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SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS - Ejercicio #4

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A partir de la expresión simplificada que se obtiene en el video anterior: A) Dibujar el circuito utilizando sólo compuertas NAND; B) Idem, sólo con compuertas NOR.

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Fue un matemático y lógico británico, desarrollador del álgebra de Boole, que marca los fundamentos de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las ciencias de la computación. En 1854 publicó An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, donde desarrolló un sistema de reglas que le permitían expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos. Se podría decir que es el padre de los operadores lógicos simbólicos y que gracias a su álgebra hoy en día es posible operar simbólicamente para realizar operaciones lógicas.

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Función Lógica: Tabla de verdad y Circuito Combinacional

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(Lincoln, Reino Unido, 1815 - Ballintemple, actual Irlanda, 1864) Matemático británico, creador de un nuevo sistema de cálculo lógico que póstumamente sería llamado Álgebra de Boole. Dicho sistema, en el que las proposiciones se reducen a símbolos sobre los que puede operarse matemáticamente, supuso un avance fundamental en el desarrollo de la lógica y, más de un siglo después, hallaría un formidable e insospechado campo de aplicación en la informática y los microprocesadores, cuyo funcionamiento se basa en la lógica binaria de Boole.

George Boole

Miembro de una familia venida a menos, George Boole tuvo que desestimar su propósito de hacerse monje al verse obligado a mantener a sus padres. A los dieciséis años enseñaba matemáticas en un colegio privado y más tarde fundó uno propio. A los veinticuatro años, tras la publicación de su primer escrito, pudo ingresar en Cambridge, pero hubo de declinar la oferta a causa de sus deberes respecto a su familia. En 1849 fue nombrado profesor de matemáticas del Queen's College, en Cork, donde permaneció el resto de su vida.

Prácticamente autodidacta, George Boole se interesó sobre todo por el análisis matemático, y muy pronto alcanzó gran notoriedad gracias a sus brillantes aportaciones y artículos referidos a este tema. En esa dirección debe destacarse su obra Análisis matemático de la lógica (1847), que contiene sus primeras observaciones sobre los vínculos entre la lógica y las matemáticas y que muchos consideran como el acta de nacimiento de la lógica matemática.

El gran descubrimiento de Boole fue aplicar una serie de símbolos a elementos y operaciones lógicas y hacer que estos símbolos y operaciones -por elección cuidadosa- tuvieran la misma estructura lógica que el álgebra convencional. En el álgebra de Boole, los símbolos podían manipularse según reglas fijas que producirían resultados lógicos.

En 1854 publicó Investigación sobre las leyes del pensamiento, libro que trataba por completo de la lógica simbólica y su álgebra. La influencia de esta lógica matemática sobre las matemáticas modernas tendría una evolución lenta: si en un primer momento no parecía más que un intrincado juego de palabras, más adelante se vio que era de lo más útil, y hasta completamente indispensable para llegar a la matemática lógica. Boole se casó a la edad de cuarenta años y tuvo cinco hijas, a las que no llegó a ver adolescentes.
El álgebra de Boole
Esta forma de cálculo desarrollada por George Boole es un sistema mediante el cual ciertos razonamientos lógicos pueden expresarse en términos matemáticos. Los elementos del álgebra de Boole son un conjunto de proposiciones, es decir, de hechos expresados mediante oraciones del lenguaje natural. Tales proposiciones tienen como propiedad ser verdaderas o falsas. Al mismo tiempo, y prescindiendo de si son verdaderas o falsas, cada proposición tiene lo que se llama su proposición complementaria, que no es sino la negación de la misma: la negación de la proposición P es la proposición complementaria P'.

Las consecuencias de estas proposiciones pueden descubrirse realizando operaciones matemáticas sobre los símbolos que las representan. Las dos operaciones básicas son la conjunción y la disyunción. Su sentido es fácil de comprender si se piensa en las dos partículas gramaticales correspondientes, la conjunción copulativa "y" (con idea de adición o suma) y la conjunción disyuntiva "o" (con idea de exclusión). En el lenguaje natural, sin embargo, tales conjunciones pueden tener otras valores, cosa que obviamente no ocurre en el álgebra de Boole.

Como ejemplo simple, consideremos las dos proposiciones siguientes: "hoy estaré en casa" y "mañana estaré en casa". Representamos la primera proposición con el símbolo P y la segunda con el símbolo Q. Las dos proposiciones pueden combinarse en una de dos formas: por un lado, P o Q (hoy estaré en casa o mañana estaré en casa), y, por otro P y Q (hoy estaré en casa y mañana estaré en casa).

Las reglas del álgebra de Boole pueden utilizarse para determinar las consecuencias de las diversas combinaciones de estas proposiciones en función de si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). Así, si ambas proposiciones son verdaderas, la combinación P y Q es también verdadera. Es decir, si la proposición "hoy estaré en casa" ( P) es verdadera, y la proposición "mañana estaré en casa" ( Q) también es verdadera, entonces la combinación "hoy estaré en casa y mañana estaré en casa" ( P y Q) también debe ser verdadera.

Supongamos, en cambio, que P es verdadera y Q es falsa. Es decir, la proposición "hoy estaré en casa" ( P) es verdadera, pero la proposición "mañana estaré en casa" ( Q) es falsa. En tal caso, la combinación "hoy estaré en casa y mañana estaré en casa" ( P y Q) debe ser falsa. Como puede imaginarse, la mayoría de las cuestiones que aborda el álgebra de Boole son mucho más arduas que este ejemplo simple. Con el paso del tiempo, los matemáticos han desarrollado complejas técnicas para formalizar y calcular procesos lógicos muy complicados.

Dos elementos del álgebra de Boole la convierten en una forma matemática muy importante para su aplicación práctica. En primer lugar, las proposiciones expresadas en el lenguaje diario (como "hoy estaré en casa") pueden convertirse en expresiones matemáticas, como letras y números. En segundo lugar, esos símbolos generalmente tienen uno de dos valores: las proposiciones pueden ser afirmativas o negativas (complementarias); las operaciones son conjunción o disyunción; y no sólo las proposiciones, sino también el resultado de sus combinaciones ( P, Q, P y Q, P o Q), son verdaderas o falsas. Esto significa que pueden expresarse por medio de un sistema binario: verdadero o falso; sí o no; 0 ó 1.

El sistema matemático binario es el sistema numérico más utilizado en los ordenadores. Los sistemas computarizados consisten en núcleos magnéticos que pueden ponerse en marcha o detenerse; los números 0 y 1 se usan para representar los dos estados posibles de un núcleo magnético. Las operaciones que los microprocesadores pueden llevar a cabo con la información binaria son muy simples (negación, conjunción y disyunción siguiendo el álgebra de Boole, y también comparaciones y las cuatro operaciones aritméticas), pero la combinación de todas estas operaciones a grandísima velocidad permite ejecutar tareas muy complejas. De este modo, los procedimientos de cálculo lógico del álgebra de Boole han pasado a constituir la "inteligencia" de multitud de objetos cotidianos: cuando los ingenieros diseñan los circuitos para los ordenadores personales, calculadoras de bolsillo, lectores de discos compactos, teléfonos móviles y una gran cantidad de otros tipos de productos electrónicos, no hacen sino capacitarlos para ejecutar operaciones y procesos basados en los principios del álgebra de Boole.

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(Lincoln, Reino Unido, 1815 - Ballintemple, actual Irlanda, 1864) Matemático británico, creador de un nuevo sistema de cálculo lógico que póstumamente sería llamado Álgebra de Boole.

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A partir de las expresiones anteriores: A) Dibujar el circuito utilizando compuertas; B) Hallar la tabla de verdad.

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A partir del circuito anterior: A) Obtener la expresión lógica de la salida Z; B) Aplicando propiedades y teoremas del álgebra de Boole, Simplificar la expresión obtenida; C) A partir de la expresión simplificada, dibujar el circuito; D) Considerando que sólo se dispone de compuertas NAND, hallar el circuito equivalente con este tipo de compuertas; E) Idem compuertas NOR; F) Demostrar que las expersiones lógicas de las salidas para los circuitos NAND y NOR son equivalentes a la expresión obtenidad en el punto B).