# data[].attributes.headline
Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

# data[].attributes.subject
Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

# data[].attributes.headline
3 признак равенства треугольников

# data[].attributes.subject
3 признак равенства треугольников

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Треугольники | Все о треугольниках

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Теорема
(Третий признак равенства треугольников - по трём сторонам) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:

ΔABC,

Доказать:

Доказательство:

Приложим треугольник A ₁B ₁C ₁ к треугольнику ABC так, чтобы

вершина A₁ совместилась с вершиной A,

вершина B₁ совместилась с вершиной B,

точки C₁ и C лежали по разные стороны от прямой AB.

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC 1 и угла ACB.
I. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.
Проведём отрезок CC ₁.

По свойству равнобедренного треугольника, ∠ACC ₁=∠AC ₁C и ∠BCC ₁=∠BC ₁ C.

Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC ₁ B.

Для треугольников ABC и A ₁B ₁C 1 имеем:
II. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.
Следовательно, ΔABC= ΔA ₁B ₁C ₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

Так как AC=A ₁C 1 и BC=B ₁C ₁, треугольники ACC ₁ и BCC ₁ - равнобедренные с основанием CC ₁ и ∠ACC ₁=∠AC ₁C и ∠BCC ₁=∠BC ₁ C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:
III. Луч CC₁ совпадает со стороной угла ACB.
Таким образом, ∠ACB=∠AC ₁B и ΔABC= ΔA ₁B ₁C ₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

По условию BC=B ₁C ₁, поэтому треугольник BCC ₁ - равнобедренный с основанием CC ₁.

Отсюда ∠C ₁=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA ₁B ₁C ₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

# data[].attributes.attachment_link.title
Третий признак равенства треугольников | Треугольники

# data[].attributes.attachment_link.description
Теорема (Третий признак равенства треугольников - по трём сторонам) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ΔABC, Доказать: Доказательство: Приложим треугольник A 1B 1C 1 к треугольнику ABC так, чтобы вершина A1 совместилась с вершиной A, вершина B1 совместилась с вершиной B, точки C1 и C лежали по разные стороны от прямой AB.

# data[].attributes.headline
2 признак равенства треугольников

# data[].attributes.subject
2 признак равенства треугольников

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Треугольники | Все о треугольниках

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Теорема
(Второй признак равенства треугольников - по стороне и двум прилежащим к ней углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника то такие треугольники равны.
Дано:

ΔABC,

Доказать:

Доказательство:

Так как AB=A ₁B ₁, то треугольник A ₁B ₁C ₁ можно наложить на треугольник ABC так, чтобы

сторона A₁B₁ совместилась со стороной AB,

точки C₁ и С лежали по одну сторону от прямой AB.

Поскольку ∠A=∠A ₁, сторона A ₁С ₁ при этом наложится на луч AC.

Так как ∠B=∠B ₁, сторона B ₁C ₁ наложится на сторону BC.

Точка С ₁ принадлежит как стороне A ₁С ₁, так и стороне B ₁C ₁, поэтому С ₁ лежит и на луче AC, и на луче CB.

Лучи AC и CB пересекаются в точке C. Следовательно, точка С ₁ совместится с точкой C.

Значит, сторона A ₁С ₁ совместится со стороной AC, а сторона B ₁C ₁ - со стороной BC.

Таким образом, при наложении треугольники ABC и A ₁B ₁C 1 полностью совместятся.

Что и требовалось доказать.

# data[].attributes.attachment_link.title
2 признак равенства треугольников | Треугольники

# data[].attributes.attachment_link.description
Теорема (Второй признак равенства треугольников - по стороне и двум прилежащим к ней углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника то такие треугольники равны.

# data[].attributes.headline
1 признак равенства треугольников

# data[].attributes.subject
1 признак равенства треугольников

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Треугольники | Все о треугольниках

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Теорема
(Первый признак равенства треугольников - по двум сторонам и углу между ними) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:

Доказать:

Доказательство:

Так как ∠A=∠A ₁, то можно треугольник A ₁B ₁C ₁ наложить на треугольник ABC так, чтобы

Так как AB=A ₁B ₁, то при таком наложении сторона A ₁B ₁ совместится со стороной AB, а значит, точка B ₁ совместится с точкой B.

Аналогично, сторона A ₁C ₁ совместится со стороной AC, а точка C ₁ - с точкой C.

Следовательно, сторона B ₁C ₁ совместится со стороной BC.

Значит, при наложении треугольники полностью совместятся, поэтому ΔABC= ΔA ₁B ₁C 1 (по определению).

Что и требовалось доказать.

# data[].attributes.attachment_link.title
Первый признак равенства треугольников | Треугольники

# data[].attributes.attachment_link.description
Теорема (Первый признак равенства треугольников - по двум сторонам и углу между ними) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.