escena interactiva, si el ejercicio fuera.

$$2\sqrt {512}-\sqrt {128}$$

$$\color{black}\begin{aligned} 2\sqrt {512}-\sqrt {128}&=2\sqrt {2^9}-\sqrt {2^7}\\[50pt] &=2\cdot2^4\sqrt {2}-2^3\sqrt {2}\\[60pt] &=32\sqrt {2}-8\sqrt {2}\\[50pt] &=\color{brown}24\sqrt {2} \end{aligned}$$

Con la ayuda de la escena interactiva "Descomposición factorial del número", busca los factores primos de 512 y 128.

Observa que $512=2^9$, por lo que sale el $2^4=16$, quedando $\sqrt {2}$ dentro del radical y para el $128=2^7$ sale el $2^3$, quedando el $2$ dentro del radical. Ahora puedes restar radicales semejantes.

Luego de realizar los cálculos anteriores, puedes presionar "SOLUCIÓN" en la escena interactiva y confirmar el resultado.

Realiza el procedimiento anterior y continua con otros ejercicios propuestos en la escena interactiva diseñada por Carlos Rojas Hincapié.

Luego de analizar los dos ejemplos anteriores, estas preparado para resolver los ejemplos y ejercicios que se proponen en las siguientes escenas interactivas. Recuerda hacer uso de la escena "Descomposición factorial del número" para que puedas obtener las respuestas acertadas.

En caso de presentarse algún error, la escena interactiva mostrará el procedimiento.

Ejemplos de producto y división de expresiones radicales

Para multiplicar dividir expresiones radicales que tienen diferente índice, es conveniente convertir las expresiones en forma de potencias, amplificar los exponentes para que queden con el mismo denominador

Ejemplo 1: $\hspace{0.1 cm}\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{3}$

$$\color{black}\begin{aligned} \sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{3}&=2^\frac{1}{2}\cdot3^\frac{1}{3}\\ &= 2^\frac{3}{6}\cdot3^\frac{2}{6} \\ &= \left(2^3\cdot3^2\right)^\frac{1}{6}\\ &= \left(8\cdot9\right)^\frac{1}{6} \end{aligned}$$

$\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{3}=2^\frac{1}{2}\cdot3^\frac{1}{3}= \sqrt[6]{72}$

Ejemplo 2: $\hspace{0.1 cm}\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}}$

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{3}}&=\cfrac{2^\frac{1}{2}}{3^\frac{1}{3}}\\ &= 2^\frac{3}{6}\cdot3^\frac{2}{6} \\ &= \left(2^3\cdot3^2\right)^\frac{1}{6}\\ &= \left(8\cdot9\right)^\frac{1}{6} \end{aligned}$$

$\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{3}= \sqrt[6]{72}$

Simplificación de expresiones radicales

Para simplificar expresiones radicales, debe tener en cuenta lo siguiente:

Finalmente dividir el índice del radical y el radicando, por el M.C.D encontrado en el numeral anterior, para simplificar.

Ejemplos de simplificación de expresiones radicales

Ejemplo 1:$\;\;\sqrt [10] {6561}$

$$\color{black}\begin{aligned} \sqrt [10] {6561}&=\sqrt [10] {3^8}\\[15pt] &=\sqrt [\frac{10}{2}] {(3)^\frac{8}{2}}\\[15pt] &=\color{brown}\sqrt [5] {3^4} \end{aligned}$$

Se descompone el $10$ y el $8$ en sus factores primos, $10 = 2 \cdot5$5 y $8 = 2^3$. El $M.C.D_{(10,8)}=2$. Se divide el índice y el exponente del radicando por 2.

Se simplifican las fracciones del índice del radical y el exponente del radicando.

Ejemplo 2: $\;\;\dfrac{\sqrt3(\sqrt{3125}+\sqrt{245})}{\sqrt{19683}+\sqrt{27}-\sqrt{2187}}$

Se descompone los radicandos en sus factores primos, se sacan las raíces y se realizan las operaciones dentro del paréntesis.

$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{\sqrt3(2\sqrt{3125}+\sqrt{245})}{\sqrt{19683}+\sqrt{27}-\sqrt{2187}}&=\dfrac{\sqrt3(2\sqrt{5^5}+\sqrt{7^2\cdot5})}{\sqrt{3^9}+\sqrt{3^3}-\sqrt{3^7}}\\[13pt] &=\dfrac{\sqrt3(2\cdot5^2\sqrt{5}+7\sqrt{5})}{3^4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3^3\sqrt{3}} \end{aligned}$$

Ahora ya se tienen radicales semejantes, se realizan las operaciones y se simplifica.

$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{\sqrt3(2\sqrt{3125}+\sqrt{245})}{\sqrt{19683}+\sqrt{27}-\sqrt{2187}}&=\dfrac{\sqrt3(50\sqrt{5}+7\sqrt{5})}{81\sqrt{3}+3\sqrt{3}-27\sqrt{3}}\\[15pt] &=\dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}\sqrt3}}}({\color{Red}\bcancel {{\color{black}57}}}\sqrt{5})}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}57}}}{\color{Red}\bcancel {{\color{black}\sqrt{3}}}}} \end{aligned}$$

$\dfrac{\sqrt3(2\sqrt{3125}+\sqrt{245})}{\sqrt{19683}+\sqrt{27}-\sqrt{2187}}=\color{brown}\sqrt{5}$

Ejemplo 3: $\;\;\dfrac{\sqrt3(\sqrt{3125}-\sqrt{245})}{\sqrt{19683}-\sqrt{27}+\sqrt{2187}}$

Se descompone los radicandos en sus factores primos, se sacan las raíces y se realizan las operaciones dentro del paréntesis.

$$\color{black}\begin{aligned} &=\dfrac{\sqrt3(5^2\sqrt{5}-7\sqrt{5})}{3^4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+3^3\sqrt{3}}\\[13pt] &=\dfrac{\sqrt3(25\sqrt{5}-7\sqrt{5})}{81\sqrt{3}-3\sqrt{3}+27\sqrt{3}}\\[13pt] &=\dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}\sqrt3}}}({\color{Red}\bcancel {{\color{black}18}}}\sqrt{5})}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}105}}}{\color{Red}\bcancel {{\color{black}\sqrt{3}}}}} \end{aligned}$$

$\dfrac{\sqrt3(\sqrt{3125}-\sqrt{245})}{\sqrt{19683}-\sqrt{27}+\sqrt{2187}}=\color{brown}\dfrac{6\sqrt{5}}{35}$

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Miguel Angel Cabezón Ochoa, podrás analizar las propiedades de los radicales para simplificar los ejercicios propuestos.

NOTA: En algunos ejercicios en más conveniente expresar los radicales en forma de exponentes, aplicar las propiedades y simplificar.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Miguel Angel Cabezón Ochoa, podrás analizar las propiedades de los radicales para simplificar el índice con el exponente del radicando en los ejercicios propuestos.

Racionalización

Cuando se trata de racionalizar, por lo general se trata de eliminar los radicales que se presenten en los denominadores. Para hacerlo se debe multiplicar el radical por una fracción que lo elimine o hacer uso de la conjugada. Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Miguel Angel Cabezón Ochoa, podrás analizar las propiedades de los radicales para racionalizar los ejercicios propuestos.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Miguel Angel Cabezón Ochoar, podrás analizar las propiedades de los radicales para racionalizar los ejercicios propuestos.

Cuando se presenten binomios, en el numerador o en el denominador y se busque racionalizar, se debe multiplicar por la conjugada.

No olvides que para obtener la conjugada, se le cambia el signo al segundo término del binomio que se desee racionalizar.

Con lo que estudiaste en los ejemplos anteriores, estas en capacidad de resolver los siguientes ejercicios.

1. $\hspace{0.1cm}\left( \dfrac {2}{3}\right) ^{-3}+\dfrac {5}{2^{2}}-\left( \dfrac {3}{2}\right)^{2}\cdot \left( \dfrac {1}{2}\right)\\[0.3cm]$

2. $\hspace{0.1cm}3\left[ \left( 2\cdot 3\right) ^{-1}\cdot \dfrac {1}{2^{3}}\right] ^{-1}\left(3\cdot 2\right) ^{-2}\\[0.3cm]$

3. $\hspace{0.1cm}\left\{ \left( \dfrac {3^{2}}{2}\right) ^{2}\left[ \dfrac {3^{3}}{2^{2}}\cdot \left( \dfrac {3}{2}\right) ^{-1}\right] ^{-2}\right\} ^{-1}\\[0.3cm]$

4. $\hspace{0.1cm}\left[ \dfrac {\left[ \left( 2\cdot \dfrac {3}{9}\right) \div 3\right]^{-2}}{\left( \dfrac {9}{4}\right) ^{2}\cdot \left( \dfrac {5}{2}\right) ^{-1}}\right]^{-1}\\[0.3cm]$

5. $\hspace{0.1cm}\dfrac {a^{2}\left( 2^{3}\cdot C^{-2}\right) }{\left[ \left( \dfrac {a}{2}\right)^{3}\right] ^{-2}}-2\left[ \dfrac {c}{\left( a^{2}\cdot 2^{-1}\right) ^{2}}\right] ^{-2}\\[0.3cm]$

6. $\hspace{0.1cm}\dfrac {3^{-1}+2^{-1}}{2^{-1}-3^{-1}}\\[0.3cm]$

7. $\hspace{0.1cm}\left( \dfrac {a^{-2}+a^{-1}\cdot b^{-1}}{a^{-2}-a^{-1}\cdot b^{-1}}\right)^{-1}\\[0.3cm]$

Practiquemos

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Miguel Angel Cabezón Ochoa, podrás analizar las propiedades de los radicales para simplificar.

Amplia la escena interactiva y trata de resolver los 10 ejercicios propuesto, sin olvidar los índices radicales de cada uno de los ejercicios propuestos.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ALGEBRA

Expresiones algebraicas

Una variable es una letra que representa a cualquier número de un conjunto dado de números. Si empezamos con variables $x,y,z$ y algunos números reales, y los combinamos usando la resta, multiplicación, división, potencias y raíces obtenemos una expresión algebraica.

Un monomio es una expresión de la forma $ax^k$, donde $a$, es el coeficiente y por lo general un número real, la $x$ representa la variable y la $k$ el exponente de la expresión algebraica. Dicho valor representa el grado del polinomio y la cantidad de términos su nombre.

Un polinomio de grado $n$ en la variable $x$ es cualquier expresión algebraica de la forma, $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$, con $n=\not0$ , donde $n$ es un número no negativo y $a_i{i}=0,1,2,\cdots{n}$, números reales.

Propiedades de las expresiones algebraicas

Las operaciones de suma y producto definidas en las expresiones algebraicas (números y letras - variables), cumplen las mismas propiedades de los números reales. Veamos algunas de ellas: Sean $a$, $b$ y $c$ números reales cualesquiera.

En la Tabla 8, se resumen las propiedades de las expresiones algebraicas y las podrás utilizar para realizar las actividades propuestas en la siguientes escenas interactiva.

Tabla 8. Propiedades de las expresiones algebraicas.

El sistema de numeración binario o digital (base=2), utiliza el 0 y el 1 para la representación de un determinado número por medio de un polinomio, el cual representa un lenguaje máquina, que después puede ser utilizado a mayor escala por los desarrolladores en un lenguaje de programación.

En la informática es apropiado para definir si por un circuito pasa o no una descarga eléctrica, siendo el cero (0) la respuesta negativa y el uno (1) la respuesta afirmativa.

A continuación se ilustra la forma de convertir un número natural en su representación binaria:

En las siguientes escenas interactivas, diseñadas por Miguel Angel Cabezón Ochoa, podrás jugar al adivino y darte cuenta la importancia de los polinomios y sus propiedades en la vida cotidiana.

Para el primer juego de adivino, elige inicialmente la figura , que corresponde a la figura número 31 del juego, iniciando su conteo en cero para la primer imagen. Al terminar el juego, te darás cuenta que corresponde a la figura seleccionada.

En la escena interactiva anterior, elige la misma figura , que habías elegido y compara el resultado obtenido.

Con las expresiones algebraicas se pueden representar infinidad de cálculos matemáticos, a continuación encontrarás algunas escenas diseñadas por Juan Guillermo Rivera y otros que dan cuenta de ello.

Los polinomios, no son sólo herramientas para la solución de ecuaciones, son una necesidad para la aplicación de fórmulas en el cálculo de áreas y volúmenes.

En las siguientes escenas interactivas, tendrás la oportunidad de buscar la solución a diferentes situaciones y en caso de no acertar, puedes encontrar ayuda en los botones diseñados para tal fin.

Operaciones entre expresiones algebraicas no racionales

Cuando se realicen las operaciones entre expresiones algebraicas, se deben tener cuenta las propiedades que se vieron en la página 96 o puedes hacer click en la Tabla 8 para recordarlas.

Ejemplos de suma, resta y producto de expresiones algebraicas

A continuación se realizarán algunos ejemplos para la suma, resta y producto de expresiones algebraicas. La división se explicará más adelante.

Sean los polinomios: $P(x) = ( x^3 - 6x^2 + 2x + 4 )\wedge Q(x) = ( 6x^2 + 2x + 4 )$

Suma:$P(x) + Q(x)$

$x^3 - {\color{Red}\bcancel {{\color{black}6x^2}}} + 2x + 4$

$\underline{\hspace{0.8cm}{\color{Red}\bcancel {{\color{black}6x^2}}} + 2x + 4}$

${\hspace{1.8cm}\color{brown}4x + 8}$

Se recomienda ubicar un polinomio debajo del otro para que se facilite la suma de los términos semejantes.

Resta: P(x) - Q(x)

$x^3 - 6x^2 + {\color{Red}\bcancel {{\color{black}2x}}} + {\color{Red}\bcancel {{\color{black}4}}}$

$\underline{\hspace{0.5cm}-6x^2 - {\color{Red}\bcancel {{\color{black}2x}}} - {\color{Red}\bcancel {{\color{black}4}}}}$

${\color{brown}x^3 - 12x^2}$

Se recomienda ubicar un polinomio debajo del otro para que se facilite la suma de los términos semejantes. No debes olvidar cambiar todos los signos a Q(x), el segundo polinomio.

Producto:$\;\;P(x)\cdot Q(x)$

$(x^3-6x^2+2x+4)\cdot(6x^2+2x+4)$

$\hspace{0.1cm}6x^5+2x^4+\;\;4x^3$

$\hspace{0.6cm}-36x^4-{\color{Red}\bcancel {{\color{black}12x^3}}}-{\color{Red}\bcancel {{\color{black}24x^2}}}$

$\hspace{2cm}{\color{Red}\bcancel {{\color{black}12x^3}}}+\;\;4x^2+8x$

$\underline{\hspace{3.1cm}{\color{Red}\bcancel {{\color{black}24x^2}}} +8x+16}$

$\color{brown}6x^5-32x^4+4x^3+\;\;4x^2+16x+16$

Se aplica la propiedad distributiva y se ubican los términos semejante, uno debajo del otro. No debes olvidar hacer la operación de los signos.

Ejemplos de suma y resta de polinomios

Utiliza la siguiente escena interactiva, diseñada por Carlos Rojas Hincapié, para resolver los siguientes ejemplos.

1. $\;\;( -5x - y - 6 ) + ( x + 4y -4 )$

2. $\;\;( -5x - 6y - 9 ) - ( 9x - 6y - 1 )$

3. $\;\;( 3x^3 - 5x^2 + 7x - 9 ) +( 2x^3 - 2x + 4 )$

4. $\;\;( x^3 - 6x^2 + 2x + 4 ) +( 6x^2 + 2x + 4 )$

5. $\;\;( 6x^2 + 2x + 4 ) - ( - 2x^2 + 4x - 5 )$

6. $\;\;( 7x^3 + 12x^2 - 5x + 8 ) + ( 8x^3 - 27x^2 + 20x - 23 )$

7. $\;\;( 7x^3 - 12x^2 + 5x - 8 ) - ( -8x^3 + 27x^2 - 20x + 23 )$

No te inquietes al resolver los dos primeros ejemplos, por estar en términos de $x \wedge y$. Recuerda que sólo tienes que sumar o restar los coeficientes de los términos semejantes y para hacerlo con la escena interactiva, asume que x ocupa el espacio de $x^2 \wedge y$, ocupa el espacio de $x$. Recuerda que si vas a restar, debes cambiar los signos del segundo polinomio.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Telesecundaria, podrás jugar al adivino y darte cuenta la importancia de los polinomios y sus propiedades.

Productos notables

Ciertos productos de binomios se presentan con tanta frecuencia que debes aprender a reconocerlos. Empezamos con el producto de dos binomios:

Producto de dos binomios de la forma $\left(x + a\right)\left(x + b\right)$

$\left(x + a\right)\left(x + b\right)= x^2 + \left(a + b\right)x + ab$

$\left(ax^n + b\right)\left(cx^n + d\right)= acx^{2n} + \left(ad + bc\right)x^n + bd$

Ejemplos del Producto de dos binomios

1. $\;\;(x + 3)(x + 2)$

Se aplica la definición de Producto de dos binomios y se realizan las operaciones.
$\color{black}\begin{aligned} \left(x + 3\right)\left(x + 2\right)&=x^2 + \left(3 + 2\right)x + \left(3 \cdot2\right) \end{aligned}$

$\left(x + 3\right)\left(x + 2\right)=\color{brown}x^2 + 5x + 6$

2. $\;\;(x - 3)(x + 2)$

Se tiene en cuenta la ley de los signos y se realizan las operaciones.

$$\left(x - 3\right)\left(x + 2\right)=x^2 + \left(-3 + 2\right)x + \left(-3 \cdot2\right)$$

$\left(x - 3\right)\left(x + 2\right)=\color{brown}x^2 - x - 6$

1. $\;\;(5x + 3)(2x + 2)$

$\hspace{0.2cm}\left(5x + 3\right)\left(2x + 2\right)=\hspace{0.2cm}\color{brown}10x^2 + 16x + 6$

2. $\;\;(5x - 3)(2x + 2)$
$\color{black}\begin{aligned} \hspace{0.2cm}\left(5x + 3\right)\left(2x + 2\right)&=(5\cdot2)x^2 + [\left(5 \cdot 2\right) +\left(-3 \cdot 2\right)]x + \left(-3 \cdot2\right) \end{aligned}$

$\hspace{0.2cm}\left(5x + 3\right)\left(2x + 2\right)=\hspace{0.2cm}\color{brown}10x^2 + 4x - 6$

Binomio al cuadrado $\left(a\pm b\right)^2$

$\left(a\pm b\right)^2= a^2\pm 2ab + b^2$

Se lee así:

Cuadrado de la primera cantidad, más o menos dos veces la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda.

En las siguientes escenas interactivas, diseñadas por Miguel Angel Cabezón Ochoa, podrás analizar la definición del cuadrado de la suma y diferencia de polinomios.

Pulsa los botones para analizar las escenas en forma individual, rebobinar, pausar, adelantar o retroceder.

Al utilizar los dos últimos botones, para iniciar la escena interactiva y pausarla, podrás observar que se aplica la propiedad distributiva y posteriormente se suman los términos semejantes

Ejemplos de Binomio al cuadrado

Se aplica la definición del cuadrado de un binomio y las propiedades de las potencias..

1. $\;\;\left(x^2 + y^2\right)^2$

$\hspace{0.2cm}\left(x^2 + y^2\right)^2=\hspace{0.2cm}\color{brown}x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

1. $\;\;\left(x^2 - y^2\right)^2$

$\hspace{0.2cm}\left(x^2 - y^2\right)^2=\hspace{0.2cm}\color{brown}x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

2. $\;\;\left(m + n\right)^2=\color{brown}m^2 + 2mn + n^2$

Producto de la suma por la diferencia $\left(x + a\right)\left(x -a\right)$

En la siguiente escena interactiva, adaptada de José Rosas, podrás analizar la definición del producto de la suma por la diferencia.

De la escena interactiva anterior, se puede concluir que:

$\left(a+b\right)\left(a-b\right)= a^2 -b^2$

Por lo anterior, podemos decir que:

El producto de la suma por la diferencia es igual a elevar cada uno de los términos de la diferencia, al cuadrado.

Ejemplos del Producto de la suma por la diferencia

1. $\;\;\left(2x + 3y\right)\left(2x - 3y\right) = 4x^2 - 9y^2$

2. $\;\;\left(6m + 5n\right)\left(6m - 5n\right) = 36m^2 - 25n^2$

3. $\;\;\left(5a + 3b\right)\left(5a - 3b\right) = 25a^2 - 9b^2$

Se aplica la definición del Producto de la suma por la diferencia.

Binomio al cubo $\left(a\pm b\right)^3$

$\left(a\pm b\right)^3= a^3 \pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$

Cubo de la primera cantidad, más o menos tres veces el cuadrado de la primera por la segunda, más tres veces la primera por el cuadrado de la segunda, más o menos el cubo de la segunda cantidad.

Ejemplos de Binomio al cubo

Se aplica la definición del cubo de un binomio, se utilizan las propiedades de las potencias y se realizan las operaciones.

1. $\;\;\left(x + 2\right)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3$

$\left(x + 2\right)^3=\color{brown}x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

2. $\;\;\left(x - 2\right)^3 = x^3 - 3x^2(2) + 3x(2)^2 - 2^3$

$\left(x - 2\right)^3=\color{brown}x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

1. $\hspace{0.2cm}\left(2m - 3\right)^3 = (2m)^3 - 3(2m)^2(3) + 3(2m)(3)^2 - 3^3$

$\left(2m - 3\right)^3=\color{brown}8m^3 - 36m^2 + 54m - 27$

2. $\hspace{0.2cm}\left(2t + 1\right)^3 = (2t)^3 + 3(2t)^2(1) + 3(2m)(1)^2 + 1^3$

$\left(2t + 1\right)^3=\color{brown}8t^3 + 12t^2 + 6t + 1$

3. $\hspace{0.2cm}\left(2t - 1\right)^3 = (2t)^3 - 3(2t)^2(1) + 3(2m)(1)^2 - 1^3$

$\left(2t - 1\right)^3=\color{brown}8t^3 - 12t^2+ 6t - 1$

4. $\hspace{0.2cm}\left(z + 2\right)^3 = z^3 + 3z^2(2) + 3z(2)^2 + 2^3$

$\left(z + 2\right)^3=\color{brown}z^3 + 6z^2 + 12z + 8$

5. $\hspace{0.2cm}\left(z - 2\right)^3 = z^3 - 3z^2(2) + 3z(2)^2 - 2^3$

$\left(z - 2\right)^3=\color{brown}z^3 + 6z^2 + 12z + 8$

6. $\hspace{0.2cm}\left(2m + n\right)^3 = 8n^3 - 3(2m)^2(n) + 3(2m)(n)^2 + n^3$

$\left(2m + n\right)^3=\color{brown}z^3 + 6z^2 + 12z + 8$

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Miguel Angel Cabezón Ochoa, podrás analizar la definición del cubo de la suma de polinomios. Recuerda que para la diferencia, es el mismo procedimiento y sólo se alternan los signos (+ - + -) para el segundo factor.

Trinomio al cuadrado $\left(ax + by + c\right)^2$

$\left(ax + by + c\right)^2 = (ax)^2 +2(ab)xy+2(ac)x+(by)^2+2(bc)y+c^2$

Por lo anterior, podemos decir que:

El el trinomio cuadrado, es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera por la segunda, más dos veces la primera por la tercera, más el cuadrado de la segunda, más dos veces la segunda por la tercera, más el cuadrado de la tercera.

Ejemplos de Trinomio al cuadrado

1. $\;\;\left(x + y + 9\right)^2 = x^2 + 2xy + 2x (9) + y^2 + 2y (9) + 9^2$

$\left(x + y + 9\right)^2 =\color{brown}x^2 + 2xy + 18x + y^2 + 18y + 81$

2. $\hspace{0.2cm}\left(x - y + 9\right)^2 = x^2 + 2x(-y) + 2x (9) + (-y)^2 + 2 (-y) (9) + 9^2$

$\left(x - y + 9\right)^2=\color{brown}x^2 - 2xy + 18x + y^2 - 18y + 81$

3. $\hspace{0.2cm}\left(x - y - 9\right)^2 = x^2 + 2x(-y) + 2x (-9) + 2 (-y)(-9) + (-y)^2 + (-9)^2$

$\left(x - y - 9\right)^2=\color{brown}x^2 - 2xy - 18x + y^2 - 18y + 81$

1. $\hspace{0.2cm}\left(m - n + 7\right)^2 = m^2 + 2m(-n) + 2m (7) + (-n)^2 + 2 (-n)(-7) + (7)^2$

$\left(m - n + 7\right)^2=\color{brown}m^2 - 2mn + 14m + n^2 - 14n + 49$

2. $\hspace{0.2cm}\left(m + n + 7\right)^2 = m^2 + 2m(n) + 2m (7) + (n)^2 + 2 (n)(7) + (7)^2$

$\left(m + n + 7\right)^2=\color{brown}m^2 + 2mn + 14m + n^2 + 14n + 49$

3. $\hspace{0.2cm}\left(m + n - 7\right)^2 = m^2 + 2,(n) + 2m (-7) + (n)^2 + 2 n (-7) + (-7)^2$

$\left(m + n - 7\right)^2=\color{brown}m^2 + 2mn - 18m + n^2 - 18n + 81$

Se aplica la definición del Trinomio Cuadrado y se realizan las operaciones indicadas.

En la siguiente escena interactiva sólo tienes que seleccionar el producto notable con el que desees practicar, puedes cambiar a otra expresión pulsando "Otro ejercicio", utiliza tu cuaderno para resolver los ejercicios planteados e ingresa los resultados. Para ingresar los exponentes, presiona Alt ( sostenido ) y 94, libera el Alt y luego digita el valor del exponente.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Adrián, podrás analizar la definición del producto de la suma por la diferencia.

División de polinomios

Antes de intentar realizar una división de polinomios, es conveniente recordar los términos de la división.

Propiedades de la división de polinomios

Prueba de la división

Al producto del cociente ($C$) por el divisor ($d$), se le suma el residuo ($R$) y tiene que ser igual al dividendo ($D$).

Ejemplos de la división y su prueba

Prueba:

$C \times d + R = D$

$3 \cdot 5 + 2 = 17$

$15 + 2 = 17$

$C \times d + R = D$

$6 \cdot 4 + 1 = 17$

$24 + 1 = 17$

Observa que en el ejemplo 1, en la división se busca un número en el cociente "$C$" que al multiplicarlo por el divisor "$d$", sea igual o se acerque al dividendo. El número que más se acerca es el tres, ya que $5\cdot3=15$ y es el que más se acerca al $17$. Tienes que tener en cuenta que el producto $15$, pasa con signo contrario.

Lo anterior va ser de mucha utilidad, cuando estés haciendo divisiones de polinomios. En el siguiente ejemplo lo podrás evidenciar.

$\hspace{0.2cm}\dfrac{-9x^4+9x^3-14x^2+18x}{3x^2-2x}$

Siempre que vayas a realizar una división de polinomios, debes tener en cuenta ordenar los exponentes de las variables, tanto el dividendo (numerador) como el denominador (divisor) de mayor a menor grado y en caso de que falte uno, deja un espacio que puedes llenar con un cero.

En el ejemplo que se plantea, observa que el polinomio está ordenado $4$, $3$, $2$, $1$ para el dividendo y $2$, $1$ para el divisor.

Existen dos formas de hacer la división, una es la división larga y la otra la división sintética.

División larga o Euclidiana

Esta forma de división permite que el divisor sea de un grado superior a uno, mientras que la división sintética, sólo permite que el divisor sea de grado uno ($1$). Para el ejemplo que se presenta no se puede hacer la división sintética.

En el ejemplo, $P(x)=-9x^4+9x^3-14x^2+18x$ y $Q(x)=3x^2-2x$. Al finalizar el proceso de la división larga se hará la prueba, para lo cual hallaremos $F\left( x\right) =P\left( x\right) \cdot Q\left( x\right) +R\left( x\right)$, con un residuo $R(x)=0$ o el grado de $R(x)$, menor que el grado de $P(x)$.

${\color{Red}\bcancel {{\color{black}-9x^4}}}+9x^3-14x^2+18x$ $\hspace{1cm}|$ $\hspace{-0.1cm}\underline{3x^2-2x\color{white}.......}\\[3pt] \hspace{0.2cm}\underline{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}9x^4}}}-6x^3\color{white}.........................}\hspace{0.8cm}\color{brown}\underbrace{-3x^2+x-4}\\[3pt] \hspace{1.1cm}\color{black}+{\color{Red}\bcancel {{\color{black}3x^3}}}-14x^2+18x\hspace{1.2cm}\color{brown}Cociente\\[3pt] \hspace{1.1cm}\color{black}\underline{-{\color{Red}\bcancel {{\color{black}3x^3}}}+2x^2\color{white}.............}\\[3pt] \hspace{1.7cm}\color{black}-{\color{Red}\bcancel {{\color{black}12x^2}}}+18x\\[3pt] \hspace{1.7cm}\underline{+{\color{Red}\bcancel {{\color{black}12x^2}}}-\;\;8x\color{white}....}\\[3pt] \hspace{2.8cm}\color{blue}\underbrace{+10x}\\[3pt] \hspace{2.6cm}Residuo$

Prueba de la división

$F\left( x\right) =P\left( x\right) \cdot Q\left( x\right) +\color{blue}R\left( x\right)$

$F(x)=(-3x^2+x-4)\cdot(3x^2-2x)+\color{blue}10x$

$\hspace{0.1cm}-9x^4+6x^3$

$\hspace{1cm}+3x^3-2x^2$

$\underline{\hspace{1.8cm}-12x^2+8x}$

$-9x^4+9x^3-14x^2+8x+\color{blue}10x$

$F(x)=\color{brown}-9x^4+9x^3-14x^2+18x$

En la siguiente escena interactiva, adaptada de David Martínez, podrás realizar ejercicios de división de polinomios y poner en práctica los conocimientos adquiridos con la explicación y los ejemplos anteriores.

División sintética o Método de Ruffini

Para realizar la división sintética, debes tener en cuenta que el grado del divisor debe ser uno (1); de lo contrario se debe hacer la división larga.

Al realizar una división sintética de polinomios, debes hacer lo siguiente:

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Verificar que el grado del divisor sea uno (1).

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Ordenar el polinomio del dividendo de mayor a menor grado.

$\bullet\hspace{0.3cm}$ En caso de que falte algún grado en el dividendo, se debe reemplazar por un cero.

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Se despeja la variable del divisor.

$\bullet\hspace{0.3cm}$ El valor despejado (con su signo), se coloca en la parte inferior izquierda de la tabla para la división sintética.

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Se baja el coeficiente del primer término del polinomio a la parte inferior de la tabla.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Se multiplica el valor anterior por el valor despejado y que se ubico en la parte inferior izquierda.

$\bullet\hspace{0.3cm}$El resultado anterior se coloca debajo del coeficiente del segundo término de polinomio.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Se suman o se restan los valores y se repite el paso anterior.

Una vez terminado el procedimiento, se le baja un grado al polinomio inicial y se utilizan los valores obtenidos anteriormente.

Paolo Ruffini, nacido en 1765 en Valentano, Estados Papales (ahora Italia), fue un matemático, médico y filósofo. Profesor de matemáticas en la Universidad de Módena desde 1788, fue despedido por negarse al juramento de lealtad a Napoleón Bonaparte. Más tarde, en 1799, fue readmitido. En 1806 recibió la cátedra de Matemática Aplicada en la escuela militar de Módena, en 1814 fue nombrado director de la Universidad de Módena y en 1816, presidente de la Sociedad

Italiana Dei Quaranta. Su aportación más conocida en las matemáticas es la Regla de Ruffini (~1809), que permite obtener los coeficientes del cociente de un polinomio por el binomio $x - n$, siendo $n$ una de las raíces (enteras) del polinomio. Además, este método facilita, como veremos a continuación, la obtención de las raíces del polinomio. (matesfacil.com, 2019)

Continuando con los ejemplos de la división, se plantea el siguiente:

$\hspace{0.2cm}\dfrac{x^3-2x^2+5x+3}{x-1}$

El cociente $P(x)$, sería $x^2-x+4$ y con residuo $R(x)=7$

Observa que en la división sintética para obtener el cociente $P(x)$ se le bajó un grado al polinomio, por haber divido por $x-2$, esto es $\dfrac{x^3}{x}=x^2$

Prueba de la división

$F\left( x\right) =P\left( x\right) \cdot Q\left( x\right) +\color{blue}R\left( x\right)$

$F(x)=(x^2-x+4)\cdot(x-1)+\color{blue}7$

$\hspace{0.1cm}x^3-x^2$

$\hspace{0.8cm}-x^2+x$

$\underline{\hspace{1.6cm}+4x-4}$

$x^3-2x^2+5x-4+\color{blue}7$

$F(x)=\color{brown}x^3-2x^2+5x+3$

Antes de practicar en la escena interactiva, intenta realizar los siguientes ejercicios, los cuales tienen la respuesta para que puedas confrontar tu solución.

1. $\hspace{0.2cm}(3x^4-2x^2+x-3)\div(x+1)$

Respuesta:$\hspace{0.2cm}(3x^3-3x^2+x)$, con residuo $R(x)=-3$

2. $\hspace{0.2cm}(x^5-2x^3-x+1)\div(x-1)$

Respuesta:$\hspace{0.2cm}(x^4+x^3-x^2-x-2)$, con residuo $R(x)=-1$

1. $\hspace{0.2cm}(2x^3-x^2+3x-1)\div(x+2)$

Respuesta:$\hspace{0.2cm}(2x^2-5x+13)$, con residuo $R(x)=-27$

En la siguiente escena interactiva, adaptada de Matematicaula, podrás realizar ejercicios de división sintética de polinomios y poner en práctica los conocimientos adquiridos con la explicación y los ejemplos anteriores.

Practiquemos

En las siguientes escenas interactivas, adaptadas de Juan Guillermo Rivera, podrás resolver los ejercicios planteados sobre operaciones algebraicas y productos notables, para pongas a prueba tus conocimientos.

En cada escena interactiva dispones de 60 minutos para realizar los ejercicios e ir eligiendo la respuesta correcta en el cuestionario. Al finalizar tendrás la posibilidad de ingresar tu nombre y enviar las respuestas a tu docente ingresando su correo en el espacio destinado para ello.

Al solucionar los ejercicios propuestos en las escenas interactivas, estarás en capacidad de resolver los ejercicios propuestos para la sección 3.3

Opción 1. Operaciones algebraicas y productos notables.

Factorización

Factorizar es expresar un polinomio, como el producto de otros polinomios de menor grado.

Factor común

Como su nombre lo indica, es buscar los elementos comunes, tanto de los coeficientes numéricos como de las variables (literales) con su menor exponente.

Ejemplos de factor común

1. $\hspace{0.2cm}3x^2 + 6x$

$\hspace{0.2cm}3x^2 + 6x = 3x \left(\hspace{0.7cm}\right)$

$\hspace{0.2cm}3x^2 + 6x = 3x ( x + \hspace{0.3cm})$

$\hspace{0.2cm}3x^2 + 6x = 3x ( x + 2)$

Encontrar el factor común entre los coeficientes $(MCD=3)$ y entre las variables (literales), $x$. Ahora ya se tiene el primer factor. Para encontrar el segundo, se aplica la propiedad distributiva.

Qué le falta a $3x$, para que al multiplicarlo se obtenga como resultado $3x^2$?. Claro!, como ya tienes $3x$, sólo falta una $x$.

Qué le falta a $3x$, para que al multiplicarlo se obtenga como

resultado $6x$?. Claro!, como ya tienes $3x$, sólo falta un $2$.

Otro caso del factor común, es el de agrupación de términos y se deben agrupar aquellos que tengan algo el común.

1. $\hspace{0.2cm}a^2 + ab + ax + bx$

Observa que el factor común para el primer y segundo término es la $a$ y para el tercero y cuarto, es la $x$.

$a^2 + ab + ax + bx = a (\hspace{0.3cm}+ \hspace{0.3cm}) + x (\hspace{0.3cm}+ \hspace{0.3cm})$

Ahora ya se tiene los factores $a$ y $x$, procedemos a completar los paréntesis aplicando la propiedad distributiva.

$a^2 + ab + ax + bx$ = $a$$(a + b)$ + $x$$(a + b)$

Como puedes observar, ha quedado $(a + b)$, como un nuevo factor común.

$a^2 + ab + ax + bx =\color{brown}(a + b) (a + x)$

En las siguientes escenas interactivas, diseñada por Carlos Rojas Hincapié, puedes interactuar,pulsando "Otro ejemplo" e ir observando los resultados obtenidos. En la segunda escena, puedes seguir el paso a paso, ubicando los factores comunes para los coeficientes y las variables (literales), pulsar "enter" e ir observando los resultados.

Para interactuar en la siguiente escena interactiva, debes seguir el paso a paso e ir dando "enter" para continuar.

Pulsa en la figura , determina el MCD (factor numérico) y finaliza con enter.

Pulsa en la figura , selecciona cada variable para determinar el factor común entre ellas y finaliza con enter.

NOTA:

Debes recordar lo siguiente:

1. $\hspace{0.2cm}$Para encontrar el factor común entre los coeficientes (números), es necesario tener en cuenta que debes hallar el MCD, el cual lo obtienes descomponiendo todos los coeficientes en sus factores primos. El MCD entre todos, son los factores comunes con su menor exponente.

2. $\hspace{0.2cm}$Para las variables (literales), el factor común es la que tenga menor exponente.

Diferencia de cuadrados

$a^2-b^2=\left(a+b\right)\cdot\left(a-b\right)$

La diferencia de cuadrados, es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas de cada uno de sus términos.

Ejemplos de diferencia de cuadrados

Se saca raíz cuadrada a cada uno de los términos y se multiplica, la suma por la diferencia de las raíces cuadradas.

1. $\hspace{0.2cm}4m^2-9n^2$

$\hspace{0.2cm}2m\hspace{0.5cm}3n$

$\hspace{0.2cm}4m^2-9n^2=\color{brown}(2m+3n)(2m-3n)$

2. $\hspace{0.2cm}a^2-\dfrac{1}{25}=\color{brown}(a+\dfrac{1}{5})(a-\dfrac{1}{5})$

3. $\hspace{0.2cm}25a^2-\dfrac{4}{49}=\color{brown}(5a+\dfrac{2}{7})(5a-\dfrac{2}{7})$

4. $\hspace{0.2cm}\dfrac{36x^2}{81}-\dfrac{9}{64}=\color{brown}(\dfrac{6x}{9}+\dfrac{3}{8})(\dfrac{6x}{9}-\dfrac{3}{8})$

5. $\hspace{0.2cm}\dfrac{x^2}{100}-\dfrac{y^2z^4}{81}=\color{brown}(\dfrac{x}{10}+\dfrac{yz^2}{9})(\dfrac{x}{10}-\dfrac{yz^2}{9})$

6. $\hspace{0.2cm}\dfrac{1}{4}-{9a^2}=\color{brown}(\dfrac{1}{2}+{3a})(\dfrac{1}{2}-{3a})$

En la siguiente escena interactiva, adaptada de José Rosas, podrás analizar la definición de la diferencia de cuadrados.

Trinomio de la forma $x^2+bx+c$

$x^2 + bx + c = \left(x + p\right)\left(x + q\right)$

El primer término de cada factor, es la raíz cuadrada del primer término del trinomio, $bx$ es la suma de $px + qx$ y el producto de $p \cdot q$, corresponde al término independiente $c$.

Se resuelve por ensayo y error. Se buscan números que multiplicados den el término independiente (último término) y sumados o restados den el de la mitad. Es conveniente descomponer el término independiente en sus factores primos.

Ejemplos de Trinomio de la forma $\\[0.1cm]\hspace{1.5cm}x^2 + bx + c$

Se descompone el $12$ en sus factores primos.

Por la descomposición del $12$ en sus factores primos, se puede observar que $4 \times 3$, cumple con lo que se necesita. Observen que su producto equivale al último término y su suma, corresponde al término de la mitad; luego:

$\hspace{0.8cm}x^2 + 7x + 12 = \color{brown}(x + 4)(x + 3)$

Se descompone el $24$ en sus factores primos.

Por la descomposición del $24$ en sus factores primos, se puede observar que $8 \times 3$, cumple con lo que se necesita. Observen que su producto equivale al último término y su diferencia, corresponde al término de la mitad; luego:

$\hspace{0.8cm}y^2 + 5y - 24 =\color{brown}(y + 8)(y - 3)$

Se descompone el $54$ en sus factores primos.

Por la descomposición del $54$ en sus factores primos, se puede observar que $9 \times 6$, cumple con lo que se necesita. Observen que su producto equivale al último término y su diferencia, corresponde al término de la mitad; luego:

$\hspace{0.8cm}x^2 - 15x - 54 =\color{brown}(x - 9)(x - 6)$

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Rojas Hincapié, puedes interactuar, ingresando en el espacio destinado para coeficientes 1 y 2, los factores primos del término independiente que cumplen con las indicaciones dadas. Luego de ingresar los coeficientes, pulsa para cambiar los signos de los factores (por defecto se toma el signo +), y luego pulsa "verificar". Si deseas seguir practicando, pulsa "ejercicio". ¡Buena suerte!

Trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$

Como el caso anterior, se resuelve por ensayo y error; adicional se debe descomponer el coeficiente "$a$" en sus factores primos.

Ejemplos de Trinomio de la forma $\\[0.1cm]\hspace{1.5cm}ax^2 + bx + c$

$\hspace{0.3cm}\color{blue}a$

$\hspace{0.3cm}\color{brown}c$

Se colocan los factores primos de "$a$" (por lo general los más cercanos), en cada uno de los paréntesis (en este caso $3\times2$), acompañados de la raíz cuadrada de la variable y luego los factores de "$c$".

$6x^2 + 7x - 5 = \color{brown}(\color{blue}3x + \color{brown}5)(\color{blue}2x - \color{brown}1)$

Se verifica que este correcto, observa que al aplicar la propiedad distributiva se obtiene el trinomio inicial.

$\hspace{3.1cm}{\color{blue}6x^2}{\hspace{0.3cm}}\\\hspace{2.7cm}\color{blue}\overbrace{\hspace{1.3cm}}\\[-1pt] \hspace{2.6cm}\downarrow\hspace{1.1cm}\\\downarrow\color{brown}-5$ $\\[-0.2cm]\hspace{3.4cm}\color{brown}\overbrace{\hspace{1.3cm}}$ $\\[-0.1cm]\hspace{3.3cm}\color{brown}\downarrow\hspace{1.1cm}\\\downarrow$ $\\[0.2cm]\color{blue}6x^2 \color{black}+ 7x \color{brown}- 5 = \color{black}(\color{blue}3x + \color{brown}5\color{black})(\color{blue}2x -\color{brown} 1\color{black})\\[0.2cm]\hspace{2.6cm} \color{blue}\uparrow\hspace{0.5cm}\color{brown}\uparrow\hspace{0.4cm}\color{blue}\uparrow\hspace{0.5cm}\color{brown}\uparrow$ $\\[-0.3cm]\hspace{3.35cm}\underbrace{\hspace{0.6cm}}\\[0.2cm]\color{black} \\[-0.2cm]\hspace{3.0cm}\hspace{0.4cm}10x$ $\hspace{-1.4cm}\underbrace{\hspace{2.1cm}}\\[-0.0cm]\hspace{3.2cm}-3x$

$6x^2 + 7x - 5 = \color{brown}(3x + 5)(2x - 1)$

1. $\hspace{0.2cm}24x^2 + 37x - 5$

Se abren dos paréntesis (factores), se descompone la "$a$" ($24$) y la "$c$" ($5$) en sus factores primos y se tantea la solución.

$24x^2 + 37x - 5 = (\hspace{0.35cm} + \hspace{0.35cm})(\hspace{0.35cm} - \hspace{0.35cm})$

$\hspace{0.3cm}\color{blue}a$

$\hspace{0.3cm}\color{brown}c$

Se colocan los factores primos de "$a$" (por lo general los más cercanos), en cada uno de los paréntesis (en este caso $8\times3$), acompañados de la raíz cuadrada de la variable y luego los factores de "$c$".

$\color{blue}8x\cdot\hspace{0.5cm}\color{brown}5=\color{black}40x\\[3pt] \underline{\color{blue}3x}\cdot\underline{\hspace{0.2cm}\color{brown}-1}=\underline{-3x}\\[3pt] 24x\;\hspace{0.0cm}-5\hspace{0.6cm}37x$

Como puedes observar, $8\times5 = 40$, $3\times1 = 3$ y la diferencia entre $40$ y $3$ es $37$, por lo que se debe poner negativo el $1$.

La respuesta será colocar los factores, haciendo una "$x$". Por tanto se obtiene:

$24x^2 + 37x - 5 = \color{brown}(\color{blue}8x - \color{brown}1)(\color{blue}3x + \color{brown}5)$

Para verificar si la solución es correcta, se realiza tal como se indicó en el ejemplo anterior.

$\hspace{0.3cm}\color{blue}a$

$\hspace{0.3cm}\color{brown}c$

$\color{blue}4x\cdot\hspace{0.1cm}\color{brown}-12=\color{black}-48x\\[3pt] \underline{\color{blue}2x}\cdot\underline{\hspace{0.2cm}\color{brown}-3}=\underline{\hspace{0.2cm}-6x}\\[3pt] 8x\;\hspace{0.5cm}36\hspace{0.4cm}-54x$

Como puedes observar, $4\times12 = 48$, $2\times3 = 6$ y la suma de $48$ y $6$ es $54$, por lo que se deben poner negativos el $12$ y el $3$.

La respuesta será colocar los factores, haciendo una "$x$". Por tanto se obtiene:

$\hspace{0.2cm}8b^2 - 54b + 36= \color{brown}(\color{blue}4b - \color{brown}3)(\color{blue}2b - \color{brown}12)$

A continuación encontrarás algunos ejemplos con respuesta, para que intentes resolverlos de acuerdo con las explicaciones de los ejemplos anteriores.

1. $\hspace{0.2cm}3m^2+8m+5=\color{brown}(3m+5)(m+1)$

2. $\hspace{0.2cm}30x^2+17xy-21y^2=\color{brown}(6x+7y)(5x-3y)$

3. $\hspace{0.2cm}4s^2+15s-9=\color{brown}(4s+3)(s+3)$

4. $\hspace{0.2cm}3x^2-5x-2=\color{brown}(3x+1)(x-2)$

5. $\hspace{0.2cm}8m^2-14m-15=\color{brown}(4m+3)(2m-5)$

6. $\hspace{0.2cm}5x^6+4x^3-12=\color{brown}(x^3+2)(5x^3-6)$

7. $\hspace{0.2cm}6x^2-xy-15y^2=\color{brown}(3x-5y)(2x+3y)$

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Carlos Rojas Hincapié, puedes interactuar, ingresando en los espacios a lado y lado de de los coeficientes 1 y 2 (los números corresponden al ejemplo anterior), los factores primos de "$a$" y los factores primos de "$c$" respectivamente, que cumplen con con el trinomio. Luego pulsa para cambiar los signos de los factores (por defecto se toma el signo +), y luego pulsa "verificar". Si deseas seguir practicando, pulsa "ejercicio".

Trinomio cuadrado perfecto

$a^2\pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$

Este caso corresponde a la solución del producto notable "cuadrado de un binomio" y para identificarlo, se debe tener en cuenta lo siguiente:

Ejemplos Trinomio cuadrado perfecto

Solución:

1.

2.

3.$\hspace{0.2cm}9x^4-42x^2+49=\color{brown}(3x^2-7)^2$

En la siguiente escena interactiva, adaptada de Jesús Alvarez, practica modificando el binomio al cuadrado.

En la solución debes incluir en el coeficiente de x, el número uno (1), en caso de necesitarse.

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Existen trinomios, donde el primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta, pero el término de la mitad, no es igual al doble producto de sus raíces cuadradas.

Para convertir un trinomio de esta forma, en un trinomio cuadrado perfecto, se debe sumar y restar la cantidad que haga falta para

obtener el doble producto de las raíces cuadradas del primer y último término.

Ejemplos de Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

1. $\hspace{0.2cm}a^4 + a^2 +1$

Como puedes observar, $\color{brown}\sqrt{a^4}=a^2$ y $\sqrt{1}=1$, pero su doble producto es $2(a^2)(1) = 2a^2$

$a^4 + a^2 +1 = a^4 + a^2 + 1 + a^2 - a^2$

Sumamos las $a^2$ positivas y nos queda:

$a^4 + a^2 +1 = a^4 + 2a^2 + 1 - a^2$

Ahora ya tenemos un trinomio cuadrado perfecto en los tres primeros términos y se soluciona como se explicó anteriormente y será de mucha ayuda los ejercicios que se repasaron en la escena interactiva.
$a^4 + a^2 +1 = (a^2 + 1)^2 - a^2$
Se soluciona la diferencia de cuadrados, que es igual a la suma por la diferencia de las raíces cuadradas de los dos términos. Eliminamos signos de agrupación y finalmente queda:

$a^4 + a^2 +1 = [(a^2 + 1) + a ] [(a^2 + 1) - a]$

$a^4 + a^2 +1 = \color{brown}(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)$

1. $\;\;4x^8 - 53x^4y^4 + 49y^8$

Siguiendo el procedimiento realizado en el ejemplo 1, podemos observar que se tienen raíces cuadradas exactas, para el primer y tercer término, pero para el segundo término, faltan $25x^4y^4$, por lo que se le debe sumar y restar esta cantidad.

$4x^8 - 53x^4y^4 + 49y^8 = 4x^8 - 53x^4y^4 + 49y^8 + 25x^4y^4 - 25x^4y^4$

Ahora podemos sumar los términos que se requieren para tener un trinomio cuadrado perfecto

$4x^8 - 53x^4y^4 + 49y^8 = 4x^8 - 28x^4y^4 + 49y^8 - 25x^4y^4$

Solucionando el trinomio cuadrado perfecto, quedaría:

$4x^8 - 53x^4y^4 + 49y^8 = (2x^4 - 7y^4)^2 - 25x^4y^4$

Es el momento de solucionar la diferencia de cuadrados.

$4x^8 - 53x^4y^4 + 49y^8 = [(2x^4 - 7y^4) + 5x^2y^2][(2x^4 - 7y^4) - 5x^2y^2]$

$4x^8 - 53x^4y^4 + 49y^8 = \color{brown}(2x^4 + 5x^2y^2 - 7y^4)(2x^4 - 5x^2y^2 - 7y^4)$

En la siguiente escena interactiva, podrás realizar ejercicios con Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción y pondrás en práctica los conocimientos adquiridos sobre la solución de trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados.

Diferencia de cubos

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Podemos concluir que para solucionar una diferencia de cubos, se procede de la siguiente forma:

En el primer factor se ubica la diferencia de las raíces cubicas de cada término y en el segundo factor, se toma como referencia el primero, se eleva al cuadrado el primer término, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Suma de cubos

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

De forma similar,

En el primer factor se ubica la suma de las raíces cubicas de cada término y en el segundo factor, se toma como referencia el primero, se eleva al cuadrado el primer término, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo de suma y diferencia de cubos

1. $\hspace{0.2cm}x^3-y^3=\color{brown}(x-y)(x^2+xy+y^2)$

Se aplica la definición de la diferencia de cubos.

2. $\hspace{0.2cm}27m^3 + 8n^3 = \color{brown}(3m + 2n)(9m^2 - mn + 4n^2)$

Se aplica la definición de la suma de cubos.

Ahora, en la siguiente escena interactiva, adaptada de Carlos Rojas Hincapié, podrás ver y analizar algunos ejemplos de suma y diferencia de cubos.

Practiquemos

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Miguel Angel Cabezón Ochoa, podrás realizar una prueba de conocimiento, sin limite de tiempo que te permitirá poner en practica los conocimientos adquiridos sobre operaciones con polinomios. Si requieres hacer uso de la calculadora, podrás utilizar la de Descartes, haciendo clic sobre la imagen.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por José Luis Abreu León y Valentina Muñoz Porras., podrás recordar lo que se ha visto sobre productos notables y factorización y mediante el desplazamiento de las figuras, para completar adecuadamente los rectángulos, te darás cuenta que lo que realmente harás es factorizar.

Operaciones entre fracciones algebraicas

Para realizar operaciones entre fracciones algebraicas, se deben tener en cuenta lo aprendido en las operaciones con fracciones numéricas. En caso de presentarse una suma o resta, se debe encontrar el m.c.m.

Es conveniente, antes de realizar las operaciones, factorizar y simplificar, si es posible

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Suma de fracciones algebraicas homogéneas

Se presenta cuando encontramos expresiones, tales que:

$\dfrac{P(x)}{Q(x)}+\dfrac{R(x)}{Q(x)}=\dfrac{P(x)+R(x)}{Q(x)}$

Como puedes observar, se tiene el mismo denominador.

Ejemplos de suma y resta de fracciones algebraicas homogéneas

1. $\;\;\dfrac{x^3-2}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{x^2+x+1}=\dfrac{x^3-2+1}{x^2+x+1}$

$\hspace{3.9cm}=\dfrac{x^3-1}{x^2+x+1}$

Se puede factorizar, resolviendo la diferencia de cubos .

$\hspace{1.8cm}a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$\dfrac{(x^3-1)}{(x^2+x+1)}=\dfrac{(x-1){\color{Red}\bcancel {{\color{black}(x^2+x+1)}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(x^2+x+1)}}}}$

$\dfrac{x^3-2}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{x^2+x+1}=x-1$

1. $\;\;\dfrac{x^2+5x+5}{x+3}+\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{x^2+5x+5+1}{x+3}$

$\hspace{3.5cm}=\dfrac{x^2+5x+6}{x+3}$

Se puede factorizar, resolviendo el trinomio de la forma $x^2+bx+c$

$\dfrac{x^2+5x+6}{x+3}=\dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(x+3)}}}(x+2)}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(x+3)}}}}$

$\dfrac{x^2+5x+5}{x+3}+\dfrac{1}{x+3}=x+2$

$\hspace{4cm}=\dfrac{x^3+1}{x^2-x+1}$

$\dfrac{(x^3+1)}{(x^2-x+1)}=\dfrac{(x+1){\color{Red}\bcancel {{\color{black}(x^2-x+1)}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(x^2-x+1)}}}}$

$\dfrac{x^3+2}{x^2-x+1}-\dfrac{1}{x^2-x+1}=x+1$

1. $\;\;\dfrac{x^2+4x+5}{x+2}-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{x^2+4x+5-1}{x+2}$

$\hspace{3.5cm}=\dfrac{x^2+4x+4}{x+2}$

Se puede factorizar, resolviendo el trinomio cuadrado perfecto.

$\dfrac{x^2+4x+4}{x+2}=\dfrac{(x+2)^{\color{Red}\bcancel {{\color{black}2}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(x+2)}}}}$
$\color{brown}\hspace{1.9cm}=x+2$
$\bullet\hspace{0.3cm}$ Suma de fracciones algebraicas heterogéneas

Se presenta cuando encontramos expresiones, tales que:

$\dfrac{P(x)}{Q(x)}+\dfrac{R(x)}{S(x)}=\dfrac{P(x)\cdot{S(x)}+Q(x)\cdot{R(x)}}{Q(x)\cdot{S(x)}}$

Ejemplos de suma y resta de fracciones algebraicas homogéneas

$\;\;\dfrac{1}{m+1}+\dfrac{2m}{m^2-1}-\dfrac{1}{m+1}$

Como puedes observar, se tiene distinto denominador. Para la solución, se procede a factorizar los denominadores, con el fin de obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m).

$\;\;\dfrac{1}{m+1}+\dfrac{2m}{m^2-1}-\dfrac{1}{m+1}$

$=\dfrac{1}{m+1}+\dfrac{2m}{(m+1)(m-1)}-\dfrac{1}{m+1}$

$=\dfrac{(m-1)+2m-(m+1)}{(m+1)(m-1)}$

$=\dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}m}}}-1+2m-{\color{Red}\bcancel {{\color{black}m}}}-1}{(m+1)(m-1)}$

Se suman o restan los términos semejante, según el caso.

$=\dfrac{2m-2}{(m+1)(m-1)}$

Se saca factor común en el numerador y se simplifica.

$=\dfrac{2{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(m-1)}}}}{(m+1){\color{Red}\bcancel {{\color{black}(m-1)}}}}$

$\dfrac{1}{m+1}+\dfrac{2m}{m^2-1}-\dfrac{1}{m+1}=\color{brown}\dfrac{2}{(m+1)}$

1. $\;\;\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{x-2}{x^2+4x+4}-\dfrac{x-1}{x^3+6x^2+12x+8}$

$=\;\;\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{x-2}{(x+2)^2}-\dfrac{x-1}{(x+2)^3}$

Luego de factorizar podemos observar que el m.c.m es $(x+2)^3$, se procede a realizar las operaciones.

$=\;\;\dfrac{(x+2)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)}{(x+2)^3}$

$=\;\;\dfrac{x^2+4x+4-(x^2-4)-x+1}{(x+2)^3}$

$=\;\;\dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}x^2}}}+4x+4-{\color{Red}\bcancel {{\color{black}x^2}}}+4-x+1}{(x+2)^3}$

$=\;\;\dfrac{3x+9}{(x+2)^3}$

Se saca factor común en el numerador y se simplifica.

$\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{x-2}{x^2+4x+4}-\dfrac{x-1}{x^3+6x^2+12x+8}=\color{brown}\dfrac{3(x+3)}{(x+2)^3}$

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Producto de expresiones algebraicas racionales

Se factorizan, tanto el numerador como el denominador y se simplifica. Cuando se trata de producto, al simplificar , ten en cuenta que siempre se toman los términos semejantes de los numeradores con los de los denominadores

Ejemplos de producto de expresiones algebraicas racionales

$\;\;\dfrac{x}{5x^2+21x+4}\cdot\dfrac{25x^2+10x+1}{3x^2+x}$

$=\dfrac{x}{(5x+1)(x+4)}\cdot\dfrac{(5x+1)(5x+1)}{x(3x+1)}$

Como puedes observar, el trinomio cuadrado perfecto del segundo término, se expreso como $(5x+1)(5x+1)$ para facilitar la comprensión de la simplificación

$=\dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}x}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(5x+1)}}}(x+4)}\cdot\dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(5x+1)}}}(5x+1)}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}x}}}(3x+1)}$

$\dfrac{x}{5x^2+21x+4}\cdot\dfrac{25x^2+10x+1}{3x^2+x}=\color{brown}\dfrac{(5x+1)}{(x+4)(3x+1)}$

1. $\;\;\dfrac{x^2+8x+16}{x^2-5x}\cdot\dfrac{x-5}{x^2-16}$

$\;\;\dfrac{x^2+8x+16}{x^2-5x}\cdot\dfrac{x-5}{x^2-16}=\dfrac{(x+4)^{\color{Red}\bcancel {{\color{black}2}}}}{x{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(x-5)}}}}\cdot\dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}x-5}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(x+4)}}}(x-4)}$

$\dfrac{x^2+8x+16}{x^2-5x}\cdot\dfrac{x-5}{x^2-16}=\color{brown}\dfrac{x+4}{x(x-4)}$

$\bullet\hspace{0.3cm}$ División de expresiones algebraicas racionales

De igual forma que el producto, se factorizan, tanto los numeradores como los denominadores y se simplifica. Cuando se trata de división, al simplificar , ten en cuenta que siempre se toman los términos

semejantes entre los numeradores y los denominadores.

Ejemplos de división de expresiones algebraicas racionales

1. $\;\;\dfrac{x+2}{2x-3}\div\dfrac{x^2-4}{2x^2-3x}$

$\dfrac{x+2}{2x-3}\div\dfrac{x^2-4}{2x^2-3x} =\color{brown}\dfrac{x}{(x-2)}$

2. $\;\;\dfrac{2x^2+9x+10}{x^2+4x+3}\div\dfrac{2x+5}{x+3}$
$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{2x^2+9x+10}{x^2+4x+3}\div\dfrac{2x+5}{x+3} &= \dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(2x+5)}}}\cdot(x+2)}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(x+3)}}}\cdot(x+1)}\div\dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(2x+5)}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(x+3)}}}} \end{aligned}$$

$\dfrac{2x^2+9x+10}{x^2+4x+3}\div\dfrac{2x+5}{x+3}=\color{brown}\dfrac{(x+2)}{(x+1)}$

En las siguientes escenas interactiva, diseñadas por José Luis Abreu Leon y otros, podrás:

Simplificar expresiones algebraicas, usando los productos notables para factorizar los numeradores y denominadores de los polinomios. Puedes pulsar "Solución", para ver el resultado paso a paso y si lo deseas, puedes pulsar "Ejercicio", para analizar la simplificación de otros polinomios y de esta forma ampliar los conocimientos adquiridos en las páginas anteriores.

Es recomendable que uses papel y lápiz para tratar de llegar a la solución y luego observar y analizar el ejercicio resuelto, paso a paso que se presenta en la escena interactiva.

Escena 1. Simplificar expresiones algebraicas

Realizar las operaciones con fracciones algebraicas, analizando el paso a paso de los ejercicios resueltos de las operaciones de suma y resta, producto, cociente y una serie de mezclas que te ayudarán a fortalecer los conocimientos adquiridos.

Se recomienda que uses papel y lápiz y trates de resolver los ejercicios, antes de consultar la solución.

Escena 2. Operaciones con fracciones algebraicas

Racionalización

Generalmente la racionalización consiste en utilizar operaciones matemáticas que permitan eliminar los radicales, ya sea en el numerador o en el denominador según el caso. Para ello es muy común el uso de la conjugada, que no es más que la expresión que tiene los mismos términos literales, pero se diferencian por el signo de la mitad.

Antes de aprender a racionalizar expresiones algebraicas, observa la escena interactiva, diseñada por http://matematicaula.com.es/, en la escena interactiva podrás aprender a racionalizar expresiones aritméticas.

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Racionalización del numerador

Para racionalizar el numerador, se debe multiplicar el numerador y el denominador por una expresión que al realizar las operaciones, se elimine la raíz o las raíces del numerador (la conjugada).

Recuerda que para hallar la conjugada de un binomio, debes cambiar el signo al segundo término del binomio, luego hacer una fracción con dicho binomio y multiplicarla por el racional que se desea racionalizar.

Ejemplos de racionalización de numeradores

$\;\;\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$ $$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} &= \dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\dfrac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\[15pt] \end{aligned}$$

Observa que el numerador se ha convertido en el producto de la suma por la diferencia, que nos da como resultado una diferencia de cuadrados, por lo que basta (elevar en la diferencia) cada término al cuadrado.

$\hspace{3cm}=\dfrac{\left( \sqrt {x+h}\right) ^{2}-\left( \sqrt {x}\right)^{2}}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$\hspace{3cm}=\dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}x}}}+{\color{Red}\bcancel {{\color{black}h}}}-{\color{Red}\bcancel {{\color{black}x}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}h}}}\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\color{brown}\dfrac{1}{(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{2a-3b+\sqrt {ab}} &= \dfrac{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{2a-3b+\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}\\[15pt] \end{aligned}$$

Al igual que en el ejemplo anterior, el numerador se ha convertido en el producto de la suma por la diferencia, pero en el denominador se debe aplicar la propiedad distributiva y sumar términos semejantes.

$\hspace{1.3cm}=\dfrac{\left( 2\sqrt {a}\right) ^{2}-\left( 3\sqrt {b}\right) ^{2}}{(2a-3b+\sqrt{ab})\cdot(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})}$

$\hspace{2cm}=\dfrac{ 4a-9b}{4a\sqrt{a}-6a\sqrt{b}-6b\sqrt {a}+9b\sqrt{b}+2a\sqrt{b}-3b\sqrt{a}}$

$\hspace{4cm}\uparrow\underline{\color{brown}\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4a\sqrt{b}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\hspace{0.0cm}\uparrow\\$ $\hspace{5.3cm}\uparrow\underline{\color{brown}\;\;\;\;\;\;\;\;\;-9b\sqrt{a}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\hspace{0.0cm}\uparrow\\$

$\hspace{2cm}=\dfrac{ 4a-9b}{4a\sqrt{a}-4a\sqrt{b}-9b\sqrt {a}+9b\sqrt{b}}$

Ahora se saca factor común por agrupación de términos en el denominador.

$\hspace{2cm}=\dfrac{ 4a-9b}{4a(\sqrt{a}-\sqrt{b})-9b(\sqrt {a}-\sqrt{b})}$

Nuevamente se tiene un factor común en el denominador.

$\hspace{2cm}=\dfrac{ {\color{Red}\bcancel {{\color{black}4a-9b}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(4a-9b)}}}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$

Luego de simplificar, se obtiene:

$\hspace{1cm}\dfrac{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{2a-3b+\sqrt{ab}}=\color{brown}\dfrac{1}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$

$\bullet\hspace{0.3cm}$ Racionalización del denominador

Es el más utilizado en las operaciones matemáticas, para racionalizar el denominador, se debe multiplicar el numerador y el denominador por una expresión que al realizar las operaciones, se elimine la raíz o las raíces del denominador (la conjugada).

Ejemplos de racionalización de denominadores

1. $\;\;\dfrac{{3x-4y}-\sqrt{xy}}{3\sqrt{x}-4\sqrt{y}}$ $$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{{3x-4y}-\sqrt{xy}}{3\sqrt{x}-4\sqrt{y}} &= \dfrac{{3x-4y}-\sqrt{xy}}{3\sqrt{x}-4\sqrt{y}}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}+4\sqrt{y}}{3\sqrt{x}+4\sqrt{y}}\\[15pt] \end{aligned}$$

Observa la diferencia de cuadrados en el denominador, se resuelve y se aplica la propiedad distributiva en el numerador.

$\hspace{0cm}=\dfrac{({3x-4y}-\sqrt{xy})\cdot(3\sqrt{x}+4\sqrt{y})}{\left( 3\sqrt {x}\right) ^{2}-\left(4\sqrt {y}\right) ^{2}}$

$\hspace{2.3cm}\underline{\color{brown}\hspace{1.6cm}9x\sqrt{y}\hspace{1.8cm}}{\hspace{0.5cm}}\\$ $\hspace{2.2cm}\downarrow\hspace{1.0cm}\hspace{3.1cm}\downarrow\\$

$=\dfrac{{9x\sqrt{x}+12x\sqrt{y}-12y\sqrt{x}-16y\sqrt{y}-3x\sqrt{y}-4y\sqrt{x}}}{9x-16y}$ $\hspace{3.4cm}\uparrow\underline{\color{brown}\hspace{1.3cm}-16y\sqrt{x}\hspace{1.3cm}}\hspace{0.0cm}\uparrow\\$

Se agrupan términos semejantes del numerador.

$\hspace{1cm}=\dfrac{{9x\sqrt{x}+9x\sqrt{y}-16y\sqrt{x}-16y\sqrt{y}}}{9x-16y}$

Es el momento de sacar factor común por agrupación de términos.

$\hspace{1cm}=\dfrac{{9x(\sqrt{x}+\sqrt{y})-16y(\sqrt{x}+\sqrt{y})}}{9x-16y}$

Ahora se saca factor común y se simplifica.

$\hspace{1cm}=\dfrac{{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(9x-16y)}}}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}9x-16y}}}}$

$\dfrac{{3x-4y}-\sqrt{xy}}{3\sqrt{x}-4\sqrt{y}}=\color{brown}\sqrt{x}+\sqrt{y}$

$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{a^4-2}{\sqrt{a^4-1}-1} &= \dfrac{a^4-2}{\sqrt{a^4-1}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{a^4-1}+1}{\sqrt{a^4-1}+1}\\[15pt] \end{aligned}$$

Observa la diferencia de cuadrados en el denominador, se resuelve y se aplica la propiedad distributiva en el numerador.

$\hspace{3cm}=\dfrac{a^4-2}{(\sqrt{a^4-1}-1)}\cdot\dfrac{(\sqrt{a^4-1}+1)}{(\sqrt{a^4-1}+1)}$

$\hspace{3cm}=\dfrac{(a^4-2)(\sqrt{a^4-1}+1)}{(\sqrt{a^4-1})^2-(1)^2}$

$\hspace{3cm}=\dfrac{(a^4-2)(\sqrt{a^4-1}+1)}{a^4-1-1}$

$\hspace{3cm}=\dfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}(a^4-2)}}}(\sqrt{a^4-1}+1)}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}a^4-2}}}}$

$\dfrac{a^4-2}{\sqrt{a^4-1}-1}=\color{brown}{\sqrt{a^4-1}+1}$

Después de una ardua labor aprendiendo a racionalizar numeradores y denominadores de expresiones algebraicas, es tiempo de disfrutar de un juego, diseñado por Ceferino A.. En la escena interactiva podrás aprender a pasar del lenguaje verbal al matemático expresiones que serán de utilidad para la solución de problemas en contexto de la vida cotidiana.

El reto es encestar el mayor número de balones, con el menor número de fallas.

Te puedes relajar, tratando de sacar el coche rojo de la zona de aparcamiento del puzle Rush Hour..., el puzle es una escena interactiva de un rompecabezas diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío y José R. Galo Sánchez., que hace honor a su nombre.

Practiquemos

En la siguiente escena interactiva, diseñada por José Luis Abreu Leon, podrás realizar una prueba de conocimiento, sin limite de tiempo que te permitirá poner en practica los conocimientos adquiridos sobre operaciones con polinomios. Si requieres hacer uso de la calculadora, podrás utilizar la de Descartes, haciendo clic sobre la imagen.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Miguel Angel Cabezón Ochoa, podrás practicar los diferentes casos de factorización, con gran variedad de ejercicios resueltos paso a paso.

Eudoxo demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de su misma base?

Y que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad?

Para saber más sobre éstos y otros personajes resuelve el puzle que nos presenta Juan Guillermo Rivera Berrío.

SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

Sistemas de ecuaciones algebraicas

La ecuación más básica en álgebra es la ecuación lineal y se define como $mx+b=0$, donde $m=\not 0$, luego, si

$mx+b=0$, $\;\;entonces \;\;x=-\dfrac{b}{m}$

Ecuaciones lineales
Ecuación de la línea recta
$y=mx+b,donde\begin{cases}m=Pendiente=Tan\theta \\ b=corte\;con\;el\;eje\;de\;"y"\end{cases}$

Se define la pendiente $"m"$, como la razón de cambio vertical (eje de $"y"$) con respecto a la horizontal (eje de $"x"$), por un desplazamiento sobre la recta de izquierda a derecha.

$m=\dfrac {\Delta y}{\Delta x}=\dfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
Ecuación de la línea recta dados dos puntos
La ecuación de la línea recta dados los puntos $P_{1}(x_{1},y_{1}) \wedge P_{2}(x_{2},y_{2})$, se determina por la siguiente ecuación:

$\dfrac {y-y_{1}}{x-x_{1}}=\dfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

Se debe tener en cuenta que si $y_{2}-y_{1}=0$, la pendiente es igual a cero, por lo tanto no existe pendiente y se trata de una recta horizontal. Por otro lado si $x_{2}-x_{1}=0$, la recta no esta definida.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo. Rivera Berrío y otros, podrás realizar los ejercicios que se proponen a continuación y luego verificar el resultado en la escena interactiva, sólo necesitas ingresar los puntos dados. Si requieres hacer uso de la calculadora, puedes utilizar la de Descartes, haciendo clic sobre la imagen.

1. $\hspace{0.1cm}P_{1}(2,-5)\wedge P_{1}(6,1)$

2. $\hspace{0.1cm}P_{1}(-3,-1)\wedge P_{1}(2,-2)$

3. $\hspace{0.1cm}P_{1}(5,3)\wedge P_{1}(-3,4)$

4. $\hspace{0.1cm}P_{1}(5,-3)\wedge P_{1}(5,-2)$

5. $\hspace{0.1cm}P_{1}(4,6)\wedge P_{1}(3,3)$

6. $\hspace{0.1cm}P_{1}(4,6)\wedge P_{1}(3,6)$

Analizando la escena interactiva anterior y luego de realizar los ejercicios propuestos, se puede concluir que es posible hallar la ecuación de la línea recta, dados un punto y la pendiente. Observa también que $\dfrac {y-y_{1}}{x-x_{1}}=\dfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ y que $m=\dfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$, luego:
Ecuación de la línea recta dados un punto y la pendiente
$\dfrac {y-y_{1}}{x-x_{1}}=m$

De la ecuación anterior podemos despejar $y$ y se obtiene:

Finalmente se tiene que tener en cuenta que:

Dos rectas son paralelas, cuando sus pendientes son iguales, es decir, $\color{brown}m_{1}=m_{2}$ y son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a $-1$, es decir, $\color{brown}m_{1}\cdot m_{2}=-1$

Para resolver ecuaciones, se debe tener en cuenta lo siguiente que al pasar un término o un coeficiente de un lado al otro de la igualdad, la operación cambia.

$\bullet\hspace{0.2cm}$Lo que esta sumando pasa a restar.

$\bullet\hspace{0.2cm}$Lo que esta restando pasa a sumar.

$\bullet\hspace{0.2cm}$Lo que esta multiplicando pasa a dividir y

$\bullet\hspace{0.2cm}$Lo que esta dividiendo pasa a multiplicar.

Ejemplos de ecuaciones lineales

$6x-2x=5+7$

$4x=12$

$x=\dfrac{12}{4}$

$\color{brown}x=3$

1. $\hspace{0.2cm}(8x-2)\cdot(3x+4)=(4x+3)\cdot(6x-1)$

Aplicamos la propiedad distributiva a ambos lados de la igualdad y se reducen los términos semejantes.

${\color{Red}\bcancel {{\color{black}24x^2}}}+26x-8={\color{Red}\bcancel {{\color{black}24x^2}}}+14x-3$

$26x-14x=-3+8$

$12x=5$

$\color{brown}x=\dfrac{5}{12}$

2. $\dfrac{13 + 2x}{4x + 1 } = \dfrac{3}{4}$

$4(13 + 2x)=3(4x + 1)$

$52+4x=12x+3$

$52-3=12x-4x$

$8x=49$, luego $\color{brown}x=\dfrac{9}{8}$

Ecuaciones cuadráticas, discriminante y complejos

Son ecuaciones polinomiales de segundo grado, que puede escribirse en su forma estándar de la siguiente manera:

$ax^{2}+bx+c=0,\; \; \text{con}\ a=\not0$

Muchos problemas sobre objetos en movimiento, implican ecuaciones cuadráticas.

Ejemplos de ecuación cuadrática

Como podemos observar la ecuación resultante es divisible por 16 y quedaría:
$$\frac{16t^2}{16}-\frac{48t}{16}-\frac{64}{16}=t^s-3t-4=0$$
Tomando $t^2-3t-4=0$, podemos factorizar el trinomio de la forma $ax^{2}+bx+c=0,\; \;\text{con}\; a=\not 0$ para hallar los posibles valores de $t$.
$$\left(t-4\right)\cdot\left(t+1\right)=0$$
Ahora: $\left(t-4\right)=0$, luego $t=4$. El valor de $t$ para el factor $\left(t+1\right)$ no se tiene en cuenta por ser negativo.

R/. El globo tarda 4 segundos para llegar al suelo.

Si una ecuación cuadrática tiene la forma especial $\color{brown}x^2=d,\; \; \text{con}\ d=\not 0$, lo podemos resolver igualando a cero, esto es $x^2-d=0$. Se puede observar que es una diferencia de cuadrados y se resuelve como el producto de la suma por la diferencia de sus raíces cuadrados.
$$\left(x+\sqrt d\right)\cdot\left(x-\sqrt d\right)=0$$
Esto indica que tiene dos soluciones $x=\sqrt{d}\vee x=-\sqrt{d}$.

También se pude resolver sacando raíz cuadrada a cada uno de los términos de la ecuación, teniendo en cuenta que cuando se trata de raíz cuadrada se tienen dos soluciones, una con valores positivos y otra con valores negativos.

Esto es, $\sqrt{x^2}=\pm\sqrt{d}$, luego $x=\pm\sqrt{d}$ que coincide con la respuesta anterior.

1. $\hspace{0.1cm}2x^2=6$

Despejamos la $x$, $x^2=\frac{6}{2}=3$; luego $x=\pm\sqrt{3}$.

El conjunto solución es $\left\{-\sqrt{3},\;\sqrt{3}\right\}$

2. $\hspace{0.1cm}\left(y-3\right)^2=5$

Despejando la $y$, quedaría:
$$\color{black}\begin{aligned} \sqrt{\left(y-3\right)^2} &= \pm\sqrt5\\ &= \pm\sqrt5 \\ &= 3\pm\sqrt5 \end{aligned}$$
El conjunto solución es $\color{brown}\left\{3-5,\ 3+\sqrt5\right\}$

3. $\hspace{0.1cm}$Un fabricante de latas desea construir una lata cilíndrica circular recta de altura 20 centímetros y capacidad 3000 $cm^3$ (vea la figura). Encuentre el radio interior $r$ de la lata.

El volumen V del cilindro es $V=\pi\cdot r^2\cdot h$ Sabemos que: $V=3000\;cm^{3},\; \; h=20\; cm$. Despejamos $r$ y reemplazamos.

$$\color{black}\begin{aligned} r^2 &= \frac{V}{\pi\cdot h}\\[0.2cm] r&= \pm\sqrt{\frac{V}{\pi\cdot h}}\\[0.2cm] &= \pm\sqrt{\frac{3000}{20\cdot\pi}}\\[0.2cm] &= \sqrt{\frac{150}{\pi}}\approx6.91\ cms \end{aligned}$$
Se toma sólo el valor positivo, ya que el radio no puede ser negativo.

1. $\hspace{0.1cm}$Demostración de la ecuación cuadrática, a partir de $ax^2+bx+c=0\\[0.1cm]$
Para obtener los posibles valores de $x$, debemos utilizar el método de completar cuadrados, que vimos anteriormente.

Procedimiento

$\cfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}a}}}x^2}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}a}}}}+\cfrac{bx}{a}+\cfrac{c}{a}=\cfrac{0}{a}\\[2cm]$ $x^2+\cfrac{b}{a}x=-\cfrac{c}{a}$

Como se trata de despejar la $x$, empezaremos por dividir toda la ecuación por $a$ y simplificar.$\\[8pt]$ Pasamos el término $\frac{c}{a}$ al loado derecho de la ecuación.$\\[8pt]$ Completamos el

$\left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2=-\cfrac{c}{a}$

cuadrado perfecto en los dos términos de la derecha, sabiendo que el término de la mitad es $\frac{b}{a}x$. Para ello sacamos la raíz cuadrada de $\sqrt{x^2}=x$. Sabemos que $2\cdot\left(x\right)=\frac{b}{a}$, luego el tercer término será $x=\frac{b}{2a}$.

Se resta el término $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ para que la ecuación no se afecte, observemos que, si se resuelve la ecuación anterior se conserva la ecuación inicial (sólo a manera de prueba)

Recuerden que para solucionar el cuadrado de un binomio se debe proceder de la siguiente forma:

$$\color{brown}{(a\pm b)}^2={(a)}^2\pm2\left(a\right)\cdot\left(b\right)+{(b)}^2$$

Para el ejercicio que estamos resolviendo, esto sería:

$$\left(x\right)^2+2\cdot\left(x\right)\cdot\left(\cfrac{b}{2a}\right)+\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2=-\cfrac{c}{a}\ \longrightarrow x^2+\cfrac{b}{a}x=-\cfrac{c}{a}$$

Se puede observar que la ecuación no se altera y que $2\cdot\left(x\right)\cdot\left(\frac{b}{2a}\right)=\frac{b}{a}x$

Luego de completar el cuadrado, pasamos el término $-\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ a la derecha:

$$\left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2=\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2-\cfrac{c}{a}$$

$$\left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2=\cfrac{b^2}{4a^2}-\cfrac{c}{a}$$

Hacemos la suma en los términos de la derecha, donde el M.C.D es $4a^2$, quedando así:

$$\left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2=\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}$$

Sacamos raíz cuadrada a cada lado de la ecuación

$$\sqrt{\left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2}=\pm\sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}$$

Aplicamos propiedades de los radicales

$$x+\cfrac{b}{2a}=\pm\cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Despejamos la $x$

$$x=-\cfrac{b}{2a}\pm\cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Hacemos una suma de fraccionarios de igual denominador y se obtiene la fórmula de la ecuación cuadrática

$x=-\cfrac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\;\;\;\;\text{con}\ a=\not 0$

Como se dijo anteriormente la ecuación cuadrática sirve para solucionar muchos problemas sobre objetos en movimiento y hallar factores (factorizaciones) que no tienen soluciones en los enteros.

Discriminante, definición de imaginarios y operaciones con complejos

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Discriminante

El término $\color{brown}\sqrt{b^2-4ac}$ de la ecuación cuadrática se conoce como el discriminante y es el que determina las posibles soluciones de la ecuación cuadrática.

Ejemplos con ecuación cuadrática

$\hspace{0.2cm}$Un cohete de juguete se lanza verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, como se ilustra en la figura. Si su velocidad inicial es 120 pies/s y la única fuerza que actúa sobre él es la gravedad, entonces la altura h del cohete (en pies) sobre

el suelo después de t segundos está dada por $h=-16t^2+120t$. ¿Cuánto tiempo demora el cohete en obtener una altura de 200 pies?

$16t^2-120t+h=0$, pero sabemos que la altura que obtendrá en un tiempo $t$, será de 200 pies, luego:

$$16t^2-120t+200=0$$
Si hacemos uso del discriminate, nos daremos cuenta que $b^2-4ac>0$,lo que indica que tiene dos soluciones en los reales.
$$b^2-4ac=\left(-120\right)^2-4\cdot\left(16\right)\cdot\left(1\right)=1600$$
Utilizamos la fórmula de la ecuación cuadrática $x=-\cfrac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\;\;\;\ \text{con}\; a=\not 0$ y reemplazamos.
$$t=-\cfrac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Donde: $a=16,\:\; b=-120\;\wedge\; c=200$
$$\color{black}\begin{aligned} t &= -\cfrac{-120\pm\sqrt{\left(-120\right)^2-4\cdot\left(16\right)\cdot\left(200\right)}}{2\cdot\left(16\right)} \end{aligned}$$

$$\color{black}\begin{aligned} t &=\cfrac{120\pm\sqrt{14400-12800}}{2\cdot\left(16\right)} \\ &= \cfrac{120\pm\sqrt{1600}}{2\cdot\left(16\right)} \\ &= \cfrac{120\pm40}{2\cdot\left(16\right)}=\cfrac{60\pm20}{16}=\cfrac{15\pm5}{4} \\ &= \cfrac{15\pm5}{4} \end{aligned}$$

Por lo tanto, el cohete está a 200 pies sobre el suelo en los siguientes tiempos: $\color{brown}2.5\wedge 5\;\text{segundos}$.

Las dos respuestas obedecen a que a los $2.5$ segundos el cohete va subiendo y por efectos de la gravedad asciende a su altura máxima y empieza a descender y a los $5$ segundos pasa nuevamente para la altura de 200 pies.

$\hspace{0.2cm}$Resuelva $9x^2+16=24x$. Se debe igualar a cero. $$9x^2-24x+16=0$$ $$a=9,\;\;b=-24\;\; y\; c=16$$
Reemplazamos en la ecuación cuadrática
$$\color{brown}x=-\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\;\;\;\text{con}\; a=\not 0$$ $$\color{black}\begin{aligned} x &=-\frac{-24\pm\sqrt{\left(-24\right)^2-4\cdot\left(9\right)\cdot\left(16\right)}}{2\cdot\left(9\right)},\;\;\;\text{con}\; a=\not 0 \end{aligned}$$

$$\color{black}\begin{aligned} x &=\frac{24\pm\sqrt{\left(-24\right)^2-4\cdot\left(9\right)\cdot\left(16\right)}}{2\cdot\left(9\right)}\\ &=\frac{24\pm\sqrt{576-576}}{2\cdot\left(9\right)}\\ &= \frac{24\pm\sqrt0}{2\cdot\left(9\right)}\\ &= \frac{24}{2\cdot\left(9\right)}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3} \end{aligned}$$

En este caso como el discriminante es igual a cero, sólo se tienen una respuesta.

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Números Imaginarios

Son aquellas raíces que no tienen solución en los reales, es decir que el discriminante es menor que cero.

Se denota por $\color{brown}i$ y tiene la siguiente propiedad:

Ejemplos de números imaginarios

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Números complejos

Son aquellos que están formados por una parte real y una parte imaginaria, por lo regular la parte real se separa de la imaginaria y va siempre a la izquierda. Esto es, un número complejo se define como $\color{brown}a+bi$, donde $a$ y $b$ son reales e $i$ es la parte imaginaria.

Propiedades de los complejos

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Operaciones con complejos

Se aplican las propiedades de los (distributiva, asociativa, etc.), teniendo presente la parte imaginaria.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por María José García Cebrian, encontrarás la definición de la conjugada de un número complejo y su inverso.

Para interactuar con la escena interactiva, modifica los valores de la parte real e imaginaria del número complejo, pulsando las flechas arriba y abajo, luego presiona "dibujar" para que puedas visualizar el resultado.

Puedes realizar el mismo procedimiento para obtener los resultados de la conjugada y el opuesto de un número complejo.

Como se pudo observar en la escena interactiva anterior, para obtener la conjugada de un número complejo, se cambia el signo a la parte imaginaria.
Igualdad de números complejos:
$\left( a+bi\right) =\left( c+di\right)$, si y sólo si $a = c \;\;y\;\;b = d$

Suma de números complejos: Se suma la parte real y la parte imaginaria.

$\left( a + bi\right) + \left( c + di \right) = \left( a + c \right) + \left( b + d \right)i$

Resta de números complejos: Se resta la parte real y la parte imaginaria

$\left( a + bi\right) - \left( c + di \right) = \left( a - c \right) + \left( b - d \right)i$

Ejemplo de suma y resta de complejos

Sea: $Z_1= \left( 2 + 5i \right) \; y \; Z_2 = \left( 6 + 3i \right)$. Hallar:

Solución

1. $\left(Z_1 + Z_2\right) = \left( 2 + 5i \right) + \left( 6 + 3i \right)$ = $8 + 8i$

2. $\left(Z_1 - Z_2\right) = \left( 2 + 5i \right) - \left( 6 + 3i \right)$ =$ -4 + 2i$

3. $\left(\dfrac {Z_1}{2}+Z_2\right)=\left(1+\dfrac{5i}{2}\right)+\left(6+3i\right)$=$7+\dfrac{11i}{2}$

En la siguiente escena interactiva, diseñada por María José García Cebrian, puedes interactuar realizando los ejemplos anteriores y pulsar el botón "dibujar", para obtener una representación gráfica de las respuestas.

Producto de números complejos: Se aplica la propiedad distributiva y se suman los términos semejantes, teniendo en cuenta que la parte real debe quedar a la izquierda y la parte imaginaria a la derecha.

Tener en cuenta que $i^2 = -1$

$$\left( a + bi\right) \; \left( c + di\right) = ac + adi + bci + bdi^2$$ $$\left( a + bi\right) \; \left( c + di\right) = ac + adi + bci + bd\left(-1\right)$$ $$\left( a + bi\right) \; \left( c + di\right) = ac + adi + bci - bd$$

$\left( a + bi\right) \; \left( c + di\right) = \left( ac - bd \right) + \left( ad +bc \right)i$

Para comprobar la definición anterior, utiliza la escena interactiva diseñada por María José García Cebrian.

En la escena interactiva, te puedes dar cuenta que:

$\bullet\hspace{0.3cm}$Para la parte real se resta el producto vertical de las dos columnas.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Para la parte imaginaria se suma el producto en cruz de las dos columnas (el producto de la diagonal principal más el producto de la diagonal secundaria.

Ejemplo de producto de complejos

Analiza el siguiente ejemplo y comprueba la respuesta en la escena interactiva.

1. $\left( 2+4i\right)\;\left( 2-i \right) = \left( 4-(-4 )\right) + \left( -2 + 8 \right)i$

$\left( 2+4i\right)\;\left( 2-i \right)= $ $8 + 6i$

2. $\left( 3+2i\right)\;\left( -1+3i \right) = \left( -3-(6 )\right) + \left( 9 - 2 \right)i$

$\left( 3+2i\right)\;\left( -1+3i \right) = $$-9 + 7i$

1. $\left( -2-i\right)\;\left( -3+3i \right) = \left( 6-(-3 )\right) + \left( -6 +3 \right)i$

$\left( -2-i\right)\;\left( -3+3i \right) = $$9 - 3i$

Realiza los siguientes ejercicios de producto de complejos y comprueba la respuesta en la escena interactiva.

División de números complejos: Se debe tener en cuenta racionalizar el denominador, es decir; multiplicar numerador y denominador por la conjugada del denominador

$\dfrac{( a + bi )}{( c + di )},\;con\;( c + di )=\not 0$

$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac{( a + bi )}{( c + di )}&= \dfrac {(a + bi)}{(c +d i)}\times\dfrac {(c - di)}{(c -d i)}\\[15pt] &=\dfrac {ac -adi+cbi-bdi^2}{c^2-cdi+cdi-d^2i^2}\\[15pt] &= \dfrac {ac -adi+cbi-bd(-1)}{c^2-\quad {\color{Red}\bcancel {{\color{black}cdi}}}+\quad {\color{Red}\bcancel {{\color{black}cdi}}}-d^2(-1)}\\[15pt] &= \dfrac {ac+bd-(ad-cb)i}{c^2+d^2}\\ %\color{brown}\dfrac{( a + bi )}{( c + di )}&\color{brown}= \dfrac {(ac+bd)-(ad-cb)i}{c^2+d^2}\\ \end{aligned}$$

$\dfrac{( a + bi )}{( c + di )}= \dfrac {(ac+bd)-(ad-cb)i}{c^2+d^2}$

Ejemplo de división de números complejos

1. $\;\;Z_1$ = $\left( 4 + 2i \right)$

$\;\;Z_2$ = $\left( 5 +3 i\right)$

2. $\;\;Z_1$ = $\left( 4 - 2i \right)$

$\;\;Z_2$ = $\left( 5 - 3 i\right)$

Para el numerador:

Para el denominador:

Siguiendo las indicaciones:

1. $\;\;\dfrac {Z_1}{Z_2} = \dfrac {4 + 2i}{5 +3 i}\\$

$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac {Z_1}{Z_2}&= \dfrac {[(4\times5)+(2\times3)]-[(4\times3)-(5\times2)]i}{5^2-(3i)^2}\\[15pt] &= \dfrac {[(20)+(6)]-[(12)-(10)]i}{25-9i^2}\\[15pt] &= \dfrac {[26]-[2]i}{25-9i^2}\\[15pt] &= \dfrac {26-2i}{25-9(-1)}\\[15pt] &= \dfrac {26-2i}{25+9} \end{aligned}$$
$\dfrac {Z_1}{Z_2}= \dfrac {{26-2i}}{{34}}$

Ahora separamos el denominador y simplificamos.

$$\dfrac {Z_1}{Z_2}=\dfrac {26}{34}-\dfrac{2i}{34}$$

$\dfrac {Z_1}{Z_2}=\color{brown}\dfrac {{13}}{{17}}-\dfrac{{i}}{{17}}$

1. $\;\;\dfrac {Z_1}{Z_2} = \dfrac{4 - 2i}{5 - 3 i}$

$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac {Z_1}{Z_2}& = \dfrac{4 - 2i}{5 - 3 i}\\[15pt] &= \dfrac {[(4\times5)+(2\times3)]-{[4\times(-3)}-{[5\times(-2)]}i}{5^2-(3i)^2}\\[15pt] &= \dfrac {[(20)+(6)]-[-12-(-10)]i}{25-9i^2}\\[15pt] &= \dfrac {[26]-[-12+10]i}{25-9i^2}\\[15pt] &= \dfrac {[26]-[-2]i}{25-9i^2}\\[15pt] \end{aligned}$$
$$\color{black}\begin{aligned} \dfrac {Z_1}{Z_2}&= \dfrac {26+2i}{25-9(-1)}\\[15pt] \end{aligned}$$

$\dfrac {Z_1}{Z_2} = \dfrac {{26+2i}}{{34}}$

Ahora separamos el denominador y simplificamos.

$$\dfrac {Z_1}{Z_2} =\dfrac {26}{34}+\dfrac{2i}{34}$$

$\dfrac {Z_1}{Z_2}=\dfrac {{13}}{{17}}+\dfrac{{i}}{{17}}$

También se puede multiplicar el numerador y el denominador por la conjugada y aplicar la propiedad distributiva.

$$\begin{aligned} \dfrac {Z_1}{Z_2} &= \dfrac {(4 + 2i)}{(5 +3 i)}\cdot\dfrac {(5 -3 i)}{(5 -3 i)}\\[15pt] &= \dfrac {[(4\times5)-(4\times3i)+(2i\times5)-(2i\times3i)]}{(5 +3 i)(5 -3 i)} \\[15pt] &= \dfrac {[20-12i+10i-6i^2]}{[5^2 -(3 i)^2]}=\dfrac {[20-12i+10i-6(-1)]}{[25 -3^2 i^2]} \\[15pt] &=\dfrac {[20-2i+6]}{[25 -9(-1)]}=\dfrac {26-2i}{[25 +9]} \\[15pt] \end{aligned}$$

$\dfrac {Z_1}{Z_2} =\dfrac {{13}}{{17}}-\dfrac{{i}}{{17}}$

Utilizando la siguiente escena interactiva, diseñada por María José García Cebrian puedes comprobar los resultados de los procedimientos explicados en los dos ejemplos anteriores. Si deseas, puedes plantear nuevos ejercicios en la escena interactiva y realizarlos en tu cuaderno, confronta tus conocimientos. ¡Ánimo!

Realiza los siguientes ejercicios de cociente de complejos y comprueba la respuesta en la escena interactiva anterior.

Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación

$(x-a)$ es un factor de un polinomio $P(x)$, si y sólo sí al evaluar $P(a)=0$

Si $P(x)=2x^3+x^2-13x+6$ , como el primer término del polinomio es diferente de 1, los ceros racionales de $P$ son de la forma de descomposición de factores.

Posible cero racional de:

$P=\dfrac{(Factores \;del \;t\text{é}rmino\; constante)}{(Factores \;del \;coeficiente\; principal)}$. El término constante es $6$ y el coeficiente principal es $2$, por lo tanto, posible cero racional de $P=\dfrac{(Factores\; de \;6)}{(Factores \;de \;2)}$.

Ahora, los factores de $6$ son $6:±1,±2,±3,±6$ y los factores de $2$ son $±1,±2$. Así los posibles ceros racionales de $P$ son: $±\dfrac{1}{1},±\dfrac{2}{1},±\dfrac{3}{1},±\dfrac{6}{1},±\dfrac{1}{2},±\dfrac{2}{2},±\dfrac{3}{2},±\dfrac{6}{2}$.

Resumiendo, nos queda $±1,±2,±3,±6,±\dfrac{1}{2},±\dfrac{3}{2}$.

Para comprobar los posibles ceros de $P(x)$, reemplazamos cada uno

de los factores anteriores para ver cual hace $P(x)=0$.

$P(1)=2(1)^3+(1)^2-13(1)+6=2+1-13+6=4$, no es un cero de $P(x)$.

$P(-1)=2(-1)^3+(-1)^2-13(-1)+6=-2+1+13+6=18$, no es un cero de $P(x)$.

$P(2)=2(2)^3+(2)^2-13(2)+6=16+4-26+6=0$, es un cero de $P(x)$.

$(x-2)$ es el primer factor de $P(x)$. Ahora resolvemos en la misma forma que se hizo con la división sintética.

El cociente $Q(x)$, sería $2x^2+5x-3$ y con residuo $R(x)=0$

Ahora factorizamos el trinomio de la forma $ax^2+bx+c$, quedando finalmente los factores de P(x) de la siguiente forma:

$P(x)=2x^3+x^2-13x+6=\color{brown}(x-2)(2x-1)(x+3)$

En las siguientes escenas interactivas, diseñadas por Miguel Angel Cabezón Ochoa, podrás analizar los ejemplos propuestos sobre factores de un polinomio.

Como complemento a la explicación y al a la escena interactiva anterior, puedes analizar el siguiente video de Julio Alberto Ríos Ríos Gallego, donde se explica el paso a paso para la solución de una factorización por el método de evaluación.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Cuando se resuelven ecuaciones que tienen expresiones exponenciales, con variables en los exponentes, es usual utilizar los logaritmos a cada lado de la ecuación y convertirlas en factores, que facilitan su solución. Los logaritmos tienen aplicación en todos los campos del saber, especialmente en la química, la biología, la física y la ingeniería.

Los logaritmos con base $b=10$ se llaman logaritmos en base 10 o comunes y los logaritmos en base $b=e$ se llaman logaritmos naturales o neperianos.

Se acostumbra escribir el logaritmo natural como:

$Log_{B} P=E, \text{para toda base} \;B>0, B=\not 0$

Donde: $B=Base$, $P=Potencia$ y $E=Exponente$.

Podemos convertir logaritmos en potencias de la siguiente forma:

$$Log_{10} 100=2, \text{si y sólo si} 10^2=100$$

Observen que, en el ejemplo, el logaritmo en base $10$ de $100$ es $2$, si y sólo si la $B=10$, elevada al exponente $E=2$, es igual a la potencia $P=100$.

Ejemplos de logaritmos

Convertir los logaritmos en potencias.

1. $\hspace{0.1cm} log_{10} x=2$

Si lo expresamos en forma de potencia, nos quedaría:
$$10^2=x$$

2. $\hspace{0.1cm}log_2 x=4$

Si lo expresamos en forma de potencia, nos quedaría:
$$2^4=x$$

3. $\hspace{0.1cm} log_3 2187=y$

Si lo expresamos en forma de potencia, nos quedaría:

$$3^y=2187$$

La igualdad se cumple, si y sólo si $y=7$, dado que las bases de ambos lados de la igualdad son iguales a $3$.

Propiedades de los logaritmos

Ejemplos con propiedades de logaritmos

$\hspace{0.1cm}log_a x^3\sqrt{y}$
Para su solución, se aplican las propiedades de las potencias, radicales y logaritmos.

$$\color{black}\begin{aligned} log_a x^3\sqrt{y} &= log_a x^3+log_a y^\frac{1}{2}\\ &= 3\cdot log_a x+\cfrac{1}{2}log_a y \end{aligned}$$

$log_a x^3\sqrt{y}=3\cdot log_a x+\cfrac{1}{2}\cdot log_a y$

1. $\hspace{0.1cm}log_a \cfrac{x^3}{z^2}$.

$log_a \cfrac{x^3}{z^2}=3\cdot log_a x -2 \cdot log_a z$

2. $\hspace{0.1cm}log_a \cfrac{x^3\cdot\sqrt{y}}{z^2}$.
$$\color{black}\begin{aligned} log_a \cfrac{x^3 \sqrt{y}}{z^2} &=log_a x^3 +log_a\sqrt{y}- log_a z^2\\ &= log_a x^3 +log_a y^\frac{1}{2}- log_a z^2 \end{aligned}$$

$log_a \cfrac{x^3\cdot\sqrt{y}}{z^2}=3\cdot log_a x +\frac{1}{2}\cdot log_a y- 2\cdot log_a z$

1. $\hspace{0.1cm}\cfrac{1}{3}\cdot log_a \left(x^2-1\right)-log_a y-4\cdot log_a z$

$\cfrac{1}{3}\cdot log_a \left(x^2-1\right)-log_a y-4\cdot log_a z=log_a \cfrac{\left(x^2-1\right)^\frac{1}{3}}{yz^4}$

Las ecuaciones exponenciales, tienen múltiples aplicaciones en la vida cotidiana, desde determinar el tamaño poblacional hasta los fenómenos físicos como la aceleración, velocidad y densidad.

Como ejemplos de su utilización, se pueden mencionar el crecimiento de la cantidad de personas infectadas con determinada bacteria, la disminución de la carga de un condensador, la escala de Ritcher, la magnitud de un terremoto, entre otras.

Las funciones logarítmicas, como inversas las exponenciales son utilizadas para comparara fenómenos inversos a las ecuaciones exponenciales. Como ejemplos de aplicación se pueden tener en cuenta su utilización en la economía, para determinar el valor

futuro de un depósito en un banco después de determinado tiempo y a una tasa de interés determinada, en investigaciones policiales para determinar el tiempo estimado de muerte de una persona, al medir la temperatura del cuerpo, del ambiente, de la habitación donde fue hallado, en la medicina para determinar el contenido de una determinada sustancia en el cuerpo, después de "t" tiempo de haberla ingerido.

Para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, se recomienda:

$\bullet\hspace{0.2cm}$ Reescriba una expresión exponencial como expresión logarítmica.

$\bullet\hspace{0.2cm}$ Reescriba una expresión logarítmica como expresión exponencial..

$\bullet\hspace{0.2cm}$ Use las propiedades uno a uno de $b^x$ y $log_b x$..

$\bullet\hspace{0.2cm}$ Para las ecuaciones de la forma $a^{x}_1=b^{x}_2$ , donde $a=\not b$, obtenga el logaritmo natural de ambos lados de la igualdad y simplifique usando las leyes de los logaritmos.

A continuación se resolverán algunos ejemplos de ecuaciones exponenciales y logarítmicas, para que te familiarices con los procedimientos que se deben realizar en su solución, utilizando las propiedades de las potencias y los logaritmos.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Recuerden que, para los logaritmos decimales la base es $10$ y por lo general se omite, mientras que, para los logaritmos naturales o neperianos, la base es e número Euler $e$.

1. $\hspace{0.2cm}\text{Para}\hspace{0.2cm} k, e^{10k}=7$.

Aplicamos logaritmos a lado y lado de la igualdad, y como la base es "e", se infiere que se trata de logaritmos neperianos.
$$ln_e e^{10k}=ln_e 7$$ $$10k\cdot ln_e e=ln_e 7$$
Recordemos que el $log_{10} 10=1\wedge ln_e e=1$, se pueden omitir sus bases, ya que se entiende que si es $ln$, la base $e$ y si es $log$, la base es $10$.
$$10k\left(1\right)=ln 7$$

$k=\cfrac{ln 7}{10}\approxeq 0.1946 $

2. $\hspace{0.2cm}\text{Resuelva}\hspace{0.2cm} log_2 x=5$.

Entonces $2^5=x$, por lo que $\color{brown}x=32$

3. $\hspace{0.2cm}2^{x-3}=8^{x+1}$

Para solucionar la ecuación es conveniente convertir $8^{x+1}$ en base 2, de la siguiente forma:

$2^{x-3}=\left(2^3 \right)^{x+1}$, aplicando la propiedad de potencia de una potencia,

$2^{x-3}=2^{3x+3}$, ahora; si las bases son iguales, los exponentes tienen que ser iguales.

$2=2$, entonces $x-3=3x+3$. Despejando la $x$, nos queda:

$$x-3x=3+3$$ $$-2x=6$$

Si lo resolvemos aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad, nos quedaría:

$$2^{x-3}=2^{3x+3}$$ $$\left(x-3\right) log 2=\left(3x+3\right) log 2$$

Si, $log\;2=log\;2$, entonces,

$$x-3=3x+3$$ $$2x=-6$$

1. $\hspace{0.2cm}$ Resolver para "$E$", a partir de la ecuación equivalente $b^E=P$

Se saca logaritmo en ambos lados de la igualdad.
$$E\cdot log b=log P$$ $$\color{brown}E =\cfrac{log P} {log b}$$
Como $E=log_b P, \text{podemos concluir que } \color{brown}log_B P=\cfrac{log_a P}{log_a b}$

Lo anterior es lo que se conoce como " Teorema del cambio de base".

$log_b P=\cfrac{log_a P}{log_a b}$

2. Resuelva la ecuación$\hspace{0.2cm}\cfrac{5^x-5^{-x}}{2}=3$
$$5^x-5^{-x}=6$$ $$5^x-\cfrac{1}{5^x} =6$$
Recuerda que puedes resolver la diferencia de fraccionarios, de la siguiente forma:

$$x\cdot log 5=log \left(3+\sqrt{10}\right)$$

Se despeja la $x$.

$x=\cfrac{log \left(3+\sqrt{10}\right)}{log⁡5} \approx 1.13$

1. $\hspace{0.2cm}$Resuelva la ecuación para $x$.

Observen el lado izquierdo de la igualdad es una suma de logaritmos y por propiedad, es el logaritmo del producto.
$$ln \left[2\cdot \left(4x-1\right)\right]=ln \left(2x+5\right)$$
Ahora, si $ln =ln$, entonces:
$$\left[2\cdot \left(4x-1\right)\right]=\left(2x+5\right)$$
Resolvemos:
$$8x-2=2x+5$$ $$8x-2x=5+2$$ $$6x=7$$ $$x=\cfrac{7}{6}$$

$ln 2+ln \left(4x-1\right)=ln \left(2x+5\right), x=\cfrac{7}{6}$

1. Resuelva para $x$.

Como la base es $e$, utilizamos $ln$ en ambos lados de la igualdad,
$$ln e^{2x}=ln 3^{x-4}$$ $$2x\cdot ln e =\left(x-4\right)\cdot ln⁡3$$ $$2x=\left(x-4\right)\cdot ln e$$
Recuerda que $ln_e e=1$
$$2x=x\cdot ln 3-4\cdot ln 3$$ $$2x-x\cdot ln ⁡3 =-4\cdot ln 3$$
Sacamos factor común $x$
$$x\left(2-ln⁡3 \right)=-4\cdot ln ⁡3$$
Despejamos $x$

$x=-\cfrac{4 ln⁡3}{(2-ln⁡3 )}\approx -4.8752$

Circuito eléctrico: Un diagrama de un circuito eléctrico sencillo formado por un resistor y un inductor se muestra en la siguiente figura. La corriente $I$ en el tiempo $t$ está dada por la fórmula $I=20e^{-Rt/L}$, donde $R$ es la resistencia y $L$ es la inductancia. De esta ecuación despeje $t$.

Solución:

$$I=20e^{-Rt/L}$$

Despejaremos $t$ aplicando logaritmos, pero antes pasamos el 20 a dividir.

$$\cfrac{I}{20}=e^{-\frac{Rt}{L}}$$ $$ln\cfrac{I}{20}=lne^{-\frac{Rt}{L}}$$ $$ln\cfrac{I}{20}=-\cfrac{Rt}{L} ln e$$

Sabemos que $ln_e e=1$

$$ln \cfrac{I}{20}=-\cfrac{Rt}{L}$$ $$\cfrac{Rt}{L}=-ln\cfrac{I}{20}$$

Despejamos $t$.

$t=-\cfrac{L}{R}\cdot ln \cfrac{I}{20}$

1. Enfriamiento de un pastel: Se saca un pastel del horno, cuya temperatura era de 350 °F, y se lo coloca en una cocina donde la temperatura ambiente es de 75 °F. Un minuto después, se mide la temperatura del pastel y resulta de 300 °F. Suponga que la temperatura del pastel en la cocina está dada por la ley de Newton de calentamiento/enfriamiento:

$\bullet\hspace{0.2cm}$¿Cuál es la temperatura del pastel 6 minutos después?

$\bullet\hspace{0.2cm}$¿En cuánto tiempo la temperatura del pastel será de 80 °F?

Solución:

$\bullet\hspace{0.2cm}$¿Cuál es la temperatura del pastel 6 minutos después?

$$ln\cfrac{9}{11}=k\approx -0.2007$$

Como conocemos el valor aproximado de $k$ y sabemos que:

$T\left(t\right)=75+275 e^{kt}$, hallaremos $T\left(6\right)$

$$T\left(6\right)=75+275e^{6\cdot \left(-0.2007\right)}$$ $$T\left(6\right)=75+275e^{-1.2042}$$

$\bullet\hspace{0.2cm}$¿En cuánto tiempo la temperatura del pastel será de 80 °F?

Sabemos que:

$$T\left(t\right)=80 °F \wedge k=-0.2007$$ $$T\left(t\right)=75+275e^{kt}$$ $$80=75+275 e^{-0.2007t}$$

$$80-75=275e^{-0.2007t}$$ $$\cfrac{5}{275}=e^{-0.2007t}$$

Despejamos $t$, utilizando logaritmos.

$$ln\cfrac{1}{55}=ln e^{-0.2007t}$$ $$ln\cfrac{1}{55}=-0.2007t\cdot ln e$$

$$-\cfrac{ln\cfrac{1}{55}}{0.2007}=t$$

$t\approx 19.97 \text{seg}$

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y 3x3

De acuerdo con el número de soluciones los sistemas de ecuaciones pueden ser:

Compatibles: Con solución.

Compatible determinado: Solución única.

Compatible indeterminado: Más de una solución lo que equivale a infinitas soluciones.

Incompatibles: Sin solución.

En la siguiente escena interactiva diseñada por María José García Cebrian, podrás observar algunos ejemplos propuestos, donde se explica cada uno de los sistemas de ecuaciones, de acuerdo con el número de soluciones.

Existen varios métodos para solucionar ecuaciones lineales 2x2 y 3x3, a continuación se explican cada uno de ellos.

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Ejemplo de solución de ecuaciones lineales 2x2-Método Gráfico

A un parqueadero ingresan 9 vehículos, entre bicicletas y triciclos, si se sabe que la suma las llantas es 21. Cuántas bicicletas y triciclos hay en el parqueadero?.

1. Método gráfico

Consiste en representar gráficamente las ecuaciones de las rectas y el punto de intercepción será la solución.

Lo primero que se debe hacer es definir las variables para las incógnitas del problema que se plantea.

$x=$Cantidad de bicicletas

$y=$Cantidad de triciclos

Ahora se plantean las ecuaciones, de la forma $ax+by=c$

Se debe hacer una tabla de valores para $x\wedge y$, preferiblemente hallar los cortes con los ejes coordenados y se unen los puntos.

Ecuación 1.

Ecuación 2.

Una vez se tenga la tabla de valores para $x\wedge y$, se procede a realizar la gráfica y el punto de intercepción es la solución del sistema de ecuaciones lineales 2x2.

Si la gráfica se hizo correctamente, se debe obtener lo siguiente:

Observa que la solución es el punto de intercepción $\color{brown}E=(6,3)$

En la siguiente escena interactiva, puedes reemplazar los valores de la tabla de las ecuaciones 1 y 2 para confrontar el resultado. No olvides dar enter al ingresar cada par ordenado.

Los puntos A y B pertenecen a la primera ecuación, C y D pertenecen a la segunda y los debes reemplazar en la parte derecha de la escena interactiva, donde dice "Definición:".

Si después de dar "enter", para cada punto, la escena conserva los puntos anteriores, basta con hacer clic izquierdo sostenido y mover un poco la escena.

Para que puedas confrontar los resultados obtenidos y con el ánimo de facilitar el proceso de aprendizaje, una vez tengas definidas las ecuaciones de la forma $\color{brown}ax+by=c$ en el planteamiento del problema o en la búsqueda de solución a un sistema de ecuaciones, puedes reemplazar los coeficientes en la siguiente escena interactiva para obtener el resultado.

A continuación se presentan 7 ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, para que las soluciones y luego confrontes los resultados en la escena interactiva anterior.

1. $\hspace{0.2cm}\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5\\ \dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=12\end{cases}$

2. $\hspace{0.2cm}\begin{cases}\dfrac{5x}{2}+3y=1\\ \dfrac{3x}{2}-3y=15\end{cases}$

3. $\hspace{0.2cm}\begin{cases}2(x-y)+\dfrac{x-y}{3}=3x-1\\ x-y=3\end{cases}$

Para solucionar el punto 5, te sugiero hacer un cambio de variable, es decir, $a=\dfrac{1}{x}\wedge b=\dfrac{1}{y}$. Cuando tengas los resultados de $a\wedge b$, reemplazas en el cambio de variable anterior, para obtener $x\wedge y$

2. Por Sustitución

Como su nombre lo indica, se trata de sustituir la variable de una ecuación en la otra.
Pasos para solucionar ecuaciones 2x2 por SUSTISUCIÓN

1. $\hspace{0.2cm}$Se despeja una variable en la ecuación $(1)$.

2. $\hspace{0.2cm}$Se reemplaza la variable despejada en la ecuación $(2)$.

3. $\hspace{0.2cm}$Se realizan las operaciones para encontrar una variable.

4. $\hspace{0.2cm}$Se reemplaza la variable encontrada en la ecuación (1), despejada.

Ejemplo de solución de ecuaciones lineales 2x2-Sustitución

Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de la altura?

Sea:

$y=$ La altura

$x=$ La base

En la siguiente figura, se muestra el planteamiento del problema.

Ahora se plantea la ecuaciones.

$$2x+2y=16\tag{1}$$

$$x=3y\tag{2}$$

Como se sabe que $x=3y$, se reemplaza en la (1)

$2(3y)+2y=16$

$6y+2y=16$

$8y=16$

$\color{brown}y=2$

Ahora se reemplaza el valor de $"y"$ en la (2)

$x=3(2)$, $\color{brown}x=6$

3. Por Igualación

Como su nombre lo indica, se trata de igualar las variables de ambas ecuaciones.
Pasos para solucionar ecuaciones 2x2 por IGUALACIÓN

1. $\hspace{0.2cm}$Se despeja una variable en la ecuación $(1)$.

2. $\hspace{0.2cm}$Se despeja la misma variable en la ecuación $(2)$.

3. $\hspace{0.2cm}$Se realizan las operaciones para encontrar la otra variable.

4. $\hspace{0.2cm}$Se reemplaza la variable encontrada en la ecuación (1) o (2), despejada.

Ejemplo de solución de ecuaciones lineales 2x2-Igualación

Con dos camiones cuyas capacidades de carga son de 3 y 4 toneladas respectivamente, se hicieron en total 23 viajes para transportar 80 toneladas de madera. ¿Cuántos viajes realizó cada camión?

Lo primero que se debe hacer es plantear el sistema de ecuaciones.

Sea:

$x=$ Viajes del Camión 1.

$y=$ Viajes del Camión 2.

$$x=23-(11)$$ $$\color{brown}x=12$$

Respuesta: Realizaron 12 y 11 viajes respectivamente.

4. Por Reducción o eliminación

Como su nombre lo indica, se trata de reducir o eliminar una de las variables .
Pasos para solucionar ecuaciones 2x2 por REDUCCIÓN

1. $\hspace{0.2cm}$Se multiplica una o ambas ecuaciones por el factor que las haga iguales, pero con signo contrario para que al sumarlas, se eliminen.

2. $\hspace{0.2cm}$Se realiza la suma de las dos ecuaciones.

3. $\hspace{0.2cm}$Se despeja la variable que queda.

4. $\hspace{0.2cm}$Por simple analogía, se determina la otra variable, o simplemente se reemplaza en una de las dos ecuaciones.

Ejemplo de solución de ecuaciones lineales 2x2-Reducción

En una fábrica tienen máquinas de tipo A y máquinas de tipo B. La semana pasada se dio mantenimiento a 5 máquinas de tipo A y a 4 del tipo B por un costo de $3405.

La semana anterior se pagó $3135 por dar mantenimiento a 3 máquinas de tipo A y 5 de tipo B. Suponiendo que el costo de mantenimiento no ha variado, ¿Cuál es el costo de mantenimiento de las máquinas de cada tipo?
Solución
Sea:

$x=$ Costo del mantenimiento de la máquina tipo A

$y=$ Costo del mantenimiento de la máquina tipo B

Se plantean las ecuaciones.

$$5x+4y=3405\tag{1}$$ $$3x+5y=3135\tag{2}$$

Se elige cual de las dos variables se desea eliminar, para el ejemplo elegiremos la $x$, por lo que se tiene que multiplicar la primera ecuación por $(-3)$ y la segunda por $(5)$.

$$\left( -3\right) \ldots \ldots 5x+4y=3405\ldots \ldots{\color{Red}\bcancel {{\color{black}-15x}}}-12y=-10215$$ $$\hspace{0.2cm}\left( 5\right) \ldots \ldots 3x+5y=3135\ldots \ldots\hspace{0.4cm}\underline{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}15x}}}+25y=\hspace{0.3cm}15675}$$ $\hspace{6.9cm}13y=\hspace{0.5cm}5460$ $$y=\dfrac{5460}{13}$$ $$\color{brown}y=420$$

Reemplazamos la variable "$y$" en la ecuación 1 o 2, para el ejemplo lo haremos en la 1.

$$5x+4(420)=3405$$ $$5x=3405-1680$$ $$5x=1725$$ $$x=\dfrac{1725}{5}$$ $$\color{brown}x=345$$

Respuesta:$\hspace{0.3cm}$El mantenimiento de las máquina tipo "A" es de $\$345$ y la tipo "B" es de $\$420$ cada una.

Con la siguiente escena interactiva, diseñada por María José García Cebrian, podrás recordar lo visto hasta el momento sobre solución de ecuaciones 2x2 por los métodos de sustitución, igualación y reducción.

5. Por Cramer o determinantes
Pasos para solucionar ecuaciones 2x2 por CRAMER

1. $\hspace{0.2cm}$Se halla el determinante del sistema $D_s$

2. $\hspace{0.25cm}$Se halla determinante de$ \hspace{0.3cm}x, D_x$

3. $\hspace{0.2cm}$Se encuentra$\hspace{0.3cm}x=\dfrac{D_x}{D_s}$

4. $\hspace{0.2cm}$Se halla determinante de $y, D_y$

5. $\hspace{0.2cm}$Se encuentra$\hspace{0.3cm}y=\dfrac{D_y}{D_s}$

Ejemplo de solución de ecuaciones lineales 2x2-Por Cramer o determinantes

El perímetro de un rectángulo es de 40 metros. Si se duplica el largo del rectángulo y se aumenta en 6 metros el ancho, el perímetro queda en 76 metros. ¿Cuáles son las medidas originales del rectángulo y cuáles las medidas del rectángulo agrandado?

Con la escena interactiva se pretende que aprendas a formar las matrices para la solución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2, en ella encontrarás una cantidad de , que irás convirtiendo en en la medida que vayas avanzando en la solución.

Puedes verificar las respuestas obtenidas, solucionando los ejercicios por los métodos que se explicaron en las páginas anteriores.

Con lo que aprendiste en esta escena interactiva, puedes solucionar en tu cuaderno los ejemplos propuesto en la siguiente escena interactiva, diseñada por María José García Cebrian, en la cual podrás observar diferentes ejemplos propuestos sobre solución de ecuaciones 2x2 por el método de determinantes o Cramer. ¡Inténtalo!

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Sistemas de ecuaciones lineales 3x3

Se utilizan los mismos métodos estudiados para resolver ecuaciones 2x2, pero no se recomienda el gráfico, por ser en tres dimensiones (tres variables). Para explicar los métodos de solución de ecuaciones 3x3, plantearemos los siguientes ejemplos.

1. Por Sustitución

Ejemplo de solución de ecuaciones lineales 3x3-Por Sustitución

$$x=15-13$$ $$\color{brown}x=2$$

2. Por Igualación

Ejemplo de solución de ecuaciones lineales 3x3-Por Igualación

En la figura se muestra el diagrama de un circuito eléctrico que contiene tres resistores, una batería de 6 volts y una batería de 12 volts. Se puede demostrar, usando las leyes de Kirchhoff, que las tres corrientes, $I_1, I_2 \hspace{0.1cm}e \hspace{0.1cm}I_3$ son soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

$\hspace{0.2cm}\begin{cases}I_1-I_2+I_3=0\\ R_1I_1+R_2I_2=6\\R_2I_2+R_3I_3=12\end{cases}$

Encuentre las tres corrientes si:

$$\color{brown}I_2=2$$

Se reemplazan los valores encontrados, en la ecuación (1) despejada.

$$I_1=I_2-I_3$$ $$I_1=2-2$$ $$\color{brown}I_1=0$$

3. Por Reducción o eliminación

Ejemplo de solución de ecuaciones lineales 3x3-Por Reducción

En la figura se muestra el diagrama de un circuito eléctrico que contiene tres resistores, una batería de 6 volts y una batería de 12 volts. Se puede demostrar, usando las leyes de Kirchhoff, que las tres

corrientes, $I_1, I_2 \hspace{0.1cm}e \hspace{0.1cm}I_3$ son soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

$$5I_2{\color{Red}\bcancel {{\color{black}-4I_3}}}=6\tag{4}$$ $$\underline{I_2{\color{Red}\bcancel {{\color{black}\hspace{0.3 cm}+4I_3}}}=12\tag{5}}$$ $$6I_2\hspace{0.9 cm}=18$$ $$\color{brown}I_2=3$$

Conociendo el valor de $I_2$, puedes sustituirlo en la ecuación (4) o (5) y hallarás $I_3$.

$$I_2+4I_3=12\tag{5}$$ $$3+4I_3=12$$ $$4I_3=9$$ $$\color{brown}I_3=\cfrac{9}{4}$$

Como práctica de aprendizaje, eliminaremos $I_2$, multiplicando la ecuación (5) por menos 5 (-5),

$$\hspace{0.2 cm}{\color{Red}\bcancel {{\color{black}5I_2}}}\hspace{0.2 cm}-4I_3=\hspace{0.4 cm}6\tag{4}$$ $$\underline{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}-5I_2}}}-20I_3=-60\tag{5}}$$ $$\hspace{0.8 cm}-24I_3=-54$$ $$\hspace{0.8 cm}24I_3=54$$ $$I_3=\cfrac{54}{24}$$

$$\color{brown}I_3=\cfrac{9}{4}$$

Conociendo los valores de $I_2$ e $I_3$, podemos reemplazar en la ecuación (1), para hallar $I_1$.

$$I_1=3-\cfrac{9}{4}=\cfrac{12}{4}-\cfrac{9}{4}$$ $$I_1=\cfrac{12}{4}-\cfrac{9}{4}$$ $$\color{brown}I_1=\cfrac{3}{4}$$

4. Por Cramer o determinantes

Ejemplo de solución de ecuaciones lineales 3x3-Por Cramer

Hay tres cadenas que pesan 450, 610 y 950 onzas, cada una de ellas formada por eslabones de tres tamaños diferentes. Cada cadena tiene 10 eslabones pequeños y también tienen 20, 30 y 40 eslabones de tamaño mediano, así como 30, 40 y 70 eslabones grandes, respectivamente. Encuentre los pesos de los eslabones pequeños, medianos y grandes.

Solución: Se deben definir las variables.

$D_S=\begin{bmatrix} \color{blue}1 & \color{blue} 2 & \color{blue} 3&\color{black}1 & \color{black} 2\\ \color{black} 1& \color{blue}3& \color{blue}4&\color{blue} 1 & \color{black}3\\ \color{black} 1 & \color{black}4& \color{blue}7& \color{blue} 1 & \color{blue}4 \end{bmatrix}=\color{blue}(21+8+12)\color{black}-\color{red}(9+16+14)$

$$D_S=\color{blue}(41)\color{black}-\color{red}(39)$$

$$D_S=2$$

Para hallar el determinante de las $x$, el espacio de los coeficientes de las $x$, $C_x$ lo ocupan los términos independientes y se procede de igual forma que en el procedimiento anterior.

Diagonales principales:

$D_x=\begin{bmatrix} \color{blue}T_{I1} & \color{blue} C_{1y} & \color{blue} C_{1z}&\color{black}T_{I1} & \color{black} C_{1y}\\ \color{black} T_{I2} & \color{blue}C_{2y}& \color{blue}C_{2z}&\color{blue} T_{I2} & \color{black}C_{2y}\\ \color{black} T_{I3} & \color{black}C_{3y}& \color{blue}C_{3z}& \color{blue} T_{I3} & \color{blue}C_{3y} \end{bmatrix}=\color{blue}(\hspace{0.6cm})\color{black}-\color{red}(\hspace{0.6cm})$

Diagonales secundarias:

$D_x=\begin{bmatrix} \color{black}T_{I1} & \color{black} C_{1y} & \color{red} C_{1z}&\color{red}T_{I1} & \color{red} C_{1y}\\ \color{black} T_{I2} & \color{red}C_{2y}& \color{red}C_{2z}&\color{red} T_{I2} & \color{black}C_{2y}\\ \color{red} T_{I3} & \color{red}C_{3y}& \color{red}C_{3z}& \color{black} T_{I3} & \color{black}C_{3y} \end{bmatrix}=\color{blue}(\hspace{0.6cm})\color{black}-\color{red}(\hspace{0.6cm})$

$D_P=\begin{bmatrix} \color{blue}45 & \color{blue} 2 & \color{blue} 3&\color{red}45 & \color{red} 2\\ \color{black} 61& \color{blue}3& \color{blue}4&\color{blue} 61 & \color{black}3\\ \color{red} 95 & \color{red}4& \color{blue}7& \color{blue} 95 & \color{blue}4 \end{bmatrix}=\color{blue}(945+760+732)\color{black}-\color{red}(855+720+854)$ $$D_P=\color{blue}(2437)\color{black}-\color{red}(2429)$$ $$D_P=8$$

Recuerda que:$\hspace{0.4cm} P=\cfrac{D_P}{D_S}$

$$P=\frac{8}{2}$$ $$\color{brown}P=4$$

Para hallar el determinante de las $y$, el espacio de los coeficientes de las $y$, $C_y$ lo ocupan los términos independientes y se procede de igual forma que en el procedimiento anterior.

Diagonales principales:

$D_y=\begin{bmatrix} \color{blue}C_{1x} & \color{blue} T_{I1} & \color{blue} C_{1z}&\color{black}C_{1x} & \color{black} T_{I1}\\ \color{black} C_{2x} & \color{blue}T_{I2}& \color{blue}C_{2z}&\color{blue} C_{2x} & \color{black}T_{I2}\\ \color{black} C_{3x} & \color{black}T_{I3}& \color{blue}C_{3z}& \color{blue} C_{3x} & \color{blue}T_{I3} \end{bmatrix}=\color{blue}(\hspace{0.6cm})\color{black}-\color{red}(\hspace{0.6cm})$

Diagonales secundarias:

$D_y=\begin{bmatrix} \color{black}C_{1x} & \color{black} T_{I1} & \color{red} C_{1z}&\color{red}C_{1x} & \color{red} T_{I1}\\ \color{black} C_{2x} & \color{red}T_{I2}& \color{red}C_{2z}&\color{red} C_{2x} & \color{black}T_{I2}\\ \color{red} C_{3x} & \color{red}T_{I3}& \color{red}C_{3z}& \color{black} C_{3x} & \color{black}T_{I3} \end{bmatrix}=\color{blue}(\hspace{0.6cm})\color{black}-\color{red}(\hspace{0.6cm})$

$D_M=\begin{bmatrix} \color{blue}1 & \color{blue} 45 & \color{blue} 3&\color{red}1 & \color{red} 45\\ \color{black} 1& \color{blue}61& \color{blue}4&\color{blue} 1 & \color{black}61\\ \color{red} 1 & \color{red}95& \color{blue}7& \color{blue} 1 & \color{blue}95 \end{bmatrix}=\color{blue}(427+180+285)\color{black}-\color{red}(183+380+315)$ $$D_M=\color{blue}(892)\color{black}-\color{red}(878)$$ $$D_M=14$$

Recuerda que:$\hspace{0.4cm} M=\cfrac{D_M}{D_S}$

$$M=\frac{14}{2}$$ $$\color{brown}M=7$$

Para hallar el determinante de las $z$, el espacio de los coeficientes de las $z$, $C_z$ lo ocupan los términos independientes y se procede de igual forma que en el procedimiento anterior.

Diagonales principales:

$D_z=\begin{bmatrix} \color{blue}C_{1x} & \color{blue} C_{1y} & \color{blue} T_{I1}&\color{black}C_{1x} & \color{black} C_{1y}\\ \color{black} C_{2x} & \color{blue}C_{2y}& \color{blue}T_{I2}&\color{blue} C_{2x} & \color{black}C_{2y}\\ \color{black} C_{3x} & \color{black}C_{3y}& \color{blue}T_{I3}& \color{blue} C_{3x} & \color{blue}C_{3y} \end{bmatrix}=\color{blue}(\hspace{0.6cm})\color{black}-\color{red}(\hspace{0.6cm})$

Diagonales secundarias:

$D_z=\begin{bmatrix} \color{black}C_{1x} & \color{black} C_{1y} & \color{red} T_{I1}&\color{red}C_{1x} & \color{red} C_{1y}\\ \color{black} C_{2x} & \color{red}C_{2y}& \color{red}T_{I2}&\color{red} C_{2x} & \color{black}C_{2y}\\ \color{red} C_{3x} & \color{red}C_{3y}& \color{red}T_{I3}& \color{black} C_{3x} & \color{black}C_{3y} \end{bmatrix}=\color{blue}(\hspace{0.6cm})\color{black}-\color{red}(\hspace{0.6cm})$

$D_G=\begin{bmatrix} \color{blue}1 & \color{blue} 2 & \color{blue} 45&\color{red}1 & \color{red} 2\\ \color{black} 1& \color{blue}3& \color{blue}61&\color{blue} 1 & \color{black}3\\ \color{red} 1 & \color{red}4& \color{blue}95& \color{blue} 1 & \color{blue}4 \end{bmatrix}=\color{blue}(285+122+180)\color{black}-\color{red}(135+244+190)$ $$D_G=\color{blue}(587)\color{black}-\color{red}(569)$$ $$D_G=18$$

Recuerda que:$\hspace{0.4cm} G=\cfrac{D_G}{D_S}$

$$G=\frac{18}{2}$$ $$\color{brown}G=9$$

NOTA:$\hspace{0.2 cm}$Cuando se resuelven problemas de ecuaciones, se puede utilizar cualquiera de los métodos o su combinación. En el ejemplo anterior, al hallar dos incógnitas se podía haber reemplazado los valores hallados, en las ecuaciones originales para evitar el proceso del último determinante.

A continuación se presentan 7 ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales 3x3, para que las soluciones por el método adecuado.

1. $\hspace{0.2cm}\begin{cases}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\\[8pt]\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{4}{z}=-1\\[8pt]\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2}\end{cases}$

2. $\hspace{0.2cm}\begin{cases}5x+2y-z=-7\\ x-2y+2z=0\\3y+z=17\end{cases}$

3. $\hspace{0.2cm}\begin{cases}x-5y+z=0\\10x+y+3z=0\\4x+2y-5z=0\end{cases}$

Sistemas de ecuaciones NO lineales 2x2 con ecuaciones cuadráticas

Son aquellos sistemas de ecuaciones, donde una o ambas nos son lineales (de primer grado) presentan al menos una de un grado superior.

Generalmente se resuelven por el método de sustitución, en algunos casos, cuando ambas sean cuadráticas es posible que sea más sencillo utilizar el método de igualación o reducción.

Podemos encontrar los siguientes casos:

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Caso 1: Una ecuación lineal y otra NO lineal.

En este caso se utilizará el método de sustitución, realizando el procedimiento que se indicó anteriormente.

Ejemplo de solución de una ecuación lineal y otra NO lineal

$\hspace{0.2cm}\begin{cases}x-y+3=0\\ x^2+y^2=5\end{cases}$

Lo primero es organizar las ecuaciones, si es el caso.

Igualamos cada factor a cero para obtener:

$$\hspace{0.2cm}\begin{cases}y_1=2\\ y_2=1\end{cases}$$

Reemplazamos cada valor en la ecuación (1) despejada $x=y-3$ , para obtener:

$$\hspace{0.2cm}\begin{cases}x_1=-1\\ x_2=-2\end{cases}$$

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Caso 2: Ambas ecuaciones son NO lineales.

Podemos utilizar el método de reducción, en caso de que ambas ecuaciones sean cuadráticas.

Ejemplo de solución de ambas ecuaciones son NO lineales.

$\hspace{0.2cm}\begin{cases}\color{red}x^2+y^2=41\\\color{blue} x^2-y^2=9\end{cases}$

Si utilizamos el método de reducción, podemos eliminar $y^2$

$$\hspace{0.1cm}x^2+{\color{Red}\bcancel {{\color{black}y^2}}}=41\tag{1}$$ $$\underline{\hspace{0.1cm}x^2\hspace{0.0cm}-\hspace{0.0cm}{\color{Red}\bcancel {{\color{black}y^2}}}\hspace{0cm}=9\tag{2}}$$ $$\hspace{0.1 cm}2x^2\hspace{0.8 cm}=50$$ $$x^2=25$$ $$x=\pm\sqrt{25}$$ $$\hspace{0.2cm}\begin{cases}x_1=5\\ x_2=-5\end{cases}$$

Ahora eliminemos $x^2$, multiplicando la ecuación (2) por -1

$$\hspace{0.1cm}{\color{Red}\bcancel {{\color{black}x^2}}}+y^2=41\tag{1}$$ $$\underline{\hspace{0.1cm}-{\color{Red}\bcancel {{\color{black}x^2}}}\hspace{0.0cm}+\hspace{0.0cm}y^2\hspace{0cm}=-9\tag{2}}$$ $$\hspace{0.8 cm}2y^2\hspace{0.1 cm}=32$$ $$y^2=16$$ $$y=\pm\sqrt{16}$$ $$\hspace{0.2cm}\begin{cases}y_1=4\\ y_2=-4\end{cases}$$

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Caso 3: Una ecuación lineal y una irracional.

Podemos utilizar el método que más se facilite.

Ejemplo de solución de una ecuación lineal y una irracional.

$\hspace{0.2cm}\begin{cases}\color{red}2\cdot\sqrt {x+1}=y+1\\\color{blue} 2x-3y=1\end{cases}$

NOTA:$\hspace{0.2 cm}$Eliminar el radical en la ecuación (1) y luego utilizar el método adecuado. Se debe tener en cuenta que, al tratarse de un radical, se obtienen dos respuestas, una negativa y otra positiva. En el ejemplo se plantea la respuesta positiva, signo que precede la raíz.

$$\color{red}2\sqrt {x+1}=y+1\color{black}\tag{1}$$ $$\left(2\sqrt {x+1}\right)^2=\left(y+1\right)^2$$ $$4\left(x+1\right)=y^2+2y+1$$ $$4x+4=y^2+2y+1$$ $$y^2-4x+2y=3\tag{1}$$

Ahora podemos eliminar la nueva ecuación (1) con la (2), multiplicando la segunda por 2.

$$\hspace{0.1cm}y^2+{\color{Red}\bcancel {{\color{black}4x}}}+2y=3\tag{1}$$ $$\underline{\hspace{0.5cm}-{\color{Red}\bcancel {{\color{black}4x}}}\hspace{0.0cm}-\hspace{0.0cm}6y\hspace{0cm}=2\tag{2}}$$ $$\hspace{0.8 cm}y^2\hspace{0.1 cm}-4y=5$$

A continuación se presentan 7 ejercicios de sistemas de ecuaciones NO lineales, para que las soluciones por cualquier de los métodos vistos anteriormente.

1. $\hspace{0.2cm}\begin{cases}y=x\\y^2=x+2\end{cases}$

2. $\hspace{0.2cm}\begin{cases}3logx+logy=2\\ 5logx+2logy=1\end{cases}$

3. $\hspace{0.2cm}\begin{cases}x^2-2x+y^2=0\\x^2-2y+y^2=0\end{cases}$

Practiquemos

En las siguientes escenas interactivas, adaptadas de Juan Guillermo Rivera, podrás resolver los ejercicios planteados sobre factorización y ecuaciones, para pongas a prueba tus conocimientos.

En cada escena interactiva dispones de 60 minutos para realizar los ejercicios e ir eligiendo la respuesta correcta en el cuestionario. Al finalizar tendrás la posibilidad de ingresar tu nombre y enviar las respuestas a tu docente ingresando su correo en el espacio destinado para ello.

Al solucionar los ejercicios propuestos en las escenas interactivas, estarás en capacidad de resolver los ejercicios propuestos para el capítulo 3.

Opción 1. Factorización y ecuaciones.

Fracciones parciales

Cuando se suman dos fracciones algebraicas propias, es decir, que el grado de $P(x)< Q(x)$, tales que:

$\dfrac{P(x)}{Q(x)}+\dfrac{R(x)}{S(x)}=\dfrac{P(x)\cdot{S(x)}+Q(x)\cdot{R(x)}}{Q(x)\cdot{S(x)}}$

Con $Q(x)\wedge S(x)$, diferentes de cero, al sumarlas se combinan sus términos por medio del común denominador.

En algunos procedimientos del estudio de cálculo integral, se requiere invertir este proceso y volver a las expresiones racionales iniciales.

$\dfrac{P(x)}{Q(x)}+\dfrac{R(x)}{S(x)}$

Este proceso se conoce como fracciones parciales.

El proceso de obtener $\dfrac{P(x)}{Q(x)}+\dfrac{R(x)}{S(x)}$, a partir de $\dfrac{P(x)\cdot{S(x)}+Q(x)\cdot{R(x)}}{Q(x)\cdot{S(x)}}$, se denomina descomposición en fracciones parciales.

Para facilitar su comprensión, analizaremos el siguiente ejemplo:

$$\cfrac{3}{x+2}+\cfrac{4}{x-3}$$

Luego, se puede observar que:

$$\cfrac{7x-1}{x^2-x-6}=\cfrac{A\left(x-3\right)+B\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}$$

Lo que implica que:

$${7x-1}=A\left(x-3\right)+B\left(x+2\right)$$

Se aplica la propiedad distributiva en el término de la derecha y se agrupan saca factor común, donde sea necesario.

$$\color{black}\begin{aligned} 7x-1 &= Ax-3A+Bx+2B\\ &= x\left(A+B\right) -\left(3A-2B\right)\\ \end{aligned}$$ $\hspace{1.1cm}\color{brown}\underline{\color{brown}\hspace{0.3cm}Igual\hspace{0.5cm}}\\$ $\hspace{1cm}\color{brown}\downarrow\hspace{1.5cm}\downarrow$

$\hspace{1cm}$7$x-$1$ = \left(\color{brown}A+B\right)x -\left(\color{blue}3A-2B\right)$

$\hspace{1.7cm}\color{blue}\uparrow\underline{\color{blue}\hspace{0.9cm}Igual\hspace{0.9cm}}\hspace{0.0cm}\uparrow\\$

Quiere decir que:

$$\color{brown}A+B=7\tag{1}$$ $$\color{blue}3A-2B=1\tag{2}$$

Se solución el sistema de ecuaciones 2x2 por uno de los métodos que se vieron anteriormente. En este caso se utilizará el método de eliminación, dado que la variable $B$ esta positiva en la ecuación (1) y negativa en la (2).

Caso 1.

Todos los factores de $Q(x)$ son lineales y ninguno se repite.

En este caso se escribe:

$$\color{brown}\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\cfrac{A_2}{a_2x+b_2}+\ldots+\cfrac{A_n}{a_nx+b_n}$$

Donde $A_1,A_2,\ldots,A_n$ son constantes a determinar.

Ejemplos de fracciones parciales - Caso 1.

1. $\hspace{0.1cm}\cfrac{4x^2+13x-3}{x^3+2x^2-3x}$, se debe hacer es factorizar el denominador.

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{4x^2+13x-9}{x^3+2x^2-3x} &= \cfrac{4x^2+13x-9}{x\left(x^2+2x-3\right)}\\ \cfrac{4x^2+13x-9}{x\left(x+3\right)\left(x-1\right)}\\ \end{aligned}$$
Como los factores del denominador son lineales y ninguno se repite es caso 1. Se escribe la fracción parcial de la siguiente forma:

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{4x^2+13x-9}{x^3+2x^2-3x} &= \cfrac{A}{x}+\cfrac{B}{\left(x+3\right)}+\cfrac{C}{\left(x-1\right)}\\ \end{aligned}$$

Se realiza la suma de fraccionarios del lado derecho de la ecuación.

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{4x^2+13x-9}{x^3+2x^2-3x} &= \cfrac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)A+x\left(x-1\right)B+x\left(x+3\right)C}{x\left(x+3\right)\left(x-1\right)} \end{aligned}$$ ${4x^2+13x-9}= {\left(x+3\right)\left(x-1\right)A+x\left(x-1\right)B+x\left(x+3\right)C}$

Esta ecuación es válida para todos los valores de $x$. Se aplica la propiedad distributiva al lado derecho de la ecuación.

$4x^2+13x-9= \left(x^2+2x-3\right)A+\left(x^2-x\right)B+\left(x^2+3x\right)C$

Se aplica nuevamente la propiedad distributiva, agrupan términos semejantes, se saca factor común y se comparan los términos de la igualdad.

$$\color{black}\begin{aligned} 4x^2+13x-9&= Ax^2+2Ax-3A+x^2B-xB+x^2C+3Cx\\ &= x^2\left(A+B+C\right)+x\left(2A-B+3C\right)-3A\\ \end{aligned}$$ $\hspace{1.1cm}\color{brown}\underline{\color{brown}\hspace{1.8cm}Igual\hspace{0.5cm}}\\$ $\hspace{1cm}\color{brown}\downarrow\hspace{3cm}\downarrow$ $\hspace{-2.4cm}\color{blue}\underline{\color{blue}\hspace{2.8cm}Igual\hspace{1.5cm}}\\$ $\hspace{1.9cm}\color{blue}\downarrow\hspace{5cm}\downarrow$

$\hspace{1cm}$4$x^2+$13$x-$9$ = \left(\color{brown}A+B+C\right)x^2 +\left(\color{blue}2A-B+3C\right)x-\color{green}3A$

$\hspace{2.7cm}\color{green}\uparrow\underline{\color{green}\hspace{3.2cm}Igual\hspace{1.9cm}}\hspace{0.0cm}\uparrow\\$

$$A=\cfrac{8}{4}$$ $$C=2$$

Conociendo las variables $A\wedge C$, se reemplazan en la ecuación (4) o (5), para obtener el valor de $B$.

$$\color{black}B+C=1\tag{4}$$ $$\color{black}B+2=1$$ $$\color{black}B=-1$$

Ahora se reemplaza en:

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{4x^2+13x-9}{x^3+2x^2-3x} = \cfrac{A}{x}+\cfrac{B}{\left(x+3\right)}+\cfrac{C}{\left(x-1\right)}\\ \end{aligned}$$ $$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{4x^2+13x-9}{x^3+2x^2-3x} &= \cfrac{3}{x}+\cfrac{-1}{\left(x+3\right)}+\cfrac{2}{\left(x-1\right)}\\ \end{aligned}$$

$\cfrac{4x^2+13x-9}{x^3+2x^2-3x}=\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{\left(x+3\right)}+\cfrac{2}{\left(x-1\right)}$

Como la ecuación,

${4x^2+13x-9}= {\left(x+3\right)\left(x-1\right)A+x\left(x-1\right)B+x\left(x+3\right)C}$, es válida para todos los valores de $x$ y sabiendo que el denominador del ejemplo inicial, luego de ser factorizado es:${x\left(x+3\right)\left(x-1\right)}$, hay una

forma alternativa para hallar $A,B \wedge C$, en lugar de igualar los coeficientes y usar un sistema de ecuaciones 3x3, se utilizan los valores críticos $x=0, x=-3\wedge x=1$ para simplificar la solución.

Para $x=0$, $\hspace{0.1cm}$se elimina $B\wedge C$

$4\left(0\right)^2+13\left(0\right)-9=\left(0+3\right)\left(0-1\right)A\\ -9=-3A\\ A=3\\$

Para $x=-3$, $\hspace{0.1cm}$se elimina $A\wedge C$

${4\left(-3\right)^2+13\left(-3\right)-9}=+(-3)\left(-3-1\right)B\\ {36-39-9}=-3\left(-4\right)B\\ {-12}=12B\\ {B}=-1$

Para $x=1$, $\hspace{0.1cm}$se elimina $A\wedge B$

${4\left(1\right)^2+13\left(1\right)-9}=1\left(1+3\right)C\\ {4+13-9}=1\left(4\right)C\\ {8}=4C\\ {C}=2$

1. $\hspace{0.2cm}\cfrac{2x+1}{x^2+2x-3}$

Se factoriza el denominador.
$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{2x+1}{x^2+2x-3} = \cfrac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\\ \end{aligned}$$

$B=\cfrac{5}{4}$

Reemplazando en $\cfrac{2x+1}{x^2+2x-3} = \cfrac{A}{\left(x-1\right)}+\cfrac{B}{\left(x+3\right)}$, se obtiene:

$\cfrac{2x+1}{x^2+2x-3} = \cfrac{\cfrac{3}{4}}{\left(x+3\right)}+\cfrac{\cfrac{5}{4}}{\left(x-1\right)}$

Puedes comprobar el resultado, realizando las operaciones del lado derecho de la ecuación.

Caso 2.

Todos los factores de $Q(x)$ son lineales y algunos se repiten. Se tiene $\left(ax+b\right)^n$ como factor $Q(x)$, entonces se dice que $\left(ax+b\right)$ es un factor $n$-múltiple de $Q(x)$, y a este factor le corresponderá la suma de $n$ fracciones parciales.

En este caso se escribe:

$\color{brown}\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\cfrac{A_2}{\left(a_2x+b_2\right)^2}+\ldots+\cfrac{A_n}{\left(a_nx+b_n\right)^n}$

Ejemplos de fracciones parciales - Caso 2.

1. $\hspace{0.2cm}\cfrac{x^2+10x-36}{x^3-6x^2+3x}$, se factoriza el denominador.

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{x^2+10x-36}{x^3-6x^2+3x} &= \cfrac{x^2+10x-36}{x\left(x^2-6x+9\right)}\\ &= \cfrac{x^2+10x-36}{x\left(x-3\right)^2}\\ \end{aligned}$$
Podemos ver que el término es lineal pero está repetido dos veces, por lo cual corresponde a una fracción parcial del caso 2, para resolverlo primero se coloca el término lineal $x$, luego el término repetido elevado a la potencia uno y luego elevado al cuadrado. La descomposición en fracciones se escribe de la siguiente forma:

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{x^2+10x-36}{x^3-6x^2+3x} &= \cfrac{A}{x}+\cfrac{B}{\left(x-3\right)}+\cfrac{C}{\left(x-3\right)^2}\\ \end{aligned}$$

Se realiza la suma de fraccionarios del lado derecho de la ecuación.

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{x^2+10x-36}{x^3-6x^2+3x} &= \cfrac{A\left(x-3\right)^2+Bx\left(x-3\right)+Cx}{x\left(x-3\right)^2}\\ \end{aligned}$$

La ecuación, ${x^2+10x-36}={A\left(x-3\right)^2+Bx\left(x-3\right)+Cx}$ es válida para todos los valores de $x$.

Para $x=0$, $\hspace{0.1cm}$se elimina $B\wedge C$

$\left(0\right)^2+10\left(0\right)-36 = {A\left(0-3\right)^2}\\ -36 = 9A\\ A = -4$

Para $x=3$, $\hspace{0.1cm}$se elimina $A\wedge B$

$\left(3\right)^2+10\left(3\right)-36 = C\left(3\right)\\ 9+30-36 = 3C\\ 3 = 3C\\ C = 1$

Para encontrar la $B$, es necesario hacer uso de las ecuaciones, y para ello se tienen que resolver el lado derecho de la ecuación

${x^2+10x-36}={A\left(x-3\right)^2+Bx\left(x-3\right)+Cx}$ ${x^2+10x-36}={A\left(x^2-6x+9\right)+Bx^2-3Bx+Cx}$ ${x^2+10x-36}={Ax^2-6Ax+9A+Bx^2-3Bx+Cx}$

Se saca factor común por agrupación de términos.

${x^2+10x-36}=\left(A+B\right)x^2+\left(-6A-3B+C\right)x+9A$ $\hspace{1.1cm}\color{brown}\underline{\color{brown}\hspace{1.5cm}Igual\hspace{0.3cm}}\\$ $\hspace{1cm}\color{brown}\downarrow\hspace{2.5cm}\downarrow$ $\hspace{-1.9cm}\color{blue}\underline{\color{blue}\hspace{2.3cm}Igual\hspace{1.5cm}}\\$ $\hspace{1.9cm}\color{blue}\downarrow\hspace{4.5cm}\downarrow$

$\hspace{1cm}$1$x^2+$10$x-$36 $ = \left(\color{brown}A+B\right)x^2 +\left(\color{blue}-6A-3B+C\right)x+\color{green}9A$

$\hspace{2.8cm}\color{green}\uparrow\underline{\color{green}\hspace{3.0cm}Igual\hspace{1.9cm}}\hspace{0.0cm}\uparrow\\$

Ecuaciones:

$\hspace{0.2cm}\begin{cases}\color{brown}A+B=1\\\color{blue} -6A-3B+C=10\\\color{green}9A=-36\end{cases}$

$A+B=1$, se reemplaza el valor de $A$

$-4+B=1\\ B=5$

Ahora se reemplaza en:$\hspace{0.1cm}\cfrac{x^2+10x-36}{x^3-6x^2+3x} = \cfrac{A}{x}+\cfrac{B}{\left(x-3\right)}+\cfrac{C}{\left(x-3\right)^2}$

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{x^2+10x-36}{x^3-6x^2+3x} &= \cfrac{-4}{x}+\cfrac{5}{\left(x-3\right)}+\cfrac{1}{\left(x-3\right)^2}\\ \end{aligned}$$

$\hspace{0.1cm}\cfrac{6x-1}{2x^4-x^3}$
Solución:
$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{6x-1}{2x^4-x^3} &= \cfrac{6x-1}{x^3\left(2x-1\right)}\\ &=\cfrac{6x-1}{x^3\left(2x-1\right)}\tag{1}\\ \end{aligned}$$
Se separa en fracciones parciales.

$\hspace{4cm}$Caso 2$\hspace{1.1cm}$Caso 1
$$\cfrac{6x-1}{2x^4-x^3} = \overbrace{\cfrac{A}{x}+\cfrac{B}{x^2}+\cfrac{C}{x^3}}+\overbrace{\cfrac{D}{\left(2x-1\right)}}\tag{2}$$
Se suma el lado derecho de la ecuación (2).

$$-\left(-8\right)+2B=0$$ $$8+2B=0$$ $$2B=-8$$ $$B=-4$$

Reemplazamos los valores obtenidos $A=-8,B=-4, C=1 \wedge D=16$, en la ecuación (2) del presente ejemplo.

$\hspace{4.4cm}$Caso 2$\hspace{1.1cm}$Caso 1

$$\cfrac{6x-1}{2x^4-x^3} = \overbrace{\cfrac{A}{x}+\cfrac{B}{x^2}+\cfrac{C}{x^3}}+\overbrace{\cfrac{D}{\left(2x-1\right)}}\tag{2}$$ $$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{6x-1}{2x^4-x^3} = \cfrac{-8}{x}+\cfrac{-4}{x^2}+\cfrac{1}{x^3}+\cfrac{16}{\left(2x-1\right)}\\ \end{aligned}$$

$\cfrac{6x-1}{2x^4-x^3}=-\cfrac{8}{x}-\cfrac{4}{x^2}+\cfrac{1}{x^3}+\cfrac{16}{\left(2x-1\right)}$

En la siguiente escena interactiva diseñada por Juan Guillermo Rivera y José Román Galo,podrás practicar solucionando los ejercicios propuestos y tendrás la posibilidad de ampliar tus conocimiento con un lenguaje amigable.

Caso 3.

Todos los factores de $Q(x)$ son lineales, cuadráticos y ninguno se repite.

Al factor cuadrático $ax^2+bx+c$ del denominador le corresponde la fracción parcial de la forma:

$\color{brown}\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{A_{1}xB_1}{a_{1}x^2+b_{1}x+c_{1}}+\cfrac{A_{2}xB_2}{a_{2}x^2+b_{2}x+c_{2}}+\ldots+\cfrac{A_{n}xB_n}{a_{n}x^2+b_{n}x+c_{n}}$

Ejemplos de fracciones parciales - Caso 3.

$\hspace{0.1cm}\cfrac{4+5x^2}{x^3+4x}$
Se factoriza el denominador.
$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{4+5x^2}{x^3+4x} = \cfrac{4+5x^2}{x\left(x^2+4\right)} \end{aligned}$$
Como los factores del denominador son uno lineal y otro cuadrático y ninguno se repite es el caso 1 y caso 3. Se escribe la fracción parcial de la siguiente forma:

$\hspace{3.9cm}$Caso 1$\hspace{0.6cm}$Caso 3
$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{4+5x^2}{x^3+4x} &= \overbrace\cfrac{A}{x}+\overbrace\cfrac{Bx}{\left(x^2+4\right)}\tag{1}\\ \end{aligned}$$

Se realiza la suma de fraccionarios del lado derecho de la ecuación

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{4+5x^2}{x^3+4x} = \cfrac{A\left(x^2+4\right)+Bx\left(x\right)}{x\left(x^2+4\right)} \end{aligned}$$ $$4+5x^2={A\left(x^2+4\right)+Bx\left(x\right)}\tag{2}$$

La ecuación (2) es válida para todos los valores de $x$. Se aplica la propiedad distributiva al lado derecho.

$$4+5x^2={Ax^2+4A+Bx^2}$$

Se saca factor común y se comparan los términos de la igualdad.

$$4+5x^2={x^2\left(A+B\right)+4A}$$ $\hspace{3.05cm}\color{brown}\underline{\color{brown}\hspace{0.5cm}Igual\hspace{0.5cm}}\\$ $\hspace{3cm}\color{brown}\downarrow\hspace{1.6cm}\downarrow$

$\hspace{3cm}$5$x^2+$4$ = \left(\color{brown}A+B\right)x^2 +$4A

$\hspace{3.8cm}\color{blue}\uparrow\underline{\color{blue}\hspace{1cm}Igual\hspace{0.4cm}}\hspace{0.0cm}\uparrow\\$

$\hspace{0.2cm}\begin{cases}\color{brown}A+B=5\\\color{blue} 4A=4\end{cases}$

Despejando la $A$, se obtiene que $A=1\wedge B=4$

Se reemplaza $A\wedge B$ en la ecuación (1)

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{4+5x^2}{x^3+4x} &= \cfrac{A}{x}+\cfrac{Bx}{\left(x^2+4\right)}\tag{1} \end{aligned}$$

$\cfrac{4+5x^2}{x^3+4x} = \cfrac{1}{x}+\cfrac{4x}{\left(x^2+4\right)}$

$\hspace{0.1cm}\cfrac{4x}{x^4+2x^3+4x^2+2x+3}$

Solución

Se factoriza el denominador.

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{4x}{x^4+2x^3+4x^2+2x+3}&= \cfrac{4x}{x^4+2x^3+3x^2+x^2+2x+3}\\ &=\cfrac{4x}{x^2\left(x^2+2x+3\right)+x^2+2x+3}\\ &=\cfrac{4x}{\left(x^2+2x+3\right)\left(x^2+1\right)} \end{aligned}$$ $$\cfrac{4x}{x^4+2x^3+4x^2+2x+3}=\cfrac{4x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2x+3\right)}$$

En este caso los factores del denominador son cuadráticos y ninguno se repite es el caso 3. Se escribe la fracción parcial de la siguiente forma:

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{4x}{x^4+2x^3+4x^2+2x+3} &=\cfrac{Ax+B}{\left(x^2+1\right)}+\cfrac{Cx+D}{\left(x^2+2x+3\right)}\tag{1}\\ \end{aligned}$$

$\cfrac{4x}{x^4+2x^3+4x^2+2x+3}=\cfrac{\left(x+1\right)}{\left(x^2+1\right)}-\cfrac{\left(x+3\right)}{\left(x^2+2x+3\right)}$

En el video realizado por cctmexico, vas a repasar los conceptos de los tres casos de descomposición en fracciones parciales
explicados anteriormente y podrás ver la utilidad en la solución de integrales.

Caso 4.

Todos los factores de $Q(x)$ son lineales y cuadráticos y algunos se repiten. Si $ax^2+bx+c$ es un factor cuadrático de multiplicidad $_n$ de $Q(x)$.

Entonces el factor $\left(ax^2+bx+c\right)^n$ le corresponde la suma de las siguientes $_n$ fracciones parciales:

$\color{brown}\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{A_{1}x+B}{ax^2+bx+c}+\cfrac{A_{2}x+B_2}{\left(ax^2+bx+c\right)^2}+\ldots+\cfrac{A_{n}x+B_n}{\left(ax^2+bx+c\right)^n}$

Ejemplos de fracciones parciales - Caso 4.

$\hspace{0.1cm}\cfrac{x^3-4x}{x^4+2x^2+1}$

Solución:

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{x^3-4x}{x^4+2x^2+1} =\cfrac{x^3-4x}{\left(x^2+1\right)^2} \end{aligned}$$

En este caso los factores del denominador son lineales y cuadráticos y algunos se repiten, es el caso 4. Se escribe la fracción parcial de la siguiente forma:

$$\cfrac{x^3-4x}{x^4+2x^2+1} =\cfrac{Ax+B}{\left(x^2+1\right)}+\cfrac{Cx+D}{\left(x^2+1\right)^2}\tag{1}$$

Se suman los fraccionarios de la parte derecha de la ecuación (1).

$$\cfrac{x^3-4x}{x^4+2x^2+1} =\cfrac{\left(Ax+B\right)\left(x^2+1\right)+\left(Cx+D\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$$

$$\cfrac{x^3-4x}{x^4+2x^2+1} =\cfrac{Ax+B}{\left(x^2+1\right)}+\cfrac{Cx+D}{\left(x^2+1\right)^2}\tag{1}$$ $$\cfrac{x^3-4x}{x^4+2x^2+1} =\cfrac{\left(1\right)x+0}{\left(x^2+1\right)}+\cfrac{\left(-5\right)x+0}{\left(x^2+1\right)^2}$$

$\cfrac{x^3-4x}{x^4+2x^2+1}=\cfrac{x}{\left(x^2+1\right)}-\cfrac{5x}{\left(x^2+1\right)^2}$

1. $\hspace{0.1cm}\cfrac{x^2}{\left(x^2+4\right)^2}$

Solución:

Los factores del denominador son cuadráticos y se repiten, es el caso 4. Se escribe la fracción parcial de la siguiente forma:
$$\cfrac{x^2}{\left(x^2+4\right)^2} =\cfrac{Ax+B}{\left(x^2+4\right)}+\cfrac{Cx+D}{\left(x^2+4\right)^2}\tag{1}$$
Se suman los fraccionarios de la parte derecha de la ecuación (1).
$$\cfrac{x^2}{\left(x^2+4\right)^2} =\cfrac{\left(Ax+B\right)\left(x^2+4\right)+\left(Cx+D\right)}{\left(x^2+4\right)^2}$$
Se aplica la propiedad distributiva al numerador de la parte derecha de la ecuación anterior.

$$\cfrac{x^2}{\left(x^2+4\right)^2} =\cfrac{\left(0\right)x+1}{\left(x^2+4\right)}+\cfrac{\left(0\right)x+\left(-4\right)}{\left(x^2+4\right)^2}$$

$\cfrac{x^2}{\left(x^2+4\right)^2} =\cfrac{1}{\left(x^2+4\right)}-\cfrac{4x}{\left(x^2+4\right)^2}$

Practiquemos

A continuación encontrarás 10 ejercicios propuestos con su respectiva respuesta, para que confrontes tus resultados.

Se atribuye a Gauss las primeras demostraciones del "Teorema Fundamental del álgebra", presentada en su tesis doctoral (1799) y que dicho trabajo presentó algunos errores muy controversiales, siendo motivo de discusión por mucho tiempo. Sabías que muchos matemáticos, entre ellos: D'Alembert, Lagrange, Laplace, Euler, etc., trataron de justificar dicho resultado?. Fue hasta 1814, cuando el matemático sueco, de padres franceses, Jean Robert Argand, tuvo la dicha de celebrar el reconocimiento general por presentar una demostración correcta de dicho teorema. $P\left(z\right)=a_{n}z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_{1}z+a_{0}$

Inecuaciones

En la recta numérica (sección 1.11), se definió las relaciones de orden como "mayor que" y "menor que", "mayor o igual que" y "menor o igual que" y vimos cómo interpretarlas en la recta de los números reales. Es el momento de solucionar sistemas de inecuaciones.

Inecuaciones lineales

Para resolver inecuaciones lineales, se procede como en las ecuaciones pero se tiene en cuenta que al multiplicar por $-1$, cambio el signo de la desigualdad.

Si una desigualdad se multiplica por un número negativo, la dirección de la desigualdad se invierte.

Ejemplos de inecuaciones lineales

1. $\hspace{0.1cm}8x+4<16+5x$
Como se trata de despejar el valor de la x, las pasamos al lado izquierdo de la desigualad.
$$8x-5x<16-4$$ $$3x<12$$
Dividimos por 3 y simplificamos.
$$\cfrac{3x}{3}<\cfrac{12}{3}$$

2. $\hspace{0.1cm}\cfrac{1}{2}-3x≤\cfrac{5}{2}$ $$\cfrac{1}{2}-3x≤\cfrac{5}{2}$$ $$-3x≤\cfrac{5}{2}-\cfrac{1}{2}$$ $$-3x≤\cfrac{4}{2}$$

$$-x≤\cfrac{2}{3}$$

Como la $x$ quedo negativa, es necesario multiplicar toda la desigualdad por menos 1 y no olvidar cambiar el signo de la desigualdad.

$$\left(-1\right)\left(-x≤\cfrac{2}{3}\right)$$

En ocasiones se presentan inecuaciones simultáneas, es decir, que la variable $x$, se encuentra en medio de dos signos de desigualdad.

En estos casos se procede de la siguiente manera:

$$-\cfrac{8}{2}≤\cfrac{2x}{2}<\cfrac{18}{2}$$

Recordemos que el resultado lo podemos expresar en forma de desigualdad y en forma de intervalo.

En forma de intervalo sería: $[-4,9)$

$\hspace{0.1cm}$A la señora Johnson se le pagan $\$ 15.000 $ al año más una comisión de 8% sobre sus ventas. ¿Qué ventas anuales corresponderían a un ingreso anual entre $\$23.000$ y $\$27.000$?
Solución: Sea $x$=Ventas y 8%$=\cfrac{8}{100}$

Sabemos que le pagan $\$ 15.000 $ al año más una comisión de 8%, como el ingreso anual esta entre $\$23.000$ y $\$27.000$, se debe expresar de la siguiente forma:
$$23000≤15000+\cfrac{8}{100} x≤27000$$
Pasamos el $15000$ a cada lado de la desigualdad, con signo contrario.

$$23000-15000≤\cfrac{8}{100} x≤27000-15000$$ $$8000≤\cfrac{8}{100} x≤12000$$

Para eliminar el factor $\cfrac{8}{100}$, se debe multiplicar por su inverso, es decir, $\cfrac{100}{8}$.

$$\left(\cfrac{100}{8}\right)\cdot 8000≤\left(\cfrac{100}{8}\right)\cdot \cfrac{8}{100} x≤12000\cdot \left(\cfrac{100}{8}\right)$$

Se simplifica.

Las ventas anuales deben estar entre $\$100.000$ y $\$150.000$, para que las ventas mensuales, más las comisiones se mantengan entre $\$23.000$ y $\$27.000$

Inecuaciones con valor absoluto

En la solución, se deben tener en cuenta sus propiedades.

$\left|x\right| =\begin{cases}-x,\hspace{0.2cm} x<0\\\color{brown} \hspace{0.2cm}x, \hspace{0.2cm}x≥ 0\end{cases}$

Si $a$ denota un número real positivo, entonces:

$\left|x\right|=a$ sí y sólo sí $\begin{cases}x=-a\\\color{brown} \hspace{0.4cm}\vee\\\color{brown} x=0\end{cases}$

En la siguiente tabla se resumen los diferentes casos para la solución de inecuaciones con valor absoluto.

Ejemplos de inecuaciones con valor absoluto

$\hspace{0.1cm}\left|3x-7\right|<1$, corresponde al modelo del caso 1.

$$-1<3x-7<1$$ $$-1+7<3x<1+7$$ $$6<3x<8$$ $$\cfrac{6}{3}<x<\cfrac{8}{3}$$

El conjunto solución es el intervalo abierto $\color{brown}\left(2,\cfrac{8}{3}\right)$.

1. $\hspace{0.1cm}\left|3x-6\right|≤12$

Es una inecuación que corresponde al modelo del caso 2.
$$-12≤3x-6≤12$$ $$-12+6≤3x≤12+6$$ $$-6≤3x≤18$$

$$-\cfrac{6}{3}≤\cfrac{3x}{3}≤\cfrac{18}{3}$$

El conjunto solución es el intervalo cerrado $\color{brown}\left[-2,6\right]$

1. $\hspace{0.1cm}\left|3+x\right|>7$

Es una inecuación que corresponde al modelo del caso 3.
$$3+x<-7 \cup 3+x>7$$ $$x<-7-3 \cup x>7-3$$
El conjunto solución es el intervalo abierto $\color{brown}\left(-\infty,-10\right) \cup\left(4,\infty\right)$

1. $\hspace{0.1cm}\left|4-\cfrac{1}{2} x\right|≥7$

Es una inecuación que corresponde al modelo del caso 4.
$$4-\cfrac{1}{2} x≤-7\hspace{0.2cm} \cup \hspace{0.2cm} 4-\cfrac{1}{2} x≥7$$ $$-\cfrac{1}{2} x≤-7-4\hspace{0.2cm} \cup \hspace{0.2cm} -\cfrac{1}{2} x≥7-4$$ $$-\cfrac{1}{2} x≤-11\hspace{0.2cm} \cup \hspace{0.2cm} -\cfrac{1}{2} x≥3$$ $$-x≤-22\hspace{0.2cm} \cup \hspace{0.2cm} -x≥6$$
Multiplicamos por -1 ambas desigualdades, teniendo en cuenta el cambio de la dirección de la desigualdad.

$x≥22\hspace{0.2cm} \cup \hspace{0.2cm} x≤-6$

El conjunto solución es el intervalo $\color{brown}\left(-\infty,-6\right]\hspace{0.2cm} \cup \hspace{0.2cm}\left[22,\infty\right)$

Inecuaciones racionales

Son inecuaciones donde la variable hace parte del numerador y del denominador.

Para solucionar un sistema de inecuaciones racionales, se debe:

$\bullet\hspace{0.3cm}$Se pasan todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad y se realizan las operaciones.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Factorizar el numerador y el denominador.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Buscar los puntos críticos tanto del numerado como del denominar, igualando a cero los factores obtenidos anteriormente.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Evaluar los puntos críticos en los intervalos anterior y posterior para determinar que signo tienen los factores en cada intervalo.

$\bullet\hspace{0.3cm}$Determinar el conjunto solución, de acuerdo al planteamiento de la inecuación.

Ejemplo de Inecuaciones racionales

1. $\hspace{0.1cm}\cfrac{x+4}{x-2}≥3$

Se hace la suma de fraccionarios.
$$\hspace{0.1cm}\cfrac{x+4}{x-2}-\cfrac{3}{1}≥0$$ $$\hspace{0.1cm}\cfrac{\left(1\right)\left(x+4\right)-\left(3\right)\left(x-2\right)}{x-2}≥0$$ $$\hspace{0.1cm}\cfrac{x+4-3x+6}{x-2}≥0$$
Se suman términos semejantes.
$$\hspace{0.1cm}\cfrac{-2x+10}{x-2}≥0$$
En este caso no se requiere factorizar el numerador y el denominador, sólo es necesario encontrar los puntos críticos para cada uno de ellos.

Puntos críticos$\hspace{0.1cm}\begin{cases}Numerador\left(N\right):-2x+10\\\color{black} \hspace{0.2cm}Denominador\left(D\right): x-2\end{cases}$

Puntos críticos$\hspace{0.1cm}\begin{cases}\left(N\right):x=5\\\color{black}\left(D\right): x=2\end{cases}$

Como se puede observar, los puntos críticos son el 2 para el denominador el 5 para numerador.

Se ubican los puntos críticos en la recta numérica y se reemplaza la variable $"x"$ de la inecuación, por valores antes y después del punto, para determinar su signo.

Los puntos críticos en el denominador, significan que son intervalos abiertos en los mismos.

Para $x=1$:

$$\cfrac{-2\left(1\right)+10}{1-2}=\frac{-1+10}{1-2}=\cfrac{+9}{-1}=\cfrac{\left(+\right)}{\left(-\right)}$$

Sólo nos interesa el signo y como el numerador es positivo $\left(+\right)$ y el denominador es negativo $\left(-\right)$, el signo es $\left(-\right)$ ya que $\left(+\right)\cdot\left(-\right)=\left(-\right)$

$$\cfrac{\left(+\right)}{\left(-\right)}=\left(-\right)$$

Si observamos, la inecuación nos plantea los valores que hagan que la fracción sea $≥$ que cero y dado que los números negativos son menores que cero, el intervalo $x<2$ no son solución para la inecuación.

Realizando el procedimiento anterior para los demás intervalos que estén antes y después del punto críticos se determina que:

Para $x=3$, que es un valor que esta en el intervalo $\left(3,5\right)$.

$$\cfrac{\left(+\right)}{\left(+\right)}=\left(+\right)$$

Como la inecuación nos plantea los valores que hagan que la fracción sea $≥0$ y dado que los números positivos son mayores que cero, el intervalo $2<x<5$ es solución para la inecuación.

Para $x=6$, que es un valor que esta en el intervalo $\left(5,\infty\right)$.

$$\cfrac{\left(-\right)}{\left(+\right)}=\left(-\right)$$

El intervalo es negativo, por tanto no es solución para la inecuación.

El conjunto solución es el intervalo $\color{brown}\left(-2,5\right]$, es abierto a la izquierda porque el 2 no se puede incluir, ya que haría el denominador cero y la división por cero es infinita.

$\hspace{0.1cm}\cfrac{x+4}{x-2}≥3$, la solución es:$\left(-2,5\right]$

$\hspace{0.1cm}1+\cfrac{2}{x+1}-\cfrac{2}{x}<0$

Lo primero que se debe hacer es la suma de fraccionarios.

$$\cfrac{1}{1}+\cfrac{2}{x+1}-\cfrac{2}{x}<0$$

El mcm es $x\cdot\left(x+1\right)$.

$$\cfrac{x\cdot\left(x+1\right)+2\cdot\left(x\right)-2\cdot\left(x+1\right)}{x\cdot\left(x+1\right)}<0$$

Sumamos términos semejantes.

$$\cfrac{x^2+x-2}{x\cdot\left(x+1\right)}<0$$

Puntos críticos$\hspace{0.1cm}\begin{cases}Numerador\left(N\right):x+2=0\wedge x-1=0\\\color{black} \hspace{0.2cm}Denominador\left(D\right): x=0\wedge x+1=0\end{cases}$

Puntos críticos$\hspace{0.1cm}\begin{cases}\left(N\right):x=-2\wedge x=1\\\color{black}\left(D\right): x=0 \wedge x=-1\end{cases}$

El conjunto solución es el intervalo:

$\left[-2,-1\right)\cup\left(0,1\right]$

Inecuaciones cuadráticas

Son inecuaciones con presencia de trinomios de la forma $x^2+bx+c$ o que se solucionan con la utilización de la fórmula general.

Ejemplo de Inecuaciones cuadráticas

Lo primero que se tiene que identificar son las posibles restricciones que se presenten en la inecuación.

En este caso, obsérvese que la inecuación tiene que cumplir con 2 condiciones.

Que $4x^2-9x+2≥0$, ya que la $\sqrt{\textsf{Números\; negativos}} = \textsf{Imaginarios} \left(i\right)$ y que $\sqrt{4x^2-9x+2}≥2x+1$.

Valores Críticos: $4x-1=0\wedge x-2=0$, por lo que $x=\cfrac{1}{4}\hspace{0.1cm}\wedge\hspace{0.1cm} x=2$

Por lo que tenemos que solucionar las dos restricciones en forma independiente y luego la solución será la intersección entre las dos soluciones.

Para la primera restricción: $4x^2-9x+2≥0$

$\centerdot\hspace{0.3cm}$ Lo primero es factorizar $\left(4x-1\right)\cdot\left(x-2\right)<0$

$\centerdot\hspace{0.3cm}$Ya tenemos 2 factores, ahora lo que sigue es hallar los valores críticos, igualando a cero y obtener la solución.

El conjunto solución es el intervalo:

$\left(-\infty,\cfrac{1}{4}\right]\hspace{0.1cm}\cup\hspace{0.1cm}\left[2,\infty\right)$
Para la primera restricción: $\sqrt{4x^2-9x+2}<2x+1$
$\centerdot\hspace{0.3cm}$Es necesario eliminar el radical, elevando al cuadrado cada lado de la desigualdad.

$$\sqrt{4x^2-9x+2}<2x+1$$ $$\left(\sqrt{4x^2-9x+2}\right)^2<\left(2x+1\right)^2$$

En el lado izquierdo de la desigualdad, simplemente se saca del radical y en el lado derecho es el cuadrado de un binomio.

$$4x^2-9x+2<4x^2+4x+1$$

Llevamos la desigualdad a cero, pasando los términos del lado derecho al izquierdo.

$$4x^2-9x+2-4x^2-4x-1<0$$ $$-13x+1<0$$

Como la $x$ quedó negativa, multiplicamos toda la desigualdad por menos y cambiamos de signo.

$$13x>1, \text{luego}\hspace{0.2cm}x=\cfrac{1}{13}$$

El conjunto solución es el intervalo $\left(\cfrac{1}{13},\infty\right)$.La solución total es la intersección entre los resultados de las dos restricciones.

El conjunto solución es el intervalo:

$\left(\cfrac{1}{13},\cfrac{1}{4}\right]\hspace{0.1cm}\cup\hspace{0.1cm}\left[2,\infty\right)$

Introducción

La trigonometría es una subdivisión de las matemáticas encargada de calcular los elementos de los diferentes triángulos, estudiando la relación entre sus ángulos y sus lados.

Según Zill, Dennis. (2012), "...Los rudimentos de la trigonometría se remontan al trabajo de matemáticos griegos, egipcios, indios, árabes y chinos. La palabra trigonometría se deriva de dos vocablos griegos: trigon, que significa triángulo, y metro, que significa medida. Por tanto, el nombre trigonometría hace alusión a las diversas relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados."

Ángulos

Se forma por dos semirrectas que tienen un extremo en común llamado vértice. Una de las semirrectas será el lado inicial y la otra el lado terminal, como se muestra en la Figura 2. Ángulo (Zill, $3^{a}$ edición).

Cuando el ángulo se ubica en el plano cartesiano y tiene como lado inicial el eje positivo de las $x$, con vértice en el origen, se dice que el ángulo está en posición normal o estándar. Figura 3. Posición normal (Zill, $3^{a}$ edición).

Los ángulos se miden en grados o en radianes, con las siguientes

equivalencias.

$360^{\circ}=2\pi\longrightarrow 180^{\circ}=\pi$

Figura 4. Ángulo de 360 grados (Zill, $3^{a}$ edición).

Ejemplos de conversión de ángulos

1. $\hspace{0.2cm}$Convertir $210^{\circ}$ a radianes.

2. $\hspace{0.2cm}$Convertir $150^{\circ}$ a radianes.
$$15{\color{Red}\bcancel {{\color{black}0^{\circ}}}}\cdot\cfrac{\pi}{18{\color{Red}\bcancel {{\color{black}0^{\circ}}}}}=\cfrac{15}{18}\pi$$

$150^{\circ}=\cfrac{5}{6}\pi$

1. $\hspace{0.2cm}$Convertir $225^{\circ}$ a radianes.

2. $\hspace{0.2cm}$Convertir $\pi\;$radianes a grados.

3. $\hspace{0.2cm}$Convertir $2\pi\;$radianes a grados.
$${2\color{Red}\bcancel {{\color{black}\pi}}}\cdot\cfrac{180^{\circ}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}\pi}}}}=360^{\circ}$$

$360^{\circ}=2\pi\longrightarrow 180^{\circ}=\pi$

4. $\hspace{0.2cm}$Convertir $\cfrac{2}{5}\pi\;$radianes a grados.

$$\cfrac{2}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}5}}}}{\color{Red}\bcancel {{\color{black}\pi}}}\cdot\cfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}180}}}^{\circ}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}\pi}}}}=2\cdot\left(36^{\circ}\right)$$

$\cfrac{2}{5}\pi\;\text{radianes}=72^{\circ}$

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Ángulos coterminales

Son aquellos ángulos en posición normal que tienen los mismos lados terminales. Por ejemplo, los ángulos $0^{\circ},0^{\circ}+360^{\circ} \wedge 0^{\circ}-360^{\circ}$, los cuales tienen las mismas razones trigonométricas.

Figura 5. Ángulos coterminales (Zill, $3^{a}$ edición).

Ejemplos de ángulos coterminales

Hallar un ángulo coterminal a $30^{\circ},37^{\circ},45^{\circ},53^{\circ},\wedge 60^{\circ}$, tanto positivo como negativo.

En la siguiente tabla, se resume la solución.

$30^{\circ}+360^{\circ}=390^{\circ}$

$37^{\circ}+360^{\circ}=397^{\circ}$

$45^{\circ}+360^{\circ}=305^{\circ}$

$53^{\circ}+360^{\circ}=413^{\circ}$

$60^{\circ}+360^{\circ}=420^{\circ}$

$30^{\circ}-360^{\circ}=-330^{\circ}$

$37^{\circ}-360^{\circ}=-323^{\circ}$

$45^{\circ}-360^{\circ}=-315^{\circ}$

$53^{\circ}-360^{\circ}=-307^{\circ}$

$60^{\circ}-360^{\circ}=-300^{\circ}$

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Longitud de arco

Es el recorrido a lo largo de la curva formada desde la parte final del lado inicial de un ángulo, hasta la parte final de su lado terminal.

Cuando se realice el cálculo de la longitud de arco, se debe tener en cuenta que el ángulo este en radianes, es decir, si se presenta en grados, se debe hacer la conversión.

$L=\theta\cdot r,\theta=\cfrac{L}{r},r=\cfrac{L}{\theta}$

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Círculo unitario

El circulo unitario se encuentra centrado en el origen, $r=1$. La ecuación de la circunferencia $x^2+y^2=r^2$ da origen a la ecuación del circulo unitario, dado que $r=1$, luego dicha ecuación será:

$\color{brown}x^2+y^2=1$.

La ecuación anterior es de gran utilidad cuando se desea determinar si un punto $P\left(P_x,P_y\right)$, pertenece al círculo unitario.

Ejemplos círculo unitario

$$\cfrac{3}{9}+\cfrac{6}{9}=1$$

Observen que ha quedado una suma de fraccionarios homogéneos.

$$\cfrac{3+6}{9}=1$$ $$\cfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}9}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}9}}}}=1$$ $$1=1$$

Con el resultado anterior, podemos afirmar que el punto $P\left(\cfrac{\sqrt{3}}{3} ,\cfrac{\sqrt{6}}{3}\right)$, pertenece al círculo unitario.

$\hspace{0.2cm}$Sabiendo que punto $P\left(x ,\cfrac{1}{2}\right)$ pertenece al círculo unitario, encuentre la coordenada faltante. $$x^2+\left(\cfrac{1}{2}\right)^2=1$$ $$x^2=1-\left(\cfrac{1}{2}\right)^2$$ $$x^2=1-\cfrac{1}{4}$$

$$x^2=\cfrac{4}{4}-\cfrac{1}{4}$$ $$x^2=\cfrac{3}{4}$$ $$x=\pm\sqrt{\cfrac{3}{4}}$$ $$x=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$$ $$x=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Nota: El signo $\pm$ indica la existencia de dos puntos que pertenecen al círculo unitario, $P_1\left(\cfrac{\sqrt{3}}{2} ,\cfrac{1}{2}\right)$ ubicado en el primer (I) cuadrante y $P_2\left(-\cfrac{\sqrt{3}}{2} ,\cfrac{1}{2}\right)$, ubicado en el segundo (II) cuadrante.

En la siguiente escena interactiva, al utilizar el deslizador "Ángulo" podrás podrás observar que al desplazarte en una rango comprendido entre $0^{\circ}\wedge 360^{\circ}$, el lado terminal del ángulo siempre se mantiene sobre el círculo.

Puedes utilizar la calculadora, haciendo clic sobre la imagen , para verificar si los siguientes puntos pertenecen al circulo unitario y determina en que cuadrante se encuentran y que ángulo forman (aproximar con dos decimales).

Para facilitar su comprensión, vamos a determinar, si el punto $P(0.71 , 0.71)$ pertenece al círculo unitario.

Recuerda que un punto $P(x , y)$, pertenece al círculo unitario si satisface la ecuación: $\;\color{brown}x^2+y^2=1$

Solución:

$$x^2+y^2=1$$ $$\left(0.71\right)^2+\left(0.71\right)^2=1$$ $$0.5+0.5=1$$ $$1=1$$

Como se puede observar se cumple con la ecuación, por lo tanto el punto $P(0.71 , 0.71)$ pertenece al círculo unitario.

Ahora, si vamos a la escena interactiva y ubicamos el deslizador en radio 1 y el punto $P(0.71 , 0.71)$ (haciendo uso del deslizador "Ángulo".), se puede encontrar el valor del ángulo y el cuadrante al cual pertenece.

Haciendo lo anterior en la escena interactiva, te darás cuenta que:

$\bullet\hspace{0.2cm}$Se trata de un círculo de $r=1$

$\bullet\hspace{0.2cm}$Corresponde a un ángulo de $45^{\circ}$

$\bullet\hspace{0.2cm}$El ángulo pertenece al primer cuadrante.

En la siguiente imagen, obtenida de la escena interactiva se aprecian los resultados.

Determinar si el punto $P(1.41 , 1.41)$ pertenece al círculo unitario.

Solución:

$$x^2+y^2=1$$ $$\left(1.41\right)^2+\left(1.41\right)^2=1$$ $$1.98+1.98=1$$ $$3.98=1$$

Como se puede observar NO se cumple con la ecuación, por lo tanto el punto $P(1.41 , 1.41)$ NO pertenece al círculo unitario.

Lo que si se puede inferir es que es un círculo cuyo radio $r\approx 2$.

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Ángulos complementarios

Son aquellos que sumados son iguales al valor del ángulo de $90^{\circ}$, es decir; el ángulo complementario de $30^{\circ}$, será el de $60^{\circ}$, dado que: $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$

Ángulo complementario.

$$\color{brown}90^{\circ}-\theta$$

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Ángulos suplementarios

Son aquellos que sumados son iguales son iguales al ángulo llano $\left(180^{\circ}\right)$, es decir; el ángulo suplementario de $135^{\circ}$, será el de $45^{\circ}$, dado que: $180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$

Ángulo suplementario.

$$\color{brown}180^{\circ}-\theta$$

Con la ayuda de la siguiente escena interactiva, calcula los ángulos complementarios y suplementarios que se solicitan a continuación.

Ángulos complementarios de:

Ángulos suplementarios de:

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Ángulos de ELEVACIÓN y DEPRESIÓN

Ángulo de ELEVACIÓN: Es el ángulo desde la horizontal hacia un objeto que está en la parte de superior del observador.

Ángulo de DEPRESIÓN: Es el ángulo desde la horizontal hacia un objeto que está en la parte de inferior del observador.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo Rivera, podrás observar y comprender la definición de ángulo de elevación, sólo basta con presionar el botón de "Regresar" y "Animar".

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo Rivera, aprenderás a calcular el ángulo de elevación con diferentes ejemplos propuestos.

Teorema de Pitágoras

Establece que, en todo triángulo rectángulo, la Hipotenusa (H) al cuadrado esa igual a la suma de los cuadrados de sus lados (Cateto opuesto y Cateto adyacente). Para recordar, la Hipotenusa ($H$), es el lado del triángulo ubicado al frente (opuesto) al ángulo recto ( $90^{\circ}$).

Siendo así:

En la siguiente escena interactiva, podrás analizar la definición del teorema de Pitágoras, desplazando el ponto "$A$", en dirección vertical o el punto "$C$" en dirección horizontal, observando el comportamiento de las áreas de los polígonos que rodean el triángulo rectángulo y la definición propia del teorema.

En la medida en que interactúes con la escena, te darás cuenta que el teorema de Pitágoras se aplica a triángulos rectángulos y si observas los ángulos internos del triángulo, te darás cuenta que suman $180^{\circ}$ grados.

Los ángulos internos de un triángulo suman $180^{\circ}$ grados.

Ejemplos Teorema de Pitágoras

1. $\hspace{0.2cm}$Hallar el lado opuesta "$y$", del triángulo rectángulo cuyo lado adyacente es $\sqrt{3}$ y la hipotenusa es $2$.

Lo primero que se debe hacer es construir el dibujo de lo que se plantea en el ejercicio.

Por el teorema de Pitágoras $H^2=CO^2+CA^2$, luego:

$2^2=y^2+(\sqrt{3})^2\\ 4=y^2+3\\ 4-3=y^2\\ y=\pm\sqrt{1}$

2. $\hspace{0.2cm}$Hallar la hipotenusa "$H$", del triángulo rectángulo cuyo lado

opuesto $1$ y el adyacente es $1$.

$H^2=1^2+1^2\\ H^2=1+1\\ H^2=2\\ H=\pm\sqrt{2}$

$\hspace{0.2cm}$Hallar el lado adyacente "$x$", del triángulo rectángulo cuyo lado opuesto $3$ y la hipotenusa es $5$.

$5^2=3^2+x^2\\ 25=9+x^2\\ 25-9=x^2\\ x=\pm\sqrt{2}$

Practiquemos

A continuación se proponen algunos ejercicios para que pongas a prueba tus conocimientos sobre el círculo unitario y el teorema de Pitágoras.

Demuestre que los puntos pertenecen al círculo unitario y halle las coordenadas faltantes

1. $\left(\cfrac{4}{5},\cfrac{-3}{5}\right)$

2. $\left(\cfrac{-5}{13},\cfrac{-12}{13}\right)$

3. $\left(\cfrac{7}{25},\cfrac{-24}{25}\right)$

1. $P\left(\cfrac{-3}{5},\hspace{0.4cm} \right)$, Cuadrante III

2. $P\left(\hspace{0.4cm},\cfrac{-7}{25}\right)$,Cuadrante IV

3. $P\left(\cfrac{3}{5},\hspace{0.6cm} \right)$, Cuadrante I

complete los triángulos rectángulos

Razones trigonométricas

Se definen comúnmente como el cociente entre los lados del triángulo o el cociente entre sus lados y la hipotenusa, asociados al ángulo que forman.

Las razones trigonométricas del seno, coseno y tangente, así como sus inversa, se definen en triángulos rectángulos, es decir que tienen un ángulo recto $90^{\circ}$, en los cuales se puede aplicar el teorema de Pitágoras para obtener magnitudes de lados desconocidos.

En la imagen, podrás observar la relación existente entre los catetos y la hipotenusa de cada una de las razones trigonométricas, siendo:

O = Cateto Opuesto

A = Cateto Adyacente

H = Hipotenusa

Los lados (catetos) de los triángulos rectángulos cambian de nombre, dependiendo del ángulo agudo que se considere. En el siguiente escena interactiva se muestra el cambio, dependiendo del ángulo en que concentres la atención.

En la siguiente escena interactiva diseñada por Juan Guillermo Rivera, podrás aprender a identificar los lados de un triángulo

rectángulo, cambiando de ángulo para que observes el nombre de los lados, según el ángulo que se elija.

Teniendo como referencia al ángulo "$\alpha$" de la escena interactiva anterior y utilizando la sigla , sus razones trigonométricas serán:

$Sen\left(\alpha\right)=\cfrac{Cateto\;Opuesto\;a\;\alpha}{Hipotenusa}\\[15pt]\\ Cos\left(\alpha\right)=\cfrac{Cateto\;Adyacente\;a\;\alpha}{Hipotenusa}\\[15pt]\\ Tan\left(\alpha\right)=\cfrac{Cateto\;Opuesto\;a\;\alpha}{Cateto\;Adyacente\;a\;\alpha}$

Con la siguiente escena interactiva, podrás interactuar y familiarizarte con los lados de los triángulos rectángulos, dependiendo del ángulo agudo que se elija.

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales

Son aquellos ángulos que su lado terminal coincide con los ejes coordenados. Recordemos que un par ordenado tiene componentes en los ejes $x\; e \;y\; (x, y)$, y que los ángulos cuadrantales son $0^{\circ}, 90^{\circ},180^{\circ},270^{\circ} \;\text{y} \;360^{\circ}$, así como todos los que se formen sobre los ejes al girar $n$-vueltas.

Haciendo uso de la escena interactiva del "círculo unitario", analizaremos las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales.

Como puedes observar, al llevar el deslizador a cada uno de los ángulos cuadrantales, las razones trigonométricas coinciden con el punto $P$ de coordenadas $\left(x,y\right)$. Observa la siguiente imagen.

En la escena interactiva, ingresa los ángulos $0^{\circ}, 90^{\circ},180^{\circ},270^{\circ}$ y $360^{\circ}$ en la casilla "Ángulo" de la imagen superior y verifica los resultados.

De la imagen y de la escena interactiva, podemos deducir que:

Las razones trigonométricas $Csc \;0^{\circ} \text{\;\;y} \;\;Cot \;0^{\circ}$, son $\infty$, dado que $Csc \;0^{\circ}=\cfrac{1}{Sen \;0^{\circ}}$ y $Cot \;0^{\circ}=\cfrac{1}{Tan \;0^{\circ}}\;\;$ por lo que la división por cero es infinito.

Como actividad de trabajo individual, con la ayuda de la escena interactiva y de la sigla , pueden calcular las razones trigonométricas de los demás ángulos cuadrantales.

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Signos de las razones trigonométricas

Siempre que se hable de Coseno, pensemos en la coordenada (abscisa) $\;\;"x"$, ya que $x=Cos\;\alpha$ y cuando se hable de Seno, se piensa en la coordenada (ordenada) $"y"\;$, debido a que $y=Sen\;\alpha$.

Teniendo en cuenta lo anterior, podemos tomar como referencia la siguiente gráfica, ya que la "$x$" y la "$y$" son positivas (+) en el primer cuadrante, por tanto, las razones trigonométricas de todos los

ángulos que se encuentren en este cuadrante, también lo serán. Así mismo, en el segundo cuadrante sólo el eje "$y$", es positivo (+) y como ya se dijo, la "$y=Sen\;\alpha$", por tanta la razón $Sen\;\alpha$, es la única positiva, las demás son negativas. De la misma manera se puede analizar los signos de las funciones trigonométricas en el tercer y cuarto cuadrante, sien do la tangente positiva (+) en el tercer (III) cuadrante y el coseno positivo (+) en el cuarto (IV).

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Ángulo de referencia

Es el ángulo agudo que representa un ángulo de cualquier medida, con los signos del cuadrante correspondiente.

En la siguiente escena interactiva "Ángulos equivalentes y signos de las razones trigonométricas", podrá encontrar los ángulos equivalentes para los ángulos agudos que ingrese en la casilla de entrada $\alpha$.

Nota: Se recomienda que se tome como referente el ángulo que se forme con el eje de las abscisas ($x$).

Ejemplos de ángulo de referencia y equivalentes.

1. $\hspace{0.2cm}$Con la ayuda de la escena interactiva anterior, hallar el Seno, Coseno y Tangente para los siguientes ángulos:

Solución:

Para a:

Observa que el ángulo de 30°, se encuentra en el primer (I) cuadrante, se ingresa el ángulo en la casilla de entrada $\alpha$ de la escena interactiva y se toman los valores del punto $P\left(x,y\right)$, teniendo en cuenta que $x=Cos\;\alpha \wedge\;y=Sen\;\alpha$. Siendo así:

$\bullet\hspace{0.2cm}Sen\;30^{\circ}=\cfrac{1}{2}$ $\bullet\hspace{0.2cm}Cos\;30^{\circ}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\bullet\hspace{0.2cm}Tan\;30^{\circ}=\cfrac{Sen\;30^{\circ}}{Cos\;30^{\circ}}=\cfrac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}$ $\hspace{0.4cm}Tan\;30^{\circ}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}$

Para b.

Como se trata de un ángulo de $135^{\circ}$, lo primero es ubicar en que cuadrante se encuentra y cual es su ángulo de referencia en el primer cuadrante. No se debe olvidar que son las mismas razones trigonométricas, pero con los signos del cuadrante al cual pertenece.

Observa que $135^{\circ}$ está en el segundo cuadrante, lo que quiere decir que su ángulo de referencia es $180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$, luego:

$\bullet\hspace{0.2cm}Sen\;135^{\circ}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\bullet\hspace{0.2cm}Cos\;135^{\circ}=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\bullet\hspace{0.2cm}Tan\;135^{\circ}=\cfrac{Sen\;135^{\circ}}{Cos\;135^{\circ}}=\cfrac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}$ $\hspace{0.4cm}Tan\;135^{\circ}=-1$

Como se trata de un ángulo de $240^{\circ}$, se encuentra en el tercer cuadrante y su ángulo de referencia en el primer cuadrante es $240^{\circ}-180^{\circ}=60^{\circ}$, porque sobrepasa el eje de las $x$. No olvidar los signos, luego:

$\bullet\hspace{0.2cm}Sen\;240^{\circ}=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\bullet\hspace{0.2cm}Cos\;240^{\circ}=-\cfrac{1}{2}$

$\bullet\hspace{0.2cm}Tan\;240^{\circ}=\cfrac{Sen\;240^{\circ}}{Cos\;240^{\circ}}=\cfrac{-\cfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\cfrac{1}{2}}$ $\hspace{0.4cm}Tan\;240^{\circ}=1$

Como se trata de un ángulo de $330^{\circ}$, se encuentra en el cuarto cuadrante y su ángulo de referencia en el primer cuadrante es $360^{\circ}-330^{\circ}=30^{\circ}$, porque está por debajo del eje de las $x$ del giro completo. No olvidar los signos.

$\bullet\hspace{0.2cm}Sen\;330^{\circ}=-\cfrac{1}{2}$ $\bullet\hspace{0.2cm}Cos\;330^{\circ}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

Si ingresaste en la escena interactiva $\alpha=30^{\circ}$, te diste cuenta que las razones trigonométricas de $30^{\circ}\wedge330^{\circ}$, sólo cambia el signo del seno, por estar en el cuarto cuadrante y allí, la "$y$" es negativa. Observa la siguiente imagen, tomada de la escena interactiva.

$\bullet\hspace{0.2cm}Tan\;330^{\circ}=\cfrac{Sen\;330^{\circ}}{Cos\;330^{\circ}}=\cfrac{-\cfrac{1}{2}}{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}$ $\hspace{0.4cm}Tan\;330^{\circ}=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}$

1. $\hspace{0.2cm}$Hallar los ángulos de referencia de $135^{\circ}, 240^{\circ}\wedge 330^{\circ}$

1. $\hspace{0.2cm}135^{\circ}$ está en el segundo cuadrante, lo que quiere decir que se toma como referente el ángulo llano ($180^{\circ}$).

$180^{\circ}-135^{\circ}=\color{brown}45^{\circ}$, el ángulo de referencia para el primer (I) cuadrante es $45^{\circ}$, significa que las razones trigonométricas de $135^{\circ}$ son las mismas del ángulo de $45^{\circ}$,

$\hspace{0.8cm}$pero con los signos del segundo (II) cuadrante.

$\hspace{0.4cm}\text{b.}\hspace{0.2cm}240^{\circ}$está en el tercer (III) cuadrante, observa que esta después $\hspace{0.9cm}$ del ángulo llano ($180^{\circ}$), por lo tanto, para hallar el ángulo de $\hspace{0.9cm}$ referencia para el primer (I) cuadrante, se le debe restar ($180^{\circ}$) $\hspace{0.9cm}$ al ángulo dado.

$$240^{\circ}-180^{\circ}=\color{brown}60^{\circ}$$

$\hspace{0.4cm}\text{c.}\hspace{0.2cm}330^{\circ}$ está en el tercer (IV) cuadrante, observa que esta antes $\hspace{0.9cm}$ del ángulo de giro ($360^{\circ}$), por lo tanto, para hallar el ángulo de $\hspace{0.8cm}$ referencia para el primer (I) cuadrante, se le debe restar a
$\hspace{0.9cm}$($360^{\circ}$) el ángulo dado.

$$360^{\circ}-330^{\circ}=\color{brown}60^{\circ}$$

NOTA: No pueden olvidar que se buscan las razones trigonométricas del ángulo de referencia, pero con los signos del cuadrante al que corresponde al ángulo que dieron inicialmente.

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Razones trigonométricas del triángulo rectángulo

podrás aprender a realizar diferentes ejercicios que serán de utilidad para la solución de problemas en contexto.

En la siguiente escena interactiva encontrarás las razones trigonométricas del seno, coseno y tangente para que visualices los cambios en la medida que desplaces el lado terminal (punto rojo) del triángulo rectángulo, pasando por todo el círculo unitario.

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Ángulos notables

En la siguiente escena interactiva diseñada por Juan Guillermo Rivera, podrás aprender a identificar los lados de un triángulo rectángulo, cambiando de ángulo para que observes el nombre de los lados, según el ángulo que se elija.

En la siguiente escena interactiva, podrás aprender a calcular las razones trigonométricas de los ángulos notables "con la mano", numera los dedos desde el dedo meñique, iniciando en cero, hasta el dedo pulgar que sería el $4$ y representa $90^{\circ}$. El seno lo calculas en el sentido de las manecillas del reloj, es decir, desde el dedo pulgar hacia el meñique, siempre sacando raíz cuadrada al número que le corresponde a cada dedo y dividiendo por $2$. Para el coseno, haces lo mismo pero en sentido anti horario, partiendo del dedo meñique hacia el dedo pulgar y los numeras de mayor a menor, es decir $4$, $3$, $2$, $1$.

La escena interactiva diseñada por phet.colorado.edu, te permitirá hacer un recorrido por las gráficas del seno, coseno y tangente y encontrarás las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales y los ángulos notables.

Ejemplos de aplicación con triángulos rectángulos

1. $\hspace{0.2cm}$Una persona vive en un apartamento en un segundo piso y olvida sus llaves, si la altura del piso de la base del edificio a la ventana es de 3 metros y se ubica a una distancia de 4 de la base, formando un ángulo de $36.87^{\circ}$ de elevación, ¿cuánto debe medir la escalera para poder subir por las llaves?

Solución.

En la gráfica siguiente plantea la situación problema.

Para solucionar ejercicios de este tipo, puedes utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Por Pitágoras: Debes recordar el Teorema de Pitágoras

$$H^2=CO^2+CA^2$$

$$\color{black}\begin{aligned} H^2 &= 3^2+4^2\\ &= 9+16 \\ &= 25 \end{aligned}$$ $$\color{black}\begin{aligned} H &= \pm\sqrt{25}\\ &=\color{brown}\pm5 \end{aligned}$$ $$H=\color{brown}\pm5$$

Para efectos de la respuesta, sólo es válida la respuesta positiva $\left(+\right)$, ya que la escalera no esta en dirección bajo tierra.

Por razones trigonométricas: Podemos utilizar alguna de las razones trigonométricas que involucren la hipotenusa $\left(H\right)$.

$$Sen\left(36.87^{\circ}\right)=\cfrac{CO}{H}=\cfrac{3}{H}\\[15pt] Sen\left(36.87^{\circ}\right)=\cfrac{3}{H}\\[15pt] \left(H\right)Sen\left(36.87^{\circ}\right)=3\\[15pt] H=\cfrac{3}{Sen\left(36.87^{\circ}\right)}\\[15pt] H=\cfrac{3}{0.6}$$ $$\color{brown}H=5$$

1. $\hspace{0.2cm}$Una persona de aproximadamente $\sqrt{3}$ metros de estatura, mira la parte superior de un edificio, con un ángulo de elevación de $30^{\circ}$ y si se acerca $8$ metros a la base del edificio y mira la parte superior de una bandera que se encuentra sobre el edificio, el ángulo de elevación será de $60^{\circ}$. Si se sabe que la asta de la bandera mide $8\sqrt{3}$ metros, Determinar:

1. $\hspace{0.2cm}$La distancia inicial entre la persona y la base del edificio.

2. $\hspace{0.2cm}$La altura del edificio.

Solución: Lo primero y bien importante, es hacer una gráfica de lo que nos están planteando.

Se deben plantear ecuaciones que involucren los lados que nos están pidiendo, por lo que la más conveniente es la $Tan\;30^{\circ}$ y $Tan\; 60^{\circ}$

$$Tan \;30^{\circ}=\cfrac{H}{x}\tag{1}$$ $$Tan \;60^{\circ}=\cfrac{H+8\sqrt{3}}{x-8}\tag{2}$$

Ahora reemplazamos los valores que se puedan, por el momento la tangente de los ángulos. Se recomienda dejar los valores indicados.

Despejamos la "$x$" o la "$H$" en las ecuaciones (1) y (2), en este ejemplo es más conveniente despejar la "$x$" e igualamos las variables

$$x=\sqrt{3}\cdot H\tag{3}$$ $$x=\sqrt{3}\cdot\left(8\sqrt{3}\right)$$ $$\color{brown}x=24$$

Distancia inicial a la base del edificio$=24$ metros

La altura total del edificio es igual a la suma de la estatura de la persona, más la "$H$" encontrada.

$$\text{Altura Edificio}= \sqrt{3}+8\sqrt{3}$$

Altura Edificio$= 9\sqrt{3}$

Triángulos oblicuángulos

Son aquellos triángulos en los que ninguno de sus ángulos es recto, por lo que no se pueden resolver utilizando las identidades Pitagóricas y las identidades trigonométricas.

Para la solución de triángulos oblicuángulos en ejercicios propuestos en este contexto, se debe hacer uso de la Ley del seno y de la Ley del Coseno.

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Ley del seno

Esta ley, establece la relación existente entre un ángulo determinado y su lado opuesto.

Como los ángulos $\alpha,\beta \wedge \theta$, no son rectos; es necesarios tratar de obtener ángulos rectos en el triángulo $ABC$. Par ello, se trazará una línea imaginaria desde el vértice $B$ a la intersección de la perpendicular con el lado "$b$" y lo llamaremos "$y$".

El $Sen\;\alpha=\cfrac{y}{c}$, si se despeja la "$y$" nos queda:

$$y=c\cdot Sen\;\alpha\tag{1}$$

El $Sen\;\theta=\cfrac{y}{a}$, si se despeja la "$y$" nos queda:

$$y=a\cdot Sen\;\theta\tag{2}$$

Ahora igualamos las ecuaciones (1) y (2)

$$c\cdot Sen\;\alpha=a\cdot Sen\;\theta$$

Reescribiendo de forma equivalente, nos queda:

$$\cfrac{a}{Sen\;\alpha}=\cfrac{c}{Sen\;\theta}$$

Si $\cfrac{a}{Sen\;\alpha}=\cfrac{c}{Sen\;\theta}$, se deduce que $\cfrac{b}{Sen\;\beta}$

En conclusión la ley del seno queda de la siguiente forma:

$\cfrac{a}{Sen\;\alpha}=\cfrac{b}{Sen\;\beta}=\cfrac{c}{Sen\;\theta}$

Se recomienda utilizar esta fórmula cuando los interrogantes sean los lados, ya que es más fácil para despejar las incógnitas.

De forma equivalente, se puede escribir la ley del seno como:

$\cfrac{Sen\;\alpha}{a}=\cfrac{Sen\;\beta}{b}=\cfrac{Sen\;\theta}{c}$

Se recomienda utilizar esta fórmula cuando los interrogantes sean los ángulos, ya que es más fácil para despejarlos.

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Ley del Coseno

Establece la relación entre los lados que conforman al ángulo y su lado opuesto.

Utilizando el Teorema de Pitágoras:

$$c^2=x^2+y^2\tag{1}$$ $$a^2=y^2+\left(b-x\right)^2\tag{2}$$

Resolviendo el cuadrado de un binomio en $\left(b-x\right)^2$ en la ecuación (2) , nos queda:

$$a^2=y^2+b^2-2bx+x^2$$ $$a^2=x^2+y^2+b^2-2bx$$

Reemplazamos el valor de $\left(x^2+y^2\right)$ de la ecuación (1), en la (2).

$$a^2=b^2+c^2-2bx\tag{3}$$

Ahora,

$$Cos\;\alpha=\cfrac{x}{c}\tag{4}$$

Despejando la $x$ en la ecuación (4) y reemplazando el la (3), se obtiene:

$$x=c\cdot Cos\;\alpha$$ $$a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot Cos\;\alpha$$

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot Cos\;\alpha$

Se puede observar que:

$\bullet\hspace{0.2cm}$El lado opuesto al ángulo $\color{brown}\alpha$, es "$\color{brown}a$" y lo conforman los lados $\color{brown}b \wedge c$

$\bullet\hspace{0.2cm}$El lado opuesto al ángulo $\color{brown}\theta$, es "$\color{brown}c$" y lo conforman los lados $\color{brown}a\wedge b$.

$\bullet\hspace{0.2cm}$El lado opuesto al ángulo $\color{brown}\beta$, es "$\color{brown}b$" y lo conforman los lados $\color{brown}a \wedge c$.

Si queremos hallar $\color{brown}b^2$, observen que los lados que conforman el ángulo $\color{brown}\beta$, son $\color{brown}a \wedge c$, por lo tanto:

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot Cos\;\beta$

Si queremos hallar "$\color{brown}c^2$", observen que los lados que conforman el ángulo $\color{brown}\theta$, son $\color{brown}a\wedge b$, por lo tanto:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot Cos\;\theta$

Para concluir, la ley del coseno se resume en:

Ley del Coseno:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot Cos\;\alpha\\[8pt]b^2=a^2+c^2-2ac\cdot Cos\;\beta\\[8pt]c^2=a^2+b^2-2ab\cdot Cos\;\theta$$

Ejemplos de la ley del Seno y la le del Coseno

$\hspace{0.2cm}$ Un obrero debe subir y bajar con una carretilla por una rampa que tiene una inclinación al subir de $30^{\circ}$ y al bajar de $37^{\circ}$. Si se sabe que la base de la rampa mide $30$ metros, Calcular el recorrido total del obrero.

Solución:

Hacer una gráfica del problema

Recordar que los ángulos internos de un triángulo,

suman $180^{\circ}$, por lo que $\theta=180^{\circ}-30^{\circ}-37^{\circ}$

$$θ=113^{\circ}$$

Sabiendo que $\;\theta=113^{\circ}$, se procede aplicar la ley del Seno.

Despejamos $a$:

Despejamos $b$:

$\cfrac{30}{Sen\;113^{\circ}}=\cfrac{a}{Sen\;37^{\circ}}\\[8pt] a=\cfrac{30Sen\;37^{\circ}}{Sen\;113^{\circ}}\\[8pt] a=19.6$

$\cfrac{30}{Sen\;113^{\circ}}=\cfrac{b}{Sen\;30^{\circ}}\\[8pt] b=\cfrac{30Sen\;30^{\circ}}{Sen\;113^{\circ}}\\[8pt] b=16.3$

El recorrido total es:$\;\;19.6+16.3=35.9$

1. $\hspace{0.2cm}$En un momento determinado cuando un avión voló sobre un camino recto que une a dos ciudades pequeñas, los ángulos de depresión de ambas fueron de $10.2^{\circ}$ y $8.7^{\circ}$.

Determine:

$\bullet\hspace{0.2cm}$Las distancias rectas desde el avión a cada una de las ciudades en ese momento si la separación entre ambas es de $8.45$ Km.

$\bullet\hspace{0.2cm}$La altura del avión.

$\theta=180^{\circ}-10.2^{\circ}-8.7^{\circ}$

$\theta=161.1^{\circ}$

Sabiendo que $\;\theta=161.1^{\circ}$, se procede aplicar la ley del Seno.

Despejamos $a$:

$\cfrac{8.5}{Sen\;161.1^{\circ}}=\cfrac{a}{Sen\;8.7^{\circ}}\\[8pt] a=\cfrac{8.5\cdot Sen\;8.7^{\circ}}{Sen\;161.1^{\circ}}\\[8pt] a=3.97$

Ahora:

$$\cfrac{8.5}{Sen\;161.1^{\circ}}=\cfrac{b}{Sen\;10.2^{\circ}}$$

Despejamos $b$:

$$b=\cfrac{8.5\cdot Sen\;10.2^{\circ}}{Sen\;161.1^{\circ}}\\[8pt] b=4.65$$

La distancia a la otra ciudad es:$\;\;b=4.65\;Km.$

Para hallar la altura ($h$) del avión, podemos utilizar las razones trigonométricas.

$$Sen\;8.7^{\circ}=\cfrac{h}{b}\\[8pt] Sen\;8.7^{\circ}=\cfrac{h}{4.65}\\[8pt] h=4.65\cdot Sen\;8.7^{\circ}\\[8pt] h=0.70 \;\text{Km}$$

La altura es:$\;\;h=0.70\;Km.$

1. $\hspace{0.2cm}$Dos ciclistas parten simultáneamente de un mismo punto en distintas direcciones, con una velocidad constante.

El ciclista $A$, parte en dirección noreste a una velocidad de $50 \frac{Km}{h}$

El ciclista $B$, parte en dirección sureste a una velocidad de $40\frac{Km}{h}$

Si se sabe que el ángulo que los separa es de $60^{\circ}$, al cabo de 2.5 horas que distancia los separa?.

Solución:

Luego de tener la gráfica de que nos plantean en el ejercicio, es importante analizar los datos. El ciclista "A" parte a una velocidad constante de $50 \;\frac{Km}{h}$, quiere decir que en $2.5$ horas a recorrido $125 Km \left(50 \times 2.5\right)$.

El ciclista "B" parte a una velocidad constante de $40 \;\frac{Km}{h}$, quiere decir que en $2.5$ horas a recorrido $100 Km \left(40 \times 2.5\right)$. Como se solicita la distancia entre los ciclistas al cabo de $2.5$ horas, con un ángulo de separación de $60^{\circ}$, es necesario aplicar la ley del coseno.

Debes recordar que $\;\color{blue}a^2=b^2+c^2-2bc\cdot Cos\;\alpha$.

Reemplazamos los datos que se indican en la gráfica.

$$\color{black}\begin{aligned} D^2 &=125^2+100^2-2\left(125\right)\left(100\right)\cdot Cos\;60^{\circ}\\ &=25.625-{\color{Red}\bcancel {{\color{black}25.000}}}\cdot\cfrac{1}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}2}}}}\\ &= 25.625-12.500\\ &=13.125\\ D &=\pm\sqrt{13.125}\\ &=\pm 114,56 \end{aligned}$$

Para la respuesta sólo se toma la parte positiva.

La distancia que los separa es de $114.56$Kilómetros.

En la siguiente escena interactiva, puedes ingresar la información suministrada en el problema, para que verifiques el resultado.

$\hspace{0.2cm}$ Encontrar los ángulos $\alpha,\beta\wedge\theta$ en el siguiente triángulo oblicuángulo.

Dado que se tienen los lados, es necesario utilizar la ley del coseno, al menos para encontrar uno de los ángulos

Debes recordar que $\;\color{blue}a^2=b^2+c^2-2bc\cdot Cos\;\alpha$.

$4.65^2=3.97^2+8.5^2-2\left(3.97\right)\left(8.5\right)\cdot Cos\;\alpha\\[8pt] 21.62=15.76+72.25-67.49\cdot Cos\;α\\[8pt] 21.62=88.01-67.49\cdot Cos\;\alpha$

Despejamos $Cos\;\alpha$

$67.49\cdot Cos\;\alpha=88.01-21.62\\[8pt] 67.49\cdot Cos\;\alpha=66.39\\[8pt] Cos\;\alpha=\cfrac{66.39}{67.49}\\[8pt] Cos\;\alpha=0.9837\\[8pt] \alpha=Cos^{-1}\left(0.984\right)\\[8pt] \color{brown}\alpha=10.26$

Como ya se conoce el ángulo $\alpha$, podemos utilizar la ley del seno para hallar el ángulo $\theta$.

$\cfrac{Sen\;\beta}{3.97}=\cfrac{Sen\;\alpha}{4.65}$

Reemplazamos $\alpha$ y despejamos $Sen\;\beta$

$Sen\;\beta=\cfrac{3.97\cdot Sen\;\left(\alpha\right)}{4.65}\\[8pt] Sen\;\beta=\cfrac{3.97\cdot Sen\;\left(10.26\right)}{4.65}\\[8pt] Sen\;\beta=0.152\\[8pt] \beta=Sen^{-1}\left(0.152\right)\\[8pt] \color{brown}\beta=8.74$

Teniendo $\alpha\wedge\beta$ y recordando que los ángulos internos de un triángulo suman $180^{\circ}$, podemos encontrar $\theta$.

$\theta=180^{\circ}-10.26^{\circ}-8.74^{\circ}\\[8pt] \color{brown}\theta=161^{\circ}$

Los ángulos $\color{brown}\alpha,\beta\wedge\theta\;$, son: $\;10.23^{\circ}, 8.74^{\circ}\wedge 161^{\circ}\;$respectivamente.

En la siguiente escena interactiva se presentan cinco ejercicios de la ley del coseno, donde debes calcular la distancia recorrida por el ciclista en cada uno de los casos. Ingresa la información suministrada y verifica los resultados.

Identidades trigonométricas especiales

Retomamos lo aprendido con el circulo unitario y el teorema de Pitágoras.

Recordemos que la ecuación del círculo unitario es $x^2+y^2=1$, de la cual sacamos conclusiones importantes como:

$Sen\;\alpha=\cfrac{y}{r}=\cfrac{y}{1}=y$, en la que se concluyó que siempre que se mencionen valores en "$y$", se relacionan con el Seno.

$Cos\;\alpha=\cfrac{x}{r}=\cfrac{x}{1}=x$, en la que se concluyó que siempre que se mencionen valores en "$x$", se relacionan con el Coseno.

$Tan\;\alpha=\cfrac{y}{x}=\cfrac{Sen\;\alpha}{Cos\;\alpha}$

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Identidades Pitagóricas

Con lo anterior y conociendo que la ecuación del círculo unitario es $x^2+y^2=1$, podemos reemplazar las "$x$" por el coseno y las "$y$" por el seno.

$$x^2+y^2=1\tag{1}$$

Reemplazando en la ecuación (1), se obtiene:

$$\left(Cos\;\alpha\right)^2+\left(Sen\;\alpha\right)^2=1$$

Por lo general esta identidad trigonométrica se encuentra como:

$\color{brown}Sen^2\;\alpha+Cos^2\;\alpha=1$

Si se divide la ecuación (1), por $x^2$, se obtiene:

$$x^2+y^2=1\tag{1}$$ $$\cfrac{\color{Red}\bcancel {{\color{black}{x^2}}}}{\color{Red}\bcancel {{\color{black}{x^2}}}}+\cfrac{y^2}{x^2}=\cfrac{1}{x^2}$$

Teniendo en cuenta que $Tan\;\alpha=\cfrac{y}{x}$ y que $Cos\;\alpha=x$, de la que se puede concluir que $\cfrac{1}{x}=Sec\;\alpha$, que es la inversa del Coseno, se obtiene:

$$1+\cfrac{Sen^2\:\alpha}{Cos^2\;\alpha}=\cfrac{1}{Cos^2\;\alpha}$$

$\color{brown}1+Tan^2\;\alpha=Sec^2\;\alpha$

Si se divide la ecuación (1), por $y^2$, se obtiene:

$$x^2+y^2=1\tag{1}$$ $$\cfrac{x^2}{y^2}+\cfrac{y^2}{y^2}=\cfrac{1}{y^2}$$

Teniendo en cuenta que $Tan\;\alpha=\cfrac{y}{x}$, entonces $\cfrac{x}{y}=Cot\;\alpha$, que es la inversa de la $Tan\,\alpha$ y que $Sen\;\alpha=y$, de la que se puede concluir que $\cfrac{1}{y}=Csc\;\alpha$, que es la inversa del Seno, se obtiene:

$$\cfrac{x^2}{y^2}+\cfrac{\color{Red}\bcancel {{\color{black}{y^2}}}}{\color{Red}\bcancel {{\color{black}{y^2}}}}=\cfrac{1}{y^2}$$ $$\cfrac{Cos^2\;\alpha}{Sen^2\;\alpha}+1=\cfrac{1}{Sen^2\;\alpha}$$

$\color{brown}1+Cot^2\;\alpha=Csc^2\;\alpha$

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Identidades trigonométricas de ángulos suma y resta

En la siguiente escena interactiva, podrás analizar el paso a paso de la demostración de las identidades trigonométricas de ángulos suma y resta.

Para ello debes identificar el triángulo $\color{orange}\bigtriangleup BOC$ de color naranja y encontrar las razones trigonométricas de seno y coseno. Debes realizar el mismo procedimiento para el triángulo $\color{blue}\bigtriangleup BOC$ de color Azul y el triángulo $\color{red}\bigtriangleup BOC$ de color rojo.

Luego de analizar la escena, podrás concluir que:

$Sen\;\left(\alpha\pm\beta\right)=Sen\;\alpha\cdot Cos\;\beta\pm Cos\;\alpha\cdot Sen\;\beta\\ Cos\;\left(\alpha\pm\beta\right)=Cos\;\alpha\cdot Cos\;\beta\mp Sen\;\alpha\cdot Sen\;\beta$

A partir de estas dos identidades trigonométricas, se puede calcular $Tan\;\left(\alpha\pm\beta\right)$

En este caso debed reemplazar:

$$Sen\;\left(\alpha\pm\beta\right)$$ $$Cos\;\left(\alpha\pm\beta\right)$$

$$\color{black}\begin{aligned} Tan\;\left(\alpha\pm\beta\right) &= \cfrac{Sen\;\left(\alpha\pm\beta\right)}{Cos\;\left(\alpha\pm\beta\right)}\\[15pt] &= \cfrac{Sen\;\alpha\cdot Cos\;\beta\pm Cos\;\alpha\cdot Sen\;\beta}{Cos\;\alpha\cdot Cos\;\beta\mp Sen\;\alpha\cdot Sen\;\beta} \\[15pt] &= \cfrac{\cfrac{Sen\;\alpha\cdot Cos\;\beta\pm Cos\;\alpha\cdot Sen\;\beta}{Cos\;\alpha\cdot Cos\;\beta}}{\cfrac{Cos\;\alpha\cdot Cos\;\beta\mp Sen\;\alpha\cdot Sen\;\beta}{Cos\;\alpha\cdot Cos\;\beta}}\\[25pt] &= \cfrac{\cfrac{Sen\;\alpha\cdot {\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos\;\beta}}}}{Cos\;\alpha\cdot {\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos\;\beta}}}}\pm\cfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos\;\alpha}}}\cdot Sen\;\beta}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos\;\alpha}}}\cdot Cos\;\beta}}{\cfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos\;\alpha}}}\cdot {\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos\;\beta}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos\;\alpha}}}\cdot {\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos\;\beta}}}}\mp\cfrac{Sen\;\alpha\cdot Sen\;\beta}{Cos\;\alpha\cdot Cos\;\beta}}\\[25pt] &=\cfrac{Tan\;\alpha\pm Tan\;\beta}{1\mp Tan\;\alpha\cdot Tan\;\beta} \end{aligned}$$

$Tan\;\left(\alpha\pm\beta\right)=\cfrac{Tan\;\alpha\pm Tan\;\beta}{1\mp Tan\;\alpha\cdot Tan\;\beta}$

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Identidades trigonométricas de ángulos dobles

Para encontrar la formula de $Sen\;2\alpha$, en la formula $Sen\;\left(\alpha + \beta\right)=Sen\;\alpha\cdot Cos\;\beta + Cos⁡\;\alpha\cdot Sen⁡\;\beta$, haremos $\alpha=\beta$. Reemplazando nos queda:

$Sen\;\left(\alpha+\alpha\right)=Sen\;\alpha\cdot Cos\;\alpha + Cos⁡\;\alpha\cdot Sen⁡\;\alpha.$

$Sen\;\left(2\,\alpha\right)=2\cdot Sen\;\alpha\cdot Cos\;\alpha$

Para encontrar la formula de $Cos\;\left(2\;\alpha\right)$, en la fórmula $Cos\;\left(\alpha+\beta\right)=Cos⁡\;\alpha\cdot Cos\;\beta-Sen⁡\;\alpha\cdot Sen⁡\;\beta$, haremos $\alpha=\beta$. Reemplazando nos queda:

$Cos\;\left(\alpha+\alpha\right)=Cos\;\alpha\cdot Cos\;\alpha - Sen⁡\;\alpha\cdot Sen⁡\;\alpha.$

$Cos\;\left(2\,\alpha\right)=Cos^2\;\alpha - Sen^2\;\alpha$

Para encontrar la formula de $Tan\;\left(2\;\alpha\right)$, se reemplaza $Sen\;\left(2\,\alpha\right)\;\text{,}\; Cos\;\left(2\,\alpha\right)$ y se divide por $Cos^2\alpha$. Reemplazando y dividiendo, nos queda:

$$\color{black}\begin{aligned} Tan\;\left(2\;\alpha\right)&= \cfrac{Sen\;\left(2\,\alpha\right)}{Cos\;\left(2\,\alpha\right)} \end{aligned}$$ $$=\dfrac {\dfrac {2\cdot Sen\;\alpha\cdot Cos\;\alpha}{Cos^{2}\alpha}}{\dfrac {Cos^2\;\alpha - Sen^2\;\alpha}{Cos^{2}\alpha}}$$ $$=\dfrac {\dfrac {2\cdot Sen\;\alpha\cdot {\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos\;\alpha}}}}{Cos^{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}2}}}}\alpha}}{\dfrac {{\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos^2\;\alpha}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos^{2}\alpha}}}} - \dfrac{Sen^2\;\alpha}{Cos^{2}\alpha}}$$

$Tan\;\left(2\;\alpha\right)=\dfrac {2\;Tan\;\alpha}{1 - Tan^{2}\alpha}$

$\blacktriangleright\hspace{0.2cm}$Identidades trigonométricas de ángulos medios

En la fórmula $Cos\;\left(2\,\alpha\right)=Cos^2\;\alpha - Sen^2\;\alpha$, expresaremos $Cos\;\left(2\,\alpha\right)$ en términos de $Sen⁡\;\alpha$, haciendo uso de la identidad pitagórica $\;\color{blue}Sen^2\;\alpha+Cos^2\;\alpha=1$, despejamos $Cos^2\;\alpha$.

$$Cos^2\;\alpha=1-Sen^2\;\alpha$$

Reemplazamos en,

$$\color{black}\begin{aligned} Cos\;\left(2\,\alpha\right) &= Cos^2\;\alpha - Sen^2\;\alpha\\ &= 1-Sen^2\;\alpha - Sen^2\;\alpha\\ &= 1 - 2Sen^2\;\alpha \end{aligned}$$

Despejamos $Sen\;\alpha$

$$\color{back}\begin{aligned} 2Sen^2\;\alpha &= 1 - Cos\;\left(2\,\alpha\right)\\ \end{aligned}$$ $$Sen^2\;\alpha = \dfrac{1 - Cos\;\left(2\,\alpha\right)}{2}$$ $$Sen\;\alpha = \sqrt{\dfrac{1 - Cos\;\left(2\,\alpha\right)}{2}}$$

Hacemos un cambio de variable, $\;\alpha=\dfrac{\alpha}{2}$ y reemplazamos.

$Sen\;\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{1 - Cos\;\alpha}{2}}$

En la fórmula $Cos\;\left(2\,\alpha\right)=Cos^2\;\alpha - Sen^2\;\alpha$, expresaremos $Sen\;\left(2\,\alpha\right)$ en términos de $Cos⁡\;\alpha$, haciendo uso de la identidad pitagórica $\;\color{blue}Sen^2\;\alpha+Cos^2\;\alpha=1$, despejamos $Cos^2\;\alpha$.

$$Sen^2\;\alpha=1-Cos^2\;\alpha$$

Reemplazamos en,

$$\color{black}\begin{aligned} Cos\;\left(2\,\alpha\right) &= Cos^2\;\alpha - Sen^2\;\alpha\\ &= Cos^2\;\alpha -\left(1-Cos^2\;\alpha\right)\\ &= 2Cos^2\;\alpha - 1 \end{aligned}$$

Despejamos $Cos\;\alpha$

$$\color{back}\begin{aligned} 2Cos^2\;\alpha &= 1 + Cos\;\left(2\,\alpha\right)\\ \end{aligned}$$ $$\color{black}\begin{aligned} Cos^2\;\alpha &= \dfrac{1 + Cos\;\left(2\,\alpha\right)}{2}\\ \end{aligned}$$ $$Cos\;\alpha = \sqrt{\dfrac{1 + Cos\;\left(2\,\alpha\right)}{2}}$$

Hacemos un cambio de variable, $\;\alpha=\dfrac{\alpha}{2}$ y reemplazamos.

$Cos\;\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{1 + Cos\;\alpha}{2}}$

Con base en las identidades de seno y coseno de ángulos medios, hallamos la $Tan\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)$.

$$\color{black}\begin{aligned} Tan\left(\cfrac{\alpha}{2}\right) &= \dfrac{Sen\;\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}{Cos\;\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}\\[25pt] &= \dfrac{\sqrt{\dfrac{1 - Cos\;\alpha}{2}}}{\sqrt{\dfrac{1 + Cos\;\alpha}{2}}} \end{aligned}$$

Utilizando las propiedades de las potencias, se puedes expresar con un sólo radical.

$$\color{black}\begin{aligned} Tan\left(\cfrac{\alpha}{2}\right) &= \sqrt{\dfrac{\dfrac{1 - Cos\;\alpha}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}2}}}}}{\dfrac{1 + Cos\;\alpha}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}2}}}}}}\\[25pt] &=\sqrt{\dfrac{1 - Cos\;\alpha}{1 + Cos\;\alpha}} \end{aligned}$$

$Tan\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1 - Cos\;\alpha}{1 + Cos\;\alpha}}$

En la siguiente escena interactiva, se presenta un resumen de los ángulos notables y cuadrantales, con la ayuda de la entrada ángulo "$\alpha$" o utilizando podrás ingresar el valor para el ángulo que desees analizar, además puedes seleccionar las casillas de control, para que recuerdes las formulas vistas en el capítulo y que serán de utilidad en la solución de identidades y ecuaciones trigonométricas.

Recuerda en un punto $P\left(x,y\right)$, las "$x$" corresponden a las razones trigonométricas del coseno y las "$y$" corresponden a las razones trigonométricas del seno.

Demostración de identidades trigonométricas

Para realizar la demostración de una identidad trigonométrica, puedes hacer lo siguiente:

$\bullet\hspace{0.2cm}$Convertir el primer término (derecha) en el segundo término (izquierda).

$\bullet\hspace{0.2cm}$Convertir el segundo término (izquierda) en el primer término (derecha).

$\bullet\hspace{0.2cm}$Convertir los dos términos a la par, hasta llegar a una igualdad.

Siguiendo los siguiente criterios:

1. $\hspace{0.2cm}$Empezar con un miembro. Elija un lado de la ecuación y trate de transformarlo en el otro. Se recomienda comenzar con el lado más complicado.

2. $\hspace{0.2cm}$Aplicar identidades conocidas. Use el álgebra y las identidades que conozca. Obtenga común denominador, factorice y aplique las identidades fundamentales para simplificar las expresiones.

3. $\hspace{0.2cm}$Convertir en senos y cosenos. Si encuentra difícil continuar, es útil volver a escribir todas las funciones en términos de senos y de cosenos.

En los siguientes ejemplos, se aplican las identidades trigonométricas para realizar las demostración de las identidades trigonométricas propuestas.

Ejemplos demostración de identidades

Comprobar las siguientes identidades.

1. $\hspace{0.2cm}\cfrac{1-Sen\;\alpha}{Cos\;\alpha}=\cfrac{Cos\;\alpha}{1+Sen\;\alpha}$

Multiplicamos por la conjugada del numerador.
$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{1-Sen\;\alpha}{Cos\;\alpha}=& \cfrac{Cos\;\alpha}{1+Sen\;\alpha}\\[15pt] \cfrac{1-Sen\;\alpha}{Cos\;\alpha}\cdot\cfrac{1+Sen\;\alpha}{1+Sen\;\alpha}=&\\[15pt] \cfrac{1^2-Sen^{2}\alpha}{Cos^{2}\alpha\cdot\left({1+Sen\;\alpha}\right)}=& \end{aligned}$$

Se utiliza la identidad trigonométrica Pitagórica $Cos\;^{2}\alpha +Cos\;^{2}\alpha=1$, se despeja $Cos\;^{2}\alpha$ y se reemplaza

$$Cos\;^{2}\alpha=1-Cos\;^{2}\alpha$$ $$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{Cos^{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}2}}}}\alpha}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}Cos\;\alpha}}}\cdot\left({1+Sen\;\alpha}\right)}=&\cfrac{Cos\;\alpha}{1+Sen\;\alpha}\\[15pt] \end{aligned}$$

$\cfrac{Cos\;\alpha}{1+Sen\;\alpha}=\cfrac{Cos\;\alpha}{1+Sen\;\alpha}$

1. $\hspace{0.2cm}\left(Sen\;\alpha+Cos\;\alpha\right)^2+\left(Sen\;\alpha-Cos\;\alpha\right)^2=2$

Se resuelven los dos cuadrados de un binomio.
$$\color{black}\begin{aligned} \left(Sen\;\alpha+Cos\;\alpha\right)^2+\left(Sen\;\alpha-Cos\;\alpha\right)^2=& 2 \end{aligned}$$
$$\left(\hspace{0.1cm}Sen^{2}\alpha + {\color{Red}\bcancel {{\color{black}2 Sen\;\alpha\cdot Cos\;\alpha}}} + Cos ^{2}\;\alpha\right)$$ $$\underline{\left(+Sen^{2}\alpha- {\color{Red}\bcancel {{\color{black}2 Sen\;\alpha\cdot Cos\;\alpha}}} + Cos^{2}\;\alpha\right)}$$ $$\;\;2Sen^{2}\alpha \color{white}\hspace{2.3cm}\ldots\color{black}+ 2Cos ^{2}\;\alpha$$ $$\color{black}\begin{aligned} 2Sen^{2}\alpha + 2Cos ^{2}\;\alpha&= 2\\ 2\left(Sen^{2}\alpha + Cos ^{2}\;\alpha\right)&=\\ 2\left(1\right)&=\\ \color{brown}2&\color{brown}=2 \end{aligned}$$

1. $\hspace{0.2cm}\cfrac{Cos\;x+Sen\;x}{Sen\;x}=1+\cfrac{1}{Tan\;x}$

Para solucionar esta identidad, lo más conveniente es separar el denominador para cada término de la suma que se tiene en el numerador.

$$\color{black}\begin{aligned} \cfrac{Cos\;x+Sen\;x}{Sen\;x}&= 1+\cfrac{1}{Tan\;x}\\ \cfrac{Cos\;x}{Sen\;x}+\cfrac{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}Sen\;x}}}}{{\color{Red}\bcancel {{\color{black}Sen\;x}}}}&=\\ Cot\;x + 1&=\\ \cfrac{1}{Tan\;x} + 1&=1+\cfrac{1}{Tan\;x} \end{aligned}$$

$1+\cfrac{1}{Tan\;x}=1+\cfrac{1}{Tan\;x}$

adquiridos en los ejemplos anteriores y que serán la base para resolver los ejercicios propuestos a continuación.

Ecuaciones trigonométricas

Es una ecuación que tiene expresiones trigonométricas. Si una ecuación trigonométrica no es identidad, con frecuencia hallamos soluciones mediante el uso de técnicas semejantes a las empleadas para ecuaciones algebraicas. La principal diferencia es que, de la ecuación trigonométrica primero despejamos $Sen\;x$, $Cos\;u$, etcétera y luego hallamos valores de $x \vee u$ que satisfagan la ecuación.

Lo que significa que si $Sen\;30^{\circ}=\cfrac{1}{2}$, en caso de tener una ecuación $Sen\;x=\cfrac{1}{2}$, para encontrar el valor de $x$ se debe calcular:

$$Sen^{-1}\left(\cfrac{1}{2}\right)=x$$ $$\hspace{0.2cm}x=\begin{cases}\color{black}30^{\circ}\\\color{black} \cfrac{\pi}{6}\end{cases}$$

Para dar la respuesta final, se deben buscar todos los ángulos que cumplan esta condición, lo que quiere decir que si no se limita un rango, es necesario girar infinitas veces sobre el vértice del ángulo, siendo NV=Número de vueltas o giros. Esto es:

$$\hspace{0.2cm}x=\begin{cases}\color{black}30^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{\pi}{6}+NV\left(2\pi\right)\\\color{black} 150^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{5\pi}{6}+NV\left(2\pi\right)\end{cases}$$

Observa y analiza detenidamente el video "Ecuaciones trigonométricas - ejercicio 3 (parte 1 de 2)", realizado por Julio Alberto Ríos Gallego "Julio Profe", en el cual presenta la solución, paso a paso una ecuación trigonométrica, que te servirá de base para entender los siguientes ejemplos propuestos.

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas

Para facilitar las respuestas y si se trata de ángulos notables o cuadrantales, te recomiendo utilizar la siguiente escena interactiva que te presenta un resumen de las fórmulas y los resultados de los ángulos en los diferentes cuadrantes, con sus signos respectivos. Esta escena es la misma utilizada en la sección anterior.

1. $\hspace{0.2cm}\sqrt{3}\cdot Sen\;x+Cos\;x=1$

Lo primero que debes hacer es buscar el triángulo rectángulo, cuyo uno de sus lados sea $\sqrt{3}$. Puedes hacer uso de la escena interactiva.

Se trata del triángulo rectángulo de $30^{\circ}$.

$Sen\;30^{\circ}=\cfrac{1}{2}\\[15pt] Cos\;30^{\circ}=\cfrac{\sqrt3}{2}$

Conociendo esto, podemos dividir toda la ecuación por dos (2) y reescribir la ecuación como:

$$\cfrac{\sqrt{3}\cdot Sen\;x}{2}+\cfrac{Cos\;x}{2}=\cfrac{1}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot Sen\;x+\cfrac{1}{2}\cdot Cos\;x=\cfrac{1}{2}$$

Reemplazamos $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ y $\cfrac{1}{2}$, por su equivalencia en el triángulo rectángulo.

$$Cos\;30^{\circ}\cdot Sen\;x+Sen\;30^{\circ}\cdot Cos\;x=\cfrac{1}{2}$$

Observen que se tiene la identidad de trigonométricas de ángulos suma y resta.

$Sen\;\left(\alpha\pm\beta\right)=Sen\;\alpha\cdot Cos\;\beta\pm Cos\;\alpha\cdot Sen\;\beta$

Reemplazamos.

$$Sen\;\left(30^{\circ}+x\right)=Sen\;30^{\circ}\cdot Cos\;x + Cos\;30^{\circ}\cdot Sen⁡\;x=\cfrac{1}{2}$$ $$Sen\left(30^{\circ}+x\right)=\cfrac{1}{2}$$

Podemos hacer un cambio de variable, sea $a=30^{\circ}+x$.

Reescribimos:

$$Sen\;\left(a\right)=\cfrac{1}{2}$$

$\hspace{0.2cm}x=\begin{cases}\color{brown}0^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right),360^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)\\\color{brown}0+NV\left(2\pi\right),2\pi+NV\left(2\pi\right)\\\color{brown}120^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{2\pi}{3}+NV\left(2\pi\right)\end{cases}$

1. $\hspace{0.2cm}Sen\;2x=Sen\;x$

Utilizamos la fórmula de ángulos dobles:

$Sen\;\left(2\,\alpha\right)=2\cdot Sen\;\alpha\cdot Cos\;\alpha$

$$2Sen\;x\cdot Cos\;x=Sen\;x$$ $$2Sen\;x\cdot Cos\;x- Sen\;x=0$$
Sacamos factor común
$$Sen\;x\left(2Cos\;x- 1\right)=0$$
Se iguala cada factor a cero
$$Sen\;x=0$$ $$x=Sen^{-1}\left(0\right)$$ $$\hspace{0.2cm}\color{black}x=\begin{cases}0^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=0+NV\left(2\pi\right)\\\color{black}360^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=2\pi+NV\left(2\pi\right)\end{cases}$$

$$2Cos\;x- 1=0$$ $$Cos\;x=\cfrac{1}{2}$$ $$x=Cos^{-1}\left(\cfrac{1}{2}\right)$$ $$\hspace{0.2cm}\color{black}x=\begin{cases}60^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{\pi}{3}+NV\left(2\pi\right)\\\color{black}300^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{5\pi}{3}+NV\left(2\pi\right)\end{cases}$$

La respuesta final sería:

$\hspace{0.2cm}x=\begin{cases}\color{brown}0^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=0+NV\left(2\pi\right)\\\color{brown}60^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{\pi}{3}+NV\left(2\pi\right)\\\color{brown}300^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{5\pi}{3}+NV\left(2\pi\right)\\360^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=2\pi+NV\left(2\pi\right)\end{cases}$

$$sen\;\left(2a\right)+sen\;⁡\left(a\right)=0$$

Se utiliza la formula de ángulos dobles.

$Sen\;\left(2\,\alpha\right)=2\cdot Sen\;\alpha\cdot Cos\;\alpha$

$$2Sen\;a\cdot Cos\;a+sen\;⁡a=0$$

Se saca factor común y se iguala cada factor a cero.

$$Sen\;α\left(2\cdot Cos\;α+1\right)=0$$

Para $\;Sen\;α=0$:

$$Sen\;α=0$$ $$a=Sen^{-1}\left(0\right)$$ $$\hspace{0.2cm}\color{black}a=\begin{cases}0^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=0+NV\left(2\pi\right)\\\color{black}360^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=2\pi+NV\left(2\pi\right)\end{cases}$$

Para $\;2\cdot Cos\;α+1=0$:

$$Cos\;α=-\cfrac{1}{2}$$ $$a=Cos^{-1}\left(-\cfrac{1}{2}\right)$$

$$\hspace{0.2cm}\color{lack}a=\begin{cases}120^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{2}{3}\pi+NV\left(2\pi\right)\\\color{black}240^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{4}{3}\pi+NV\left(2\pi\right)\end{cases}$$

Ahora se hace el cambio de variable, para cada uno de los valores de $\color{brown}\;a=x+30^{\circ}$.

Para $a=0^{\circ}$:

$$\;0^{\circ}=x+30^{\circ}$$ $$\;x=-30^{\circ}$$

Para $a=360^{\circ}$:

$$\;360^{\circ}=x+30^{\circ}$$ $$\;x=330^{\circ}$$

Para $a=120^{\circ}$:

$$\;120^{\circ}=x+30^{\circ}$$ $$\;x=90^{\circ}$$

Para $a=240^{\circ}$:

$$\;240^{\circ}=x+30^{\circ}$$ $$\;x=210^{\circ}$$

La respuesta final sería:

$\hspace{0.2cm}x=\begin{cases}\color{brown}-30^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=-\cfrac{\pi}{6}+NV\left(2\pi\right)\\\color{brown}90^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{\pi}{2}+NV\left(2\pi\right)\\\color{brown}210^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{7\pi}{6}+NV\left(2\pi\right)\\330^{\circ}+NV\left(360^{\circ}\right)=\cfrac{11\pi}{6}+NV\left(2\pi\right)\end{cases}$

Practiquemos

En las siguientes escenas interactivas, adaptadas de Juan Guillermo Rivera, podrás resolver los ejercicios planteados sobre inecuaciones y problemas de trigonometría, para pongas a prueba tus conocimientos.

En cada escena interactiva dispones de 45 minutos para realizar los ejercicios e ir eligiendo la respuesta correcta en el cuestionario. Al finalizar tendrás la posibilidad de ingresar tu nombre y enviar las respuestas a tu docente ingresando su correo en el espacio destinado para ello.

Al solucionar los ejercicios propuestos en las escenas interactivas, estarás en capacidad de resolver los ejercicios propuestos para el capítulo 5.

Opción 1. Inecuaciones y trigonometría.

# data[].attributes.attachment_link.description
Marco Tulio Mesa Cardona Institución Universitaria Pascual Bravo Fondo Editorial Pascual BravoMedellín2020 Título de la obra: Matemáticas Operativas Autor: Marco Tulio Mesa Cardona Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.

# data[].attributes.body
Objetivo 2:

Aplicar adecuadamente el uso de paréntesis, corchetes y llaves en expresiones con operaciones combinadas.

Proceso de aprendizaje:

4. Taller Evaluativo: (2 horas)

En el siguiente enlace encontrar un taller de cinco preguntas de selección multiple con única respuesta, resuelve en tu cuaderno y entrega a tu profesor.

https://acortar.link/Yqk3Vo

4. En el siguiente enlace encontraras una serie de ejercicio que subiendo de complejidad a medida que los vayas resolviendo, aqui pondras en practica lo aprendido en las secciones anteriores.

Resuelve la expresión matemática, escribe el resultado en el espacio indicado y da clic en COMPROBAR, si no aciertas, la pagina de mostrará cómo es el proceso correcto. Luego, da clic en CONTINUAR, para seguir con otro ejercicio matemático, de esta manera realizarás seis ejercicios.

Para tener en cuenta: en este espacio encontraras el signo de la división en forma de dos puntos así, (:) y el signo de la multiplicación en forma de un punto asi, (.)

Haz clic en el enlace y comienza

https://acortar.link/4vHumI

# data[].attributes.headline
Desarrollo Objetivo 3:  Operaciones combinadas con números naturales, entero y fraccionarios

# data[].attributes.subject
Desarrollo Objetivo 3:  Operaciones combinadas con números naturales, entero y fraccionarios

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Objetivo 3:

Resolver ejercicios que involucren operaciones combinadas con números naturales, enteros y fraccionarios, respetando el orden de operaciones.

Proceso de aprendizaje:

1. Ejercita tus saberes: (1 hora)

En el siguiente enlace encontraras una serie de ejercicio que subiendo de complejidad a medida que los vayas resolviendo, aqui pondras en practica lo aprendido en las secciones anteriores.

Resuelve la expresión matemática, escribe el resultado en el espacio indicado y da clic en COMPROBAR, si no aciertas, la pagina de mostrará cómo es el proceso correcto. Luego, da clic en CONTINUAR, para seguir con otro ejercicio matemático, de esta manera realizarás seis ejercicios.

Para tener en cuenta: en este espacio encontraras el signo de la división en forma de dos puntos así, (:) y el signo de la multiplicación en forma de un punto asi, (.)

Haz clic en el enlace y comienza

https://acortar.link/4vHumI

2. Aprociación del conocimiento: (22 minutos)

En el siguiente enlace encontrarás un video donde se te explicará cómo se ruelven las operciones combiandas entre numeros enteros, naturales y fracciones, teniendo encuenta lo aprendido en las secciones anterios, que al mismo tiempo será un refuerzo a lo amprendido.

Nota: te recomiendo que el video lo mires dos veces.

https://www.youtube.com/watch?v=Qc0s_mh3WCc

3. Verifiquemos lo aprendido: Taller colaborativo en parejas (40 minutos)

El siguiente enlace te llevará a un pdf, vé a la página 36 y resuleves los ejercicios que hay en la actividad 16.1 y 16.2.

Haz clic en el enlace: https://acortar.link/Xu0oav

4. Taller evaluativo: Juega y comprueba lo aprendido. (1 hora)

Haz clic en el enlace, resuelve las expresiones matemáticas y selecciona la respuesta correcta, así lo harás hasta llegar al ejercicio número 5, al llegar al último ejercicio seleccionarás la respuesta correcta y darás clic al avionsito que parece en la parte inferior derecha. Luego, tomarás un pantallazo a los resultados obtenidos y lo enviarás al WhatsApp de tu profesor.

Haz clic en el enlace: https://acortar.link/7XfGM4

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Ejercicios interactivos de matemáticas para Secundaria y Bachillerato.

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Proyecto Descartes es una iniciativa educativa internacional que proporciona recursos digitales interactivos, especialmente en el área de las matemáticas, aunque también abarca otras áreas como ciencias naturales, física, química y lógica. Los materiales están diseñados en formato HTML5 y se pueden usar tanto en línea como sin conexión. Están disponibles gratuitamente y han sido ampliamente utilizados en entornos escolares de habla hispana.

“Un recurso educativo digital se entiende como una entidad digital, autocontenible y reutilizable, con un claro propósito educativo, constituido por al menos tres componentes internos editables: contenidos, actividades de aprendizaje y elementos de contextualización” (Chinchilla Ruedas, s.f., p. 20)

Proyecto Descartes es:

Es digital e interactivo.

Tiene un propósito educativo explícito, centrado en la enseñanza y el aprendizaje activo.

Sus materiales incluyen contenidos explicativos, actividades prácticas y visualizaciones dinámicas.

Los objetos interactivos pueden descargarse y adaptarse a distintos contextos.

Gratuito, abierto y compatible con diversos navegadores y dispositivos.

Formato HTML5, compatible con navegadores modernos y sin necesidad de plugins.

No depende de plataformas externas para su uso ni conexión permanente.

Aunque es portable, no está diseñado para integrarse directamente con LMS.

Los contenidos son generales y no siempre responden a contextos locales o reales.

Cumple con los siguientes componentes pedagógicos:

1. Contenido

Presente. Explica conceptos matemáticos paso a paso con representación gráfica y dinámica.

2. Actividades de aprendizaje

Presente. Los recursos permiten la exploración activa, selección de respuestas y manipulación directa de variables.

3. Contextualización

Parcialmente presente. Aunque algunos objetos incluyen situaciones problema, no siempre se relacionan con contextos reales o culturales del entorno del estudiante.

Límites o aspectos por mejorar

1. Falta de retroalimentación automática completa

Muchos objetos no brindan comentarios explicativos detallados al cometer errores, lo que limita el aprendizaje autónomo reflexivo.

2. Poca contextualización sociocultural

Los recursos son matemáticamente sólidos, pero podrían mejorar incorporando ejemplos vinculados a situaciones de la vida cotidiana o del entorno del estudiante.

3. No enfocado en diversidad o accesibilidad universal

La plataforma carece de adaptaciones específicas para personas con discapacidad (lectores de pantalla, navegación por teclado, subtítulos, etc.).

4. Limitada interoperabilidad con sistemas LMS

No están diseñados para integrarse fácilmente en plataformas como Moodle, Classroom u otras sin adaptación técnica.

Proyecto Descartes es un Recurso Educativo Digital altamente efectivo y riguroso desde el punto de vista pedagógico y técnico. Cumple con los criterios establecidos por Chinchilla Ruedas en cuanto a propósito educativo, interactividad, accesibilidad, durabilidad y autonomía. Su enfoque en la visualización matemática y el aprendizaje activo lo convierte en un recurso valioso tanto para clases presenciales como virtuales.

No obstante, puede potenciarse incluyendo mayor retroalimentación automatizada, ejemplos contextualizados culturalmente, y recursos accesibles para estudiantes con necesidades educativas diversas. También sería beneficioso mejorar su integración con entornos virtuales de aprendizaje.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
La "Revista Digital Red Descartes" tiene como objetivo principal la difusión de todo lo concerniente al proyecto Descartes ―proyecto educativo de ámbito global que persigue la mejora de la educación apoyándose en las tecnologías de la información y de la comunicación (TIC) y en las del aprendizaje y el conocimiento (TAC)―, pero con visión abierta a acoger todo aquello que signifique un avance significativo en el ámbito educativo con herramientas y recursos similares.

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En el número 94 de la revista Epsilon de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales se ha publicado el artículo titulado "Sobre la forma y el crecimiento cordobés del Nautilus pompilius". Un detallado trabajo de investigación desarrollado dentro de nuestra RED Descartes.

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Con la versión 1.0 de este editor, desarrollado con javascript, se inicia una nueva andadura que da continuidad al editor de Descartes en Java, y al proyecto Descartes, adaptándonos a las nuevas tendencias tecnológicas: compatibilidad HTML5, multidispositivo (ordenadores, tabletas y smaprtphones) y multisistema operativo.

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Al escribir estas líneas, con el objetivo de describir el nuevo modelo de libro interactivo, no pude abstenerme de retornar al pasado cercano o, mejor, a la historia de los libros interactivos publicados en nuestro portal.

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Proyecto Descartes estuvo invitado al programa Boulevard de Radio Euskadi en su emisión del día 25 de agosto de 2016, para tratar el tema de la radio ficción en la divulgación de personajes matemáticos.

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Calculadora Descartes

Nueva versión 3.1 con estadística bidimensional

Versión 3.1 con estadística bidimensional
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La "Revista Digital Red Descartes" tiene como objetivo principal la difusión de todo lo concerniente al proyecto Descartes ―proyecto educativo de ámbito global que persigue la mejora de la educación apoyándose en las tecnologías de la información y de la comunicación (TIC) y en las del aprendizaje y el conocimiento (TAC)―, pero con visión abierta a acoger todo aquello que signifique un avance significativo en el ámbito educativo con herramientas y recursos similares.

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Colombia Aprende es un portal del Ministerio de Educación Nacional de Colombia que ofrece recursos educativos digitales gratuitos para estudiantes, docentes y familias. Contiene guías, videos, libros, cursos virtuales, contenidos interactivos y enlaces a otras plataformas. Está orientado al fortalecimiento de procesos de enseñanza-aprendizaje en todos los niveles educativos.

“Un RED es una entidad digital, autocontenible y reutilizable, con propósito educativo claro, que incluye contenidos, actividades de aprendizaje y elementos de contextualización” (Chinchilla Ruedas, s.f., p. 20)

Colombia Aprende es:

Es un entorno digital accesible públicamente.

Tiene intencionalidad pedagógica claramente alineada con el currículo colombiano.

Ofrece materiales estructurados que incluyen teoría, ejercicios y aplicación contextualizada (por ejemplo, guías por grado y área).

Los materiales pueden ser usados en diversos contextos y momentos del currículo.

Disponible gratuitamente vía web, sin necesidad de registro obligatorio.

Algunos contenidos pueden quedar obsoletos si no se actualizan periódicamente.

Muchos materiales pueden ser utilizados sin depender de plataformas externas.

No todos los contenidos están diseñados para integrarse fácilmente en LMS.

Algunos recursos están contextualizados para regiones o situaciones específicas.

Cumple con los siguientes componentes pedagogicos:

1. Contenido

Presente. Se ofrecen guías, libros, y material audiovisual con explicaciones conceptuales.

2. Actividades de aprendizaje

Presente. Cada guía incluye ejercicios propuestos, talleres, y actividades prácticas.

3. Contextualización

Presente. Se utilizan ejemplos y situaciones propias del contexto colombiano, especialmente en programas como “Aprender Digital” y “Trayectorias educativas”.

Límites o aspectos por mejorar

1. Interactividad limitada

Muchos recursos son PDF descargables y no permiten interacción directa en línea o retroalimentación automatizada.

2. Actualización y mantenimiento

Algunos enlaces y materiales están desactualizados o son difíciles de encontrar si no se realiza una búsqueda precisa.

3. Accesibilidad universal

Aunque el portal es público, no todos los contenidos están optimizados para estudiantes con discapacidad (ej. lectores de pantalla, subtítulos, contrastes adecuados).

Colombia Aprende es un Recurso Educativo Digital robusto y alineado con las definiciones teóricas establecidas por Chinchilla Ruedas. Cumple con los principios fundamentales de intencionalidad pedagógica, accesibilidad, autonomía y contextualización. Además, facilita el aprendizaje tanto en escenarios presenciales como virtuales.

No obstante, podría fortalecerse aún más con mejoras en interactividad, actualización constante y accesibilidad universal, para responder de manera más inclusiva y eficiente a los desafíos de la educación digital contemporánea.

Un recurso educativo digital debe contar con características como reusabilidad, accesibilidad, autonomía y contextualización, entre otras (Chinchilla Ruedas, s.f.).