# data[].attributes.headline
מבלי להרים את כלי הכתיבה, ציירו 4 קווים ישרים שעוברים דרך כל הנקודות

# data[].attributes.subject
מבלי להרים את כלי הכתיבה, ציירו 4 קווים ישרים שעוברים דרך כל הנקודות

# data[].attributes.body
תספרו כמה פעמים עובר הכדור בין הקבוצה שלבושה בלבן

# data[].attributes.headline
המוח שלנו מתוכנן להבחין בתבניות באופן אוטומטי, כך שאירועים שחורגים מהתבנית אינם נקלטים באותה הקלות שבה נקלטים אירועים צפויים.

# data[].attributes.subject
המוח שלנו מתוכנן להבחין בתבניות באופן אוטומטי, כך שאירועים שחורגים מהתבנית אינם נקלטים באותה הקלות שבה נקלטים אירועים צפויים.

# data[].attributes.headline
רציונליות או מזל?

# data[].attributes.subject
רציונליות או מזל?

# data[].attributes.body
1. אקראיות מוחלטת - "מה שיוצא..."
2.

# data[].attributes.headline
אבן נייר ומספריים

# data[].attributes.subject
אבן נייר ומספריים

# data[].attributes.body
מזל או אסטרטגיה?

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
מכון דוידסון לחינוך מדעי

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
"אבן, נייר ומספריים, המנצח בין השתיים - אחת, שתיים, שלוש!" מי מאיתנו לא שיחק במשחק הזה בילדותו. בוודאי לא דמיינו לעצמנו שמאחורי המשחק הזה מסתתר עיקרון מתמטי חשוב, שיש לו משמעות אפילו בנושא אקטואלי כמו בחירות!

את המשחק משחקים כך: שני ילדים מתחרים עומדים זה מול זה וכל ילד יכול ליצור בכף ידו אחת משלוש צורות:

אבן - הילד מאגרף את כף ידו.
הילד פורש את כף ידו.
מספריים - הילד מושיט קדימה שתי אצבעות בצורה של מספריים.

סופרים עד שלוש וכל ילד בוחר באיזו צורה להשתמש. לאחר מכן מסתכלים באיזו צורה בחר כל ילד ולפי זה רואים מי ניצח.

אם שני הילדים בחרו באותה צורה, אין מנצח. התוצאה היא תיקו).
אם אחד בחר בנייר והשני במספריים, בעל המספריים מנצח (המספריים גוזרים את הנייר).
אם אחד בוחר בנייר והשני באבן, בעל הנייר מנצח (הנייר עוטף את האבן).
אם אחד בוחר באבן והשני במספריים, בעל האבן מנצח (האבן שוברת את המספריים).

אחת התכונות המעניינות של משחק זה היא שיש בו מערכת יחסים מעגלית בין השחקנים: אבן מנצחת מספריים, מספריים מנצחים נייר ונייר מנצח אבן. מערכת יחסים מעגלית מכונה בשפה מתמטית מערכת יחסים לא טרנזיטיביים.

יחסים לא טרנזיטיביים הם רק סוג אחד של יחסים. סוג אחר הוא היחס הטרנזיטיבי, שבו אם שחקן א' מנצח את ב' ושחקן ב' מנצח את ג', אזי ברור שגם שחקן א' מנצח את ג'. סיטואציה כזאת יכולה להתרחש למשל כששלושה אנשים זורקים קובייה והמנצח הוא זה שקיבל את המספר הגבוה יותר.

נחזור למשחק "אבן, נייר ומספריים" ונשאל את השאלה הבאה: נניח ששלושה חברים משחקים את המשחק מספר רב של פעמים ברצף. איך יסתיים רצף המשחקים? התשובה די ברורה - אם היריבים מכירים זה את זה טוב מספיק ועוקבים אחרי התגובות של יריביהם, סביר להניח שלאחר זמן רב, בממוצע, המשחקים יסתיימו בתיקו - כלומר, כל אחד מהשחקנים ינצח מספר דומה של משחקים.

למרות זאת, המשחק הפך ללהיט גדול עד כדי כך שהוקם ארגון בינלאומי שמארגן תחרויות "אבן, נייר, מספריים" רשמיות! האליפות הקרובה צפויה להתקיים במהלך חודש יוני. בשנה שעברה זכתה בה האמריקאית אנדריאה פרינה.

מתמטיקאים חיפשו דרך להוסיף עניין למשחק. הם החליטו להרחיב את המשחק בכך שיוסיפו לו גורמים נוספים, נוסף על השולשה המוכרים (אבן, נייר ומספריים). שני הגורמים שהוספו כונו לטאה ו"ספוק", על שם דמות נערצת מתוכנית הטלוויזיה הפופולרית הוותיקה "מסע בין כוכבים".

כללי המשחק החדש הם:

מספריים מנצחים נייר.
נייר מנצח אבן.
לטאה מנצחת את ספוק.
ספוק מנצח מספריים.
מספריים מנצחים לטאה.
לטאה מנצחת נייר.
נייר מנצח את ספוק.
ספוק מנצח אבן.
אבן מנצחת מספריים.

הגרף הבא מתאר את כללי המשחק. כאשר גורם אחד מנצח גורם אחר, החץ מופנה לכיוון המפסיד.

עקב ריבוי האפשרויות, הרבה יותר קשה לשחק אבן, נייר, מספריים, לטאה, ספוק. ואם בכל זאת מצליחים, יש הרחבות גם למשחקים שיש בהם 15 ואפילו 25 דמויות ססגוניות!

צירופים מכריעים
דוגמה נוספת למערכת יחסים לא טרנזיטיביים היא משחק בקוביות שממוספרות באופן מיוחד.

קוביות המשחק האלו מכונות "קוביות אפרון", על שם הסטטיסטיקאי האמריקאי ברדלי אפרון שהמציא אותן. בהמשך נסביר איך ממספרים את הקוביות, אך ראשית נפרט את כללי המשחק:

נותנים ליריב לבחור קובייה
בוחרים באחת מהקוביות הנותרות.
שני השחקנים זורקים, כל אחד את הקובייה שלו, וזה שקיבל מספר גבוה יותר מנצח.

כשמשחקים את המשחק בקוביות רגילות, לכל שחקן יש סיכוי שווה לנצח במשחק (50 אחוז), כך שבסדרה של 12 משחקים כל שחקן ינצח שישה משחקים בממוצע. אך אם ממספרים את הקוביות באופן מיוחד, אפשר לשנות את הסיכויים לנצח במשחק לטובת אחד השחקנים, כך שבסדרה של 12 משחקים רצופים או יותר אותו שחקן ינצח כמעט תמיד בסדרה כולה. כל שהשחקן צריך לעשות הוא לבחור בקובייה הנכונה.

נראה דוגמה עם ארבע קוביות:

נראה מהם סיכויי הניצחון של אחד מזוגות הקוביות. בשורה הראשונה פרושה הקובייה הראשונה ובעמודה הראשונה פרושה הקובייה השנייה. בתוך הטבלה רשום איזו קובייה תנצח לפי המספר שמופיע בשורה ובעמודה המתאימים.

קובייה א' מול קובייה ב':

מהטבלה אפשר לראות שמתוך 36 המצבים האפשריים, ב-24 מקרים קובייה א' מנצחת ורק ב-12 מקרים קובייה ב' מנצחת, לכן אנו מגדירים את היחס בין שתי הקוביות כניצחון של קובייה א'. בפועל זה אומר שהסיכוי של מי שבוחר בקובייה א' לנצח הוא שני שליש, לכן אם שחקן אחד בחר בקובייה א' והשני בקובייה ב', השחקן שבחר בקובייה א' ינצח בממוצע בשמונה משחקים מסדרה של 12 משחקים.

המיוחד בקוביות אפרון הוא שאם נבחר את קובייה ב' מול קובייה ג' נמצא בדיוק אותו דבר - קובייה ב' מנצחת את קובייה ג' ב-24 מקרים מתוך 36. אם נבחר בקובייה ג' מול קובייה ד' נמצא גם כאן בדיוק אותו דבר - קובייה ג' מנצחת את קובייה ד' ב-24 מקרים מתוך 36. ולבסוף, אם נשחק בקובייה ד' מול קובייה א' נמצא שקובייה ד' מנצחת את קובייה א' שוב ב-24 מתוך 36 מקרים.

קוביות אפרון, אם כן, מתייחסות זו לזו באופן לא-טרנזיטיבי - א' מנצחת את ב', שמנצחת את ג', שמנצחת את ד', שמנצחת את א', ותמיד הניצחון הוא באותו סיכוי של שני שליש.

פרדוקס הבחירות
יחסים לא טרנזיטיביים יכולים ליצור גם פרדוקסים בעייתיים. אחד המפורסמים שבהם הוא פרדוקס הבחירות, שמיוחס למרקיז דה-קונדורסט.

נתבונן בטבלה הבאה, המראה תוצאות התמודדות בין שלושה מועמדים לראשות מפלגה, עמי, רמי ותמי:

הבוחרים התבקשו לדרג את המועמדים לפי סדר עדיפות, וכך הם אכן עשו. בשורות שבטבלה מצוין מה אחוז האוכלוסייה שבחר בסדר העדיפות המתואר באותה שורה. כך, השורה הראשונה מראה ששליש מהבוחרים מעדיפים את המועמדים בסדר הבא: עמי, רמי ותמי. השורה השנייה מראה ששליש אחר מעדיפים את המועמדים בסדר הבא: רמי, תמי ועמי. ובשורה השלישית שליש מהבוחרים מעדיפים את תמי לפני עמי ורמי, בסדר הזה.

עיון בטבלה מלמד אותנו דבר מעניין ביותר: אילו היה עמי מתמודד מול רמי לבדו, ברור לגמרי ששני שליש מהאוכלוסייה מעדיפים אותו (כדי לראות זאת פשוט מחקו את השם תמי מהטבלה ותראו שעמי מקדים את רמי פעמיים מתוך השלוש). אילו רמי היה מתמודד מול תמי לבדו, רמי היה זוכה להעדפתה מצד שני שליש מהבוחרים. אך אם תמי מתמודדת מול עמי, שני שליש מהאוכלוסייה יעדיפו אותה על פניו.

אז את מי באמת רוצים הבוחרים? הרי עמי מנצח את רמי, שמנצח את תמי, שמנצחת את עמי.

פרדוקס הבחירות היא עוד דוגמה למערכת יחסים לא-טרנזיטיביים.

לא נוכל לסיים טור בנושא "אבן, נייר ומספריים" בלי להזכיר שגם המשפחה המצוירת מסדרת הטלוויזיה "משפחת סימפסון" התייחסה למשחק.

באחת התוכניות כתבו ליסה ובארט ביחד תסריט לסרט והם מנסים להחליט מי מה יופיע ראשון ברשימת כותבי התסריט. הנה תרגום חופשי של הדו-שיח ביניהם:

ליסה: "תראה בארט, יש דרך אחת בלבד ליישב את זה: אבן, נייר ומספריים".

ליסה מהרהרת. "בארט כל כך צפוי. הוא תמיד יבחר 'אבן'".

במקביל בארט חושב, "אבחר 'אבן'. אבן היא הכי חזקה ושום דבר לא ינצח אותה!"

בארט מושיט יד פרושה: "אבן!"

ליסה מאגרפת את ידה: "נייר!"

בארט: "אוף......!"

הכתבה ראתה אור במקור בכתב העת למדע ולמחשבה.

יוסי ומיכל אלרן
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

# data[].attributes.attachment_link.title
אבן, נייר ומספריים

# data[].attributes.attachment_link.description
"אבן, נייר ומספריים, המנצח בין השתיים - אחת, שתיים, שלוש!" מי מאיתנו לא שיחק במשחק הזה בילדותו.

# data[].attributes.headline
זוג או פרט/פרד - מזל או הסתברות?

# data[].attributes.subject
זוג או פרט/פרד - מזל או הסתברות?

# data[].attributes.body
החלטה של צד אחד משפיעה על הצד השני.
כל אחד המנצח יהיה בעצם זה שחיבור התוצאות הניב את מה שהוא רצה. כלומר, לא מספיק לדעת כמה אצבעות הוא פשט, אלא צריך לדעת כמה יש גם בצד השני. ככה יוצא, שמספר האצבעות בצד אחד משפיעה גם על הצד השני. כלומר, תורת המשחקים עוסקת בהשפעה של החלטת צד אחד על שאר הצדדים.

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
מכון דוידסון לחינוך מדעי

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
זוג או פרט - לכאורה משחק המזל המושלם והדרך הכי קלה ופשוטה להכריע בין שתי אפשרויות. אחד זוכה, השני מפסיד, וחסל. אבל האם אפשר לרמות גם במשחק הזה? ואיך אפשר להטות את הסיכוי לטובתנו?

לכאורה לא יכול להיות משחק הוגן מ"זוג או פרט": זוגי או אי-זוגי, ניצחון או הפסד, להיות או לא להיות. הרי זה משחק המזל הכי בינארי שאפשר להעלות על הדעת, משחק עם סיכויי הצלחה של 50-50, נכון? אבל האם באמת הסיכויים של שני הצדדים שווים, או שמא יש לנו דרך להטות כך את המשחק לטובתנו? ומה זה בכלל "פרט"?

"זוג או פרט" (שלפעמים קוראים לו גם "זוג או פרד") הוא משחק עתיק יומין. יש אומרים שהוא מסתובב בינינו בגרסאות אלה ואחרות כבר אלפי שנים. מה הפך אותו עמיד כל כך לפגעי הזמן? אולי פשטותו, ואולי ההכרעה הבטוחה שהוא מציע.

המשחק מתנהל כך: השחקנים בוחרים מראש מי מהם הוא ה"זוג" ומיהו ה"פרט", ואז כל אחד מראה מספר כלשהו של אצבעות בכף יד אחת - בין אחת לחמש בו-זמנית - ומחשבים את הסכום. אם התוצאה זוגית, מנצח שחקן ה"זוג". אם לא, ה"פרט" ניצח.

ולמה "פרט"? ילדים נוהגים לדבר על "זוג או פרד", שכן פרד היא מילה הרבה יותר מוכרת, אם כי לאו דווקא במשמעות של "אי-זוגי". כשמתבגרים מעט, לומדים שהמילה הנכונה היא פרט, אבל בפועל מתברר ש לשתי המילים יש בסיס במקורות ושתיהן "חוקיות". "פרט" מופיע במקרא, ו"פרד" בלשון חז"ל והמובן של שתיהן דומה - הפרדה.

מתחלק בשתיים?
שאלת ההוגנות היא ערך חשוב במשחק, ואפשר לבחון אותה בכלים מתמטיים פשוטים. הטבלה שלמטה ממחישה מדוע המשחק אינו הוגן. היא מראה את כל זוגות המספרים האפשריים שיכולים להיווצר מחמש אצבעות של שני שחקנים ואת סכומיהם: 25 בסך הכול. אבל רגע - 25 זוגות? כאן כבר אמור להתעורר החשד, שהרי 25 אינו מספר זוגי ואי אפשר לחלק אותו באופן שווה בין שני שחקנים ללא שארית. לכן אנחנו יכולים לדעת מראש שהמשחק אינו הוגן, אפילו בלי שניסינו לשער לצד מי הוא נוטה ובאיזה פער.

עיון מהיר בטבלה מלמד ש-13 מ-25 זוגות התוצאות נותנים סכום זוגי, ורק 12 מהסכומים הם אי-זוגיים. הפער קטן, אך מכריע - ממש כמו המשחק עצמו.

אפשר לייצג את התוצאות גם במודל רציף, בעזרת שינוי קל של סדר המספרים וחלוקה שלהם לזוגיים ואי-זוגיים. מה שמתקבל הוא ריבוע בגודל של 1x1, ששטחו 1 יחידת שטח, בדיוק כמו ההסתברות של סכום כל התוצאות האפשריות.

כאן, במקום לספור את התוצאות אנחנו יכולים להתבונן בשטחים חלקיים של הריבוע ולהשוות ביניהם, או לחלופין לספור את שטחן היחסי של המשבצות מכל סוג מתוך כלל המשבצות. גם כאן קל לראות את הפער בין שטחי הריבועים הכחולים (3/5x3/5+2/5x2/5), שמבטאים את הסכומים הזוגיים (הסכום של שתי תוצאות אי-זוגיות או שתי תוצאות זוגיות הוא זוגי), לבין שטחי שני המלבנים האדומים הזהים (3/5x2/5 בכל אחד), שבהם נמצאים סכומים אי-זוגיים.

צודקים מכל הסיבות הלא נכונות
גם מטעויות אפשר ללמוד הרבה. מתברר שיש מי שיאמר שהמשחק אכן אינו הוגן, אולם ינמק את זה בטיעון מוטעה. כך זה הולך: הסכומים האפשריים הם המספרים הטבעיים מ-2 עד 10 ועד בכלל, ומספר הזוגיים ביניהם גדול ב-1 מזה של האי-זוגיים.

מדוע לא נכון לחשוב באופן הזה על התוצאות האפשריות? משום שההסתברות של התוצאות האלה אינה שווה. הסיכוי לקבל את הסכומים שבמרכז גבוה יותר מאשר אלה שבקצוות. למשל ההסתברות לקבל סכום של 6 היא 0.2 (5/25), ואילו ההסתברות של הסכומים 2 או 10 היא רק 0.04 (1/25). לכן אי אפשר להסתכל עליהם באופן שוויוני.

יהיו גם מי שיטענו בטעות שהמשחק הוגן בגלל החלוקה הדיכוטומית ל"זוגי" ו"אי-זוגי". גם פה רואים אותה שגיאה: התייחסות למצבי "או א' או ב'" כתוצאות שוות הסתברות, אף על פי שכבר ראינו שהסיכוי לקבל מספר זוגי קצת יותר גבוה. אולי זה גם מסביר את הגלגול שעבר המשחק לגרסה שכוללת רק את האבטיפוס שלו, כלומר משחק בשתי אצבעות. בגרסה הזאת, השחקנים מניחים שאין הבדל בין 1 ל-3 ול-5, או בין 2 ל-4, ולכן מסתפקים בבחירה הבסיסית בין 1 ל-2. כך הם יוצרים - אולי בלי כוונה - משחק הוגן, גם אם הוא נובע מתפיסה מוטעית.

ואם כבר גלגולי גרסאות, יש גם שחקנים שמוסיפים למשחק את האפשרות של אפס, או שמסתפקים בארבע אצבעות במקום חמש. בשתי הדרכים האלה מספר הסכומים האפשרי הוא זוגי וההסתברות ל"זוג" ו"פרט" זהה. מי יודע, אולי חכמת ההמונים יצרה את התיקונים האלה וגלגלה את המשחק לגרסאות ההוגנות שלו?

ולבסוף, עוד קצת חומר למחשבה: נניח שאנחנו שחקנים רציונליים שיודעים היטב הסתברות. במצב כזה, נאמר שדני הוא שחקן "זוגי", והוא יודע שרוב הסיכוי שחברתו רונית תציג מספר אי-זוגי של אצבעות (3/5). לכאורה כדאי לו להציג גם הוא מספר אי-זוגי, כדי שהסכום של שתי התוצאות ייצא זוגי. אבל הוא יודע שגם רונית רציונלית ושהיא יודעת שהוא יודע מה הכי סביר שתעשה. אז אולי היא תשנה את דעתה ותציג דווקא מספר זוגי - ואז כדאי גם לדני להציג מספר זוגי. נראה פה שהשחקנים עלולים להפוך ל"קורבנות הרציונליות".

רוצים לנסות לשחק משחק אחר מול מחשב? מי, לדעתכם, ינצח ב" אבן, נייר ומספריים"?

אז חיינו בשקר? תכריעו אתם.

# data[].attributes.attachment_link.title
האם "זוג או פרט" הוא משחק הוגן?

# data[].attributes.attachment_link.description
לכאורה לא יכול להיות משחק הוגן מ"זוג או פרט": זוגי או אי-זוגי, ניצחון או הפסד, להיות או לא להיות. הרי זה משחק המזל הכי בינארי שאפשר להעלות על הדעת, משחק עם סיכויי הצלחה של 50-50, נכון? אבל האם באמת הסיכויים של שני הצדדים שווים, או שמא יש לנו דרך להטות כך את המשחק לטובתנו?

# data[].attributes.body
חידה - מי הראשון שיצעק?

# data[].attributes.headline
חידת 5 הפיראטים

# data[].attributes.subject
חידת 5 הפיראטים

# data[].attributes.body
google class

# data[].attributes.body
https://meet.google.com/ewg-dyvu-xyp

# data[].attributes.headline
מצגת פתיחה והסבר

# data[].attributes.subject
מצגת פתיחה והסבר