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Integral Calculus lesson 4 - How to find the area under a curve (definite integrals)

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

Facultad de Ciencia

Departamento de Matemática y C.

2º semestre 20 15

Profesor: H. Carreño G

Material docente: Calculo II

Parte 2: Calculo del Volumen de un Sólido de Revolución

No es sorprendente que la integral definida pueda utilizarse para calcular áreas; se inventó para

ese propósito. Pero los usos de la integral van mucho más allá de esa aplicación. Muchas

cantidades pueden considerarse como el resultado de rebanar algo en pequeños pedazos,

aproximar cada pedazo, sumarlos y tomar el límite cuando los pedazos disminuyen su tamaño.

Este método de rebanar, aproximar e integrar puede utilizarse para encontrar los volúmenes de

sólidos, siempre y cuando el volumen de cada pedazo sea fácil de aproximar.

¿Qué es el volumen? Comenzamos con sólidos sencillos denominados cilindros rectos (cuatro

de los cuales se muestran en la figura 1). En cada caso el sólido se genera moviendo una

región plana (la base) a lo largo de una distancia h en dirección perpendicular a esa región. Y

en cada caso el volumen del sólido se define como el área A de la base por la altura h; esto es,

V hA

Ahora considere un sólido con la propiedad de que su sección transversal perpendicular a una

recta dada tiene área conocida. En particular, supóngase que la recta es el eje X y que el

área de la sección transversal en x es xA )( , con axb. Dividimos el intervalo  ,ba

insertando los puntos a x x x x x b

n n

       0 1 2  1

. Después, a través de estos puntos,

pasamos planos perpendiculares al eje X , con lo que rebanamos el sólido en capas delgadas

o rebanadas. El volumen Vi de una rebanada debe ser aproximadamente el volumen de un

"cilindro"; esto es Vi aA i)(  xi , donde xi 1  ixi, y xixixi 1 , El "volumen" V del

sólido debe estar dado, de manera aproximada, por la suma de Riemann  



 

n

i

V aA i xi

1

( ))

Cuando hacemos que la norma de la partición tiende a cero, obtenemos una integral definida;

esta se define como el volumen del solido

= V xA dx

b

a

)( 

En lugar de aplicar de manera mecánica la fórmula en el recuadro para obtener volúmenes, le

sugerimos que en cada problema vaya a través del proceso que conduce a ella. Al igual que

para áreas, llamamos a este proceso rebane, aproxime, integre.

Definición Volumen por rebanadas: Sea V el volumen de un sólido acotado por planos perpendiculares al

eje X en xa y xb. Si xA )( es una función continua que proporciona el área de una

sección transversal del sólido formado por un plano perpendicular al eje x en cualquier punto en

el intervalo [a, b], entonces el volumen del sólido es

= V xA dx

b

a

)( 

1. Determine el volumen de la pirámide de base cuadrada,

cuya área es 9 y altura 5, por medio del método de las

secciones transversales.

Desarrollo:

Como se muestra la figura, se puede cortar la pirámide con

un plano de altura paralelo a la base a una altura y, donde

0 y 5 ; para formar una sección transversal cuadrada

cuyos lados son le longitud b. Por semejanza de triángulos,

se tiene que:

5

5

3

b y   5( )

5

3

b y

Por tanto la sección transversal cuadrada que permite

calcular el área está dada por:

2

2 2 5( ) 25

9 5( ) 5

3 yA b)()( y  y



 





  

Los límites de integración se encuentran en planos

horizontales desde y=0 hasta y=5:

3

5

0

3

5

0

2 5( ) 15 25

3 5( ) 25

9 V yA )( dy y dy y u

d

c

  

 



       

de volumen.

2. Determine el volumen del tetraedro que indica la figura 1, de base triangular y altura 3, por medio

del método de las secciones transversales.

Figura 1 Figura 2

Desarrollo:

Elijamos el eje de largo 4 para calcular nuestra sección transversal y calculamos el área de nuestra figura 2

resultante para un punto x 4,0 , con esto tendremos que

2

)(

ba xA



 , y calculemos a y b en

términos de x. Por semejanza de triángulos

a x



4

3 4

y

4

5 4





b x

, de donde

4

12 3 x a



 y

4

20 5 x b



 ,

por tanto

32

15 120 240

32

( 12 ()3 20 ) )(

2   

   

x x x x

xA , de donde el volumen está dado por la integral

 

   

4

0

2

32

1

4

0

xA )( dx ( 15 x 120 x 240 )dx  

3

32

1

4

0

3 2

32

1

  5 x  60 x  240 x   320  10 u de volumen.

Por tanto damos la siguiente definición:

Definición Si y xf )( es una función integrable y sí xf )(  0 para toda x en  ,ba , y sea R la

región bajo la gráfica de la curva dada por la función f entre las rectas de ecuaciones

verticales xa y xb. Entonces el volumen del sólido S formado al rotar la región R

alrededor del eje OX , está dado por:

VolumendeS =  f(x) dx

b

a

2





(1)

1. Como hallar volúmenes con la ecuación de la definición 1:

1. Dibuja e identifica la función radio xf )(.

2. Eleva al cuadrado la función radio xf )( y multiplica por la constante .

3. Integra para hallar el volumen.

Ejemplo 1: La región entre la curva y x, el intervalo definido por 0 x 4 y el eje OX, se gira

alrededor del eje OX para generar un sólido. Hallar su volumen.

Solución:

V =  f(x) dx

b

a

2



 =  x dx

2

4

0



 = xdx 



4

0

  











  8

2

4

0

2 x u de volumen

3

null

Ejercicio 1: Calcule el volumen del solido de revolución generado cuando la región acotada por la curva

1

2

yx  , el eje OX y las rectas verticales de ecuaciones x  1 y x 3 , se gira

alrededor del eje OX.

El eje de rotación en el siguiente ejemplo no es el eje OX, pero la regla para calcular el

volumen es la misma; integrar

2

(radio) entre los límites apropiados.

Ejemplo 2: Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva y x, y las rectas

de ecuaciones y 1 , x 4 ; alrededor de la recta horizontal y 1.

Solución:

V =  f(x) dx

b

a

2



 = x dx

2

4

1

 ( ) 

 = (x 2 x )1dx

4

1

   



6

7

3

2 2

2

4

1

2 2

3 

 











   x x

x

Determinación de la región acotada Región que gira en torno de y 1

Ejemplo 3: Demuestre que el volumen de una esfera de radio r es

3

3

4

V  r

Desarrollo:

Pensemos la esfera como el sólido de revolución

resultante obtenido al girar la región plana

semicircular en torno del eje OX. Esta es la región

acotada por arriba por el semicírculo dado por la

función

2 2

y r x , donde rxr, y por

debajo por el intervalo r,r en el eje OX. Para

emplear la ecuación (1), consideremos que

2 2

xf )(  r x , a  r y b  r, entonces:

= V  f(x) dx

r

r

2







 = r x dx

r

r

2 2 2  

  

   







= r x dx

r

r

( )

2 2   







r

r

r x x



















   

2 3

3

1



3

3

4

  r u de volumen

3

Ejemplo 6: Hallar el volumen del sólido generado al girar la región entre la parábola cuya ecuación es

1

2

xy  y la recta de ecuación x 3 ; alrededor de la recta vertical x 3.

Solución:

=V  yg dy

d

c

2 )( 

  ydy

22

2

2

 2  



 y ydy

2 4

2

2

 4  4  



2

2

3

5

3

4

5

4 











    y

y y

15

64  2



Nota: Un método similar funciona cuando el sólido se engendra por revolución alrededor del eje OX

de la región comprendida entre dos curvas.

Ejercicio 2: Demuestre que el volumen de un cono circular recto cuyo radio de la base es r y cuya altura

h, esta dado por la fórmula V  r h

2

3

1



2. Volumen de revolución entre dos funciones - Método de La Arandela

Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo  ,ba , tales que xf )(  xg )( pata toda

x en  ,ba. Consideremos el sólido engendrado al girar alrededor del eje OX la región R

comprendida entre la curva y xf )( y la curva y xg )( para toda x en  ,ba. ¿Cuál es su

volumen?

La sección producida en este sólido por el plano perpendicular al eje OX es un anillo (arandela

o corona circular). Este anillo está limitado por un círculo de radio y 1  xf )( y otro de radio

y 2  xg )( y tiene área igual a:

   

2 2

xA )(  xf )(  xg )(

   

2 2

xA )(  xf )(  xg )(

En consecuencia la fórmula para el volumen del sólido de revolución engendrado por la región

comprendida entre dos curvas es:

xV    xf xg dx

b

a



 

2 2

)(  )( )(

En este caso la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación,

el sólido tendrá un agujero. Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son

arandelas en lugar de discos. Las dimensiones de una arandela típica son:

Radio Externo xf )(  xR )(

Y

Radio Interno xg )(  xr )(

El área de la arandela es    

2 2

xA )(  xR )(  xr )(    

2 2

 xR )(  xr )(

2. Fórmula de la Arandela para hallar Volúmenes entre dos funciones:

xV    xf xg dx

b

a



 

2 2

)(  )( )(

(3)

Observar que la función que se ingreso en al ecuación (3) es ( )

2 2

R r , y no es

2

(Rr).

También observar que la ecuación (3) da la fórmula del método del disco, como sólido de

revolución, si tenemos que xg )(  xr )(  0 a lo largo del intervalo  ,ba. Por lo tanto, el método

del disco es un caso particular del método de la arandela.

2. Cómo hallar Volúmenes entre dos funciones por la Fórmula de la Arandela:

1. Dibuje la región y trazar un segmento de recta a través de ella perpendicular al eje de

rotación. Cuando la región gira, este segmento generará una sección transversal típica

en forma de arandela del sólido generado.

2. Hallar los límites de integración.

3. Halle los radios interno y externo de la arandela barrida por el segmento.

4. Integrar para hallar el volumen pedido.

Observación: Para hallar el volumen de un sólido al girar una región sobre el eje OY, seguimos los pasos

enumerados anteriormente, pero integrando respecto a la variable y, en lugar de la variable x.

Ejemplo 9: La región acotada por las curvas

2

yx, e

3

yx, gira alrededor del eje OX para generar un

sólido. Halle su volumen.

Solución:

Si la región gira alrededor del eje OX el volumen barrido se obtiene integrando respecto a la

variable x, dé la siguiente forma:

xV    xf xg dx

b

a



 

2 2

)(  )( )(    x x dx

  



 

   

1

0

22 32

x xdx



  

1

0

4 6

35

2 



Si la misma región gira alrededor del eje OY, cada sección transversal perpendicular al eje OY

es un anillo circular con radio exterior

3

1

xy , función inversa de

3

yx, y radio interior

2

1

xy ,

función inversa de

2

yx. Por consiguiente la fórmula del volumen del sólido resultante debe

ser en términos de la variable y.

V    yR yr dy

d

c



  

2 2 )( )( y y dy  





























  













 

1

0

2 2

2

1 3

1

y y dy  













  

1

0

3

2

10





Ejercicio 4: Encontrar el volumen generado por el giro de la región sobre la

recta especificada:

####### a.

1

R sobre x 0

####### b.

2

R sobre y 0

####### c.

3

R sobre x 0

####### d.

2

R sobre x 0

####### e.

1

R sobre x 1

####### f.

2

R sobre y 1

Ejemplo 10: La región acotada por la parábola

2

yx, y la recta y 2 x en el primer cuadrante gira alrededor

del eje OY para generar un sólido. Halle el volumen del sólido generado.

Solución:

V    yR yr dy

d

c



  

2 2

)( )(  y   dy

y

  





  

4

0

2

2

2

y dy

y



 

4

0

4

2

4

0

2 3

2 12













  

y y

3

8 



Ejemplo 11: La región del primer cuadrante acotada por la parábola

2

yx , el eje OY y la recta y 1 gira

alrededor de la recta de ecuación

2

3

x para generar un sólido. Halle el volumen del sólido

generado.

Solución:

V    yR yr dy

d

c



  

2 2

)( )(    y dy

  





   

1

0

2

2

23

2

3

 y ydy



 

1

0

3

1

0

2

2

2

2

3















 

y y 2

3 



Ejercicio 5: Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región en el primer cuadrante,

acotada en la parte superior por la recta y 2 , en la parte inferior por la curva

ysecxtanx , y a la izquierda por el eje vertical, alrededor de la recta horizontal y 2.

Ejercicio 6: Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región en el primer cuadrante,

acotada en la parte superior por la recta y 2 , en la parte inferior por la curva y 2  senx ,

donde

2

0



x , y a la izquierda por el eje vertical, alrededor de la recta horizontal y 2.

Ejercicio 7: Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región en el primer cuadrante,

acotada en la parte superior por la curva

2

yx , en la parte inferior por el eje horizontal, y a la

derecha por la recta x 1 , alrededor de la recta vertical x  1

Ejemplo 1:

La región acotada por la curva y x, el eje

OX y la recta de ecuación x 4 gira alrededor

del eje OY para generar un sólido. Halle el

volumen del sólido.

Solución:

dx casquillo

Alturadel

casquillo

radiodel

xV

b

a

 









 













)(  2 

x xdx 

 

4

0

2 x dx 

 

4

0

2

3

2

5

128

5

2 2

4

0

2

5 

 













  x

Ejemplo 2: Calcule el volumen del cuerpo generado al girar la región limitada por la curva

2

y x (x)1 , la

recta y 0 , alrededor del eje OY.

Solución:

dx casquillo

Alturadel

casquillo

radiodel

xV

b

a

 









 













)(  2  xx x dx



  

1

0

2 2 ( )1 x x x dx 

   

1

0

4 3 2 2 ( 2 )

15





Análoga fórmula es válida sí la región gira alrededor del eje OX, la ecuación (4) es para ejes de

rotación vertical. Para ejes de rotación horizontales, integramos respecto a la variable y, en

lugar de la variable x.

3. Fórmula del Casquillo para rotaciones alrededor del eje OX:

La gráfica de la función continua g es tal que yg )(  0 , para toda y ,dc y además

0 cyd, entonces:

V ygy dy

d

c



 2   )(

(5)

Ejemplo 3: La región acotada por la curva y x, el eje OX y la recta de ecuación x 4 gira alrededor del

eje OX para generar un sólido. Halle el volumen del sólido.

Solución:

dy casquillo

Alturadel

casquillo

radiodel

xV

d

c

 









 











 )(  2  y y dy 

  

2

0

2 2 4( )   













   8 4

2 2

2

0

4 2 y

y

3. Cómo usar el método del Casquillo:

Independiente de la posición del eje de rotación (horizontal o vertical), los pasos para seguir el

método del casquillo son:

1. Dibuje la región y traza un segmento de recta a través de ella paralelo al eje de

rotación. Identifica la altura o la longitud del segmento (altura del casquillo), la distancia

desde el eje de rotación (radio del casquillo) y el ancho (grosor del casquillo).

2. Halle los límites de integración.

3. Integre el producto: respecto de la variable apropiada para hallar el volumen.

Ejemplo 4: La región del primer cuadrante que esta acotada por la parábola

2

yx , el eje OY y la recta:

y 1 gira alrededor de la recta x 2 para generar un sólido. Hallar el volumen del sólido.

Solución:

Los límites de integración para la variable x va desde a 0 , hasta b 1. Ahora se integra para

hallar el volumen:

dx

casquillo

Alturadel

casquillo

radiodel

xV

b

a





























)(  2  x x dx



    

1

0

2 2 2( 1() ) x x x dx 

    

1

0

2 3 2 2( 2 )

6

13 



Ejemplo 5: La región acotada por las curvas

2

yx , e

3

yx , gira alrededor de la recta vertical x  1.

Halle su volumen.

Solución:

Si la región gira alrededor de la recta vertical x  1 , el elemento de área gira a lo largo de un

círculo de radio x 1 , por eso el volumen resultante es:

dx

casquillo

Alturadel

casquillo

radiodel

xV

b

a





























)(  2  x x x dx



   

1

0

2 3

2 ( 1 )( ) x xdx



  

1

0

2 4 2

15

4 



Observación: La tabla de la siguiente página resume los métodos de la arandela y del casquillo para sólidos

generados al girar la región acotada por yx y por

2

yx alrededor de los ejes de

coordenada. Para esta región en particular, los dos métodos funcionan bien para ambos ejes de

rotación, pero no siempre ocurre así. Cuando una región gira alrededor del eje OY, por ejemplo,

y se usan arandelas, debemos integrar respecto a la variable y. Sin embargo, puede no ser

posible expresar el integrando en términos de la variable y. En tal caso, el método de los

casquillos nos permite, en cambio, integrar respecto de la variable x.

Los métodos de la arandela y del casquillo para calcular volúmenes de sólidos de revolución

siempre concuerdan, ya que existe una equivalencia de los métodos de la arandela y del

casquillo para calcular volúmenes de revolución, basados en la propiedad:

Teorema: Sea f una función diferenciable en el intervalo axb, con a 0 , y supongamos que la

función f tiene inversa diferenciable

 1

f. Hagamos girar sobre el eje OY la región acotada por

la gráfica de la función f , y las rectas de ecuaciones xa e y bf )( , para generar un sólido.

Los valores de las integrales obtenidas por los métodos de la arandela y del casquillo para

calcular el volumen de revolución tienen valores idénticos:

x bf xf dx

b

a



2  )((  ()) f y ady

bf

af



  



)(

)(

1 2 2

)(

4. Cómo usar Maple para calcular volúmenes de revolución:

Ejemplo 6: La región entre la curva y x, el intervalo definido po: 0 x 4 y el eje OX, se gira alrededor

del eje OX para generar un sólido. Hallar su volumen.

&gt; with(plots):

&gt; f1:=sqrt(x);

f1 := x

&gt; plot({f1,[[4,0],[4,2]]},x=-1.,thickness=3,tickmarks=[3,2]);

&gt; with(student):

&gt; middlebox(f1,x=0.,40);

&gt; with(plots):

&gt; f:=x-&gt;x^(1/2):g:=x-&gt;0:

&gt; A:=plot(f(x),x=0.,thickness=3):B:=plot(g(x),x=0.,color=blue,

thickness=3):C:=seq(plot([0+4i/50,t,t=f(0+4i/50).(0+4*i/50)],

thickness=1),i=1.):

&gt; display({A,B,C},view=[-1.,-1.],tickmarks=[3,2]);

&gt; f1:=sqrt(x):

&gt; with(plots):

tubeplot([x,0,0],x=0.,radius=f1,grid=[30,30],axes=normal);

&gt; tubeplot([x,0,0],x=0.,radius=f1,grid=[20,20],style=patchnogrid,

axes=normal,orientation=[-45,75]);

&gt; Volumen:=Int(Pi*(f1)^2,x=0.);value(%);

Volumen := d







0

4

x x

8 

&gt; Int(Pi(f1)^2,x=0.)=evalf(int(Pi(f1)^2,x=0.));

d







0

4

x x 25.

La solución obtenida manualmente fue:

V =  f(x) dx

b

a

2



 =  x dx

2

4

0



 = xdx





4

0

3

4

0

2

8 ,

2

u

x

  

















  de volumen.

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Parte 2. Calculo del Volumen de un Sólido de Revolución - Cálculo II - StuDocu

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y C. 2º semestre 20 15 Profesor: H. Carreño G Material docente: Calculo II No es sorprendente que la integral definida pueda utilizarse para calcular áreas; se inventó para ese propósito. Pero los usos de la integral van mucho más allá de esa aplicación.

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Aplicación de la integral. Longitud de arco(explicado)

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¿Qué otras aplicaciones podemos encontrar?

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¿Qué otras aplicaciones podemos encontrar?