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4. 벡터에서의 피타고라스 정리

벡터 연산에서도 피타고라스 정리가 중요해. 두 벡터의 크기나, 두 벡터가 이루는 각도를 구할 때 피타고라스 정리를 기반으로 여러 가지 관계를 유도할 수 있어.

고등학교 과정에서 피타고라스 정리는 기하학, 삼각법, 벡터, 그리고 더 나아가 물리학적 문제나 수학적 모델링에서도 많이 사용돼. 그래서 이 개념을 잘 이해하는 것이 중요해!

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닮음의 개념

닮음(similarity)은 두 도형이 모양은 같지만 크기만 다른 상태를 의미합니다.

두 도형이 닮았다는 것은, 하나의 도형을 크기만 조정하여(확대 또는 축소하여) 다른 도형을 만들 수 있다는 뜻입니다.

닮음의 조건

두 도형이 닮음 관계에 있으려면 아래 조건 중 하나를 만족해야 합니다:

1. 각 대응변의 비율이 일정하다.

즉, 두 도형의 대응되는 변의 길이의 비가 모두 동일해야 합니다.

2. 모든 대응각이 같아야 한다.

각 대응되는 각이 모두 동일하면 두 도형은 닮음 관계에 있습니다.

3. 특수한 경우: 삼각형 닮음 조건

삼각형은 아래 조건 중 하나를 만족하면 닮음입니다:

• 세 변의 길이의 비율이 모두 같을 때 (SSS 닮음).

• 두 변의 비율이 같고 끼인각이 같을 때 (SAS 닮음).

• 두 각이 같을 때 (AA 닮음).

닮음의 성질

1. 대응되는 변의 길이의 비는 일정하다.

예를 들어, 닮음비가 라면:

2. 넓이의 비는 닮음비의 제곱이다.

닮음비가 라면, 넓이의 비는:

3. 부피의 비는 닮음비의 세제곱이다. (입체 도형의 경우)

닮음비가 라면, 부피의 비는:

닮음의 활용

닮음은 수학, 과학, 실생활에서 여러 가지로 활용됩니다.

1. 삼각형을 이용한 거리 계산

닮은 삼각형의 비율을 이용하여 실제 거리를 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 그림자 길이와 물체 높이의 비율을 통해 물체의 실제 높이를 구할 수 있습니다.

2. 지도와 축척

지도의 축척은 실제 거리와 지도 상의 거리 사이의 닮음비를 나타냅니다. 축척이 1:1000이라면, 지도 위의 1cm는 실제 거리 1000cm(10m)에 해당합니다.

3. 건축과 설계

설계도에서 작은 모델과 실제 건물 사이의 비율은 닮음 관계를 이용합니다.

4. 광학 기기

렌즈를 통해 맺히는 상과 물체는 닮음 관계를 가지며, 확대/축소된 상의 크기를 계산할 수 있습니다.

5. 예술과 디자인

도형의 닮음 관계를 활용하여 균형 잡힌 디자인이나 예술 작품을 만들 수 있습니다.

예제 문제

문제:

높이 2m인 기둥의 그림자가 3m입니다. 같은 시간에 나무의 그림자 길이가 12m라면, 나무의 실제 높이는 얼마일까요?

풀이:

두 삼각형(기둥과 나무)이 닮음 관계이므로, 대응 변의 비율이 같습니다.

따라서 나무의 높이는 8m입니다.

추가적인 질문이나 더 어려운 예제가 필요하면 말씀해주세요!