# data[].attributes.body
V(t) = -1,1t³ + 20t²+ 10t
Einheit: V(t) in l , t in h

# data[].attributes.body
A(t) = -0,01t³ + 0,1t²+ t + 1,5
Einheit: A(t) in cm², t in h

# data[].attributes.body
A(t)= Fläche, die von Bakterien bedeckt wird, in cm² und
t=Zeit in h

# data[].attributes.body
t=0h A(0)= 1,5 cm^2
t=3h A(3)= 5,13 cm^2
t=8h A(8)= 10,78 cm^2

# data[].attributes.headline
b) Durchschnittliche Wachstum von der 0. bis zur 4. Stunde:

# data[].attributes.subject
b) Durchschnittliche Wachstum von der 0. bis zur 4. Stunde:

# data[].attributes.body
delta A/ delta t =
A(4h) - A(0h)/ (4h- 0h)= ???? cm²/h
entspricht der durchschnittlichen Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienkultur.

Zum Vergleich:
Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienkultur in der 0. und 4. Stunde beschreiben wir mit A'(t):
A'(0h) = 1 cm²/h
A'(4h) = 1,32 cm²/h
A' (t) = -0,03t² + 0,2t +1

# data[].attributes.body
b(t) = -1,1t^4+ 23,2t³ - 150t² + 361t

Einheit: b(t) Anzahl, t in h

# data[].attributes.body
Die Modellierung ist nur in diesem Intervall sinnvoll, weil die Fotosynthese nur unter Mitwirkung des Sonnenlichtes funktioniert.

# data[].attributes.headline
b) Der Baum gibt innerhalb von 12 Stunden 1099,2 l Sauerstoff ab. 

# data[].attributes.subject
b) Der Baum gibt innerhalb von 12 Stunden 1099,2 l Sauerstoff ab. 

# data[].attributes.body
t = 12h, V(12) = 1099,2l

# data[].attributes.body
V' (t) momentane Änderungsrate  gibt an, wieviel Sauerstoff in einem bestimmten Zeitraum produziert wird. Anders gesagt, ist das die Sauerstoffproduktion pro Zeit.
V'(t) = -3,3t² + 40t + 10
Einheit: l/h

Bsp: V'(3) = 100,03 l/h
V'(10) = 80 l/h

# data[].attributes.body
V'(t) = -3,3t² +40t + 10

V'(t) = 0 Tangentensteigung ist an den Extremstellen Null!!!!
-3,3t² + 40t +10 = 0
t² - 12,12t - 3.03 = 0
t 1= 12,245h  Maximalwert
t 2 = -0,245h ist unsinnig

# data[].attributes.headline
Durch die Funktion f(x) wird ein bestehender Zustand beschrieben.

# data[].attributes.subject
Durch die Funktion f(x) wird ein bestehender Zustand beschrieben.

# data[].attributes.body
Durch die Ableitungsfunktion f'(x) wird die momentane Änderung dieses Zustandes beschrieben.
Dies wird in der Einheit deutlich- Quotient!!

# data[].attributes.body
b'(t) = 0

# data[].attributes.body
b'(1) = ?
b'(2) = ?

b'(3) = ?
b'(11) = ?

# data[].attributes.body
grün: A(t)
rot: A'(t)

A(t) beschreibt den Zustand ; d.h. auf den Kontext bezogen die Größe der Fläche der Bakterienkultur.
A'(t) beschreibt das Wachstum der Bakterienkultur; d.h. das "Größenwerden" der Fläche A(t) in einer bestimmten Zeit z.B. pro Stunde.
Den maximale Flächeninhalt Amax.können wir mittels der ersten Ableitung von A(t) berechnen:

A'(tE) = 0 !!!!

-0,03t² + 0,2t +1 = 0

# data[].attributes.headline
Bei einem gegebenen Kontext muss der Definitionsbereich überprüft werden, denn nicht immer ist der innenmathematische Definitionsbereich für den Kontext sinnvoll.

# data[].attributes.subject
Bei einem gegebenen Kontext muss der Definitionsbereich überprüft werden, denn nicht immer ist der innenmathematische Definitionsbereich für den Kontext sinnvoll.

# data[].attributes.headline
An der Stelle des Extremwertes (egal, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt) ist die Steigung des Graphen der Funktion f und somit die Steigung der Tangente Null.

# data[].attributes.subject
An der Stelle des Extremwertes (egal, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt) ist die Steigung des Graphen der Funktion f und somit die Steigung der Tangente Null.

# data[].attributes.body
Was wir schon wissen:

Wir können die Steigung in jedem Punkt des Graphen der Funktion f mit Hilfe der ersten Ableitung f'(x) an der betreffenden Stelle berechnen.

Was wir heute dazugelernt haben:

Da die Steigung des Graphen der Funktion f an den Extremstellen Null ist (Tangente ist waagerecht), können wir jetzt diese Extremstellen sogar ausrechnen:
f'(xE) = 0
Meistens handelt es sich um eine quadratische Gleichung (p-q-Formel)