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La Epistemología de la matemática_José Chávez Ramírez

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La epistemología, rama de la filosofía que estudia el conocimiento.

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La Epistemología de la matemática_José Chávez Ramírez

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Cuando se tiene en cuenta el tipo de matemáticas que se quiere enseñar y la forma de llevar a cabo esta enseñanza, se debe reflexionar sobre dos fines importantes de esta enseñanza:

·         Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemáticas en la sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que las matemáticas han contribuido a su desarrollo.

Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el método matemático, esto es, la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemáticas permite responder, las formas básicas de razonamiento y del trabajo matemático, así como su potencia y limitaciones.

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Los ordenadores cuánticos aprovechan algunos de los fenómenos casi “místicos” de la mecánica cuántica para ofrecer grandes avances en cuanto a potencia de procesamiento (la premisa es que un ordenador cuántico de lo más sencillo sería más potente que los super ordenadores que hay hoy en día). El secreto de este tipo de equipos reside en su capacidad para generar y manipular bits cuánticos, conocidos como qubits.

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Peter Shor Williston (nacido el 14 de agosto, 1959) es un profesor estadounidense de matemáticas aplicadas en el MIT, famoso por su trabajo en computación cuántica, en particular por elaborar el algoritmo de Shor, un algoritmo cuántico de factorización exponencialmente más rápido que el mejor algoritmo conocido actualmente que se ejecuta en un ordenador clásico.

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David Elieser Deutsch (nacido en 1953 en Haifa, Israel) es un físico de la Universidad de Oxford, miembro de la Royal Society. Es profesor visitante en el "Department of Atomic and Laser Physics" del "Centre for Quantum Computation", en el Clarendon Laboratory, de Oxford. Fue pionero en el campo de la computación cuántica, al ser el primero en formular un algoritmo cuántico, ​ y es uno de los formuladores de la teoría de los universos paralelos dentro de la mecánica cuántica.

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La computadora cuántica de Benioff es una idea de que la cinta de la máquina de Turing podría ser reemplazada por una secuencia de sistemas cuánticos simples de dos-estados creada por Paul Benioff. Esto proporcionó una manera primitiva de codificar una secuencia de dígitos binarios. De manera similar, el cabezal de la máquina de Turing fue reemplazado por una interacción cuántica mecánica que podía leer o resetear el valor del estado del espín. Las reglas fueron reemplazadas por una ecuación de Schrödinger diseñada de forma que una configuración inicial de espines evolucionara a un conjunto final de espines que se pudieran descodificar en bits resultado del cálculo en cuestión.

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Richard Phillips Feynman (Queens, Nueva York; 11 de mayo de 1918-Los Ángeles, California; 15 de febrero de 1988) fue un físico teórico estadounidense​ conocido por sus trabajos en la formulación por integrales de camino en la mecánica cuántica, la teoría de la electrodinámica cuántica y la física de la superfluidez del helio líquido subenfriado, así como en la física de partículas, campo en el que propuso el modelo Partón. Por sus contribuciones al desarrollo de la electrodinámica cuántica, Feynman, junto con Julian Schwinger y Sin-Itiro Tomonaga, recibió el Premio Nobel de Física en 1965.

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Charles Babbage (Teignmouth, Devonshire, Gran Bretaña, 26 de diciembre de 1791-Londres, 18 de octubre de 1871) fue un matemático y científico de la computación británico. ​ Diseñó y desarrolló una calculadora mecánica capaz de calcular tablas de funciones numéricas por el método de diferencias. También diseñó, pero nunca construyó, la analítica para ejecutar programas de tabulación o computación; por estos inventos se le considera como una de las primeras personas en concebir la idea de lo que hoy llamaríamos una computadora, por lo que se le considera como "El Padre de la computación". En el Museo de Ciencias de Londres se exhiben partes de sus mecanismos inconclusos. Parte de su cerebro conservado en formol se exhibe en el Royal College of Surgeons of England.

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Blaise Pascal Clermont-Ferrand, 19 de junio 1623-París, 19 de agosto de 1662) fue un matemático, físico, filósofo, teólogo católico y apologista francés. Sus contribuciones a la matemática y a la historia natural incluyen el diseño y construcción de calculadoras mecánicas, aportes a la teoría de la probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío. Después de un trastorno depresivo y una experiencia religiosa profunda en 1654, Pascal se dedicó también a la filosofía y a la teología.

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Las matemáticas en la actualidad: D. Hilbert

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Las matemáticas en la actualidad: D. Hilbert

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David Hilbert (Königsberg, Prusia Oriental; 23 de enero de 1862-Gotinga, Alemania; 14 de febrero de 1943) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando y/o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas abiertos que incidió en el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.

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Évariste Galois (25 de octubre de 1811-31 de mayo de 1832) fue un matemático francés. Mientras aún era un adolescente, fue capaz de determinar la condición necesaria y suficiente para que una ecuación algebraica sea resuelta por radicales. Dio solución a un problema abierto mediante el nuevo concepto de grupo de permutaciones. ​ Su trabajo ofreció las bases fundamentales para la teoría que lleva su nombre, ​ una rama principal del álgebra abstracta. Fue el primero en utilizar el término «grupo» en un contexto matemático. La teoría constituye una de las bases matemáticas de la modulación CDMA utilizada en comunicaciones y, especialmente, en los sistemas de navegación por satélite, como GPS, GLONASS y otros.

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Albert Einstein (alemán: /ˈalbɛɐ̯t ˈʔaɪnʃtaɪn/; Ulm, Imperio alemán; 14 de marzo de 1879-Princeton, Estados Unidos; 18 de abril de 1955) fue un físico alemán de origen judío, nacionalizado después suizo, austriaco y estadounidense. Se le considera el científico más importante, conocido y popular del siglo XX. En 1905, cuando era un joven físico desconocido, empleado en la Oficina de Patentes de Berna, publicó su teoría de la relatividad especial. En ella incorporó, en un marco teórico simple fundamentado en postulados físicos sencillos, conceptos y fenómenos estudiados antes por Henri Poincaré y Hendrik Lorentz. Como una consecuencia lógica de esta teoría, dedujo la ecuación de la física más conocida a nivel popular: la equivalencia masa-energía, E=mc². Ese año publicó otros trabajos que sentarían algunas de las bases de la física estadística y de la mecánica cuántica.

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Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17 de septiembre de 1826 - Verbania, Italia, 20 de julio de 1866) fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la función zeta, la hipótesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann.

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Nikolái Ivánovich Lobachevski —en caracteres cirílicos: Никола́й Ива́нович Лобаче́вский  nʲikɐˈlaj ɪˈvanəvʲɪtɕ ləbɐˈtɕɛfskʲɪj (?·i)— (1 de diciembre de 1792-24 de febrero de 1856) fue un matemático ruso del siglo XIX. Entre sus principales logros se encuentra la demostración de varias conjeturas relacionadas con el cálculo tensorial aplicados a vectores en el espacio de Hilbert. Fue uno de los primeros matemáticos que aplicó un tratamiento crítico a los postulados fundamentales de la geometría euclidiana.

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Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle, 6 de enero de 1918) fue un notable matemático nacido en Rusia, aunque nacionalizado alemán, y de ascendencia austríaca y judía. ​ Fue inventor con Dedekind de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).

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Jean-Baptiste Joseph Fourier (francés: /ʒozɛf fuʁje/; Auxerre, Francia, 21 de marzo de 1768-París, 16 de mayo de 1830) fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. La transformada de Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicación científica al efecto invernadero en un tratado.

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Johann Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 de abril de 1777-Gotinga, 23 de febrero de 1855) fue un matemático, astrónomo, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos ámbitos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado ya en vida como Princeps Mathematicorum, príncipe de los matemáticos, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de las matemáticas y de la ciencia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos además de los números enteros.

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Augustin Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789 - Sceaux, Lion, 23 de mayo de 1857) fue un matemático francés,¹​ miembro de la Academia de Ciencias de Francia y profesor en la Escuela politécnica. Cauchy ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos, solo superado por Leonhard Euler, Paul Erdős y Arthur Cayley con cerca de 800 publicaciones y siete trabajos; su investigación cubre el conjunto de áreas matemáticas de la época. Fue pionero en análisis donde se le debe la introducción de las funciones holomorfas, los criterios de convergencia de series y las series de potencias. Sus trabajos sobre permutaciones fueron precursores de la teoría de grupos, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. En óptica se le atribuyen trabajos sobre la propagación de ondas electromagnéticas.

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Leonhard Paul Euler (pron. AFI: [ˈɔʏlɐ] en alemán, AFI: [ˈoiler] en español) (Basilea, Suiza; 15 de abril de 1707-San Petersburgo, Imperio ruso; 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler y también llamado Leonardo Euler en español, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos, muy conocido por el número de Euler (e), número que aparece en muchas fórmulas de cálculo y física.

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Pierre-Simon Laplace (francés: /pjɛʁ simõ laplas/; Beaumont-en-Auge, Normandía, Francia, 23 de marzo de 1749 ¹​-París, 5 de marzo de 1827) fue un astrónomo, físico y matemático francés. Continuador de la mecánica newtoniana, descubrió y desarrolló la transformada de Laplace y la ecuación de Laplace; como estadístico sentó las bases de la teoría analítica de la probabilidad; y como astrónomo planteó la teoría nebular sobre la formación del sistema solar. Compartió la doctrina filosófica del determinismo científico.

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Joseph-Louis Lagrange (pronunciación en francés: /ʒozɛf.lui lagrɑ̃ʒ/), inscrito como Giuseppe Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (o bien José Luis de Lagrange; Turín, 25 de enero de 1736-París, 10 de abril de 1813), fue un físico, matemático y astrónomo italiano, que después de formarse en su Italia natal pasó la mayor parte de su vida en Prusia y Francia.

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Gaspard Monge, conde de Peluse​ (9 de mayo de 1746​-28 de julio de 1818), fue un matemático francés, inventor de la geometría descriptiva.

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Jacob Bernoulli (Basilea, 27 de diciembre de 1654 - ibíd. 16 de agosto de 1705), también conocido como Jacob, Jacques o James Bernoulli, fue un destacado matemático y científico suizo; hermano mayor de Johann Bernoulli (miembro de la familia Bernoulli).

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Gottfried Wilhelm Leibniz, a veces Gottfried Wilhelm von Leibniz ¹​ (Leipzig, 1 de julio de 1646-Hannover, 14 de noviembre de 1716), fue un polímata, filósofo, matemático, lógico, teólogo, jurista, bibliotecario y político alemán. Fue uno de los grandes pensadores de los siglos xvii y xviii, y se le reconoce como el «último genio universal», esto es, la última persona que pudo formarse suficientemente en todos los campos del conocimiento; después ya solo hubo especialistas. Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como en la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia.

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Isaac Newton (Woolsthorpe, Lincolnshire; 25 de diciembre de 1642jul./ 4 de enero de 1643 greg.-Kensington, Londres; 20 de marzojul./ 31 de marzo de 1727greg.) fue un físico, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés. Es autor de los Philosophiæ naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describe la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks), y en matemáticas, el desarrollo del cálculo infinitesimal.

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Se le considera uno de los principales precursores del álgebra. Fue el primero en representar los parámetros de una ecuación mediante letras, siendo un destacado precursor de la utilización del álgebra en criptografía, lo que le permitió descodificar los mensajes cifrados de la Corona Española.

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El Renacimiento y las matemáticas posteriores

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El Renacimiento y las matemáticas posteriores

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Cardano y Tartaglia

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Se suele hacer coincidir el comienzo del álgebra moderna con la resolución de la ecuación cúbica (y cuártica también) en el Ars Magna escrita por Jerónimo Cardano (1501-1576). Sin embargo, hay que advertir inmediatamente que el descubridor original de dicha solución no era el autor, sino Niccolo Tartaglia (1500-1557), pese a que Cardano le había jurado solemnemente no desvelar el secreto pues Tartaglia esperaba publicar el resultado como culminación de su propio tratado de álgebra que estaba elaborando.

Para evitar sentir una compasión excesiva por Tartaglia, hagamos notar que éste ya había publicado una traducción de Arquímedes, dejando la impresión de que el contenido era suyo propio, y más tarde, en su obra Quesiti et inventioni diverse proporciona la ley del plano inclinado obtenida a partir del trabajo anterior de Jordano Nemorario, pero sin atribuirla adecuadamente a su verdadero descubridor. De hecho, es posible que el mismo Tartaglia hallase la pista de la resolución de la ecuación cúbica de alguna fuente anterior, probablemente de un profesor de matemáticas de la universidad de Bolonia casi totalmente olvidado, Scipione del Ferro.

Tartaglia era conocido mediante ese apodo ("tartamudo") en vez de su apellido original Fontana, al haber recibido un sablazo por un soldado francés en el sitio de Brescia (1512) lo cual le impedía hablar correctamente. A pesar de ser un excelente matemático, tuvo grandes dificultades económicas a lo largo de toda su vida. En cambio, Cardano, personaje egocéntrico, contradictorio y típicamente renacentista, disfrutó de una gran fama como médico, filósofo y escritor, estando bien considerado socialmente a pesar de ser un jugador empedernido, astrólogo y hasta hereje. Todo ello no fue óbice para que se convirtiera en un respetado profesor en Bolonia y en Milán, recibiendo incluso una pensión del Papa. Sin embargo, fue literalmente víctima de su propio éxito, pues al haber vaticinado el día de su muerte y llegar éste, no tuvo más remedio que suicidarse para no decepcionar a sus seguidores. Pese a todo, Cardano fue uno de los mejores algebristas de su época, fiel seguidor de Al-Khowarizmi. Como este último, razonaba utilizando casos concretos y empleando un razonamiento geométrico; así, cuando escribe "Sea el cubo y seis veces el lado igual a 20" (en notación moderna: x^3+6x=20) está en realidad pensando en esta ecuación como típica de la forma x^3+px=q.

La solución de las ecuaciones cúbica y cuártica fue probablemente la mayor aportación al álgebra desde que los babilonios habían aprendido, casi cuatro milenios antes, a completar un cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas. Las soluciones no tenían en realidad aplicación práctica alguna, pero las fórmulas de Tartaglia-Cardano tuvieron la virtud de estimular el desarrollo del álgebra, con un papel ciertamente relevante en el desarrollo posterior de los números complejos. En efecto, fue Rafael Bombelli (1526-1573), formado en la lectura del Ars Magna de Cardano, quien tuvo una "idea loca" (tal y como él mismo la denominó) al resolver una ecuación cúbica irreducible (con las tres raíces reales), consistente en utilizar en un paso intermedio lo que ahora denominamos números complejo-conjugados.

Por último, citemos a François Viète (1540-1603), quien junto con los algebristas italianos, es la figura cumbre del álgebra renacentista, dando el paso definitivo al utilizar letras para designar simbólicamente a las variables, distinguiendo las incógnitas (mediante vocales) de los parámetros o constantes (mediante consonantes).

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Se suele hacer coincidir el comienzo del álgebra moderna con la resolución de la ecuación cúbica (y cuártica también) en el Ars Magna escrita por Jerónimo Cardano (1501-1576).

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Los árabes se dieron cuenta que el sistema hindú era más efectivo que el resto de numeraciones conocidas hasta el momento.

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Los árabes introdujeron y mejoraron los símbolos del sistema numérico hindú y la notación posicional.

Debe subrayarse que la cultura científica y matemática bajo dominio musulmán fue desarrollada por intelectuales provenientes de diferentes pueblos: persas, judíos, griegos, cristianos, etc., eso sí escrita en árabe.

Sus fuentes en cuanto al conocimiento griego fueron manuscritos propiamente griegos o versiones sirias y hebreas. Obtuvieron las obras fundamentales de Aristóteles, Apolonio, Arquímedes, Diofanto, Herón y las tradujeron al árabe. Por ejemplo, los Elementos de Euclides fueron obtenidos de los bizantinos alrededor del año 800 y la obra astronómica de Ptolomeo, el Almagesto, a la cual ellos dieron precisamente ese nombre, en el año 827. En realidad se mencionan dos fuentes:

"Los árabes adquirieron el conocimiento de la ciencia griega a partir de dos fuentes. La mayor parte de ella la aprendieron de los griegos del Imperio bizantino, pero también la adquirieron, de segunda mano, de los cristianos nestorianos de habla siríaca de Persia oriental. Los cristianos nestorianos, desde su centro de Jundishapur, tradujeron durante los siglos VI y VII un importante número de obras griegas científicas -sobre todo de lógica y de medicina- al siríaco, que había reemplazado al griego como lengua culta del Asia occidental desde el siglo III. Después de la conquista árabe, Jundishapur continuó siendo durante un tiempo el primer centro científico y médico del Islam, donde cristianos, judíos y otros súbditos de los califas trabajaban en la traducción de textos del siríaco al árabe. Damasco y Bagdad se convirtieron también en centros de este tipo de trabajo, y ya en el siglo IX se hacían en Bagdad traducciones directas del griego al árabe. En el siglo X casi todos los textos de la ciencia griega que luego se conocieron en Occidente estaban traducidos al árabe.'' [Crombie, A.C.: Historia de la ciencia. De San Agustín a Galileo siglos V-XIII, pp. 44-45]

Los árabes introdujeron y mejoraron los símbolos del sistema numérico hindú y la notación posicional. También usaron los irracionales de la misma forma que lo hicieron los hindúes. Esto debe enfatizarse: Omar Khayyam (1048 - 1122) y Nasir-Eddin (1201 - 1274) afirmaron con toda claridad que las razones de magnitudes, conmensurables o inconmensurables, podían ser

llamadas números. Resulta interesante, sin embargo, que aunque ellos conocían el uso de los números negativos y sus reglas de operación, introducidas por los hindúes, aún así los rechazaron. Con esto ya tenemos un primer retrato de la cultura islámica. Vamos ahora a entrar en mayor detalle en las matemáticas.

Se mencionan dos tradiciones en la astronomía y las matemáticas en Bagdad. Una con base en las fuentes persas e indias, que subrayaba una aproximación algebraica en las matemáticas, y también presente en las tablas astronómicas, y con una motivación práctica. En esa tradición se coloca al- Khwarizmi. Otra tradición con énfasis en las matemáticas helenísticas, que subrayaba la geometría y los métodos deductivos. Su figura emblemática: Tabit ibn Qurra. Ambas tradiciones se llegarían a fundir, lo que se podrá apreciar en el trabajo de Omar Khayyam y al-Kashi.

Al-Khwarizmi

Vamos a empezar por Abu Jafar Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (c. 825). Escribió sobre aritmética, álgebra, astronomía y geografía.

Escribió en el 830 el libro: Hisab Al-jabr w'al-muqabala, que se traduce como Cálculo por restauración y reducción. También: Algorithmi de numero indorum (Cálculo con números indios).

Al traducirse al latín en el siglo XII, el primer libro quedó con el título de Ludus algebrae et almucgrabalaeque. Y aquí se redujo a álgebra. Este libro integra las tradiciones babilónicas, griegas e indias.

Los trabajos algebraicos de al-Khwarizmi se basaron en los resultados de Brahmagupta pero reflejan, también, influencias babilonias y griegas directamente (por ejemplo, de Diofanto).

El segundo libro, Aritmética, sirvió para introducir a los europeos en el sistema numérico posicional de la India. Incluye un tratamiento sistemático de las operaciones de la aritmética. Fue el primer libro traducido del árabe, y hay un detalle interesante: popularizó la palabra "algoritmo'', que proviene del apellido del autor, para referirse a procedimientos sistemáticos de cálculo. Y se quedó para la historia. Se afirma que los números indios llegaron a Bagdad en el 773 por medio de una misión diplomática hindú.

El documento más antiguo en Europa con la numeración india se llama Codex Vigilanus y entró por España en el año 976. De hecho, está hoy en un museo de Madrid.

Al-Khwarizmi construyó tablas astronómicas que tuvieron influencia por 500 años, con base en las tradiciones babilónicas, indias y helenísticas.

Su obra Imagen de la Tierra se considera la más importante de la geografía desde la obra de Ptolomeo.

Al-Khwarizmi señaló 6 tipos de ecuaciones:

con a,b ,c números enteros positivos.

Ofreció en todos los tipos de ecuaciones procedimientos para resolverlas; algunas veces, dio algún fundamento lógico. Por ejemplo, en el caso del tipo 4, ofreció el método que normalmente se llama "completar cuadrados''.

A la par de las consideraciones algebraicas, al-Khwarizmi buscó su fundamento téorico en la geometría. Es decir, construía figuras geométricas para mostrar la evidencia del aserto algebraico. Eso sí, usaba ejemplos específicos en su demostración.

Ibn Qurra

Abul Hassan Thabit ibn Qurra Marwan al-Harrani hizo trabajos en trigonometría esférica, una prueba del teorema de Pitágoras, medidas de parábolas y paraboloides, y sobre números "amigos''. Se considera el mejor geómetra del mundo islámico.
La generalización del teorema de Pitágoras es un resultado interesante que no se descubrió sino hasta el año 1 953 en Turquía.

Los ángulos AB'B y AC'C y BCA son iguales por construcción. Entonces:

Aunque no aparece una prueba por ibn Qurra en el texto que se preserva, no es difícil demostrar elresultado usando las propiedades de los triángulos semejantes. ¿Cómo?
Aquí hay un asunto polémico. Se especula que John Wallis pudo haber estado al tanto de este resultado árabe cuando, en el año 1 685, publicó este mismo teorema como suyo en el libro Treatise on angular Sections

A diferencia de al-Khwarizmi, volvemos al uso de la geometría en el álgebra; ibn Qurra hizo una demostración general en la que introdujo dos teoremas de Euclides.
Esta integración de álgebra y geometría, unificaba las dos tradiciones del pensamiento matemático, y abrían el camino al álgebra moderna.

Omar Khayyam

Existe consenso entre los historiadores de las matemáticas en que la figura en este terreno más importante fue Abdul-Fath Umar ibn Ibrahim al-Kayyami, Omar Khayyam. Dio reglas para resolver ecuaciones cuadráticas y un método para la resolución de ecuaciones cúbicas con raíces
reales, en la tradición de al-Kwarizmi. Ofreció algo parecido al triángulo de Pascal para los coeficientes del binomio. También, intentó una demostración del postulado de las paralelas de Euclides.
Ahora bien, una de sus más importantes contribuciones en la geometría fue una extensión de la teoría de las proporciones de Euclides. Trabajó la dimensión algebraica de esta teoría para extender el concepto de número de tal manera que pudiera incluir a los números irracionales positivos.
En lo que se refiere a la resolución de las cúbicas, usó un método geométrico para resolver ecuaciones de tercer grado con raíces positivas. Estudió 19 tipos de ecuaciones cúbicas, algunas de las cuales las pudo reducir a cuadráticas. Las restantes 14 las resolvió por medio de secciones cónicas. Un ejemplo de esto último:
Consideremos:

, con a,b,c mayores que 0. Procedamos a usar la sustitución

. La ecuación queda:

Esta es la ecuación de una hipérbola. Como la ecuación con la que hicimos la sustitución es una parábola, la solución de la cúbica es la intersección de la hipérbola y la parábola.
Debe entenderse, sin embargo, que todo esto se hacía sin el arsenal de simbolismo que posee el álgebra moderna.
La utilización de las secciones cónicas y de la geometría para encontrar soluciones fue el gran aporte de este matemático insigne.

Otros resultados

Al-Kashi en la segunda mitad del siglo XIV dio una aproximación para con 16 decimales correctos por medio de circunscribir en un círculo un polígono con 3x2²⁸ lados. Su libro Miftah al-hisab, 1 427, se dice que es uno de los mejores compendios de la aritmética y el álgebra árabes hasta su tiempo. En esta La clave del calculista hace un tratamiento completo de los métodos aritméticos, incluso con fracciones decimales.

Las fracciones decimales habían aparecido por primera vez en una obra de Abul Hassan al-Uqlidisi del año 952 o 953: El libro de los capítulos sobre la aritmética india. Este conocía el método para multiplicarlas por enteros. Sin embargo, al-Kashi en el siglo XV dio el tratamiento completo a las operaciones con decimales.

Trigonometría

La contribución árabe a la trigonometría nos la reseña Bell de la siguiente forma:

"Los árabes adoptaron y desarrollaron la trigonometría hindú. El primer progreso notable se debió al astrónomo Al-Battani (muerto en el 929), en el siglo IX. Si bien en realidad no fue el primero que aplicó el álgebra en lugar de la sola geometría a la trigonometría, este astrónomo matemático fue el primero que dio un gran paso en esa dirección. Usó además del seno hindú, la tangente y la cotangente. En el siglo X se calcularon tablas de estas dos últimas, y también hicieron su aparición la secante y la cosecante como razones trigonométricas. Por estar el concepto de función todavía unos 600 años en el futuro, nada en su obra se parece mucho a la trigonometría elemental de hoy día.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 112.]

De hecho, la función seno fue traída de la matemática india se supone que a través de un texto de astronomía india Surya Siddhanta. También rsen α y r-rsen α fueron incorporadas de los hindúes . Las funciones tangente y cotangente sí son de origen árabe

Abul Wafa había realizado un estudio sistemático de las 6 funciones trigonométricas, y en particular dio las relaciones:

El interés en la trigonometría por parte de los árabes se vio potenciado cuando entraron en contacto con las tablas de los hindúes. De hecho, la finalidad básica era mejorar la exactitud de éstas. Un ejemplo notable es el de al-Kashi que calculó el valor de 60sen 1 ° con una exactitud de 16 decimales, usando un método iterativo que aparece en su libro Risala al-watar wa'l-jaib (se traduce
como Tratado sobre la cuerda y el seno), y que suponía la resolución de ecuaciones de tercer grado.

Un balance

Es importante poner énfasis en la relación privilegiada entre árabes y griegos, por ejemplo, en su resolución de ecuaciones algebraicas cuadráticas. A pesar de la perspectiva más aritmética y algebraica de los hindúes, con la cual estaban familiarizado los árabes, al-Khwarizmi introducía justificaciones geométricas. Está claro: asumieron en cierta forma la influencia griega.
En relación con la geometría, las principales influencias fueron Euclides, Arquímedes y Herón. Fue
Nasir-Eddin quien realizó una sistematización de la trigonometría plana y esférica, la cual no sería conocida por los europeos sino hasta el año 1 450.
Algunos historiadores de las matemáticas opinan que para los árabes las matemáticas no poseían el significado que tenía para los griegos, como parte del objetivo global y edificante de hacer inteligible el mundo, sino, más bien, como un mecanismo para ampliar su dominio sobre la naturaleza. También, se suele afirmar que la contribución árabe se redujo a preservar más que ampliar las matemáticas griegas e hindúes y transmitirlas a Europa.
El influjo de los árabes terminaría en una sucesiva colección de hechos que van desde los ataques de los cruzados, la conquista por los mongoles y la destrucción realizada por los tártaros, y, tiempo después, en España, su derrota por los cristianos.
A pesar de la opinión bastante generalizada de algunos expertos, la realidad es, sin embargo, según demuestran más recientes investigaciones, que los árabes en muchos campos extendieron significativamente el conocimiento recibido de los griegos y los hindúes. No fueron solo compiladores mecánicos del acervo de otra civilización, tampoco fueron un simple puente para el desarrollo de las ciencias en Europa.
Durante siglos, una visión eurocentrista ha dominado buena parte de las opiniones sobre el desarrollo cultural y científico de la humanidad, en particular, con una subestimación de las contribuciones de pueblos ajenos a Europa occidental. El caso de los árabes es uno de ellos. Afortunadamente, en los últimos tiempos hay una revalorización que ha permitido visualizar la historia de Occidente de una manera diferente, en particular de las ciencias y las matemáticas.
Algunos de los elementos que en las matemáticas son indiscutiblemente construcciones diferentes de las griegas, son, para empezar, la notación posicional en base 10, el uso de números negativos y de números irracionales, afirmados explícitamente como números, un álgebra con letras y operaciones.
Los resultados hindúes y árabes permitieron construir un fundamento más avanzado para el álgebra que el que se tuvo en la Antigüedad Griega. Por ejemplo, con el uso de símbolos de una manera más sistemática, una profundización en el estudio de las ecuaciones indeterminadas, en las ecuaciones de tercer grado, y, sin duda, un progreso en la trigonometría.
Se debe subrayar, además, que, los árabes, al aceptar el uso de los números irracionales de una manera extensiva hacían posible dar valores numéricos a los segmentos de recta y a todas aquellas figuras geométricas que en la Antigüedad Griega tuvieron que ser limitadas a magnitudes cualitativas.
La práctica de resolver ecuaciones algebraicas por un lado y luego, por el otro, realizar justificaciones geométricas, un "paralelismo'' de estas dos disciplinas, se debe interpretar como un valioso fundamento para lo que luego se llamaría la geometría analítica.
Aquí, por último, es necesario hacer un comentario general. Tanto los hindúes como los árabes utilizaron la aritmética y el álgebra sin prestar demasiado cuidado a las demostraciones deductivas como los griegos en la geometría. Los árabes eran conscientes de estas características de la matemática griega y estaban plenamente familiarizados con los requerimientos de la demostración axiomática. Sin embargo, privilegiaron la aproximación práctica presente en la aritmética, el álgebra, y en la formulación algebraica de las relaciones trigonométricas. Es decir, el énfasis en estas disciplinas, carentes de la demostración axiomática y deductiva de la geometría sintética, revela una visión, ideología y actitud diferentes en estas civilizaciones, más orientadas hacia necesidades prácticas que requieren un tratamiento cuantitativo, y que se proporciona mejor con la aritmética y el álgebra. Aunque los árabes y los hindúes eran conscientes, hasta cierto punto, de esta ausencia de fundamentos lógicos en la aritmética y el álgebra, enfatizaron estas disciplinas a través de la intuición y la heurística, dejando para luego las correcciones y justificaciones lógicas. Esto permitió un gran desarrollo del álgebra y la aritmética, lo que sería un componente esencial para los desarrollos científicos y matemáticos de Europa occidental.
Dos tradiciones se heredaron en las matemáticas occidentales. Por un lado, los objetos y métodos de la geometría clásica griega, con sus virtudes y sus debilidades, y, por el otro lado, esta tradición cultural y científica que retomó las contribuciones egipcias y babilonias, algunos resultados de los matemáticos alejandrinos en la aritmética y el álgebra, y los desarrollos en estos campos de los hindúes y los árabes. Esto dos componentes desarrollarían una dialéctica y encontrarían una magnífica síntesis en las mismas culturas islámicas, pero en el mundo europeo, con precisión, en la geometría analítica y, posteriormente, en el cálculo diferencial e integral.

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Los árabes introdujeron y mejoraron los símbolos del sistema numérico hindú y la notación posicional. Debe subrayarse que la cultura científica y matemática bajo dominio musulmán fue desarrollada por intelectuales provenientes de diferentes pueblos: persas, judíos, griegos, cristianos, etc., eso sí escrita en árabe.

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La matemática en la India
En los siglos I al VIII es cuando más se desarrollaron las matemáticas hindúes. Al ser una cultura muy religiosa, utilizaban las matemáticas frecuentemente con el fin de conseguir crear unos monumentos arquitectónicos de gran importancia y la realización de templos para adorar a sus dioses.

Hay cuatro matemáticos indios que destacaron sobre el resto en aquel momento. Son Aryabhata (476 - 550 d.C.), Brahmagupta (598 – 660 d.C.), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).

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Aportes A La Matemática de La Civilización China | PDF | Ecuaciones | Fracción (Matemáticas)

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Aportes a La Matemática de La Civilización China

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NUMERALES

El sistema de numeración egipcio permitía representar números, desde el uno hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura jeroglífica. A principios del tercer milenio a. C. los egipcios disponían del primer sistema desarrollado decimal -numeración de base 10. Aunque no era un sistema posicional, permitía el uso de grandes números y también describir pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias: las fracciones del Ojo de Horus.

APORTACIONES MATÉMÁTICAS

Los egipcios tuvieron grandes aportaciones para las matemáticas como el sistema decimal, supieron calcular la superficie, el volumen de pirámides, cilindro y esfera, álgebra, en la astronomía el calendario solar, relojes de sol (gnomos) y agua (clepsidras).

Nilo. (Limita desierto de Libia y Nubia).

Zona Delta o Bajo Egipto, Zona del Valle o Alto Egipto.

Períodos históricos: Arcaico, imperio antiguo, imperio medio, imperio nuevo y período de decadencia.

Primeros pobladores: clanes, nomos, reinos. (Origen: Samita y Camita).

Organización: Social; Faraón, nobleza, sacerdotes, militares, escribas, hombres libres y esclavos. Económica; Sistema feudal, recaudación de impuestos, agricultura, cría de animales y pesca. Política; Monarquía teocrática hereditaria, faraón.

Un poco de historia...

En medio del desierto surgió una de las civilizaciones más espléndidas de la historia. Los egipcios fueron un pueblo que no solo florecieron intelectualmente, sino que también se adelantaron a muchas cosas que conocemos hoy en día como el arte, conocimientos acerca del cultivo, creencias astronómicas, etc. Lograron hacer de su cultura un imperio casi impenetrable, claro que esto no fue de la noche a la mañana, sino que fue fruto del esfuerzo que tuvieron durante muchos años, quizá siglos, recopilando y adoptando aspectos, datos y cosas de otras culturas.

La historia del Egipto Antiguo se divide en tres imperios con intervalos de dominación extranjera y guerras internas. El Imperio Antiguo se caracterizó por el florecimiento de las artes y la construcción de las pirámides, . Durante el Imperio Medio (2050-1800 a. C), tras una etapa de decadencia, Egipto conoció un período de esplendor en su economía, literatura y artes. En el Imperio Nuevo (1567-1085 a. C.) el país alcanzó su edad dorada conquistando a los pueblos vecinos y expandiendo su territorio bajo la dirección de los faraones de la XVIII dinastía. La decadencia del imperio se dio hacia 1075 a. C., a raíz de las diversas invasiones de otros pueblos, las cuales modificaron la división y extensión del territorio de Egipto.

Durante estos tres imperios, Egipto logró sobrevivir durante treinta siglos que dieron como fruto su escritura, calendario, la medicina y hermosas obras arquitectónicas que hoy son algunas de las maravillas del mundo entero, también muchisimos testimonios artísticos, las momias, los reyes-dioses, entre otras.

CONVERSIONES

¿Cómo convierto de sistema decimal a egipicio y viceversa?

Como vimos anteriormente estos son los valores:

Convertir de números decimales a egipcios y de egipcios a decimales no es complicado.

Por ejemplo tenemos el número 132:

- Como los valores solo son los números 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 y 1 000 000 entonces tienes que hacer la notación desarrollada del número (en este caso es 132) y quedaría:

- Ahora a cada número solo tienes que asignarle el símbolo adecuado

Tenemos el número 2 321 213

- El número desarrollado sería 1 000 000x2 + 100 1000x3 + 10 000x2 + 1 000 + 100x2 + 10 + 1x3

- Y finalmente sustituimos los valores:

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NUMERALES El sistema de numeración egipcio permitía representar números, desde el uno hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura jeroglífica. A principios del tercer milenio a. C. los egipcios disponían del primer sistema desarrollado decimal -numeración de base 10.

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III. Evaluación histórica de la matemática

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III. Evaluación histórica de la matemática

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La perspectiva histórica muestra claramente que las matemáticas son un conjunto de conocimientos en evolución continua y que en dicha evolución desempeña a menudo un papel de primer orden la necesidad de resolver determinados problemas prácticos (o internos a las propias matemáticas) y su interrelación con otros conocimientos. En seguida se da una línea del tiempo, de donde vienen y hacia donde se dirigen:

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La elaboración de un currículo de acuerdo con la concepción constructivista es compleja, porque, además de conocimientos matemáticos, requiere conocimientos sobre otros campos. Las estructuras de las ciencias físicas, biológicas, sociales son relativamente más complejas que las matemáticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras puramente matemáticas.

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Esta concepción, considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemáticas de forma axiomática. Se supone que una vez adquirida esta base, será fácil que el alumno por sí solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten.

Según esta visión no se puede ser capaz de aplicar las matemáticas, salvo en casos muy triviales, si no se cuenta con un buen fundamento matemático. La matemática pura y la aplicada serían dos disciplinas distintas; y las estructuras matemáticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad.