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1. Sistema Decimal (Base 10)

Descripción: Este es el sistema numérico más utilizado en el mundo. Cada dígito en un número decimal tiene un valor que depende de su posición. Los dígitos son del 0 al 9.

Valor de Posición: Cada posición representa una potencia de 10. Por ejemplo, en el número 345:

3 está en la posición de las centenas (3×1023 \times 10^23×102)

4 está en la posición de las decenas (4×1014 \times 10^14×101)

5 está en la posición de las unidades (5×1005 \times 10^05×100)

Aplicaciones: Usado en cálculos cotidianos, contabilidad, comercio, etc.

5. Sistema de Numeración Posicional

Definición: En este sistema, el valor de un dígito está determinado por su posición en el número. Por ejemplo, en el número 573, el 5 representa 500, el 7 representa 70 y el 3 representa 3. Esto permite la representación compacta de números grandes.

6. Sistema de Numeración No Posicional

Definición: En estos sistemas, el valor de los símbolos no depende de su posición. Un ejemplo clásico es el sistema de numeración romana, donde los números se representan con letras (I, V, X, L, C, D, M).

Por ejemplo, el número 4 se representa como IV, que no se descompone en potencias de un sistema base.

7. Conversión entre Sistemas

Conversión de Decimal a Binario: Se utiliza la división sucesiva. Por ejemplo, para convertir 13 a binario:

1. 13 / 2 = 6, residuo 1

2. 6 / 2 = 3, residuo 0

3. 3 / 2 = 1, residuo 1

4. 1 / 2 = 0, residuo 1

Leyendo de abajo hacia arriba, 13 en decimal es 1101 en binario.

Conversión de Binario a Decimal: Sumar las potencias de 2. Para 1101:

1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=131 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 131×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13.

Conversión entre otros sistemas: Similar a los ejemplos anteriores, puedes usar divisiones o multiplicaciones sucesivas, dependiendo del sistema de origen y destino.

8. Aplicaciones en la Vida Real

Cálculos Financieros: El sistema decimal es crucial para realizar operaciones financieras.

Programación y Computación: El sistema binario es la base de toda la computación moderna. El hexadecimal facilita la visualización y manejo de números binarios.

Electrónica: En circuitos digitales, los sistemas binario y hexadecimal se utilizan para simplificar la representación de datos.

9. Nuevos Sistemas y Perspectivas

Existen sistemas numéricos más complejos y teóricos, como el sistema de números complejos, pero esos suelen tener aplicaciones más específicas en matemáticas avanzadas y física.

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Sistema Binario (Base 2)

Descripción: Utiliza solo dos dígitos, 0 y 1. Es la base del sistema digital y es fundamental en la computación.

Valor de Posición: Similar al decimal, cada posición representa una potencia de 2. Por ejemplo, en el número binario 1011:

1×23+0×22+1×21+1×20=8+0+2+1=111 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 111×23+0×22+1×21+1×20=8+0+2+1=11 en decimal.

Aplicaciones: Usado en programación, representación de datos, circuitos digitales, y en computadoras.

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Sistema Octal (Base 8)

Descripción: Utiliza ocho dígitos (0-7). Su uso es menos común que el decimal o binario, pero sigue siendo importante en algunos contextos.

Valor de Posición: Cada posición representa una potencia de 8. Por ejemplo, en el número octal 17:

1×81+7×80=8+7=151 \times 8^1 + 7 \times 8^0 = 8 + 7 = 151×81+7×80=8+7=15 en decimal.

Aplicaciones: Utilizado en programación y en algunos sistemas de archivos.

4. Sistema Hexadecimal (Base 16)

Descripción: Utiliza dieciséis símbolos: 0-9 y A-F (donde A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). Este sistema es especialmente útil porque puede representar números binarios de manera más compacta.

Valor de Posición: Cada posición representa una potencia de 16. Por ejemplo, en el número hexadecimal 1A:

1×161+10×160=16+10=261 \times 16^1 + 10 \times 16^0 = 16 + 10 = 261×161+10×160=16+10=26 en decimal.

Aplicaciones: Usado en programación, en la codificación de colores en HTML y CSS, y en direcciones de memoria en sistemas informáticos.

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1. Transformaciones Aditivas y Multiplicativas

Aditivas: Consisten en sumar o restar un valor constante a todos los elementos de un conjunto. Esto puede ser útil para centrar datos en torno a una media o eliminar un sesgo.

Ejemplo: Si tienes los números 5,10,155, 10, 155,10,15 y decides sumar 222, obtienes 7,12,177, 12, 177,12,17.

Multiplicativas: Implican multiplicar o dividir todos los elementos de un conjunto por un valor constante. Se usan para escalar datos.

Ejemplo: Multiplicando 5,10,155, 10, 155,10,15 por 222 se obtienen 10,20,3010, 20, 3010,20,30.

2. Transformaciones de Escala

Estas transformaciones cambian la escala de los números sin alterar la relación entre ellos. Se utilizan frecuentemente en estadística y análisis de datos.

Normalización: Ajusta los datos para que se sitúen en un rango específico, como [0, 1].

Fórmula: (x−min)/(max−min)(x - \text{min}) / (\text{max} - \text{min})(x−min)/(max−min)

Estandarización: Convierte los datos para que tengan una media de 0 y una desviación estándar de 1.

Fórmula: (x−μ)/σ(x - \mu) / \sigma(x−μ)/σ, donde μ\muμ es la media y σ\sigmaσ es la desviación estándar.

3. Transformaciones de Base

Estas transformaciones cambian el sistema numérico en el que se representa un número.

Conversión entre bases: Pasar de un sistema numérico a otro (por ejemplo, decimal a binario, o binario a hexadecimal). Ya discutimos este tema en la sección anterior.

Ejemplo de conversión: Para convertir el decimal 10 a binario, el proceso es dividir por 2 y registrar los restos.

4. Transformaciones Matemáticas

Funciones: Aplicar funciones matemáticas a números para transformarlos.

Funciones lineales: y=mx+by = mx + by=mx+b donde mmm es la pendiente y bbb es la intersección.

Funciones no lineales: Por ejemplo, cuadráticas (y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c) o exponenciales (y=axy = a^xy=ax).

Transformaciones trigonométricas: Involucran el uso de funciones trigonométricas para convertir ángulos y longitudes en distintas formas.

5. Transformaciones en Estadística

Transformación Logarítmica: Se utiliza para manejar datos que tienen una distribución sesgada o para reducir la variabilidad.

Ejemplo: Tomar el logaritmo de los valores puede ayudar a estabilizar la varianza.

Transformación de Box-Cox: Un método de transformación que busca hacer que los datos se ajusten mejor a una distribución normal. Se aplica a datos positivos.

6. Transformaciones Geométricas

Reflexión: Invertir los valores en torno a un eje.

Rotación: Cambiar la orientación de un conjunto de puntos en el espacio.

Escalamiento: Cambiar el tamaño de un conjunto de datos.

7. Aplicaciones Prácticas

Estadística: Las transformaciones se utilizan para cumplir supuestos de normalidad en modelos estadísticos.

Ciencias de Datos: La normalización y estandarización son comunes antes de aplicar algoritmos de aprendizaje automático.

Ingeniería: Las transformaciones son importantes en el procesamiento de señales y análisis de sistemas.

8. Ejemplos de Transformaciones Numéricas

Ejemplo de Normalización:

Datos: 20,30,4020, 30, 4020,30,40

Mínimo = 20, Máximo = 40

Normalización de 303030: (30−20)/(40−20)=0.5(30 - 20) / (40 - 20) = 0.5(30−20)/(40−20)=0.5

Ejemplo de Estandarización:

Datos: 10,20,3010, 20, 3010,20,30

Media (μ\muμ) = 20, Desviación Estándar (σ\sigmaσ) ≈ 8.16

Estandarización de 303030: (30−20)/8.16≈1.22(30 - 20) / 8.16 ≈ 1.22(30−20)/8.16≈1.22

9. Herramientas para Transformaciones Numéricas

Software Estadístico: Como R, Python (con bibliotecas como NumPy y pandas) son ampliamente utilizados para realizar transformaciones numéricas.

Hoja de Cálculo: Herramientas como Excel permiten realizar transformaciones y análisis de datos de forma sencilla.