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Los resortes helicoidales - Analisis teórico

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Los resortes helicoidales - Analisis teórico

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El resorte helicoidal es el resorte más comúnmente empleado, ya que puede almacenar una gran cantidad de energía en relación a su volumen. Además, tiene un nivel muy bajo de fricción interna, lo cual contribuye a una vida útil más larga y una mayor resistencia frente a fuerzas de tensión y compresión.

Los resortes helicoidales se clasifican en tres principales tipos de acuerdo a su estructura y funcionamiento.

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Calcular las dimensiones de un resorte de torsión para que ejerza una fuerza F = 11.5 N (1.18 Kgf) a una distancia R=84 mm desde el eje del resorte. (referente a imagen anexa)

Resolución:

Calculamos primero el momento máximo aplicado:

Mmx.aplic = F R = 1.18 8.4 = 9.9 Kgf-cm

En un primer cálculo seleccionamos un alambre de las siguientes dimensiones:

d =1.5 mm

D = 8 mm

Luego D/d = 8 / 1.5 = 5.33

En la tabla vemos que para D/d = 5.33 el valor de c es:

C = 1.16

El momento máximo permisible según la fórmula #1 de la figura es por lo tanto:

Mmx.perm = 1.63 d^2.85 / C = 1.63 1.52.85 / 1.16 = 4.46 Kg-cm

El factor de seguridad según la según la fórmula #2 es entonces:

n  =  4.46 / 9.9 =0,45 < 1 el resorte fallara con seguridad

En un segundo tanteo seleccionamos

d = 2.5 mm

D = 13 mm

D/d = 5.2

C = 1.17

Mmx.perm = 1.63 * 2.52.85 / 1.17 = 18.9

N = 18.9 / 9.9 = 1.9   resorte muy sobredimensionado

Un tercer tanteo seleccionamos:

d = 2 mm

D = 10.6 mm

D/d = 5.3

C = 1.16

Mmx.perm = 1.63 * 22.85 / 1.16 = 10.1

n  = 10.1 / 9.9 = 1.02 es el resorte correcto

El número de vueltas se calcula con la formula #3, de la figura se deduce que el ángulo de torsión máximo es de 90º por lo tanto

N = 1.16 90 21.15 / 3 * 10.6 = 7.28 vueltas

Ahora, los resortes de torsión se utilizan con frecuencia sobre una barra redonda o pasador, y cuando se les aplica una carga el resorte se enrolla originando una disminución de su diámetro interior. Es necesario asegurarse de que ese diámetro nunca podrá ser igual al de la barra o pasador, pues de lo contrario ocurrirá la falla del resorte. El diámetro interior con carga puede obtenerse con la ecuación:

Df = Ni *Di / Nf

Donde: Ni = numero de vueltas del resorte sin carga

Di = diámetro interior del resorte sin carga

Nf = numero de espiras cuando está cargado

Df = diámetro interior cuando esta con carga

En el problema anterior el diámetro interior del resorte cargado será de:

Df = 7.28 (10.6 – 2) / (7.28 + 0.25) = 8.3 mm

Ten en cuenta que el resorte se ha enrollado 0.25 vueltas más (1/4 de vuelta).

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Son aquellos resortes sometidos a cargas de tracción, caracterizados por un ángulo de inclinación muy reducido. Además, deben contar con algún componente que permita transferir la carga desde el soporte hasta el cuerpo del resorte, para lo cual generalmente se fabrica un gancho fijo en el extremo del resorte.

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Son aquellos sometidos a cargas de compresión y se distinguen por tener un ángulo de inclinación que evita el contacto entre sus espiras durante la operación. Estos resortes comúnmente presentan cuatro tipos de extremos, obtenidos al cortar el resorte en dos puntos. Esta técnica reduce los costos de producción, aunque permite que solo un punto del extremo se apoye en el soporte con un ángulo de inclinación, afectando la transferencia de carga. Sin embargo, esto se soluciona doblando la espira libre hasta un ángulo de inclinación de cero grados, lo que se conoce como extremo escuadrado.

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Son aquellos resortes que se deforman cuando se les aplica un par de fuerzas perpendiculares a su eje en los extremos. Se caracterizan por estar hechos de un hilo de acero enrollado en forma de hélice cilíndrica. Los extremos de estos resortes son muy variados y pueden doblarse, retorcerse o moldearse en forma de gancho o rizo. Estos resortes se utilizan en una amplia gama de artículos, como electrodomésticos, máquinas de escribir, juguetes y cables de conexión.

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Análisis de esfuerzo de resortes de compresión

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Análisis de esfuerzo de resortes de compresión

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Un resorte helicoidal de sección transversal circular bajo una fuerza de compresión es mostrado a continuación. Del equilibrio estático se tiene que:

V=F

T=FD/2

Donde: 𝑉 es la fuerza cortante sobre la sección transversal del alambre, 𝐹 la fuerza de compresión aplicada sobre el resorte, 𝑇 el torque sobre el alambre, 𝐷 el diámetro medio del embobinado, y 𝑑 el diámetro medio del resorte. El esfuerzo cortante máximo 𝜏 𝑚𝑎𝑥 en el alambre podría estimarse como la superposición del esfuerzo cortante producto de la fuerza cortante 𝜏 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 y el esfuerzo cortante producto del torque 𝜏 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒:

𝜏 𝑚𝑎𝑥 = 𝜏 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 + 𝜏 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒

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Como recordará:

𝜏 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 𝐹/𝐴

𝜏 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = 𝑇𝑟/𝐽

Donde: 𝐴 = 𝜋𝑑^2 /4 , es el área de sección transversal del alambre; 𝑟 = 𝑑/2, es el radio del alambre; 𝐽 = 𝜋𝑑^4 /32, es el momento polar de inercia de la sección transversal sobre su centro.

*Calculo típico de torque para un elemento sometido puramente a torsión (ver sección 3.12 de su libro de texto):

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Donde: 𝜌 es la coordenada en la dirección radial del elemento sometido a torsión, y 𝜃 la posición angular.

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 + 𝜏𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐹/𝐴 + 𝑇𝑟/𝐽

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 4𝐹/𝜋𝑑^2 + 8𝐹𝐷 𝜋𝑑^3

Definiendo el índice del resorte 𝐶 = 𝐷/𝑑 (𝐶 suele ser mayor a 4 pero menor a 12):

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 8𝐹𝐷/𝜋𝑑^3 (1/2𝐶 + 1)= 𝐾𝑠 (8𝐹𝐷/𝜋𝑑^3)

Donde 𝐾𝑠 es el factor de corrección por esfuerzo

𝐾𝑠 = 1/2𝐶 + 1 = (2𝐶 + 1)/2𝐶

Ha de comentarse que el uso de alambres de secciones transversales cuadradas o rectangulares, no es recomendado.

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Las expresiones mostradas hasta el momento se basan en la premisa de que el alambre es recto. Sin embargo, al ser curvado para formar el embobinado se tendrá un aumento localizado de esfuerzo en el resorte.

Este aumento es considerado al remplazar 𝐾𝑠 por 𝐾𝑊 o 𝐾𝐵, 𝐾𝑊 es el factor de Wahl, y 𝐾𝐵 el factor de Bergsträsser.

𝐾𝑊 = (4𝐶 − 1)/(4𝐶 − 4) + 0.615/𝐶

𝐾𝐵 = (4𝐶 + 2)/(4𝐶 − 3)

La diferencia entre las dos expresiones anteriores es del orden de 1%.

El efecto de curvatura puede ignorarse para carga estática, pero no puede ser ignorado cuando se tienen cargas dinámicas.

Entonces en términos generales el esfuerzo máximo sobre el resorte puede ser expresado como:

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝐵 (8𝐹𝐷/𝜋𝑑^3)

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 Deflexión de resortes helicoidales sujetos a compresión

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 Deflexión de resortes helicoidales sujetos a compresión

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Teorema de Castigliano

“Cuando fuerzas actúan sobre un sistema elástico sujeto a pequeños desplazamientos, el desplazamiento correspondiente a cualquier fuerza, en la dirección de la fuerza es igual a la derivada parcial de la energía de deformación total (energía potencial) con respecto a esa fuerza”.

𝛿𝑖 = 𝜕𝑈/𝜕𝐹𝑖

Donde: 𝑈 es la energía de deformación, 𝛿𝑖 es el desplazamiento donde se aplica la fuerza 𝐹𝑖 en la dirección de 𝐹𝑖 .

Para desplazamiento rotacional se puede escribir:

𝜃𝑖 = 𝜕𝑈𝜕𝑀𝑖

Donde: 𝜃𝑖 es el desplazamiento rotacional o angular, producto del momento 𝑀𝑖 en dirección de 𝑀𝑖 .

Energía de deformación

El trabajo externo hecho sobre un elemento elástico en defórmalo es transformado en energía de deformación o potencial. En caso tal de que se trate de un elemento elástico deformado una distancia 𝑦, que se comporta linealmente, la energía de deformación es igual a producto de la fuerza promedio por la deflexión.

𝑈 = 𝐹/2 𝑦

𝐹 = 𝑘𝑦

𝑈 = 𝐹^2/2𝑘

En esta ecuación en términos generales 𝐹 puede ser remplazada por torque o momento. Algunos casos típicos de energía de deformación incluyen los siguientes:

-Elementos sometidos a tensión o a compresión.

𝑈 = 𝐹^2𝑙/2𝐴𝐸

Donde: 𝐹 es la fuerza de tensión o compresión, 𝑙 es la longitud del elemento, 𝐴 el area de sección transversal a la carga en tensión o compresión, y 𝐸 el módulo de Young.

-Elementos sometidos a torsión.

𝑈 = 𝑇^2𝑙/2𝐺𝐽

Donde: 𝑇 es el torque aplicado, 𝑙 la longitud del elemento, 𝐺 el modulo de rigidez al cortante, y 𝐽 el momento polar de inercia de la sección transversal.

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-Elementos sometidos a cortante directo.

𝑈 = 𝐹^2𝑙/2𝐴𝐺

Donde: 𝐹 es la fuerza cortante, 𝑙 es la longitud del elemento, 𝐴 el área de sección transversal a la carga en tensión o compresión, y 𝐺 el módulo de rigidez al cortante.

Deflexión de resortes helicoidales La energía de deformación total del resorte estaría dada por la suma de su energía de deformación producto de la fuerza cortante, y su energía de deformación producto del torque aplicado:

𝑈 = 𝐹^2𝑙/2𝐴𝐺 + 𝑇^2𝑙/2𝐺𝐽

Remplazando: 𝑇 = 𝐹𝐷/2, 𝑙 = 𝜋𝐷𝑁, 𝐴 = 𝜋𝑑^2/4 , 𝐽 = 𝜋𝑑^4/32

𝑈 = 2𝐹^2𝐷𝑁/ 𝑑^2𝐺 + 4𝐹^2𝐷^3𝑁/𝑑^4𝐺

Donde 𝑁 = 𝑁𝑎 es el número de espiras activas (espiras libres de deformarse bajo carga). Empleando el teorema de Castigliano:

𝛿 = 𝜕𝑈/𝜕𝐹 = 4𝐹𝐷𝑁/𝑑^2𝐺 + 8𝐹𝐷^3𝑁/𝑑^4𝐺

𝛿 = 8𝐹𝐷^3𝑁/𝑑^4𝐺( 1 + 1 2𝐶^2) ≅ 8𝐹𝐷^3𝑁/𝑑^4𝐺 ↔ 2𝐶^2 ≫ 1 Donde 𝛿 es la deflexión total.

Definiendo la constante de rigidez de un resorte helicoidal lineal sometido a una fuerza en tensión o en compresión 𝐹 como 𝑘 = 𝐹/𝛿, se tendrá:

𝑘 ≅ 𝑑^4𝐺 8𝐷^3𝑁

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Ejercicio 4.6 - Resorte a compresión. Elementos de Maquinas (parte 1 de 2)

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Ejercicio 4.6 - Resorte a compresión. Elementos de Maquinas (parte 2 de 2)

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Calculo del esfuerzo en los ganchos de un resorte de tensión