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El examen de esta semana será para aquellos estudiantes que no participaron durante el cuatrimestre y no se presentaron a la evaluación escrita del 14/07.
La modalidad será virtual, por medio de un trabajo individual de dos partes, uno asincrónico y otro sincrónico.
Las consignas serán publicadas en este espacio.

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Para ordenar las expresiones fraccionarias, un método que veremos es escribirlas como expresión decimal. Esto es hacer la división correspondiente.
Por ejemplo si quiero comparar 2/5 y 1/6:
2/5 = 0,4
1/6 = 0,1666666...
Como 0,4 > 0,166666... entonces 2/5 > 1/6

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En varias situaciones nos es difícil expresar la parte de una cantidad o de un todo que necesitamos. Por ejemplo, en una receta de cocina nos indican ½ vaso de leche; para confeccionar ropa, necesito “1 metro y medio” de tela, etc. Todos estos números surgen de la necesidad de expresar porciones de la unidad.

Para medir es necesario utilizar una unidad de referencia, comparar lo que se va a medir con algo. Nos ocuparemos de representar partes de una unidad numérica y aprender sus propiedades y operaciones pues estos temas surgen en nuestro día a día: la administración del dinero, la distribución del tiempo, la delimitación de espacios, la preparación de comidas, la confección de prendas de vestir, las distancias de un camino, las alturas de una pared, el peso de un animal, etc.

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Recientemente, la coordinación de fines decidió reducir las clases presenciales de este mes, por lo cual esta clase será virtual.

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17:30 a 20 hs, sede administrativa de Fines.

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Este padlet tiene como objetivo mantener de manera ordenada lo trabajado en el grupo de Whatsapp de Matemática I - Comisión 1204, el cual puede ser accedido por todos/as en el momento que lo desee. Además, puede ser considerado un resumen útil a la hora de estudiar o de tomar apuntes en la carpeta.

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1. En el estacionamiento hay 6 autos, 20 motocicletas y 12 bicicletas.

a) De las veinte motocicletas, ocho son rojas, ¿cuántas motocicletas no son rojas?

b) ¿Cuántas ruedas hay en total? (sin contar las de auxilio).

2. El cajero automático sólo entrega billetes de $50 y $100 y está programado para entregar billetes del mayor valor existente.

a) ¿Cuántos billetes entregará para pagar $ 600?

b) ¿Cuántos billetes de cada tipo entregará para pagar $750?

c) ¿Cuántos billetes de cada tipo entregará para pagar $250?

d) ¿Y para pagar el total de las cantidades anteriores?

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Para multiplicar tres o más números es conveniente multiplicar de a dos: 2 · 3 · 9 = 6 · 9 = 54

En ocasiones, las propiedades se usan sin saberlo, agilizando la operación: cuando resolvemos
(2 · 3) · 9 = 6 · 9 = 54; estamos aplicando la propiedad asociativa de la multiplicación de naturales, la cual se expresa:

Si a, b y c son números naturales, entonces (a · b) · c = a · (b · c)

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En la ciudad de Mendoza, desde 1936, se prepara cada año la fiesta de la Vendimia. La misma comienza en febrero con fiestas departamentales, eventos relacionados con el vino (que se realizan en bodegas), desfiles en el Carrusel, actividades artísticas como cine, rock, folklore, danza, actividades deportivas y un gran espectáculo final al pie del Cerro de la Gloria en el mes de marzo.

a) En uno de los cines destinados para actividades de la Fiesta de la Vendimia, hay quince filas de diez butacas cada una ¿cuántas butacas hay en total? Si concurren ciento veinte personas ¿cuántas butacas quedan libres?

b) Para transportar a sesenta empleados que arman el Carrusel es necesario contratar combis desde la oficina central hasta el lugar donde se realizará la fiesta de la Vendimia, las cuales pueden llevar hasta doce personas, además del chofer. ¿Cuántas combis se necesitan?

c) Para uno de los recitales de la fiesta de la Vendimia, es necesario alambrar un terreno de forma rectangular. Los lados del terreno miden treinta y veinte metros respectivamente ¿cuántos metros de alambre se necesitan para alambrar el terreno con tres vueltas en cada lado?

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4.       Resuelva:

a) Ordene en la recta numérica los siguientes números: 7; 12; 3; 5; 13

b) Indique si es verdadero o falso: “5 es mayor que 13”

c) Indique si es verdadero o falso: 7 < 12.

5.       Ubicar los siguientes hechos históricos en una línea de tiempo. Usa una graduación que te permita hacerlo con precisión.

·         Julio César se hizo nombrar dictador de Roma en el año 45 antes de Cristo.

·         En 1969 el ser humano llega por primera vez a la Luna.

·         La revolución de Mayo ocurrió en 1810.

·         El nacimiento de Cristo determina el año 0 en la mayoría de los países del mundo.

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17:30 a 20 hs, sede administrativa de Fines.

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17:30 a 20 hs, sede administrativa de Fines.

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17:30 a 20 hs, sede administrativa de Fines.

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17:30 a 20 hs, sede administrativa de Fines.

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Los números racionales pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica. Para lo cual, construiremos una recta similar a la que hicimos en los números naturales pero teniendo en cuenta que los racionales se tratan de un conjunto numérico denso.

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a)  Reparta 3 alfajores entre 6 amigos, de forma tal que cada uno reciba la misma cantidad.

b)  Tres hermanos reparten en partes iguales el gasto de la sucesión de sus padres, cada uno pagó un tercio. Si el gasto es de $2.100, ¿cuánto pagó cada hermano?

c)  Un chocolate viene dividido en 8 barritas, si Juana se come 3, ¿cuál es la parte que le deja a su amiga?

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1.       En un supermercado, las gaseosas se venden en paquetes de 6 botellas. Si el encargado apila los paquetes en 6 pisos y en cada piso pone 6 paquetes, ¿cuántas botellas tiene en total la pila?

2.       Los padres de tus padres son tus abuelos, los padres de tus abuelos son tus bisabuelos y los padres de tus bisabuelos son tus tatarabuelos. ¿Cuántos tatarabuelos tenés?

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Primer encuentro presencial, en el cual se hizo un repaso general de lo visto hasta ahora. Se aclararon dudas respecto a la modalidad de cursada y criterios de evaluación.

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Las actividades propuestas durante las clases deben realizarse en tiempo y forma. Las consultas se harán a través del grupo de whatsapp de la materia, no de forma privada al profesor.

Si bien no se tomará asistencia durante el cuatrimestre, la participación y el compromiso de los estudiantes en cada clase virtual es parte de la evaluación de la materia. Dar el presente via whatsapp y no participar de la clase no será tenido en cuenta.

De ser posible la presencialidad, habrá un examen escrito individual y a carpeta abierta durante el mes de julio. Por lo cual, el registro de las clases que hagan los estudiantes en su carpeta será fundamental.

La nota final de aprobación de la materia es de mínimo 7. En caso no alcanzar dicha calificación mínima, el/la estudiante será evaluado en la semana de recuperación (21/07), en la cual podrá acreditar la materia con una nota mínima de 4.
Además, tendrá otra posibilidad de aprobar la materia durante la semana de mesa de examen, que será entre el 25/07 al 29/07, a confirmar día y horario.

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Las propiedades permiten agilizar el cálculo. Para sumar tres o más números, es conveniente sumar de a dos: 33 + 27 + 12.

Para indicar cómo agrupamos vamos a incorporar los paréntesis:
(33 + 27) + 12 =
60 + 12 = 72
Aplicando la propiedad asociativa de la suma de naturales, la cual se expresa:

Si a, b y c son números naturales, entonces (a + b) + c = a + (b + c)

En ocasiones nos conviene, en vez de agrupar, “desagrupar” un número (es decir, escribirlo como suma de otros 2) para poder sumar más fácil. Por ejemplo, si tuviésemos que sumar 36 + 7 podemos escribir al 7 como 4 + 3 para resolver de la siguiente manera: 36 + 7 = 36 + (4 + 3) = (36 + 4) + 3 = 40 + 3 = 43.

También podemos, si lo creemos conveniente, cambiar el orden de los términos para sumar más fácilmente. Por ejemplo, si tuviéramos que sumar 12 + 7 + 13 + 28 podemos ordenarlos de la siguiente manera: 12 + 28 + 7 + 13 para luego, usando la propiedad asociativa, agrupar convenientemente y resolver (12 + 28) + (7 + 13) = 40 + 20 = 60.

La propiedad que nos permite intercambiar el orden de los números que tenemos que sumar se llama propiedad conmutativa de la suma de naturales, y se expresa:

Si a y b son números naturales, entonces a + b = b + a

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En la operación 2 · 3 · 9, si cambiamos el orden de los términos: 9 · 3 · 2 estamos aplicando la propiedad conmutativa de la multiplicación de naturales, la cual se expresa:

Si a y b son números naturales, entonces a · b = b · a

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Los números naturales son los primeros números que conocemos y nos sirven para contar y ordenar. Cuando decimos que cinco son las vocales, cuatro los puntos cardinales, siete los días de la semana, siete las notas musicales, siete los colores del arco iris estamos usando números para contar diferentes cosas.

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Nuestro sistema de numeración es decimal porque todos los números se pueden escribir con las siguientes diez cifras: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
Dado que tenemos 10 cifras para representar todos los números, decimos que su base es 10.

También es posicional, porque es importante la posición que ocupan las distintas cifras. Por ejemplo, en el número quince el 1 ocupa el lugar de las decenas y el 5 el de las unidades, en cambio en el número cincuenta y uno, el 5 ocupa el lugar de las decenas y 1 el lugar de las unidades.

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El día 23/06 la coordinación de fines decidió quitar una semana de cuatrimestre. La fecha de examen se mantiene al 14/07 pero la semana de recuperación y de mesa de examen se adelantan una semana. Por lo tanto la fecha de examen también es la de recuperación.

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Examen escrito, individual y a carpeta abierta.

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El número fraccionario a/b (que se lee “a sobre b”) siendo “a” el numerador y “b” el denominador, con la condición de que b nunca puede ser 0.

Si en una medicación la indicación es: el primer día “consuma dos quintos del total del contenido del frasco”, el mismo se divide en 5 partes iguales y se consumen sólo 2 de esas partes.

Por ejemplo, 1/7 es la fracción que, repetida 7 veces, forma 1 entero. Del mismo modo, si tenemos una fracción que, repetida 15 veces, forma 1 entero, entonces esa fracción es 1/15.

En la fracción 8/13, 8 es el numerador y 13 es el denominador de la fracción. La fracción 8/13 es la fracción 1/13 repetida 8 veces. También, la fracción 8/13 repetida 13 veces forma 8 enteros.

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Potenciación y radicación en números naturales

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Cronograma tentativo de clases presenciales

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Cronograma tentativo de clases presenciales

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En el caso de disponer de una sede para las clases presenciales, las mismas podrán ser en las siguientes fechas:
- 28/04
- 19/05
- 26/05
-
-
-
- 30/06
- 07/07
- 14/07
Cualquier modificación que haya respecto a estas fechas, quedará a disposición de lo que indique la coordinación de Fines General Rodríguez.

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Resuelva aplicando las propiedades asociativa y conmutativa para agilizar el cálculo.

a) 26 + 25 + 4 + 36 + 24 + 35 =

b) 29 + 16 + 4 + 51 + 7 =

c) 108 + 35 + 125 + 32 =

d) 134 + 25 + 15 + 23 + 17 + 16 =

e) 42 + 15 + 16 + 2 + 5 =

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La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y a la resta de números naturales puede ser expresada, por ejemplo, de la siguiente manera:

2 . (7 + 5) =
2 . 7 + 2 . 5 =
14 + 10 = 24

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Estos números forman un conjunto infinito. Los primeros son: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11…

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Es necesario recordar las siguientes equivalencias:

·   10 unidades equivalen a 1 decena.

·   10 decenas equivalen a 1 centena.

·   10 centenas equivalen a 1 unidad de mil.

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Al resolver la actividad que quedó de tarea, se resaltó la idea de cómo comparamos dos números. En los racionales, al comparar cifra con cifra de la parte decimal debemos tener en cuenta que los ceros al final no tienen ningún valor y que podemos agregarlos (o quitarlos) a nuestra conveniencia.
Por ejemplo: 2,4100000000 es lo mismo que 2,41.

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Cierre del cuatrimestre

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Los números naturales también son números racionales, porque se pueden expresar como una fracción. Por ejemplo, el número natural 4 se puede escribir como la fracción 8/2 y, también, como 4/1.

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Si representamos las fracciones 1/3 y 2/6 vemos que ambas representaciones ocupan la misma superficie. Se dicen fracciones equivalentes porque representan la misma parte.

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1.       Ester tiene que ubicar bombones iguales en cajas cuadradas. Hay cajas de diferentes tamaños y siempre coloca una sola capa de bombones.

a) En una caja entran 9 bombones por fila. ¿Con cuántos bombones la llena?

b) Si en una caja tiene que ubicar 121 bombones, ¿cuántos hay en cada fila?

c) Si tiene 38 bombones para ubicar ¿qué caja debería elegir?

2.       Valeria tiene un rompecabezas con piezas cuadradas. El rompecabezas armado es un cuadrado que tiene entre 130 y 200 piezas.

a) ¿Cuántas piezas podría tener el rompecabezas?

b) ¿Hay una sola posibilidad?

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Se llama resta o sustracción a la diferencia entre un número natural “m” y otro “s” menor o igual dando como resultado un número natural “d”.

En símbolos:

m – s = d llamándose “m” al minuendo y “s” sustraendo

Para saber si la diferencia es correcta se verifica:

d + s = m

La propiedad conmutativa no vale para restar naturales (en otros tipos de números veremos que no es así) ya que 8 – 3 no es igual que 3 – 8.

En símbolos:

8 – 3 ≠ 3 – 8. Leemos el signo " ≠ " como  “es distinto” o “no es igual a”.

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Esta propiedad también la tenemos en la división. Es decir, la propiedad distributiva de la división con respecto de la suma y de la resta de números naturales. Por ejemplo:

(15 - 9) : 3 =
15 : 3 - 9 : 3 =
5 - 3 = 2

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1.       Los periodos de gobierno de los siguientes presidentes argentinos fueron:

A. P. Justo (1932-1938) (de facto)

E. J. Farrell (1944-1946) (de facto)

H. Yrigoyen (1928-1930)

J. F. Uriburu (1930-1932) (de facto)

R. M. Ortiz (1938-1942)

J. D. Perón (1946-1955)

R. S. Castillo (1942-1943)

P. E. Aramburu (1955-1958) (de facto)

P. P. Ramírez (1943-1944) (de facto)

Cronológicamente, ¿Cuál de los anteriores presidentes fue el tercero?

2.       Los números de los jugadores del equipo de fútbol están relacionados con sus posiciones. Si ordeno los números de las camisetas de menor a mayor ¿Quiénes quedan al final? ¿Los que juegan en la defensa o los que juegan como delanteros?

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1.        Escriba un número de dos cifras con las cifras 5 y 7 luego escriba uno mayor.

2.        Escriba un número de tres cifras con el 5 y 7.

3.        Indicar cuál es el número que se obtiene agrupando:

a) Dos centenas y tres decenas.

b) Dos centenas, tres decenas y ocho unidades.

c) Tres centenas y tres decenas.

d) Tres centenas y tres unidades.

e) Dos unidades de mil, 4 centenas, 6 decenas y 5 unidades.

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En el estudio de los números racionales se ha dicho que estos se pueden definir como el cociente de dos números naturales o enteros, pero no se ha hablado de este último.
Por una cuestión de tiempo, no se trabajará con este conjunto numérico pero vale la pena mencionarlo.

Los números naturales se utilizan básicamente para contar y ordenar. Pero no son suficientes, por ejemplo, para expresar deudas o temperaturas bajo cero. Para esto es necesario recurrir a los números negativos.
Los números enteros son un conjunto numérico conformado por los números naturales, el cero y los números negativos.
Tengamos en cuenta que el cero no es positivo ni negativo, como tampoco es par ni impar.

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1. Calcule una fracción equivalente para las siguientes fracciones (recuerde que puede simplificar o amplificar):

a) 2/3

b) 1/5

c) 3/7

d) 8/12

e) 12/8

2. Simplifique las siguientes fracciones:

a) 40/100

b) 35/100

c) 32/64

d) 300/900

3. Indique la fracción correspondiente.
a) ¿Qué parte representa 1 semana con respecto al total de 28 días del mes de febrero?

b) ¿Y un mes con respecto a los 12 meses del año?

c) ¿Y un martes con respecto a los 5 días hábiles de la semana?

d) ¿Qué fracción del camino recorrió el conductor si de los 400 km hizo recién 240 km?

e) Se han abonado $1.000 de una deuda de $2.500 ¿Qué parte de la deuda se pagó?

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1.       La suma de dos números es 36, si uno de ellos es 15, ¿cuál es el otro?

2.       ¿Cuántas horas emplea un micro para llegar si partió de la estación a las 9 hs. y llegó a las 17 hs?

3.       Calcule la resta entre 5 decenas, 3 unidades con 2 decenas, 1 unidad.

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La propiedad conmutativa no vale para dividir naturales:
8 : 2 no es igual que 2 : 8

Tampoco la propiedad asociativa, dado que
(40 : 4) : 2 ≠ 40 : (4 : 2)
ya que (40 : 4) : 2 = 10 : 2 = 5,
mientras que 40 : (4 : 2) = 40 : 2 = 20

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Los números naturales pueden ordenarse en forma creciente, de menor a mayor; o de forma decreciente, de mayor a menor.
Es decir, también nos sirven para ordenar, porque si comparamos las distancias de los planetas al Sol, la Tierra es el tercer planeta; si ordenamos los meses del año, mayo es el quinto mes.

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Analicemos qué ocurre en otro sistema de numeración, por ejemplo el que usamos para medir el tiempo. En el sistema sexagesimal, la base es 60, dado que existen 60 cifras diferentes para representar a los números: del 1 al 59.

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Entre dos números racionales, siempre es posible encontrar otro número racional diferente a ambos. Esta propiedad es la densidad de los números racionales, por eso se dice que los números racionales son densos.

Los números naturales no cumplen esta propiedad. Por ejemplo, entre los números naturales 23 y 24 no hay otro número natural.

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Existen diversas estrategias para comparar fracciones. Usar una u otra estrategia depende de los números involucrados. A continuación se enumeran algunas.

· Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

· Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

· Se pueden escribir fracciones equivalentes a las dadas que tengan igual denominador o igual numerador, y luego comparar las dos nuevas fracciones.

· Se puede comparar cada fracción con un número natural: si es mayor, menor o igual a 1, o a 2, o a 3, etc. Es decir, ubicar las fracciones entre números naturales o escribirlas como números mixtos.

· Se pueden comparar con otra fracción: por ejemplo, si son mayores o menores que 1/2.

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- Un número es divisible por 2, cuando su última cifra es 0 o número par.

- Un número es divisible por 3, cuando la suma sucesiva de sus cifras es 3,6 o 9.

- Un número es divisible por 4, cuando sus dos últimas cifras son 0 o múltiplos de 4.

- Un número es divisible por 5, cuando su última cifra es 0 o 5.

- Un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3, simultáneamente.

- Un número es divisible por 7, cuando un número al que le quitamos la última cifra, si le restamos el doble de esta que quitamos, es múltiplo de 7.

- Un número es divisible por 8, cuando sus tres últimas cifras son 0 o múltiplos de 8.

- Un número es divisible por 9, cuando la suma sucesiva de sus cifras es 9.

- Un número es divisible por 10, cuando su última cifra es 0.

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1. Un avicultor compara las incubadoras para huevos de gallina, el modelo A tiene tres bandejas para 80 huevos en incubación y el modelo B tiene dieciocho bandejas para 11 huevos c/u.

a) Calcule cuántos huevos puede incubar el modelo A.

b) Y cuántos el modelo B.

c) ¿En cuántos huevos supera un modelo al otro?

2. En una fábrica se han consumido 1860 metros cúbicos de gas durante el mes de julio. Calcule el consumo diario promedio incluidos los sábados, domingos y feriados.

3. Daniel necesita armar estantes y compra 12 metros de madera por $60.

a) ¿Cuántos metros de la misma madera compró Luis si gastó $90?
b) ¿Cuánto debe pagar Juan por comprar 3 metros de madera?

4. Un matrimonio decide repartir un campo de 36 hectáreas entre sus 3 hijos. Si a cada hijo le corresponde la tercera parte, calcule cuántas hectáreas recibe cada hijo.

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Recta numérica de los números naturales

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1.       Carlos tomará un avión a Mendoza. El horario de partida era a las 5:48, pero el vuelo está demorado 2 horas y 32 minutos. ¿A qué hora partirá?

2.       a) ¿Cuántos minutos hay en un día?

b) ¿Es cierto que 9260 minutos es lo mismo que 6 días y 10 horas?

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1. a) ¿Cuántas fracciones con denominador 13 hay entre 0 y 1? ¿Y entre 4 y 5?
b) ¿Cuántas fracciones con denominador 28 hay entre 1 y 2? ¿Y con denominador 55?
c) ¿Cuántas fracciones hay entre 0 y 1? ¿Y entre 2 y 3?

2. Escribí, en cada caso, 5 números racionales que estén entre los dos números.

a) Entre 5 y 6

b) Entre 5,5 y 6.

c) Entre 5,7 y 5,8.

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1. En un almacén venden una marca de jugo en botellas de 1,550 litros y otra marca al mismo precio, pero en botellas de 1,6 litros. ¿Cuál conviene comprar?

2. Una gaseosa se vende en botellas de 2,5 litros, 2,25 litros y 2, 3/4 litros.
a) ¿Cuál es la botella que tiene menos gaseosa?
b) ¿Cuál es la botella que tiene más gaseosa?

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5. Media docena de sillas y 2 banquetas cuestan $2.000. Si cada banqueta se pagó $100.

a) ¿Cuál es el precio de cada silla?

b) ¿Y de una docena de sillas?

6. Mariana junta tapitas de plástico para armar una bandeja reciclable. Si necesita 3 docenas de tapitas para cada bandeja y calcula que por semana consume 4 bebidas, ¿cuántas semanas tiene que esperar para juntar la cantidad de tapitas que necesita?

7. En cada viaje en carretilla, un albañil traslada como máximo 12 ladrillos. ¿Cuántos viajes realiza con la carretilla cargada si debe transportar 126 ladrillos? (Tenga en cuenta que el albañil quiere hacer la menor cantidad de viajes posibles).

8. Al desagotar una pileta, en 3 horas descendió 60 centímetros. Sabiendo que la velocidad a la cual se desagota la pileta es constante, calcule cuántos centímetros desciende en 1 hora.

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Para referirnos a cualquier número natural podemos utilizar letras, como por ejemplo: si decimos que la cantidad de ausentes “a” en el trabajo es menor que los presentes “p” escribimos en símbolos a < p (que se lee “a es menor que p”), o lo que es lo mismo p > a (que se lee “p es mayor que a”). Si la cantidad de ausentes y presentes es la misma, escribimos a = p (que se lee “a es igual que p”).

Los números naturales pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica:

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La ubicación de dos números en una recta determina la ubicación de los demás números. Además, la recta se encuentra graduada, es decir que cada marca a la que se asigna un número se encuentra separada a la misma distancia de la siguiente.

En la recta se observa que 3 está a la izquierda de 12, por lo tanto se lee 3 < 12, “3 es menor que 12”. Si queremos nombrar a los números naturales menores que cuatro podemos utilizar la letra “x” y escribir x < 4. Los números que cumplen con esta condición son: 1; 2; 3.

Si escribimos x ≤ 4 (se lee “x es menor o igual que cuatro”), entonces los números que satisfacen esta condición son: 1; 2; 3; 4.

Si denotamos x ≥ 4 (se lee “x es mayor o igual que cuatro”), entonces los números que satisfacen esta condición son: 4; 5; 6; 7; 8;…

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1.       Marque en color sobre una recta numérica los números naturales menores que ocho, es decir x < 8.

2.       Beatriz no quiere confesar su edad y sólo dice que tiene más de 40 y menos de 50 años. Escriba en símbolos esta expresión. Nombre posibles edades de Beatriz.

3.       Escriba números naturales que cumplan las siguientes condiciones:

a) x < 6
b) x ≤ 6

c) x > 16 y x < 20
d) 8 ≤ x ≤ 12
e) x > 16 y x ≤ 20