# data[].attributes.body
E)SONLU ve SONSUZ KÜMELER

Sonlu ve sonsuz küme nedir hemen size kısaca açıklamaya çalışalım arkadaşlar.

Eğer bir kümenin eleman sayısı sayılabilir kadar çoksa o kümeye sonlu küme denir.Şimdi bie örnekle açıklamaya çalışalım sizlere bunu

A={x:x<5, x ∈ N} kümesinin elemanları 8 den küçük olan doğal sayılardır. Bunlar 0, 1, 2, 3, 4, olup sayılabilir çokluktadır. Dolayısıyla A kümesi sonlu bir kümedir.

Eğer bir kümenin eleman sayısı sayılamayacak  kadar çoksa o kümeye sonsuz küme denir.Örnek verecek olursak

Doğal sayılar, gerçek sayılar, tam sayılar,… kümeleri sozsuz kümelere örnek verilebilir.

F)ALT KÜME

1. Alt Küme

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A ⊂ B biçiminde gösterilir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B ⊃ A biçiminde gösterilir.

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C ⊄ D biçiminde gösterilir.

1. Özalt Küme

Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleridenir.

1. Alt Kümenin Özelikleri

I) Her küme kendisinin alt kümesidir.

A ⊂  A

II) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Ø ⊂ A

III) (A ⊂  B ve B ⊂  A) ⇔ A = B dir.

IV) (A ⊂   B ve B ⊂   C) ♠ A ⊂   C dir.

V) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir.

VI) n elemanlı bir kümenin r tane elemanlı (n ≥ r) alt kümelerinin sayısı

2. Bölüm: Kümelerde İşlemler

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

A)KÜMELERDE BİRLEŞİM İŞLEMİ NASILDIR

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve    biçiminde gösterilir.A ∪ B

A ∪ B = {x : x ∈ A veya x ∪  B} dir.

Örneğin aşağıda iki kümenin birleşim noktası gösterilmiştir.

.                                              A                                   B

.                                                               ↓

.                                                          A ∪  B

Birleşim İşleminin Özelikleri

I) A ∪ ∅ = A

II) A ∪ A = A

III) A ∪ B = B ∪ A

IV) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

V) A ⊂ B ise, A ∪ B = B

VI) A ∪ B = ∅  ise, (A = ∅  ve B = ∅ ) dir.

B)KÜMELERDE KEŞİSİM İŞLEMİ NASILDIR

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesidenir ve A ∩ B biçiminde gösterilir.

A ∩   B = {x : x ∈ A ve x ∈  B} dir.

.                                                          A                                   B

.                                                                         ↓

.                                                                     A ∩  B             olarak gösterilir.

Kesişim İşleminin Özelikleri

I) A ∩ Ø = Ø

II) A ∩ A = A

III) A ∩ B = B ∩ A

IV) (A ∩ B) ∩ C = A ∩(B ∩C)

V) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪  (A ∩ C)

VI) A ∪  (B ∩ C) = (A ∪  B) ∩ (A ∪  C)

KÜMELERDE FARK İŞLEMİ NASIL YAPILIR

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

Farkla İlgili Özelikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

KÜMELERDE TÜMLEME İŞLEM

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve ile gösterilir.

KARTEZYAN ÇARPIM KÜMESİ NASIL OLUR

A ve B boş olmayan iki küme olsun.Birinci bileşeni A dan,iknci bileşeni B den alınarak oluşturulan bütün ikililerin kümesine A ile b kümesinin kartezyen çarpımı denir.

A x B = {(x,y)│x € A ve y € B} dir.

Örnek-2:

A={1,2}

B={3,4,5}

Olduğuna göre,A x B, B x A ve A x A kümelerini bulalım.

Çözüm:

Ax B ={(x , y)│x € A /\ y € B } A x A ={(x,y)│x € A /\ y € A}

={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4 ),(2,5)} olur.

B x A ={(x , y)│x € B /\ y € A }

={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1 ),(5,2)} olur.

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

1.Kartezyen çarpımın birleşme özeliği vardır.

A x B x C = A x (B x C) = (A x B) x C dir.

2.Kartezyen çarpımın değişme özeliği vardır.

A ≠ B è A x B ≠ B x A dır.

3.Kartezyen çarpımın etkisiz elemanı yoktur.

4.Kartezyen çarpımın yutan elemanı boş küme ( ) dir.

5.Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı:

s(A x B) = s(B x A) = s(A) . s(B) dir.

6.Kartezyen çarpımın kesişim,birleşim ve fark işlemi üzerinde dağılma özeliği vardır.

A x (B C) = (A x B) (A x C)

A x (B C) = (A x B) (A x C)

A x (B – C) =(A x B) – (A x C) dir.

# data[].attributes.headline
D)EVRENSEL KÜMEÜzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

# data[].attributes.subject
D)EVRENSEL KÜMEÜzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

# data[].attributes.headline
C)BOŞ KÜMEHiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.Boş küme { } ya da ⍉ sembolleri ile gösterilir.Not:{0}  ve  {⍉} kümeleri boş küme değildir.

# data[].attributes.subject
C)BOŞ KÜMEHiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.Boş küme { } ya da ⍉ sembolleri ile gösterilir.Not:{0}  ve  {⍉} kümeleri boş küme değildir.

# data[].attributes.headline
1.Liste YöntemiKümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür.2.Ortak Özellik YöntemiKümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel,  gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.A = {x : (x in özelliği)}Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.3.Venn Şeması YöntemiKüme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

# data[].attributes.subject
1.Liste YöntemiKümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür.2.Ortak Özellik YöntemiKümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel,  gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.A = {x : (x in özelliği)}Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.3.Venn Şeması YöntemiKüme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

# data[].attributes.body
Kilis’in ilçeleri

Küme oluşturur. Çünkü Kilis’in üç tane ilçesi var-dır. Bunlar {Polateli, Musabeyli, Elbeyli}

Türkiye’nin en güzel şehri

Küme oluşturmaz. Çünkü Türkiye’nin en güzel şehri kişiden kişiye göre değişeceğinden küme o-luşturmaz.

Uçan inekler

küme oluşturur. Çünkü uçan inek olamayacağın-dan bu kümemiz boş kümedir.

# data[].attributes.body
Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denmektedir arkadaşlar.

# data[].attributes.body
Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise, a Î A biçiminde yazılır. “ a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “ b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.

Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.

A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.