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tracciata a mano libera nel grafico in alto:

1. Cancellare la funzione corrente premendo il tasto Clear

2. Selezionare il tool "Matita"

3. Tracciare la funzione nell'area chiara (grafico di un solo periodo della funzione, sull'intervallo ). Si consiglia di disegnare una funzione con un dominio leggermente più ampio (che debordi un po' dall'area chiara).

4. Selezionare il tool "Freccia"

5. Premere il tasto Use This

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Serie di Fourier di funzioni tracciate a mano libera

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tracciata a mano libera nel grafico in alto: Cancellare la funzione corrente premendo il tasto Clear Selezionare il tool "Matita" Tracciare la funzione nell'area chiara (grafico di un solo periodo della funzione, sull'intervallo ). Si consiglia di disegnare una funzione con un dominio leggermente più ampio (che debordi un po' dall'area chiara).

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Introduzione alla funzione d'onda in meccanica quantistica

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Lo scopo di questa dimostrazione è quello di fornire una comprensione intuitiva sul modello atomico di Bohr e di mostrare simbolicamente e visivamente come un'onda, seguendo un percorso chiuso circolare, può essere considerata ferma e perdere quindi ogni caratteristica di movimento. Un'onda di questo tipo viene chiamata onda stazionaria.
Questo requisito (onda stazionaria) conduce alla condizione di quantizzazione per i raggi orbitali consentiti nel modello atomico di Bohr.
Un onda stazionaria intero alla dimostrazione) interferisce costruttivamente con sé stessa e non mostra alcun movimento apparente (quindi non c'è accelerazione, nessuna radiazione EM e nessuna perdita di energia).
Al contrario, se l'onda non è un'onda stazionaria non intero nella dimostrazione) c'è interferenza distruttiva e movimento (quindi c'è accelerazione, radiazione, perdita di energia e nessuna possibilità di ottenere un'orbita stabile).

Dimostrazione con Geogebra (Marzo 2018)

Geogebra Risorse: https://www.geogebra.org/m/gu4prx7q

Dimostrazione CDF
Come utilizzare le dimostrazioni CDF
scarica2DBWebBohrAtom_Sim.cdf
scarica2DBWebBohrAtom_Sim.nb (Mathematica notebook)
Uso dei controlli
I comandi principali sono il cursore temporale ( time) e il cursore n (number of waves in the circle o numero di lunghezze d'onda lungo la circonferenza).
Per quanto riguarda il tempo ci sono due possibili modalità: tempo finito e tempo infinito (∞ time). Nella prima modalità è possibile spostare manualmente il cursore. Per effettuare una regolazione più fine del movimento dell'onda si può premere il tasto Alt o Ctrl + Alt o Ctrl + Maiusc + Alt mentre si sposta il cursore del tempo. In alternativa, è possibile avviare o arrestare l'animazione con i tasti di controllo automatico dell'animazione. In questo caso il ciclo riprende dopo aver raggiunto il valore del tempo massimo (max time). Questo valore di tempo massimo può essere modificato mediante il cursore Finite time duration che opera su multipli interi di (sei cicli completi). La seconda modalità (tempo infinito) può essere avviata premendo il pulsante Start (∞ time) posizionato sotto al cursore di scorrimento del tempo. In questa modalità il tempo andrà avanti per sempre e non c'è più possibilità di spostare manualmente il cursore di scorrimento temporale. È comunque possibile ripristinare la simulazione in modalità tempo finito premendo il pulsante reset. In questo caso l'animazione si ferma e il tempo sarà ripristinato al suo valore iniziale. In entrambe le modalità è possibile modificare interattivamente il valore n. C'è anche un'opzione per modificare il valore di n all'intero più vicino ( Set n to ...) per trasformare la corrispondente onda nella più vicina un'onda stabile ovvero stazionaria. È inoltre possibile modificare l'ampiezza dell'onda ( wave amplitude) e la velocità dell'animazione ( animation rate).

Il modello atomico di Bohr

Il problema e la soluzione
Secondo il modello di Rutherford (modello planetario) l'elettrone orbita attorno al nucleo come un pianeta intorno al sole.
Il problema di questo modello risiede nel fatto che una carica accelerata emette onde elettromagnetiche e, così facendo, perde energia.
In conseguenza di questa perdita di energia l'elettrone dovrebbe inevitabilmente e rapidamente collassare nel nucleo.
Per risolvere questo problema, il modello di Bohr (con l'apporto delle intuizioni di De Broglie) introdusse il concetto di onda-particella: un elettrone si comporta sia come una particella che come un'onda e sono ammesse solo particolari orbite discrete.
Ma in che modo questa coraggiosa e stravagante ipotesi permise di risolvere il problema insito nel modello di Rutherford?
Sia che l'elettrone sia un'onda (caratterizzato da una certa lunghezza d'onda), sia che esso sia una particella (con una sua determinata posizione e velocità) o sia esso una combinazione di entrambe le cose, insomma, sia quel che sia, questo non modifica il fatto che l'elettrone debba avere una certa energia, e un moto in grado di controbilanciare la forza elettrica attrattiva. Anche se visto come un'onda, l'elettrone dovrebbe orbitare attorno al protone ed avere una accelerazione, e ciò non può portare a un'orbita stabile. Quindi deve avere energia ma essere fermo ... qualcosa di simile a un'onda (ha energia), che però non abbia alcun movimento...

... pensandoci bene, c'è una possibile soluzione ...

Un onda stazionaria!

E 'un'onda, e quindi ha energia, eppure non possiede alcun movimento apparente.
Questa è l'unica risposta possibile, questa è la la strada da percorrere.
Un altro modo per spiegare lo stesso concetto di base (forse fisicamente più corretto, ma più difficile da presentare visivamente) è che un'onda non stazionaria, alla lunga, interferisce distruttivamente con sé stessa.
Al contrario, un onda stazionaria interferisce sempre costruttivamente con sé stessa e questo fatto la fa esistere come una entità fisica reale e concreta.
Ma come fa un elettrone a sapere come e dove deve muoversi (come onda stazionaria o come onda non stazionaria) attorno nucleo?
Seguendo un modo di ragionare tipico del fisico Feynman si potrebbe pensare che in realtà l'elettrone segua tutte le possibili modalità e tutti i possibili percorsi e le possibili orbite. Ma lungo percorsi che determinano una interferenza distruttiva non c'è alcuna vera onda risultante (dato che tutte le possibilità si annullano tra di loro) e quindi non resta alcuna "reale" traccia della presenza di un elettrone, nessuna entità fisica e nessuna possibile orbita. Solo la flebile ombra di una ipotetica possibilità teorica che non può però emergere nella sfera concreta della realtà fisica, oggettiva e misurabile.

Cenni storici: i contributi di Bohr e De Broglie

Niels Bohr ha elaborato il suo modello atomico negli anni 1911-1913.
In quegli anni ha scoperto lacondizione di quantizzazione del momento angolare solo perché ciò era necessario per spiegare i dati sperimentali (e per rendere conto della formula di Balmer delle righe spettrali).
Per ricavare le formule che dovevano essere alla base della quantizzazione dei livelli orbitali ha inoltre seguito, con grande arguzia, ingegnosi ragionamenti sul controllo dimensionale delle grandezze coinvolte,
Ma egli stesso era consapevole che il suo modello non spiegava nulla.
Fu solo nel 1924 che Louis De Broglie raggiunse una percezione più profonda e più ampia di ciò che stava dietro alla condizione di quantizzazione di Bohr del momento angolare: la natura ondulatoria dell'elettrone in uno stato orbitale stabile e la condizione di onda stazionaria.
La condizione di onda stazionaria fornisce una elegante e profonda interpretazione della formula di Bohr della quantizzazione del momento angolare dell'elettrone (che, quando fu introdotta da Bohr, era funzionale ma non dedotta da principi più generali).
Con il contributo di De Broglie il modello di Bohr divenne più significativo: un rivoluzionario punto di partenza verso un nuovo paradigma e verso una migliore comprensione dei principi fondamentali della prima teoria della meccanica quantistica.

Note sulla dimostrazione
In questa dimostrazione il modello di Bohr è applicato a un singolo elettrone orbitante attorno ad un singolo protone (atomo di idrogeno).
Il numeron (numero di lunghezze d'onda in un'orbita circolare completa) è posto in relazione con i possibili raggi orbitali e con i possibili livelli di energia.
Gli stati stabili sono solo quelli associati a un valore intero di n.
La condizione di onda stazionaria è (con n intero).
In questo modello le principali formule per i possibili raggi orbitali , le velocità orbitali , i periodi orbitali e i livelli di energia sono:

L'unità di tempo utilizzata nella dimostrazione (nel cursore Time) è una unità simbolica, ma comunque proporzionale al tempo fisico . Per comodità qui t rappresenta semplicemente l'angolo percorso dal fronte d'onda ( ).
Con questa scelta dell'unità temporale il periodo orbitale ( ) è .
La formula per convertire questa unità di tempo ( ) in quella reale ( ) è:

Modificando nella dimostrazione il valore di n, anche il raggio orbitale dovrebbe cambiare di conseguenza.
Questa dipendenza tra n e r non è visualizzata nella simulazione perché non rilevante rispetto allo scopo della dimostrazione (c'è comunque un cambiamento qualitativo nella dimensione del disco blu, che rappresenta simbolicamente il nucleo, per evocare un cambiamento di scala).
Nella simulazione l'onda è tracciata solo per un periodo di tempo limitato (3 periodi) e svanisce con il tempo durante questo intervallo temporale. Questo è solo un artificio per evidenziare l'ipotetico movimento dell'onda in caso di onda non stazionaria.
Un onda non stazionaria (non fisicamente possibile) associata a un valore di n non intero, sembra muoversi con una velocità che è diversa dalla velocità del fronte d'onda.
Questo moto è tanto più lento quanto più n avvicina un numero intero e quanto più n assume valori maggiori.
Si può dimostrare che il valore assoluto della velocità dell'onda (rispetto della velocità del fronte d'onda ) è .
I suoi valori massimi relativi si verificano quando con e ci sono discontinuità intorno a questi particolari valori.
La velocità massima dell'onda si verifica per e in questo caso è .
Forse c'è qualche collegamento tra questa relazione e la relazione tra la velocità di fase e la velocità di gruppo definite dalla meccanica ondulatoria, ma questa supposizione necessiterebbe di un ulteriore approfondimento.

Alcuni link utili:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/Bohr_Atom/Bohr_Atom.html
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/Bohr_to_Waves/Bohr_to_Waves.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr_model
http://it.wikipedia.org/wiki/Modello_atomico_di_Bohr

Autore: Luca Moroni - Gennaio 2014 - Marzo 2018

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Onde stazionarie nel modello atomico di Bohr

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Lo scopo di questa dimostrazione è quello di fornire una comprensione intuitiva sul modello atomico di Bohr e di mostrare simbolicamente e visivamente come un'onda, seguendo un percorso chiuso circolare, può essere considerata ferma e perdere quindi ogni caratteristica di movimento. Un'onda di questo tipo viene chiamata onda stazionaria.

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Photoelectric Effect - The Physics Hypertextbook

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While this is interesting, it is hardly amazing. All forms of electromagnetic radiation transport energy and it is quite easy to imagine this energy being used to push tiny particles of negative charge free from the surface of a metal where they are not all that strongly confined in the first place.

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See how physicist Robert Millikan devised a method for measuring the electric charge of single electrons

Encyclopædia Britannica, Inc. See all videos for this article

Millikan oil-drop experiment, first direct and compelling measurement of the electric charge of a single electron. It was performed originally in 1909 by the American physicist Robert A. Millikan, who devised a straightforward method of measuring the minute electric charge that is present on many of the droplets in an oil mist. The force on any electric charge in an electric field is equal to the product of the charge and the electric field. Millikan was able to measure both the amount of electric force and magnitude of electric field on the tiny charge of an isolated oil droplet and from the data determine the magnitude of the charge itself.

Millikan's original experiment or any modified version, such as the following, is called the oil-drop experiment. A closed chamber with transparent sides is fitted with two parallel metal plates, which acquire a positive or negative charge when an electric current is applied. At the start of the experiment, an atomizer sprays a fine mist of oil droplets into the upper portion of the chamber. Under the influence of gravity and air resistance, some of the oil droplets fall through a small hole cut in the top metal plate. When the space between the metal plates is ionized by radiation (e.g., X-rays), electrons from the air attach themselves to the falling oil droplets, causing them to acquire a negative charge. A light source, set at right angles to a viewing microscope, illuminates the oil droplets and makes them appear as bright stars while they fall. The mass of a single charged droplet can be calculated by observing how fast it falls. By adjusting the potential difference, or voltage, between the metal plates, the speed of the droplet's motion can be increased or decreased; when the amount of upward electric force equals the known downward gravitational force, the charged droplet remains stationary. The amount of voltage needed to suspend a droplet is used along with its mass to determine the overall electric charge on the droplet. Through repeated application of this method, the values of the electric charge on individual oil drops are always whole-number multiples of a lowest value-that value being the elementary electric charge itself (about 1.602 × 10 −19 coulomb). From the time of Millikan's original experiment, this method offered convincing proof that electric charge exists in basic natural units. All subsequent distinct methods of measuring the basic unit of electric charge point to its having the same fundamental value.

The Editors of Encyclopaedia Britannica Erik Gregersen.

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Millikan oil-drop experiment | Date, Summary, & Results

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Millikan oil-drop experiment, first direct and compelling measurement of the electric charge of a single electron. It was performed originally in 1909 by the American physicist Robert A. Millikan, who devised a straightforward method of measuring the minute electric charge that is present on many of the droplets in an oil mist.

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Robert Millikan's Oil Drop Experiment - The Charge of an Electron

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wave-particle duality of matter and light

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transmission and reflection at a barrier

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schroedinger's equation in three dimensions: central potentials

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Lecture Videos | Quantum Physics I | Physics | MIT OpenCourseWare

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This section provides a complete set of video lectures for the course.

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Session Overview

Modules
Structure of the Atom

Concepts
Thomson's plum pudding model, Rutherford's model of the nucleus, Bohr's model of the hydrogen atom, Rutherford-Geiger-Marsden experiment, Planck-Einstein relationship, isotopes of hydrogen

Keywords
lanthanides, actinides, electron, mass, J. J. Thomson, proton, electrical charge, amber, alpha particle, beta particle, ionization, conservation of mass, Johannes Geiger, Ernest Marsden, coulomb, Niels Bohr, Bohr model of hydrogen, energy quantization, orbital angular momentum, Planck-Einstein relationship, joule, Newtonian force, Coulombic force, Max Planck, photon, energy, frequency, Planck's constant, isotope, Henry Cavendish, Harold Urey, Ernest Rutherford, blackbody radiation

Chemical Substances
lanthanum (La), magnesium (Mg), chlorine (Cl), titanium (Ti), helium (He), hydrogen (H)

Applications
nuclear fission, nanotechnology

Prerequisites

Before starting this session, you should be familiar with:

Looking Ahead

Prof. Sadoway discusses the atomic spectra of hydrogen ( Session 4).

Learning Objectives

After completing this session, you should be able to:

Understand Thomson's "plum pudding" model.

Understand Rutherford's "nuclear" model.

Explain the Bohr model of hydrogen.

Understand Bohr's quantization condition.

Reading

Archived Lecture Notes #1 (PDF), Sections 1-3

Book Chapters

Topics

[Saylor] 1.5, "The Atom."

The electron; radioactivity; the atomic model

[Saylor] 6.2, "The Quantization of Energy."

Blackbody radiation; the photoelectric effect

[Saylor] 6.3, "Atomic Spectra and Models of the Atom."

Line spectra; the Bohr model; uses of emission and absorption spectra

Lecture Video

Resources
Periodic Table and Table of Constants Lecture Slides (PDF - 9.3MB)
Lecture Summary

Prof. Sadoway talks about the principles of modern chemistry and how that led to the understanding of the structure of the atom. He details Bohr's postulates for the hydrogen atom and discusses how the Planck-Einstein relationship applies to electron transitions. He defines the different isotopes of hydrogen.

This lecture includes the following:

J. J. Thomson's "plum pudding" model
Electrons are distributed uniformly throughout the atom

Ernest Rutherford's "nuclear" model

Conclusions from the gold foil experiment

Majority of the mass is found in the nucleus

Electrons orbit around the nucleus

Niels Bohr's quantization condition

Explanation of blackbody radiation and atomic spectra

Postulates:

Electrons follow circular orbits around a nucleus

Orbital angular momentum is quantized hence only certain orbits are possible

Electrons in stable orbits do not radiate

Electrons change orbits by radiating or absorbing photons

Problems (PDF) Solutions (PDF)
Homework

Textbook Problems

[Saylor] Sections

Conceptual

Numerical

[Saylor] 1.5, "The Atom."

none

4

[Saylor] 1.6, "Isotopes and Atomic Masses."

none

10

[Saylor] 6.1, "Waves and Electromagnetic Energy."

none

8

[Saylor] 6.2, "The Quantization of Energy."

none

3, 6

For Further Study

Supplemental Readings
Cavendish Laboratory How Atoms Work
Bohr, Niels. " On the Constitution of Atoms and Molecules." Philosophical Magazine Series 6 26 (July 1913): 1-15.

People

Joseph Thompson - 1906 Nobel Prize in Physics
Johannes Geiger Ernest Marsden
Ernest Rutherford - 1908 Nobel Prize in Chemistry

Max Planck - 1918 Nobel Prize in Physics

Albert Einstein - 1921 Nobel Prize in Physics

Niels Bohr - 1922 Nobel Prize in Physics
Henry Cavendish
Robert Millikan - 1923 Nobel Prize in Physics

Werner Heisenberg - 1932 Nobel Prize in Physics
Charles-Augustin de Coulomb James Prescott Joule
Harold Urey - 1934 Nobel Prize in Chemistry

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L'UNIONE TRA MECCANICA QUANTISTICA E CHIMICA