# data[].attributes.body
2=base

3 = expoente

5 = base

4 = expoente

5 . 5 . 5 . 5 = produto de fatores

625 = potência

Como o expoente é 4, tivemos que repetir a base, que é 5 quatro vezes, em um produto.

⇒ 102 = 10 . 10 = 100

10 = base

2 = expoente

10 . 10 = produto de fatores

100 = potência

Como o expoente é 2, tivemos que repetir a base, que é 10 duas vezes, em um produto.

Tipos de potenciação

Base real e expoente inteiro

Quando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo.

⇒ Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores. Acompanhe alguns exemplos:

2+2 = 2 . 2 = 4

0,3+3 = 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,027

(½ )+2 = ½ . ½ = ¼

⇒ Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo. Observe alguns exemplos:

2-2 = 1 = 1 . 1 = 1

2+2 2 2 4

0,3 – 3 = (3)-3 = (10)+3 = 10 . 10 . 10 = 1000 = 37,037

(10)-3 (3)+3 3 . 3 . 3 27

(½ )-2 = (2/1)+2 = 2 . 2 = 4

⇒ Expoente igual a 1

Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:

a1 = a

21 = 2

41 = 4

1001 = 100

⇒ Expoente igual a 0

Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:

a0 = 1

10000 = 1

250 = 1

Propriedades da potenciação

As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos. Há, no total, cinco propriedades:

Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Exemplos:

an . am = an + m

22 . 23 = 22 + 3 = 25

45 . 42 = 45 + 2 = 47

Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplos:

an : am = an = an - m

am

56 : 52 = 56 = 56 – 2 = 54

52

92 : 93 = 92 = 92 – 3 = 9-1

93

Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes. Exemplos:

(an)m = an . m

(74)2 = 74 . 2 = 78

(123)2 = 123 . 2 = 126

Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores. Exemplos:

(a . b)n = ( an . bn)

(4 . 5)2 = (42 . 52)

(12 . 9)3 = (123 . 93)

Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases. Exemplo:

an . bn = (a . b)n

42 . 62 = (4 . 6)2

73 . 43 = (7 . 4)3

# data[].attributes.headline
As propriedades das potências são aplicadas no estudo de potenciação de números reais. Essas propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo de facilitar as operações entre os números que possuem expoentes, sendo muito úteis nas áreas de estudos da Física, Química e Biologia, além de serem também aplicadas constantemente no trabalho com notações científicas.

# data[].attributes.subject
As propriedades das potências são aplicadas no estudo de potenciação de números reais. Essas propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo de facilitar as operações entre os números que possuem expoentes, sendo muito úteis nas áreas de estudos da Física, Química e Biologia, além de serem também aplicadas constantemente no trabalho com notações científicas.

# data[].attributes.body
Existem várias propriedades aplicadas quando temos divisão ou multiplicação de potências de mesma base e potência de potência. Também há casos particulares estudados, como as potências de expoente um, expoente zero e expoente fracionário.

Leia também: Notação científica – o uso de potências de base dez para representar números

1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma base

Para simplificar a multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.

an · am= an+m

Exemplo 1:

54· 5² = 5·5·5·5·5·5 = 56

Logo, temos que:

54· 5² = 54+2=56

Se necessário, é possível encontrar a potência de 56 realizando a multiplicação sucessiva de 5 por ele mesmo 6 vezes, porém, no uso da propriedade, o interesse é representar a multiplicação de duas ou mais potências como uma potência só.

Exemplo 2:

2³ · 25 · 22=23+5+2=210

2ª propriedade – Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos o expoente do numerador pelo expoente do denominador.

an : am= an - m

Exemplo 1:

Logo, temos que:

28 : 25 = 28-5 = 2³

Note que realizar a simplificação é bem mais prático do que resolver essas potências de forma separada e depois fazer a divisão. Como ressaltado anteriormente, a intenção das propriedades é simplificar e facilitar as contas com potências.

Exemplo 2:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

3ª propriedade – Potência de potência

Ao calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

(am)n=am · n

Exemplo 1:

(5³)² = (5 · 5 · 5)² = (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 56

Logo, temos que:

(5³)² =53 · 2 = 56

Assim como as duas propriedades anteriores, a aplicação dessa propriedade ajuda a realizar essa operação de forma mais rápida

Exemplo 2

(45)-3 = 45 · (-3) = 4-15

4ª propriedade – Potência de um produto

Dado um produto de dois números reais elevados a um expoente, podemos elevar cada um dos fatores a esse expoente.

(a · b)n = an · bn

Exemplo:

(2 · 4)3=(2 · 4)(2 · 4)(2 · 4) = 2 · 2 · 2 · 4 · 4 · 4 = 23 · 43

Logo, temos que:

(2 · 4)3 = 23 · 43

5ª propriedade – Potência do quociente

Conhecida como potência de um quociente e análoga à propriedade anterior, sempre que houver uma potência de um quociente, podemos calcular a potência do dividendo e a potência do divisor.

(a : b)n = an : bn

Exemplo:

(6 : 4)² = (6 : 4) · (6 : 4) = 6² · 4²

Logo, temos que:

(6 : 4)² =6² : 4²

As propriedades de potências ajudam bastante na hora de resolver problemas com potências.

As propriedades de potências ajudam bastante na hora de resolver problemas com potências.

Casos particulares de potência

Existem alguns casos particulares de potência que merecem ser ressaltados, já que conhecer cada um deles é tão importante quanto o domínio das próprias propriedades. São eles:

potência de uma fração;

potência de expoente igual a 0;

potência de expoente igual a 1;

potência com o expoente negativo;

potência com expoente fracionário.

→ Potência unitária

Todo número elevado a um é ele mesmo.

a¹ = a

Exemplos:

a) 123¹ = 123

b) 0,54¹ = 054

→ Potência de expoente zero

Todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um. Nesse caso existe uma restrição para a base, pois a potência 00 é uma indeterminação, ou seja, não possui uma resposta nos números reais, assim como a divisão do número zero.

a 0 = 1

Exemplos:

100= 1

0,750= 1

1923923120 = 1

→ Potência de uma fração

Como consequência da propriedade da potência de um quociente, lembrando que a fração é uma divisão, ao calcular uma potência de uma fração, podemos separar a potência desta forma:

Exemplos:

Leia também: Potências com expoente fracionário e decimal

→ Potência com um expoente negativo

Para calcular a potência de um expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente.

Quando a base da potência for um número inteiro, basta escrevermos um sobre a base.

Exemplo:

Quando a base for um número decimal, é necessário realizar a sua representação como uma fração. Quando a base é uma fração, para encontrar o inverso de uma fração, invertemos o numerador com o denominador.

Exemplo:

→ Potência com expoente fracionário

Quando o expoente é fracionário, podemos transformar essa potência em uma radiciação.

Exemplo:

Leia também: Resolvendo raízes por meio da fatoração

Exercícios resolvidos

1) Simplificando a expressão (a3 · b-7 · a2) : (a2 · b-4)2, encontraremos:

a) a/b

b) ab

c) b

d) a²b

Resolução:

Letra B. Usando as propriedades de multiplicação de potência de mesma base, potência de potência e divisão de potência de mesma base, temos que:

(a³ · b-7 · a²) : (a² · b-4)²

(a3+2 · b-5 ) : (a2.2 · b-4.2)

(a5 · b-7 ) : (a4 · b-8)

a5-4 · b-7 - (-8)

a1 · b-7 +8

a1 · b1

a .b

02) (IFG) O valor da expressão aritmética abaixo é equivalente a:

a) 8/17

b) -8/17

c) 16/17

d) -16/17

Resolução:

Letra D.

Resolvendo primeiro o numerador, temos que:

Agora vamos resolver o denominador:

Como temos uma divisão do numerador pelo denominador, vamos multiplicar pelo inverso da segunda fração:

# data[].attributes.headline
O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todo número natural maior que 1 pode ser escrito como produto de números primos, ou seja, é possível decompor em fatores primos.

# data[].attributes.subject
O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todo número natural maior que 1 pode ser escrito como produto de números primos, ou seja, é possível decompor em fatores primos.

# data[].attributes.body
Temos como exemplo:

24

=

2

⋅

2

⋅

2

⋅

3

200

=

2

⋅

2

⋅

2

⋅

2

⋅

5

⋅

5

735

=

3

⋅

5

⋅

7

⋅

7

Tal decomposição é única (a menos da ordem dos fatores) e, além disso, é muito útil na extração de raízes, MDC e MMC.

Índice

1) Introdução

2) Método para decomposição em fatores primos

3) Critérios de divisibilidade

4) Exercícios

Método para decomposição em fatores primos

Vamos apresentar um modo simples e prático para determinar a decomposição de um número em fatores primos através de um exemplo. Para isso, iremos decompor o número 108.

Escreve o número 108 e, ao lado direito dele, traça-se uma reta vertical:

108

Ao lado direito da reta, iremos colocar os números primos que dividem 108. O ideal é sempre começar pelo menor possível. Como 108 é par, então o primeiro número primo que o divide é 2:

108

2

Em seguida, faz-se a divisão de 108 por 2, que dá 54. O resultado colocamos embaixo do 108:

108

2

54

Agora, iremos verificar qual o menor número primo que divide 54 e fazemos o mesmo processo:

108

2

54

2

Sendo 54 dividido por 2 igual a 27, cujo menor número primo que o divide é 3. Assim temos:

108

2

54

2

27

3

E repetimos o mesmo processo até obtermos 1 no lado esquerdo da reta:

108

2

54

2

27

3

9

3

3

3

1

Assim, a decomposição de 108 em fatores primos é:

108

=

2

⋅

2

⋅

3

⋅

3

⋅

3

Em forma de potência, pode ser reescrito como:

108

=

2

2

⋅

3

3

Critérios de divisibilidade

Os critérios de divisibilidade são regras que nos dizem quando um determinado número é divisível por outro sem precisar fazer a conta. Tais critérios auxiliam bastante na decomposição de um número em fatores primos, pois, através delas, já podemos eliminar se tal número será divisível (ou não) por um fator primo.

Divisibilidade por 2: um número será divisível por 2 se ele for par, isto é, se o último algarismo for 0, 2, 4, 6 ou 8. Por exemplo, 2340 e 558 são divisíveis por 2; já 9801 e 8347 não são.

Divisibilidade por 3: um número será divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3. Como exemplo, temos que 2442 é divisível por 3 pois

2

+

4

+

4

+

2

=

12

e 12 é divisível por 3. Agora, 1003 não é divisível por 3 visto que

1

+

0

+

0

+

3

=

4

e 4 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 se o seu último algarismo for 0 ou 5. Por exemplo, 1240 é divisível por 5, assim 995. Já o mesmo não ocorre com 7343.

# data[].attributes.headline
Para sabermos o múltiplo de um número, basta multiplicá-lo por outro número. Observe os múltiplos do número 2:

# data[].attributes.subject
Para sabermos o múltiplo de um número, basta multiplicá-lo por outro número. Observe os múltiplos do número 2:

# data[].attributes.body
2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

2 x 5 = 10

2 x 10 = 20

2 x 20 = 40

... ... ...

Vamos observar os múltiplos do número 3:

3 x 1 = 3

3 x 2 = 6

3 x 3 = 9

3 x 4 = 12

3 x 5 = 15

3 x 6 = 18

3 x 10 = 30

Vale ressaltar que os múltiplos de um número são infinitos. No caso do MMC (mínimo múltiplo comum) entre números naturais, podemos determinar o menor múltiplo aos números dados, de duas maneiras distintas. A primeira consiste em determinar alguns dos múltiplos dos números verificando o menor comum, ou aplicar a regra prática que consiste em fatorar todos os números num mesmo instante. Conheça a 1ª maneira:

Vamos determinar o MMC entre os números 12, 18 e 24

12 = (12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, ...)

18 = (18, 36, 54, 72, 90, 108, ...)

24 = (24, 48, 72, 96, 120, 144, ...)

Observe que dentre os múltiplos descritos, podemos verificar que o número 72 é o menor múltiplo comum aos algarismos 12, 18 e 24.

A 2ª regra consiste em determinar o mínimo múltiplo comum fatorando todos os números de uma única vez. Lembrando que fatorar significa dividir os números por algarismos primos em ordem crescente. Observe o cálculo do MMC entre os números 12, 18 e 34.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

M.M.C. (12, 18, 24) = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72

O mínimo múltiplo comum dos números 12, 18 e 24 é igual a 72.

Os números são alinhados e divididos no mesmo instante. Após a divisão basta multiplicar todos os primos obtidos. O produto entre eles será o mínimo múltiplo comum.

Aplicando a 2ª regra na determinação do MMC entre os números 15, 25 e 70.

M.M.C. (15, 25, 70) = 2 x 3 x 5 x 5 x 7 = 1 050

O mínimo múltiplo comum dos números 15, 25 e 70 é igual a 1 050.

# data[].attributes.headline
Máximo divisor comum, representado por MDC, de dois ou mais números inteiros positivos é o maior número que está na lista de divisores de cada um desses números simultaneamente. Os divisores de um número inteiro são os números que, quando divididos por esse número inteiro, deixam resto zero, ou seja, trata-se de uma divisão exata.

# data[].attributes.subject
Máximo divisor comum, representado por MDC, de dois ou mais números inteiros positivos é o maior número que está na lista de divisores de cada um desses números simultaneamente. Os divisores de um número inteiro são os números que, quando divididos por esse número inteiro, deixam resto zero, ou seja, trata-se de uma divisão exata.

# data[].attributes.body
Com base nessa ideia, podemos dizer que essa lista de divisores nunca passa do número que estamos analisando. Para facilitar a determinação do MDC, vamos utilizar um famoso teorema da matemática conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética. Esse teorema permite-nos realizar a decomposição de um número em fatores primos ao afirmar que todo número composto pode ser escrito como produto de números primos.

O máximo divisor comum é o maior divisor entre dois números.

O máximo divisor comum é o maior divisor entre dois números.

Leia também: Dicas para divisão: 7 dicas para facilitar a solução dessa operação

Divisor comum

Imagine dois ou mais números inteiros positivos, agora, vamos listar os divisores desses números. Quando realizamos essa listagem, percebemos a existência de divisores em comum, isto é: divisores que aparecem ao mesmo tempo em mais de uma lista. Ficou confuso? Veja o exemplo a seguir.

Exemplo

Os divisores dos números 10, 15 e 20:

D (10) = {1, 2, 5, 10}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Pelo exemplo, entre os números 10 e 15 temos o número 5 como maior número que aparece na lista de divisores, assim: MDC (10, 15) = 5. E a mesma ideia vale para os números 10 e 20, que possuem o 10 como maior número comum na lista de divisores, logo: MDC (10, 20) = 10. Assim é válido para os números 15 e 20, que possuem como maior divisor comum o número 5, ou seja: MDC (15 e 20) = 5.

Quando dois ou mais números possuem como maior divisor comum o número 1, dizemos que eles são primos entre si. Veja o exemplo.

Exemplo

Os divisores dos números 4, 13, 15:

D (4) = {1, 2, 4}

D (13) = {1, 13}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

Observe que, entre os números 4, 13 e 15, o maior número comum é o 1. Então 4, 13 e 15 são primos entre si.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Leia também: Divisão com resultado decimal - veja como proceder

Como se calcula o MDC?

Uma das maneiras de calcular o MDC entre dois ou mais números inteiros é realizando a listagem dos divisores de cada número envolvido e verificando qual é o maior deles que aparece igualmente nas listas em questão. No entanto, quando um desses números é muito grande, realizar essa listagem torna-se uma tarefa difícil e cansativa.

A fim de facilitar o cálculo para encontrar o MDC, utilizaremos a decomposição em fatores primos da seguinte maneira:

Ao fazer a decomposição em fatores primos, o que consiste em realizar divisões por números primos, devemos marcar os primos que dividem todos os números em questão e, ao final, realizar a multiplicação entre eles. Confira os exemplos.

Exemplos

1. Neste exemplo sabemos que o resultado é 10. Chegaremos a esse resultado utilizando o método da fatoração em números primos.

Perceba que só marcamos em vermelho os primos que dividem os dois números. Assim, o MDC (20,10) = 5 · 2 = 10.

2. Determine o MDC (20, 15, 10)

Como o único número que divide os três números ao mesmo tempo é o 5, então MDC (20, 15, 10) = 5.

Propriedades do MDC

Veja a seguir as propriedades do máximo divisor comum.

Propriedade 1

O produto do máximo divisor comum com o mínimo múltiplo comum de dois números a e b é igual ao módulo do produto desses números.

MDC (a, b) · MMC (a, b) = |a · b|

Exemplo

Sabemos que o MDC (20,10) = 10 e o MMC (20,10) = 20. Veja:

MDC (20,10) · MMC (20,10) = | 20 · 10 |

Propriedade 2

Os divisores comuns de dois ou mais números são os divisores do mdc desses números.

Exercício resolvido

Questão 1 - (ESPM-SP) As moedas de 10 e 25 centavos de real têm, praticamente, a mesma espessura. 162 moedas de 10 centavos e 90 moedas de 25 centavos serão empilhadas de modo que, em cada pilha, as moedas sejam do mesmo tipo e todas as pilhas tenham a mesma altura. O menor número possível de pilhas é:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

Solução

Observe que, para termos o menor número de pilhas, devemos ter então o maior número de moedas em cada uma dessas pilhas. Assim, primeiramente, calcularemos o MDC entre 162 e 90.

Assim, o MDC (162, 90) = 2 · 3 · 3 = 18, logo, cada pilha deverá ter 18 moedas. Portanto temos: 162:18 = 9 pilhas de moedas de 10 centavos e 90:18 = 5 pilhas de moedas de 25 centavos, e, assim, um total de 14 pilhas de moedas.

Alternativa c

# data[].attributes.headline
Polígonos são linhas fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam. Em outras palavras, são figuras geométricas planas formadas por lados, que, por sua vez, são segmentos de reta.

# data[].attributes.subject
Polígonos são linhas fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam. Em outras palavras, são figuras geométricas planas formadas por lados, que, por sua vez, são segmentos de reta.

# data[].attributes.body
Para melhor compreensão, são exemplos de polígonos as seguintes figuras:

As figuras a seguir, no entanto, são exemplos de não polígonos:

Na imagem A, a figura não é um polígono porque seus lados não são formados apenas por segmentos de reta. Também não se trata de um polígono a figura da imagem B, pois ela não é fechada. Na imagem C, os segmentos de reta se cruzam, característica que não faz parte dos polígonos.

Polígonos convexos

Um polígono é convexo quando não possui reentrâncias. Em outras palavras, se pudermos construir pelo menos um segmento com as extremidades A e B no interior do polígono e alguma parte desse segmento estiver fora do polígono, então, esse polígono não será convexo.

Observe um polígono não convexo, com os pontos A e B em seu interior e parte do segmento AB em seu exterior:

Sempre que for impossível encontrar parte do segmento AB no exterior do polígono, com os pontos A e B em seu interior, esse polígono será convexo, como o exemplo abaixo:

Elementos do polígono convexo

1 – Lados: cada segmento de reta que forma o polígono é um de seus lados.

2 – Vértices: São os pontos de encontro entre os lados de um polígono.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

3 – Ângulos internos: São os ângulos entre dois lados consecutivos no interior do polígono.

4 – Ângulos externos: São os ângulos que estão no exterior do polígono, entre um de seus lados e o prolongamento do lado consecutivo a ele.

5 – Diagonais: segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos.

Um exemplo de cada um dos elementos de um polígono

Um exemplo de cada um dos elementos de um polígono

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela seguinte fórmula:

A = (n – 2)180

Nessa fórmula, n é o número de lados do polígono.

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°, e o número de diagonais de um polígono convexo é obtido pela fórmula abaixo:

d = n(n – 3)

2

Polígonos regulares

Quando um polígono convexo possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos com a mesma medida, ele é chamado de regular.

As propriedades dos polígonos regulares são:

1 – Cada ângulo interno de um polígono regular pode ser obtido pela fórmula:

A = (n – 2)180

n

Nessa fórmula acima, o numerador do segundo membro é a fórmula usada para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, e n é o número de lados do polígono.

2 – Cada ângulo externo de um polígono regular de n lados pode ser obtido pela seguinte fórmula:

S = 360°

n

# data[].attributes.body
Transferidor e alguns exemplos de ângulos

Existem alguns ângulos, chamados de ângulos notáveis, que ocorrem com bastante frequência nos cálculos. O ângulo reto (90°) e ângulo raso (180°) são dois exemplos deles. Quando temos dois ângulos cuja soma é igual a 90°, eles são chamados de complementares; já quando tempos dois ângulos cuja soma é igual a 180º, eles são chamados de suplementares.

Além disso, quando dois ângulos diferentes compartilham uma semirreta, um vértice e não possuem mais pontos em comum, são chamados de adjacentes. Observe o exemplo de ângulos adjacentes, retos e rasos:

Ângulos adjacentes, ângulo reto e ângulo raso, respectivamente

Ângulos complementares

Se a soma entre os ângulos α e β é igual a 90°, dizemos que α e β são complementares. Por exemplo:

Os ângulos acima são complementares porque, ao somá-los, o resultado obtido é 90°. Sabendo que dois ângulos são complementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro. Observe:

Sabendo que os ângulos α = 72° e β são complementares, determine a medida do ângulo β.

α + β = 90° (são complementares)

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

72° + β = 90°

β = 90° – 72°

β = 18°

Essa expressão pode ser tratada como uma equação em que β é a incógnita.

Quando os ângulos complementares também são adjacentes, dizemos que:

Eles são complementares adjacentes;

Formam um único ângulo de 90° graus.

Ângulos suplementares

Se a soma entre os ângulos γ e θ é igual a 180°, dizemos que γ e θ são suplementares. Por exemplo:

Ângulos cuja soma resulta em 180°

Os ângulos da imagem acima são suplementares porque a soma de suas medidas é igual a 180°.Sabendo que dois ângulos são suplementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro. Por exemplo:

Sabendo que o ângulo γ = 128° e o ângulo θ são suplementares, determine a medida de θ.

γ + θ = 180°

128° + θ = 180°

θ = 180° – 128°

θ = 52°

Quando dois ângulos, além de suplementares, são adjacentes, eles:

São chamados adjacentes suplementares;

Juntos formam um único ângulo de 180°.

# data[].attributes.attachment_caption
A soma dos ângulos internos de um triângulo é fixa

Os triângulos são polígonos formados por três lados. Dentro do conjunto de todos os polígonos, os triângulos são os mais simples, por apresentarem menos lados, mas possuem propriedades e características complexas. Uma delas se refere à soma de seus ângulos internos, que é sempre igual a 180º, independentemente do formato do triângulo, de seu tamanho ou de qualquer outra característica.

Sendo assim, um triângulo ABC, com ângulos internos a, b e c, possui a seguinte propriedade:

a + b + c = 180

Essa propriedade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos é igual a 180°, mas é usada para descobrir a medida de um dos ângulos do triângulo quando se conhece as medidas dos outros dois.

Exemplos

1º exemplo – Qual é a medida do ângulo α na figura a seguir?



Solução:

Sabendo que os ângulos internos de um triângulo totalizam 180°, podemos escrever:

α + 50 + 50 = 180

α = 180 – 50 – 50

α = 80°

2º exemplo – Calcule o valor de x no triângulo a seguir.



Solução:

Como já sabemos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Portanto, podemos escrever:

2x + 3x + 4x = 180

9x = 180

x = 180
     9

x = 20

Demonstração

O procedimento usado para mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180° será feito a seguir em etapas e baseia-se em outro conhecimento: dos ângulos formados em um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal. Para compreender bem a demonstração, lembre-se: ângulos alternos internos são congruentes. Além disso, lembre-se também de que as semirretas que definem um ângulo raso (de 180°) formam uma reta. Isso significa que qualquer ângulo observado sobre uma reta terá essa medida.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Etapa 1: Desenhar um triângulo ABC cuja base é BC. Observe apenas que esse triângulo é aleatório, pode ser qualquer triângulo, e que a base também pode ser AC ou BA que o resultado obtido será o mesmo.

Etapa 2: Sobre o vértice A, trace a reta paralela ao lado BC, como mostra o exemplo a seguir:



Etapa 3: Colocar sobre esse desenho os ângulos internos α, β e γ do triângulo e os ângulos θ e λ que foram formados no processo:



Etapa 4: Observe que os ângulos θ e β são alternos internos. Isso significa que são congruentes. O mesmo acontece com γ e λ, que também são alternos internos. Logo, podemos trocar θ por β e λ por γ na imagem. Assim, obteremos o esquema ilustrado pela imagem a seguir.



Etapa 5: Observar que a soma dos ângulos realmente é 180°. Para isso, note que os ângulos na figura a seguir, que foram circulados, ao mesmo tempo, têm a mesma medida dos ângulos internos do triângulo e os três juntos formam um ângulo raso, portanto:

α + β + γ = 180°



Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva

# data[].attributes.attachment_caption
Exemplos de triângulos equiláteros formados por outros três triângulos congruentes obtusângulos

Um triângulo é um polígono que possui três lados e que necessariamente é uma figura plana cujos lados são segmentos de reta. Para ser polígono, esses segmentos de reta encontram-se apenas em suas extremidades, formando, assim, três vértices. Além disso, também são encontrados três ângulos internos em qualquer que seja o triângulo.

A figura a seguir mostra alguns exemplos de triângulos:



Elementos de um triângulo

Os elementos de qualquer figura geométrica são outras figuras geométricas que fazem parte da sua definição e propriedades. Com base nisso, os elementos do triângulo são:

Lados

Como dito anteriormente, os lados do triângulo são segmentos de reta que se encontram apenas em suas extremidades. Um triângulo é uma figura geométrica plana que possui três lados, embora seu nome indique que o triângulo seja um polígono que possua três ângulos. Na realidade, os triângulos podem ser definidos de três maneiras: polígono que possui três lados, três ângulos internos ou três vértices. A definição que mais se popularizou é a primeira.

Vértices

São os pontos de encontro entre os lados de um triângulo. Na realidade, os vértices são pontos de encontro entre lados de qualquer polígono. O triângulo possui apenas três vértices, pois tem três lados.

Ângulos internos

Os ângulos internos são ângulos formados por dois lados consecutivos de um triângulo que ficam em seu interior. Os triângulos também possuem três ângulos internos. Os vértices e os lados desses ângulos são também, respectivamente, os vértices e os lados do triângulo.

Ângulos externos

Dado um lado qualquer de um triângulo e o prolongamento do lado consecutivo a ele, um ângulo externo é a abertura entre esse lado e esse prolongamento. Essa definição também é válida para os outros polígonos.

Os triângulos são os únicos polígonos que não possuem diagonais. Uma diagonal é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de uma figura geométrica plana e que, ao mesmo tempo, não são lados dessa figura. Note que não existe triângulo que possua dois vértices não consecutivos que já não sejam ligados por lados.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Além disso, todo triângulo é convexo, isto é, é impossível escolher dois pontos A e B no interior de um triângulo e obter parte do segmento AB no exterior dessa figura.


Cada um dos elementos do triângulo

Classificações dos triângulos

Existem diversas maneiras de classificar triângulos. As duas mais comuns levam em consideração as medidas de seus lados e as medidas de seus ângulos:

1 – Triângulo escaleno: triângulo que possui todos os lados com medidas diferentes.

2 – Triângulos isósceles: triângulo que possui dois lados com medidas iguais.

3 – Triângulo equilátero: triângulo que possui todos os lados com medidas iguais.

4 – Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos internos menores que 90°.

5 – Triângulo obtusângulo: possui exatamente um ângulo interno maior que 90°.

6 – Triângulo retângulo: possui exatamente um ângulo interno igual a 90°.

Propriedades

A seguir, confira uma lista com as principais propriedades que envolvem os triângulos:

1 – A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180°.

2 – A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é sempre igual a 360°.

3 – A soma das medidas de dois lados de um triângulo é sempre maior que a medida do terceiro lado. Essa propriedade é chamada de desigualdade triangular.

4 – O maior lado de um triângulo é sempre oposto ao seu maior ângulo. Por consequência, o menor lado de um triângulo é sempre oposto ao seu menor ângulo, assim como o lado “médio” é oposto ao “ângulo médio”.

5 – O lado diferente de um triângulo isósceles é chamado de base. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

6 – Todos os ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60°.

7 – A altura de um triângulo isósceles, relativa à base, é também mediana e bissetriz.

# data[].attributes.attachment_caption
Reflexão da luz é um fenômeno óptico em que uma onda eletromagnética visível incide em um determinado meio, retornando ao meio original no qual ela se propagava. Existem dois tipos de reflexão, chamados de reflexão regular e difusa.

Veja também: Quatro fenômenos intrigantes da Física

Conceito de reflexão da luz
A reflexão da luz acontece quando um raio luminoso atinge uma superfície refletora e retorna ao seu meio original. Esse fenômeno permite que enxerguemos todos os corpos que não produzem a própria luz, chamados de fontes secundárias de luz ou simplesmente corpos iluminados.

Na ausência total de luz, esses corpos não seriam visíveis, portanto, para enxergá-los, eles precisam refletir a luz proveniente de alguma fonte luminosa. Vale dizer que nem todos os objetos que refletem a luz permitem que enxerguemos o nosso reflexo. Nesses casos, dizemos que a reflexão sofrida pela luz é difusa.

Quando olhamos para uma superfície refletora e conseguimos enxergar algum reflexo, dizemos que a luz está sofrendo uma reflexão regular, que também pode ser chamada de reflexão especular e é aquela em que podemos enxergar a formação de imagens refletidas.

Na imagem, é possível ver a reflexão da luz na água.
Na imagem, é possível ver a reflexão da luz na água.
Reflexão regular da luz
A reflexão regular da luz ocorre quando o raio luminoso incidente e o refletido obedecem às leis de reflexão da luz, como veremos adiante. A figura a seguir nos ajuda a entender como funciona a reflexão regular da luz. Observe:



Na reflexão regular, o ângulo de incidência da luz é igual ao ângulo de reflexão. Esse ângulo, por sua vez, é medido com relação à direção normal ao plano de reflexão.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Reflexão difusa da luz
Na reflexão difusa, os raios de luz incidente e refletido não formam o mesmo ângulo com relação à direção normal e não precisam estar contidos no mesmo plano. A figura a seguir ilustra uma situação em que ocorre a reflexão difusa da luz. Observe:



Exemplos de reflexão da luz
Confira alguns exemplos nos quais podemos observar a reflexão da luz.

Quando vemos o nosso reflexo em um espelho, retrovisor ou ainda na superfície de uma poça d'água, estamos observando a reflexão regular da luz.

Quando enxergamos qualquer objeto que não esteja emitindo luz própria, mas não vemos nele o nosso reflexo, estamos observando a reflexão difusa da luz.

Veja também: Refração da luz — outro fenômeno óptico que ocorre nas ondas eletromagnéticas

Leis da reflexão da luz
As leis da reflexão da luz apontam quais são as condições necessárias para que ocorra a reflexão regular da luz.

A primeira lei da reflexão afirma que os raios de luz incidente e refletido precisam formar o mesmo ângulo com relação à direção normal.

A segunda lei da reflexão da luz afirma que os raios de luz incidente e refletido precisam estar contidos no mesmo plano.

Exercícios resolvidos sobre a reflexão da luz
Questão 1 — Um raio de luz incide em um ângulo de 25º em relação a uma superfície refletora, sofrendo assim uma reflexão regular. O ângulo de reflexão desse raio de luz é igual a:

a) 45º

b) 65º

c) 90º

d) 115º

Resolução:

Uma vez que o ângulo de incidência e o ângulo de reflexão são iguais na reflexão regular, o ângulo formado entre o raio de luz refletido e a superfície é de 65º (lembre-se de que, entre a superfície e a direção normal, há um ângulo de 90º); portanto, a alternativa correta é a letra B.

Questão 2 — Para que ocorra a reflexão regular da luz, é necessário que:

a) os raios de luz incidente e refletido estejam contidos em planos distintos.

b) os raios de luz incidente e refletido formem ângulos diferentes com relação à normal.

c) os raios de luz incidente e refletido estejam contidos no mesmo plano.

d) os raios de luz incidente e refletido sejam igualmente polarizados.

Resolução:

De acordo com a 2ª lei da reflexão, para que ocorra reflexão regular da luz, é necessário que os raios de luz incidente e refletido estejam contidos no mesmo plano, portanto a alternativa correta é a letra C

# data[].attributes.attachment_caption
Os principais movimentos realizados pela Terra são rotação e translação.

Sabemos que a Terra assim como os demais corpos celestes não são estáticos, portanto eles realizam movimentos. Os movimentos da Terra são responsáveis por fenômenos astronômicos, como solstícios e equinócios, a existência do dia e da noite, a contagem do ano, entre outros. Entendê-los é fundamental para compreender a complexidade e dinamicidade do Universo.

A Terra realiza diversos movimentos, contudo, nem todos produzem efeito direto em nossas vidas, por isso passam despercebidos. Há dois principais movimentos realizados concomitantemente cujas consequências são sentidas e vividas diariamente por nós. São eles:

Rotação

Translação

Rotação
Movimento de rotação.
Movimento de rotação.
A rotação é o movimento que a Terra realiza em torno do seu próprio eixo, provocando alternância nos períodos de insolação direta nas regiões do planeta. Esse movimento é realizado em um período de aproximadamente 23 horas, 56 minutos e 4 segundos. A rotação ocorre no sentido anti-horário, de oeste para leste. Assim, o sol nasce a leste e se põe a oeste, servindo de referência de posição há muitos anos.

Conforme o movimento é realizado, algumas áreas apresentam incidência direta dos raios solares, enquanto outras estão perdendo iluminação, gerando, então, uma diferença de iluminação entre as regiões do planeta. A velocidade média do movimento de rotação é de aproximadamente 1669 km/h.

Representação do sol refletindo durante os movimentos da Terra.

→ Consequências do movimento de rotação
O movimento de rotação resulta na sucessão de dias e noites devido à diferença de iluminação nas diferentes áreas do planeta. Sendo assim, parte do planeta fica iluminada pelos raios solares, correspondendo ao dia, enquanto a parte oposta não recebe luz solar correspondendo à noite.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Outras consequências do movimento de rotação é dilatação da região próxima à Linha do Equador e um possível achatamento dos polos, as correntes marítimas sofrem desvio para oeste e a criação do sistema de fusos horários. Esse sistema foi criado para padronizar o horário mundial e é calculado a partir da divisão da Terra (360°) em 24 horas, que corresponde ao período aproximado que a Terra leva para realizar o movimento de rotação.

Saiba também: Como calcular fusos horários?

Translação
Movimento de translação.
Movimento de translação.
A Translação é o movimento que a Terra realiza em torno do Sol e assim percorrendo uma órbita elíptica. O movimento de translação é realizado em aproximadamente 365 dias, 5 horas e 48 minutos. A velocidade média é de aproximadamente 107.000 km. A translação é realizada ao mesmo tempo que a rotação.

A velocidade do movimento altera-se conforme a Terra aproxima-se ou se distancia do Sol. Quanto mais próxima do Sol maior a velocidade e quanto mais afastada, menor é a velocidade do movimento. Quando ocorre o afastamento do planeta Terra em relação ao sol denomina-se afélio e a distância entre Terra e Sol é de aproximadamente 152 milhões de quilômetros.

Quando ocorre a aproximação da Terra com o Sol denomina-se periélio e a distância entre a Terra e o Sol é de aproximadamente 147 milhões de quilômetros. Assim, quando a Terra encontra-se no afélio, sua velocidade torna-se reduzida e, quando a Terra encontra-se no periélio, a velocidade de translação é maior.

Representação dos movimentos da Terra.

→ Consequências da translação
Uma das consequências do movimento de translação é a sucessão dos anos. Uma volta completa da Terra em torno do Sol corresponde ao chamado “ano civil”, que por convenção apresenta 365 dias e 366 a cada quatro anos, visto que o tempo real do movimento de translação é de aproximadamente 365 dias e 6 horas.

Outra consequência do movimento de translação é a ocorrência das estações do ano. Sabe-se que a Terra possui um eixo de inclinação, o que provoca uma diferença de iluminação nas áreas do planeta. Assim, ao longo do movimento, a superfície terrestre ilumina-se de maneira desigual, ou seja, as áreas não recebem a mesma quantidade de energia solar, resultando, então, nas estações do ano.

O início das estações do ano é marcado por dois fenômenos astronômicos: solstício e equinócio.

Solstício: corresponde ao posicionamento do Sol em seu limite máximo, ou seja, ele estará em seu auge a norte ou a sul. Assim, um dos hemisférios estará recebendo maior insolação. O solstício ocorre duas vezes por ano, junho e dezembro, e marca o início do inverno e do verão. Se a incidência é maior no hemisfério Norte, significa que esse estará vivenciando o verão e o hemisfério Sul que está recebendo menor incidência está vivenciando o inverno e vice-versa. A partir do solstício de verão, os dias são mais longos que a noite e, a partir do solstício de inverno, as noites são mais longas do que os dias.

Equinócio: corresponde ao posicionamento médio do Sol em relação à Terra, ou seja, o Sol estará iluminando igualmente o hemisfério Norte e o hemisfério Sul. Portanto, ambos os hemisférios, nesse momento, recebem igual iluminação. O equinócio ocorre duas vezes ao ano, nos meses de março e setembro, marcando o início do outono e da primavera. Enquanto o equinócio de primavera marca o início da estação em um hemisfério, no outro se iniciará o outono. Devido à igual iluminação dos hemisférios, dias e noites têm igual duração.

Para saber mais, clique aqui: Solstício e equinócio

Outros movimentos realizados pela Terra
Muitas pessoas acreditam que a Terra realiza apenas os movimentos de rotação e translação, o que não é verdade. O planeta realiza diversos outros movimentos, contudo suas consequências não são tão sentidas por nós. Outros três importantes movimentos realizados pela Terra são:

Precessão: conhecido também como precessão dos equinócios, corresponde ao movimento em que há deslocamento circular realizado pelo planeta em torno do seu eixo. Esse movimento é realizado no sentido horário e é provocado pelas forças gravitacionais da Lua e do Sol.

Nutação: corresponde ao movimento realizado pela Terra em que há uma variação em seu eixo de rotação a cada 18,6 anos. É provocado pela força gravitacional que a Lua exerce sobre a Terra.

Deslocamento do periélio: corresponde o movimento em que há variação da órbita terrestre em torno do Sol, havendo uma repetição cíclica de 21 mil anos.

# data[].attributes.attachment_caption
Simetria nas asas abertas de uma borboleta em repouso.

Simetria é a propriedade geométrica de um objeto que pode sofrer modificações (ser dividido em partes iguais, rotacionado ou deslocado) e ainda manter sua forma original. Esse conceito está presente em diversas áreas do conhecimento, como no estudo das Artes, das Ciências Naturais e da Matemática.

Leia também: Noções primitivas de Geometria — ponto, reta, plano e espaço

Resumo sobre simetria
Simetria é a propriedade de transformar ou mover uma figura sem alterar sua forma original.
As principais formas de simetria são de reflexão, de rotação e de translação.
Na simetria de reflexão, uma forma pode ser dividida em duas partes iguais.
Na simetria de rotação, uma figura é rotacionada em relação a um ponto.
Na simetria de translação, uma figura é deslocada em qualquer direção.
Uma figura que não é simétrica é chamada de assimétrica.
As formas de vida naturais geralmente possuem algum elemento simétrico.
O que é simetria?
Simetria é a propriedade geométrica de transformar ou mover uma figura sem alterar sua forma original. Na Matemática, dizemos que uma figura é simétrica se ela puder ser dividida em duas partes exatamente iguais, rotacionada ou deslocada em relação a um ponto e continuar com sua forma original.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Tipos de Simetria
Dentre os principais tipos de simetria destacam-se três: a simetria de reflexão, de rotação e de translação.

→ Simetria de reflexão
A simetria de reflexão é caracterizada pela capacidade de uma figura ser dividida em duas partes exatamente iguais. Assim, quando uma imagem pode ser dividida em duas partes exatamente iguais por meio de uma reta, dizemos que essa figura possui simetria de reflexão em relação a essa reta. Nesse caso, a reta ou o eixo operam como se fossem um espelho que “reflete” uma das partes da imagem em torno dele. A partir dessa ideia, é possível construir facilmente figuras simétricas.

Na imagem a seguir, temos o desenho de meio girassol e um eixo vertical. Quando “refletimos” a imagem do meio girassol em relação a esse eixo, produzimos um girassol completo, criando duas partes que são exatamente iguais e, portanto, simétricas.

Representação da construção de um girassol simétrico, um exemplo de simetria de reflexão.
Construção de um girassol simétrico.
→ Simetria de rotação
A simetria de rotação é caracterizada pela rotação que uma figura faz em relação a determinado ponto. Assim, a figura original e a figura obtida através desse giro possuem exatamente a mesma forma, mudando-se apenas a posição delas.

A simetria de rotação é muito utilizada em artes de logotipos de empresas, justamente pelo fator harmônico e de fácil entendimento que elas oferecem.

Observe na imagem a seguir a representação de uma flor. Perceba que cada uma de suas pétalas é exatamente igual às outras. Essa flor representa uma figura obtida pela simetria de rotação, ou seja, cada pétala é igual à anterior rotacionada 45°.

Representação de uma flor obtida pela simetria de rotação de uma de suas pétalas.
Representação de uma flor obtida pela simetria de rotação de uma de suas pétalas.
→ Simetria de translação
A simetria de translação é caracterizada pelo “deslocamento” da figura original para qualquer direção, sem modificação de sua forma e proporção originais.

Na área das artes, é possível obter diversos exemplos de formas que são transladadas várias vezes, criando um padrão.

Na imagem a seguir, temos alguns elementos que remetem à cultura egípcia, que foram transladados horizontal e verticalmente, como a representação do besouro e do Olho de Hórus, criando um belo ornamento.

Ornamento egípcio com besouro e Olho de Hórus, feito com simetria de translação.
Exemplo de ornamento com elementos egípcios transladados.
Podemos então resumir as principais possibilidades de simetria de figuras geométricas através da seguinte imagem:

Simetrias de translação, rotação e reflexão de figuras geométricas
Simetrias de translação, rotação e reflexão de figuras geométricas
Simetria x assimetria
Existem certas condições para que uma figura seja simétrica a ela mesma ou a outras figuras. Assim, quando uma figura não é simétrica dizemos que ela é assimétrica.

Contudo, existem figuras, objetos e seres que naturalmente são assimétricos, mas possuem elementos simétricos. Um grande exemplo é o próprio ser humano, que possui uma face que não é perfeitamente simétrica (em relação a uma simetria de reflexão na metade do rosto), mas possui muitos elementos simétricos, como os olhos, as duas metades do nariz e da boca, entre outros.

Saiba mais: Qual é o teorema fundamental da semelhança?

Qual é a importância da simetria?
Estudando figuras geométricas, utilizamos conceitos de simetria de forma natural, muitas vezes, sem perceber. Isso porque muitas das figuras geométricas planas usuais são simétricas, como podemos ver na imagem a seguir:

Ilustração de um quadrado, de um retângulo e de um triângulo equilátero, exemplos de figuras geométricas que têm simetria.
O quadrado, o retângulo e o triângulo equilátero são exemplos de figuras geométricas que possuem simetria.
Contudo, a simetria possui um valor significativo não apenas para as áreas do conhecimento, mas para a vida em si. A natureza e os seres vivos são compostos por elementos simétricos, de forma isolada ou com combinações de simetrias.

Por exemplo, a face de um animal possui simetria reflexiva, enquanto um trevo possui simetria de rotação. Já as pegadas que o ser humano deixa quando caminha sobre a areia são a junção da simetria de translação (quando dá o passo para frente) com a simetria de reflexão (pois o passo adiante é dado com o outro pé).                   

Exercícios resolvidos sobre simetria
Questão 1

A simetria pode ser observada nas mais diferentes figuras e formas. Pensando nisso, Julia decidiu analisar as vogais do alfabeto e percebeu que elas possuem simetrias de reflexão, algumas considerando um eixo vertical, outras considerando um eixo horizontal. Dessa forma, quais são as vogais que possuem um eixo de simetria vertical? E quais possuem um eixo de simetria horizontal? Alguma delas possui mais de um eixo de simetria?

Resolução:

Vamos analisar, assim como Julia, as vogais do nosso alfabeto, ou seja, as letras A, E, I, O e U.

Perceba que a letra A pode ser dividida ao meio em duas partes iguais por um eixo vertical, assim como ocorre com a letra I, a letra O e a letra U.

Já a letra E pode ser dividida em duas partes exatamente iguais quando traçamos uma reta horizontal no meio dela, assim como ocorre com a letra O e a letra I.

Portanto, a letra A e a letra U possuem um eixo de simetria vertical, a letra E possui um eixo de simetria horizontal e as letras I e O possuem tanto um eixo de simetria vertical quanto um eixo de simetria horizontal.

Questão 2

(Enem) Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura, mantém as distâncias entre pontos. Duas das transformações isométricas são a reflexão e a rotação. A reflexão ocorre por meio de uma reta chamada eixo. Esse eixo funciona como um espelho, a imagem refletida é o resultado da transformação. A rotação é o “giro" de uma figura ao redor de um ponto chamado centro de rotação. A figura sofreu cinco transformações isométricas, nessa ordem:

Figura que sofreu transformação isométrica representada em um plano cartesiano.

1ª) Reflexão no eixo x;

2ª) Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com centro de rotação no ponto A;

3ª) Reflexão no eixo y;

4ª) Rotação de 45 graus no sentido horário, com centro de rotação no ponto A;

5ª) Reflexão no eixo x.

Disponível em: www.pucsp.br. Acesso em: 2 ago. 2012.

Qual a posição final da figura?

A)

 Alternativa A indicando a posição final da figura que sofreu cinco transformações isométricas.

B)

Alternativa B indicando a posição final da figura que sofreu cinco transformações isométricas.

C)

Alternativa C indicando a posição final da figura que sofreu cinco transformações isométricas.

D)

Alternativa D indicando a posição final da figura que sofreu cinco transformações isométricas.

E)

Alternativa E indicando a posição final da figura que sofreu cinco transformações isométricas.

Resolução:

Alternativa C.

Para resolver a questão, basta fazer as simetrias conforme os passos de 1 a 5 descritos no problema. A imagem abaixo ilustra os passos na ordem em que foram dados.

Resolução da questão sobre as cinco transformações isométricas que uma figura sofreu.

Portanto, a posição final está indicada na imagem 5.