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Cómo saber si se trata o no de un polinomio.

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Cómo saber si se trata o no de un polinomio.

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Un polinomio no puede tener una variable en el denominador o un exponente negativo, ya que los monomios deben tener sólo números enteros como exponentes. Los polinomios generalmente se escriben de tal forma que las potencias de las variables están en orden descendente.

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Coeficiente: Es el número que multiplica a las letras

Parte literal: Son las letras que aparezcan en el monomio con los exponentes

Grado: Es la suma de los exponentes que tenga el monomio.

Variable: Son cada una de las letras que aparecen en el monomio

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La raíz de un polinomio es un valor el cual, al reemplazarlo por x, hace que el cálculo tenga como resultado 0. Es decir, anula el polinomio

Ejemplo

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Por más que no parezca a simple viste, el número 7 es considerado como un polinomio ya que tiene solo un término, siendo este una constante. Asimismo, muchas expresiones que no parecen sí cumplen las características de un polinomio, mientras que otras que, si bien parecen adquirirlas, no lo son; por ejemplo, "3x elevado a -2" no lo es porque el exponente es "−2" y los exponentes sólo pueden ser números naturales. ¡HAY QUE TENER CUIDADO!

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Un polinomio puede tener constantes, variables y exponentes,
pero nunca división por una variable.

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Es una expresión algebraica que contiene uno o más términos. Para identificar uno, su estructura se realiza de una constante, una variable y un exponente. Además, existen varios tipos de polinomios, basados en cuántos términos tienen (clasificación desarrollada por Bermudez V. y vinculada a este cuadro para ver).

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Solo podemos operar con monomios con la misma parte literal, y ademas, el grado que debe tener el dividendo debe ser mayor o igual al grado del divisor.
La división se da al dividir los coeficientes, y en cuanto a los exponentes, estos se restan. Como resultado obtenemos otro monomio.

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Para efectuar el producto p . q de dos polinomios, se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los monomios que forman el segundo polinomio, y se suman todos los monomios obtenidos. Por último, si existen monomios de igual grado, se suman entre ellos.

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Ejemplo de Multiplicación de Polinomios 

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Ejemplo de Multiplicación de Polinomios 

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Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
Iturraspe Francisco

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EJEMPLO DE MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 

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EJEMPLO DE MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 

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Como se ve en la imagen, el resultado es otro monomio, cuyo grado es la suma de los grados de los monomios anteriores, y cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios.

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En el caso de la resta en el cubo de un binomio (a-b³), se realiza el mismo procedimiento, con la diferencia de que luego del primer término (a³) y antes de colocar el último de la operación (b³) no va a haber un signo de suma, sino que por el contrario, los términos que se encuentren en esas posiciones se van a restar. Se puede ver de la siguiente forma:

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Para obtener el resultado del cubo de un binomio (a+b³) es necesario sumar el primer término que aparece elevado al cubo (a³) más el triple de la multiplicación entre el primer y segundo término elevado al cuadrado (3.a.b²) sumado a el triple de la multiplicación entre el segundo y luego el primer término, es decir que se realiza la misma operación pero elevando el término que anteriormente no se elevó, (3.b.a²) para finalmente sumarle el segundo término elevado al cubo (b³). Uniendo todos estos términos podemos obtener la siguiente operación:

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Constante: cuando el grado del coeficiente es 0. Por Ejemplo: H(x)=5
Lineal: cuando el grado del coeficiente es 1. Por Ejemplo: P(x)=2x + 3
Cuadratica:  cuando el grado del coeficiente es 2. Por Ejemplo:  G(x)= 3x 2 + 4x + 1

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El cuadrado de un binomio (a+b)² se resuelve mediante la aplicación del trinomio cuadrado perfecto, es decir, la suma del primer término al cuadrado (a²) más el doble del primer término por el segundo (2ab) más el segundo término al cuadrado (b²).

En el caso de la resta (a-b)², también se aplica el trinomio cuadrado perfecto, pero el cuadrado del primer término se resta al doble del primer término por el segundo y luego se  suma el segundo término al cuadrado.

Este procedimiento se puede verificar o demostrar mediante la aplicación de la propiedad distributiva.

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Se realizan, encolumnando los diferentes coeficientes, cambiando aquellos que inician con signo negativo a positivo. En este caso no se escriben las potencias de X.

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Para restar dos polinomios, se deben restar los coeficientes de los monomios del mismo grado.
En este caso, el orden importa, por lo tanto,  la resta no es conmutativa.

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El resto de dividir un polinomio P por el binomio x-r es igual a p(r).
El teorema del resto tiene como finalidad averiguar el resto de la división sin realizar el cálculo de la división.
Las condiciones que se deben cumplir para aplicar el teorema del resto son:

El divisor debe ser un binomio de la forma x-r, siendo r un número real.

El exponente y el coeficiente de X deben ser iguales a 1.

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Ejemplo en el cual se reconoce como se aplica la Regla de Ruffini:

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Ejemplo en el cual se reconoce como se aplica la Regla de Ruffini:

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Esta regla puede ser aplicada para llevar a cabo una división de una forma más "rapida y simple".
Para poder aplicarla, el divisor debe cumplir una serie de reglas:

El divisor debe ser un BINOMIO de la forma x-r.

r debe ser un número real (positivo o negativo).

Tanto el coeficiente como el grado de X deben ser iguales a 1.

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Los pasos para aplicar esta regla son:

1. Se trazan dos líneas perpendiculares, formando una L, y se escriben en el primer renglón los coeficientes del dividendo ordenados y completos.

2. En el segundo renglón del lado izquierdo de la línea vertical se escribe el número r. El coeficiente principal del dividendo se "baja" al  renglón inferior, por debajo de la línea horizontal.

3. Se multiplica dicho coeficiente principal por r y se coloca el resultado debajo del segundo coeficiente.

4. Se suman estos dos valores (el segundo coeficiente del dividendo y el numero obtenido de la multiplicación) y se coloca el resultado por debajo de la línea inferior.

5. Se repite el proceso con este número obtenido de la suma. Se multiplica por r, se coloca debajo del tercer coeficiente del dividendo y se suma. Se continua así hasta el último coeficiente.

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Para poder realizar una divisón entre polinomios se debe seguir una serie de pasos:
PASO 1: para comenzar, se deben escribir ambos polinomios ordenados y el dividendo completo.
PASO 2: se debe dividir el monomio del dividendo con mayor grado, por el monomio del divisor con mayor grado.
PASO 3:  se debe multiplicar el monomio obtenido por todo el polinomio divisor, y restarle el resultado al dividendo.
PASO 4: por último, se debe comparar el grado del polinomio obtenido con el grado del divisor:

Si el grado del resultado es mayor o igual al grado del divisor, se debe volver al PASO 2 y repetir el proceso, tomando al resultado obtenido como dividendo.

Si el grado del polinomio obtenido es menor al grado del divisor, la división terminó.

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En primer lugar se debe aplicar la propiedad distributiva entre ambos polinomios, multiplicando así cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo.
A la hora de realizar la operación los coeficientes de los distintos monomios se multiplican y los grados se suman.
Una vez terminado el proceso, para obtener el producto de la multiplicación, se deben sumar los términos semejantes para obtener un nuevo polinomio.

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Para sumar dos polinomios, se deben sumar los monomios de igual grado (o monomios semejantes) de cada uno.
De esta manera, la suma de polinomios posee las propiedades:
- Conmutativa (el orden no influye en el resultado)
- Asociativa

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Imagen que permite visualizar las partes de un polinomio.

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Los polinomios se clasifican dependiendo la cantidad de términos que tiene:

Monomio:  P(x)= 3x ²

Binomio:  M(x)= 2x ⁴ + x ³

Trimonio: B(x)= 5x ⁵ + 2x ⁴ – 3x

Cuatrinomio: S(x)= 3x ⁴ – 4x ² + x + 2x ³

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-Polinomio mónico:
P(x) = x3  + 2x2  + 2
-Polinomio completo:
D(x) =   5x² + 2x3 + 2x + 3 + 4x⁴
-Polinomio ordenado:
Z(x) = 6x³ + 3x² + 2x + 5

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Características generales de los polinomios

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Características generales de los polinomios

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-Están formado por la suma de mas de un monomio ----Un monomio  es un termino  o mas de uno, donde los distintos  están relacionadas a través de las operaciones de multiplicación y potencia.
- Polinomio mónico: coeficiente principal 1
-Polinomio completo: posee todos los términos escritos. (desde el independiente hasta el término de mayor grado )
-Polinomio ordenado: sus monomios están organizados de mayor a menor, según su grado.

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Definiciones para tener en cuenta a la hora de analizar un polinomio:

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Definiciones para tener en cuenta a la hora de analizar un polinomio:

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-Grado: Mayor exponente al que aparece elevado la variable.
-Coeficiente principal: Número real que multiplica a la variable que esta elevada al mayor exponente, es decir, que define el grado.
-Termino independiente: También llamado constante, es el coeficiente de grado 0. En este caso la variable "desaparece".

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CONDICIONES PARA QUE UN POLINOMIO SEA CONSIDERADO COMO TAL:
- Debe verificar su estructura.
- El exponente de la variable debe ser un número natural o cero.
- El coeficiente que se multiplica por la variable debe ser un número real.