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Ejercicio 1:

Supongamos que eres un administrador de una empresa y estás analizando los salarios de tus empleados. Tienes una lista de salarios mensuales en dólares y quieres determinar el dominio y el rango de los salarios.

- Dominio: El dominio en este caso sería el conjunto de valores posibles para los salarios. Podría ser cualquier número real positivo o cero, ya que un salario no puede ser negativo. La fórmula para representar el dominio sería: D = [0, +∞)

- Rango: El rango sería el conjunto de valores que pueden tomar los salarios en la lista. Puede variar dependiendo de los datos específicos, pero en general se consideraría el conjunto de valores ordenados de menor a mayor. La fórmula para representar el rango sería: R = [Salario_mínimo, Salario_máximo]

Ejercicio 2:

Supongamos que eres un gerente de ventas y estás analizando las ventas mensuales de tu equipo de vendedores. Tienes una lista de ventas en dólares y deseas determinar el dominio y el rango de esas ventas.

- Dominio: El dominio en este caso sería el conjunto de valores posibles para las ventas mensuales. Podría ser cualquier número real positivo o cero, ya que las ventas no pueden ser negativas. La fórmula para representar el dominio sería: D = [0, +∞)

- Rango: El rango sería el conjunto de valores que pueden tomar las ventas en la lista. Al igual que en el ejemplo anterior, esto puede variar dependiendo de los datos específicos, pero generalmente sería el conjunto de valores ordenados de menor a mayor. La fórmula para representar el rango sería: R = [Venta_mínima, Venta_máxima]

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En análisis matemático, el concepto general de función, se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Las funciones son relaciones entre los elementos de dos conjuntos. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero).

En administración, una función matemática se utiliza para representar relaciones y comportamientos específicos entre variables o factores que afectan a una organización. En este contexto, una función matemática puede describir cómo ciertos factores o variables están relacionados entre sí y cómo un cambio en una variable puede afectar a otras variables.

Por ejemplo, en la administración financiera, se utilizan funciones matemáticas para modelar la relación entre el nivel de producción de una empresa y sus costos, ingresos y ganancias. Estas funciones pueden ayudar a los administradores a tomar decisiones informadas sobre la producción, los precios, los gastos y otros aspectos relacionados con las finanzas.

Además, las funciones matemáticas también se utilizan en el análisis de datos y la toma de decisiones en marketing, gestión de inventarios, gestión de recursos humanos y otros campos de la administración. Estas funciones permiten a los administradores identificar patrones, tendencias y relaciones entre variables, lo que les ayuda a tomar decisiones basadas en datos y optimizar los procesos de la organización.

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Importancia de las funciones matemáticas en administración.  

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Importancia de las funciones matemáticas en administración.  

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Las funciones matemáticas son de gran importancia en la administración debido a que permiten modelar y analizar situaciones y problemas complejos de manera cuantitativa. Algunas de las razones por las cuales las funciones matemáticas son importantes en la administración son:

1. Toma de decisiones: Las funciones matemáticas proporcionan herramientas para analizar y evaluar diferentes alternativas y tomar decisiones basadas en datos y resultados cuantitativos. Por ejemplo, al utilizar funciones de costos, ingresos y utilidades, se pueden determinar los niveles óptimos de producción, precios de venta, asignación de recursos, entre otros.

2. Planificación y pronóstico: Las funciones matemáticas permiten realizar proyecciones y pronósticos basados en datos históricos y tendencias. Por ejemplo, mediante el uso de funciones de demanda, se pueden predecir las ventas futuras y planificar la producción y el inventario en consecuencia.

3. Optimización de recursos: Las funciones matemáticas ayudan a optimizar el uso de recursos limitados, como el tiempo, el dinero y los materiales. Por ejemplo, mediante el uso de funciones de producción y costos, se pueden determinar los niveles óptimos de producción y asignación de recursos para maximizar las utilidades o minimizar los costos.

4. Análisis de riesgos: Las funciones matemáticas permiten evaluar y cuantificar los riesgos asociados a diferentes escenarios y tomar decisiones informadas. Por ejemplo, mediante el uso de funciones de probabilidad y estadística, se pueden analizar los riesgos financieros, evaluar la incertidumbre en los pronósticos y tomar medidas para mitigar los riesgos.

5. Eficiencia operativa: Las funciones matemáticas ayudan a mejorar la eficiencia y la productividad en las operaciones empresariales. Por ejemplo, mediante el uso de funciones de tiempo y movimiento, se pueden identificar y eliminar cuellos de botella, optimizar los flujos de trabajo y mejorar la eficiencia en la asignación de recursos.

En resumen, las funciones matemáticas son fundamentales en la administración ya que proporcionan herramientas y métodos cuantitativos para la toma de decisiones, la planificación, la optimización de recursos, el análisis de riesgos y la mejora de la eficiencia operativa. Permiten abordar problemas complejos de manera sistemática y basada en datos, lo que contribuye a una gestión más efectiva y exitosa de las organizaciones.

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Las funciones matemáticas son relaciones entre conjuntos de números que asignan a cada número de un conjunto, llamado dominio, otro número del conjunto imagen. Aquí te presento algunas características generales de las funciones matemáticas:

1. Dominio: Es el conjunto de valores para los cuales la función está definida. Es importante tener en cuenta las restricciones de la función, ya que algunos valores pueden estar excluidos.

2. Imagen: Es el conjunto de valores que la función produce. Cada valor en el dominio tiene un único valor correspondiente en la imagen.

3. Gráfico: El gráfico de una función muestra la relación entre los valores del dominio y los valores correspondientes en la imagen. Se utiliza para visualizar y analizar el comportamiento de la función.

4. Tipos de funciones: Existen diferentes tipos de funciones matemáticas, tales como lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, entre otras. Cada tipo de función tiene propiedades y comportamientos específicos.

5. Propiedades: Las funciones matemáticas pueden tener propiedades como la simetría, continuidad, periodicidad, monotonía, entre otras. Estas propiedades nos ayudan a comprender su comportamiento y aplicaciones.

6. Funciones inversas: Algunas funciones tienen una función inversa que permite obtener el valor original a partir del valor de salida. Para que una función tenga una inversa, debe ser uno-a-uno y estar definida en un intervalo específico.

7. Operaciones con funciones: Las funciones pueden combinarse mediante operaciones matemáticas como suma, resta, multiplicación, división y composición. Estas operaciones permiten construir nuevas funciones a partir de funciones existentes.

Estas son solo algunas de las características generales de las funciones matemáticas. Cada tipo de función puede tener características adicionales específicas.

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Colaboradores de los proyectos Wikimedia

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Función (matemática) - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemática, se dice que una magnitud es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo, el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren e…

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Dominio

Rango

continuidad

Creciente

Decreciente

Intercepto

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El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen.

Es decir, son los valores de que podemos sustituir en la regla de correspondencia de una función para obtener el valor correspondiente de .

Matemáticamente, podemos expresar:

que significa que el dominio de una función son aquellos valores de que pertenecen a los números reales para los cuales existe un valor asociado de la función .

El subconjunto de los números reales en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función.

Se designa por D.

La variable x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

En administración, el dominio de una función se refiere al conjunto de valores o variables independientes que son viables o están permitidas en el contexto específico de la organización. En otras palabras, el dominio establece los límites o restricciones de las variables que se pueden utilizar en una función.

Por ejemplo, consideremos una empresa que fabrica productos y desea determinar la función que relaciona el costo de producción con la cantidad de unidades producidas. En este caso, el dominio de la función estará determinado por las restricciones de la capacidad de producción de la empresa. Por ejemplo, si la capacidad máxima de producción diaria es de 1000 unidades, el dominio de la función será el conjunto de números naturales desde 0 hasta 1000.

Otro ejemplo podría ser el análisis de la función que relaciona las ventas de un producto con el precio de venta. Si se establece que el rango de precios de venta aceptables está entre $10 y $100, entonces el dominio de la función será el intervalo [10, 100].

Es importante tener en cuenta el dominio de una función en la administración, ya que ayuda a definir los límites y restricciones dentro de los cuales se realizarán los análisis y la toma de decisiones.

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-Dominio: Administración de inventario

Fórmula: Tasa de rotación de inventario

La tasa de rotación de inventario es una fórmula utilizada en administración para medir la eficiencia con la que una empresa utiliza su inventario para generar ventas. La fórmula se puede calcular dividiendo el costo de los bienes vendidos durante un período determinado por el promedio del valor de existencias durante ese mismo período.

Tasa de rotación de inventario = Costo de bienes vendidos / Promedio del valor de existencias

Esta fórmula permite a los administradores monitorear y evaluar cuánto tiempo se tarda en vender el inventario disponible. Una tasa de rotación alta indica que la empresa está vendiendo su inventario rápidamente, lo que puede indicar una buena gestión. Por otro lado, una tasa de rotación baja puede indicar problemas como exceso de inventario o dificultades para vender los productos.

Es importante destacar que esta es solo una de las muchas fórmulas utilizadas en administración. Dependiendo del dominio específico y los objetivos de una empresa, existen diversas fórmulas y métricas que pueden emplearse para evaluar diferentes aspectos de la gestión empresarial.

-Supongamos que eres el gerente de una tienda minorista y deseas analizar el rendimiento de tus vendedores. Tienes 5 vendedores en tu equipo y deseas calcular el porcentaje de ventas individuales de cada vendedor respecto a las ventas totales del equipo.

A continuación, te presento los datos de ventas de cada vendedor durante el mes pasado:

- Vendedor A: $10,000

- Vendedor B: $8,000

- Vendedor C: $12,000

- Vendedor D: $6,000

- Vendedor E: $9,000

Para calcular el porcentaje de ventas individuales de cada vendedor, sigue los siguientes pasos:

1. Calcula las ventas totales del equipo sumando las ventas de cada vendedor:

Ventas totales = $10,000 + $8,000 + $12,000 + $6,000 + $9,000

2. Calcula el porcentaje de ventas individuales de cada vendedor dividiendo las ventas de cada vendedor entre las ventas totales y multiplicando por 100:

- Porcentaje de ventas del Vendedor A = ($10,000 / Ventas totales) * 100

- Porcentaje de ventas del Vendedor B = ($8,000 / Ventas totales) * 100

- Porcentaje de ventas del Vendedor C = ($12,000 / Ventas totales) * 100

- Porcentaje de ventas del Vendedor D = ($6,000 / Ventas totales) * 100

- Porcentaje de ventas del Vendedor E = ($9,000 / Ventas totales) * 100

3. Calcula y registra los resultados.

Este ejercicio te permitirá analizar y comparar el rendimiento de tus vendedores en términos de las ventas que han realizado en relación con el total del equipo. Esto te ayudará a identificar a aquellos vendedores que están teniendo un mayor impacto en el resultado de la tienda.

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Por lo general, los documentos y los libros académicos de mayor antigüedad apelan al término rango para centrarse en el codominio de la función. En cambio, las publicaciones más recientes recurren al rango de una función con la intención de hacer mención a la imagen.

Actualmente, en definitiva, el rango de una función se relaciona al conjunto de los valores reales que adquiere la variable f(x). El cálculo del rango de una función requiere determinar cuál es el dominio de su función inversa.

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Puede servirte: Variable independiente

La imagen

De este modo, cuando el rango de una función se vincula a la imagen, se trata del conjunto que incluye la totalidad de los resultados de dicha función. En este sentido, es importante tener en cuenta que la imagen constituye un subconjunto del codominio.

Es importante señalar que el conjunto al que nos referimos de esta manera no siempre tiene la misma cantidad de elementos que el dominio, ya que en algunos casos más de un elemento del primero tiene como imagen el mismo. Supongamos que tenemos un conjunto con los números del 1 al 10 y deseamos pasarlos por una función que nos devuelva si son pares o impares; el conjunto imagen será en este caso muy pequeño, ya que simplemente tendrá estos dos valores, para cada uno de los cuales habrá varias relaciones con los del dominio.

También puede darse el caso en el cual el segundo conjunto no sea directamente la imagen del primero, sino que ésta la encontremos como un subconjunto de éste. Esto se da si uno o más de sus elementos no son imagen de ninguno de los valores del primero. Tal sería el caso de un conjunto con los nombres de ciertas personas y otro con una serie de nacionalidades, si este último tuviera algunas que no pertenecieran a ninguna de las personas.

Y este ejemplo nos sirve para establecer una diferencia principal entre imagen y codominio, más allá de que ambos se relacionen con el concepto de rango de una función: la primera siempre es un subconjunto del segundo, aunque sea uno que incluya todos sus elementos. Hablando en términos meramente matemáticos, si una función dada tiene como codominio los números reales pero su ecuación consiste simplemente en elevar una variable al cuadrado, la imagen no incluirá los números negativos, de manera que será tan sólo una parte del codominio.

Ver también: Productos notables

Sigue en: Rango

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La idea de rango de una función se utiliza en el ámbito de las matemáticas. La expresión suele referirse a la imagen de la función,...

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En el contexto de la administración, el rango de una función se refiere al conjunto de valores o resultados posibles que puede tomar una función en relación con los valores de entrada o variables independientes.

El rango de una función puede ayudarte a comprender los posibles resultados o salidas de un proceso en particular, lo cual puede ser útil en la toma de decisiones y la planificación. Por ejemplo, al analizar la función de demanda de un producto, el rango te mostrará los diferentes niveles de demanda que se pueden esperar en función de las variables que afectan la demanda, como el precio y la promoción.

Aquí tienes un ejercicio para ilustrar el concepto:

Supongamos que eres el gerente de ventas de una empresa y estás analizando la función de demanda de uno de tus productos. Después de realizar un estudio de mercado, has estimado que la función de demanda está dada por la ecuación:

D = 100 - 2P

Donde D representa la demanda del producto y P representa el precio.

Para determinar el rango de esta función desde una perspectiva de administración, debes considerar los valores posibles para la variable D (demanda), en función de los valores de la variable P (precio).

Puedes seleccionar diferentes valores para P y evaluar la función para obtener los correspondientes valores de D. Por ejemplo:

- Si P = 10:

D = 100 - 2(10) = 100 - 20 = 80

- Si P = 20:

D = 100 - 2(20) = 100 - 40 = 60

- Si P = 30:

D = 100 - 2(30) = 100 - 60 = 40

- Si P = 40:

D = 100 - 2(40) = 100 - 80 = 20

El rango de esta función en el contexto de la administración sería el conjunto de valores posibles para la demanda (D), que en este caso es {80, 60, 40, 20}. Esto te muestra los diferentes niveles de demanda que puedes esperar para el producto en función de los diferentes precios.

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En cálculo, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función; aunque en rigor, en un espacio métrico como en variable real, significa que pequeñas variaciones de la función implican que deben estar cercanos los puntos. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Informalmente, una función continua de R en R es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un proceso conexo).

La continuidad de funciones es uno de los conceptos básicos del análisis matemático y de la topología general. Este artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Ejemplo:

Imagina que necesitas calcular tu consumo de agua diario durante un período de una semana. Para hacerlo, tomas lecturas diarias de tu medidor de agua. El primer día registras una lectura de 200 litros, el segundo día registras una lectura de 220 litros, el tercer día 240 litros, el cuarto día 260 litros, el quinto día 280 litros, el sexto día 300 litros y el séptimo día 320 litros.

Ahora, para determinar si el consumo de agua sigue una función continua, puedes graficar el comportamiento de estas lecturas en un gráfico lineal o de barras. Si observas que las lecturas se encuentran conectadas de manera suave y gradual, sin saltos o cambios bruscos, entonces podemos decir que la función que representa tu consumo de agua es continua en ese período de una semana.

Este ejercicio de continuidad en la vida cotidiana te permitirá tener una idea clara de tus hábitos de consumo de agua y detectar posibles variaciones o tendencias inesperadas. Con esta información podrás tomar decisiones más informadas acerca de cómo ahorrar agua o ajustar tus hábitos de consumo

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La función es continua en su dominio ( ), pero discontinua (no continua o singular) en [1] ​. Sin embargo, se puede definir su valor principal de Cauchy. Por otro lado, en análisis complejo ( , especialmente ), este punto (x=0) no se considera indefinido y se llama singularidad, porque cuando se piensa en como una variable compleja, este punto se puede definir como un polo de orden uno, y luego generar una serie de Laurent con una parte principal finita como máximo alrededor de los puntos singulares. Además, la esfera de Riemann se utiliza a menudo como modelo para estudiar funciones como la del ejemplo

En cálculo, una función continua[2] ​ es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función; aunque en rigor, en un espacio métrico como en variable real, significa que pequeñas variaciones de la función implican que deben estar cercanos los puntos. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Informalmente, una función continua de en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un proceso conexo).

La continuidad de funciones es uno de los conceptos básicos del análisis matemático y de la topología general. Este artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Informalmente hablando, una función definida sobre un intervalo es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos , con en , está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.

El intervalo de es el dominio de definición de , definido como el conjunto de los valores de para los cuales f(x) existe.

El intervalo de es el rango (también conocido como imagen) de , el conjunto de los valores de , tomados como . Se escribe . Notar que en general, no es igual que el codominio (solo si la función en cuestión es suprayectiva.)

El mayor elemento de se llama el máximo absoluto de en , y el menor valor de es su mínimo absoluto en el dominio .

Una función f es continua en un punto x₀ que pertenezca al dominio de la función.

si:

tal que para toda x perteneciente al dominio de la función

Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera; si x ₀ es punto del dominio de la función que es punto de acumulación del mismo, entonces f es continua en x ₀ si y solo si .Cuando x ₀ es un punto del dominio que no es de acumulación del mismo, es decir, es punto aislado del dominio, se cumple trivialmente la definición, luego toda función es continua en los puntos aislados de su dominio. Por ejemplo, las sucesiones de números reales son un caso de función real de variable real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Como todos los puntos del dominio de una sucesión son puntos aislados del mismo, se concluye que toda sucesión es una función continua. Por otro lado, no tiene sentido hablar de si una función es o no continua en un punto que no pertenezca al dominio de la misma. Por ejemplo, la función f(x)=1/x es continua en todos los puntos de su dominio (obsérvese que cero no está en el dominio de la función). En cero, como no está en el dominio, no podemos hablar ni de si es continua ni de si no lo es puesto que la definición de continuidad en un punto y, por tanto, la posibilidad de decidir sobre si una función es o no continua en dicho punto, parte de un punto del dominio de la función antes de definir la continuidad en el mismo. No olvidemos que el dominio de una función no tiene por qué ser un intervalo. Por ejemplo, el dominio de la función es , el conjunto de los números enteros.

OBSERVACIÓN:

En el caso de aplicaciones de en , es común ver que se dice que una función es continua en un punto x₁ si existe f (x₁), si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x₁ por la derecha, si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x₁ por la izquierda, y además ambos coinciden con f (x₁). Esto implicaría que, dada una función, si no está definida en un punto, ésta no es continua en él, llegando a una situación como la siguiente: La función definida como no es continua en 0 porque no está definida en dicho punto, pero tampoco es continua en 3 ni en 5. Esta definición, no satisfactoria, de continuidad está muy extendida, pero hay que recordar el requisito indispensable para poder hablar de continuidad de que el punto en el que se estudia la continuidad pertenezca al dominio. Si no está en el dominio, pero es punto de acumulación del mismo, podemos hablar de si puede o no extenderse con continuidad a dicho punto, pero no podemos decir que la función es discontinua en dicho punto (la función extendida sí podría ser discontinua, puesto que al incorporar dicho punto al dominio, tiene sentido plantearse el estudio de la continuidad en él).

Así pues, una función f continua en un punto de su dominio que, además, es punto de acumulación del mismo, implica lo siguiente:

1. Existe el límite por la derecha:

2. Existe el límite por la izquierda:

3. El límite por la derecha y el límite por la izquierda coinciden:

4. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

5. Existe f(x₁):

6. El límite y el valor de la función coinciden:

Se dice que una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

parafraseando, cuando x se aproxima a x₁, f(x) se aproxima a y₁. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y₁, existe un intervalo abierto I, centrado en x₁, tal que .

Si f no es continua en un punto, el teorema cae en falta. En efecto, no todo intervalo I alrededor de tiene su imagen en un intervalo J centrado en , con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de que tiene su imagen en un intervalo K centrado en , siendo y valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

La ventaja de esta definición es que se puede generalizar a cualquier espacio topológico.

Continuidad lateral

Una función es continua por la izquierda en el punto si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura.

Una función es continua por la derecha en el punto si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.

La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.

En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Funciones definidas por intervalos

Las funciones definidas para distintos intervalos de x, pueden ser discontinuas en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:

Su gráfica es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha son diferentes, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.

Otras funciones definidas por intervalos son:

Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como se puede ver, es continua en todo el dominio porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario a f(0) la función será discontinua.

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.

1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en entonces f tiene por lo menos un máximo y por lo menos un mínimo en dicho intervalo.

2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en y o , entonces existe tal que

3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en y entonces existe tal que

4. Acotación: Si f es una función sobre un conjunto compacto entonces, la función tiene un máximo o un mínimo (sobre un conjunto abierto se tiene el siguiente contraejemplo la función es continua sobre pero no es acotada).

Derivada y continuidad

Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x=a entonces es continua en x=a. De modo que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad.

Es importante notar que lo recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso hay funciones continuas en todo pero no derivables en ningún punto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1).

Clases de continuidad

Una función , se dice que:

es de clase cuando es continua en todo el dominio .

es de clase si está definida en todo el dominio junto con sus derivadas hasta orden y todas ellas son continuas.

es de clase si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Observemos que funciones de este tipo no son necesariamente analíticas.

Una función es de clase si es la derivada en el sentido de las distribuciones de una función de clase .

Una función generalizada se dice de clase si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones de una función de clase .

Cualquier función polinómica de una variable es una función de clase . La función generalizada denomiada delta de Dirac es una función de clase ya que es la derivada segunda de la función rampa que es continua, y la derivada primera de la función escalón de Heaviside que es de clase

Se pueden dar ejemplos que muestran que hay funciones de clase pero no lo son de clase . Los ejemplos clásicos son .

Sean e dos espacios topológicos. Una aplicación se dice que es continua si:[3] ​

es un abierto de , cualquiera que sea el abierto de . Esta es la continuidad vista globalmente, la que sigue es la continuidad en un punto del dominio.

Esta definición se reduce a la definición ordinaria de continuidad de una función si sobre y se considera la topología inducida por la distancia euclídea.

Con la misma notación anterior, si , diremos que es continua en cuando se obtiene que es un entorno de , cualquiera que sea el entorno de .

Es posible entonces comprobar que es continua si y solo si es continua en , cualquiera que sea este, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

El término función continua en la parte de la teoría de conjuntos que se refiere a los números ordinales tiene un sentido diferente al referido a las funciones sobre espacios topológicos. Concretamente una función F definida sobre la clase de los números ordinales es continua si para cada ordinal límite se cumple la siguiente propiedad:

Serge Lang (1990): Introducción al análisis Matemático , Wilmington Delaware.

James R. Munkres (2002): Topología, Madrid.

Demidovich B. P. (1980). "5000 Problemas de Análisis Matemático".

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Función continua - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En cálculo, una función continua [2] ​ es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función; aunque en rigor, en un espacio métrico como en variable real, significa que pequeñas variaciones de la función implican que deben estar cercanos los puntos.

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La continuidad de una función en administración se refiere a la propiedad que tiene una función matemática de no presentar saltos o discontinuidades en su gráfico. En términos prácticos, significa que no existen interrupciones bruscas o cambios abruptos en el comportamiento de una variable o proceso en el ámbito de la administración.

Un ejercicio relacionado con la continuidad en administración podría ser el siguiente:

Supongamos que tienes un negocio de venta de productos y deseas analizar la continuidad de tus ventas en determinados períodos de tiempo. Para ello, puedes tomar los datos de ventas diarias durante un mes completo y graficar el comportamiento de las mismas. Si en el gráfico se observa que las ventas presentan cambios suaves y graduales, sin saltos o discontinuidades abruptas, entonces podemos decir que la función de ventas es continua en ese período de tiempo.

El análisis de la continuidad en la administración puede ayudarte a detectar posibles problemas o tendencias inesperadas en tu negocio, permitiéndote tomar medidas correctivas a tiempo. Además, puede ser útil para evaluar la eficacia de diferentes estrategias o tácticas implementadas en la gestión empresarial. Es importante tener en cuenta que este concepto también puede aplicarse a otras variables o indicadores relevantes para el ámbito administrativo.

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Diremos que una función es creciente cuando a medida que crece el valor de la variable independiente crece el valor de la función. Siempre trabajaremos con funciones derivables, por lo que para analizar en donde una función es creciente estudiaremos su derivada f´.

n ejemplo de función creciente en la vida cotidiana puede ser la relación entre el tiempo que dedicas al estudio y tus calificaciones académicas. Supongamos que durante un semestre determinado, llevas a cabo el siguiente seguimiento:

- Semana 1: Estudias 5 horas y obtienes una calificación de 80.

- Semana 2: Incrementas tu tiempo de estudio a 7 horas y tu calificación sube a 85.

- Semana 3: Aumentas tu dedicación a 9 horas y tu calificación aumenta a 90.

- Semana 4: Sigues incrementando tus horas de estudio a 11 y tu calificación alcanza los 95.

Si observamos estos datos, podemos ver que a medida que aumentas el tiempo de estudio, tus calificaciones también incrementan. Esto implica una relación creciente entre las variables "tiempo de estudio" y "calificación". En este caso, la función que representa esta relación es creciente, ya que a mayor tiempo de estudio, mayor es la calificación obtenida.

Este ejemplo ilustra cómo una función creciente en la vida cotidiana puede aplicarse a diferentes situaciones, como el rendimiento académico, el desempeño laboral, el ahorro de dinero, entre otros. Es importante destacar que este es solo un ejemplo y hay muchas otras situaciones en las que una función creciente puede ser relevante en nuestra vida diaria.

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En administración, una función creciente se refiere a una relación entre dos variables donde el aumento en el valor de una variable está asociado con un aumento en el valor de la otra variable. Básicamente, esto significa que a medida que una variable aumenta, la otra también lo hace.

En un contexto más práctico, podría considerarse una función creciente en administración el número de ventas mensuales de una empresa en relación con el número de publicidad realizada. Si a medida que incrementamos la inversión en publicidad, se observa un aumento en las ventas mensuales, entonces estamos frente a una función creciente.

A continuación, te presentaré un ejercicio simple que podría ayudarte a entender mejor este concepto:

Supongamos que eres el administrador de una tienda minorista y deseas evaluar el impacto de las horas de trabajo de tus empleados en las ventas diarias. Utilizando los datos históricos, has recopilado la siguiente información:

Horas de trabajo (x) Ventas diarias (y)

5 - 100

6 - 120

7 - 140

8 - 160

9 - 180

Queremos determinar si existe una relación creciente entre las horas de trabajo y las ventas diarias. Para ello, podemos graficar estos datos en un gráfico de dispersión (ejes x e y), y observar si a medida que aumenta el número de horas de trabajo, también aumentan las ventas diarias.

Luego, puedes trazar una línea de tendencia que mejor se ajuste a los puntos de datos, como una línea recta. Si esta línea tiene una pendiente positiva, confirma que la relación es creciente.

# data[].attributes.body
Diremos que una función es decreciente cuando a medida que el valor de la variable independiente aumenta el valor de la función disminuye.

Un ejemplo de una función decreciente en la vida cotidiana es la relación entre el tiempo que pasa estudiando para un examen y la probabilidad de obtener una calificación baja en ese examen. A medida que una persona aumenta el tiempo dedicado al estudio, es probable que disminuya la probabilidad de obtener una calificación baja. Esto muestra una relación decreciente donde la variable "tiempo de estudio" está inversamente relacionada con la variable "probabilidad de calificación baja".

# data[].attributes.body
En administración, una función se considera decreciente cuando existe una relación inversa entre los valores de entrada y los valores de salida. Esto significa que a medida que la variable de entrada aumenta, la variable de salida disminuye.

Un ejemplo de función decreciente en administración puede ser el costo total de producción en relación con la cantidad producida. A medida que se produce más cantidad de un producto, es probable que los costos totales de producción disminuyan, debido a economías de escala, eficiencias operativas o descuentos por volumen. Esto se debe a que se pueden aprovechar mejores precios de los proveedores al comprar mayores cantidades de materias primas, o se pueden distribuir los gastos fijos entre un mayor número de productos.

# data[].attributes.body
Ejercicio:

Supongamos que una empresa fabrica camisetas y desea encontrar la función que relaciona la cantidad de camisetas producidas (x) con el costo total de producción (y) en dólares. Después de realizar algunos estudios, se obtiene la siguiente información:

- Cuando se producen 100 camisetas, el costo total de producción es de $500.

- Cuando se producen 200 camisetas, el costo total de producción es de $800.

Para encontrar la función decreciente que relaciona la cantidad de camisetas producidas con el costo total de producción, podemos usar la fórmula de la ecuación de la recta:

y = mx + b

Donde "x" es la cantidad de camisetas producidas y "y" es el costo total de producción. "m" es la pendiente de la recta y "b" es el término independiente.

Calculando la pendiente:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

= (800 - 500) / (200 - 100)

= 300 / 100

= 3

Ahora sustituyendo uno de los puntos en la ecuación para encontrar "b":

500 = 3(100) + b

500 = 300 + b

b = 500 - 300

b = 200

Por lo tanto, la función decreciente que relaciona la cantidad de camisetas producidas con el costo total de producción sería:

y = 3x + 200

Esta función indica que a medida que se incrementa la cantidad de camisetas producidas (x), el costo total de producción (y) disminuirá de acuerdo con una relación decreciente.

# data[].attributes.body
Los interceptos de la función son los puntos en donde la gráfica toca los ejes de coordenadas. Estos puntos, que son de la forma (a,0) y (0,b), son los puntos de la función más fáciles de identificar y por lo tanto frecuentemente queremos encontrarlos porque nos proveen información útil en aplicaciones de la vida real.

Ejemplo

Un ejemplo común de un intercepto de una función en la vida cotidiana es el punto de intersección entre la función de oferta y la función de demanda en economía.

Imaginemos que estás en un mercado de frutas y verduras, y tienes una función que representa la oferta de manzanas, dada por la cantidad de manzanas que los productores están dispuestos a vender a diferentes precios. También tienes otra función que representa la demanda de manzanas, dada por la cantidad de manzanas que los consumidores están dispuestos a comprar a diferentes precios.

Cuando trazas estas dos funciones en un gráfico, donde el eje horizontal representa la cantidad de manzanas y el eje vertical representa el precio, el precio al cual la oferta y la demanda se encuentran es el intercepto.

En este punto de intersección, la cantidad de manzanas que los productores están dispuestos a vender es igual a la cantidad de manzanas que los consumidores están dispuestos a comprar. Esto indica un punto de equilibrio en el mercado, donde la oferta y la demanda se igualan.

El intercepto de esta función en la vida cotidiana tiene un significado económico importante. Representa el precio y la cantidad de equilibrio para un producto en el mercado, lo que indica cuántas unidades se comprarán y venderán y a qué precio. Esto puede afectar las decisiones de los productores, consumidores y la asignación de recursos en el mercado.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Al concluir esta lección, deberás ser capaz, utilizando la gráfica o la fórmula asociada a una función, de:

Determinar si la gráfica de una función es simétrica respecto a
(i) eje y

(ii) a la recta y=x.

Determinar si es par o impar.

Determinar dónde es creciente o decreciente.

En esta lección analizaremos las propiedades de funciónes desde el punto de vista algebraico y gráfico. Reconocer las propiedades de una función nos ayuda a visualizar relaciones entre variables en la vida real.

Simetría Hcon respecto al eje x

El punto (a,b) es simétrico respecto al eje x con el punto (a,-b)

Simetría con respecto al eje y

El punto (a,b) es simétrico respecto al eje y con el punto (-a,b)

Simetría con respecto a la recta y=x

El punto (a,b) es simétrico respecto a la recta x=y con el punto (b,a)

Vamos a analizar la simetría de puntos en el plano utilizando la siguiente aplicación. En ella se encuentran trazados los planos coordenados y la recta y=x en azul.

Tenemos dos puntos C y C', que podemos cambiar de posición y que siempre son simétricos respecto a la recta en color rojo, la cual también puede ser desplazada utilizando el punto de la recta en rojo.

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En la aplicación anterior, realiza los siguientes pasos:

1. Desplaza la recta trazada en color rojo hasta hacerla coincidir con el eje y. Desplaza el punto C hasta la posición (7,3). ¿ En qué posición está el punto C'? ¿Cómo cambia C' cuando movemos el punto C a una posición diferente? Qué relación observas entre las coordenadas de estos puntos?

2. Haz coincidir la recta trazada en color rojo con el eje x. ¿En qué posición está el punto C'? ¿Cómo cambia C' cuando movemos el punto C a una posición diferente? ¿Qué relación observas entre las coordenadas de estos puntos?

3. Haz coincidir la recta trazada en color rojo la recta y=x. ¿En qué posición está el punto C'? ¿Cómo cambia C' cuando movemos el punto C a una posición diferente? ¿Qué relación observas entre las coordenadas de estos puntos?

Practica más con esta aplicación, acerca de reflexiones con respecto a los ejes y la recta x=y.

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Haz los ejercicios siguientes con la aplicación de arriba:

1. Mueve el punto M a (1,2)

2. Usa el mouse para mover el punto V para que sea el punto M reflejado sobre el eje de y.

3. Usa el mouse para mover el punto H para que sea el punto M reflejado sobre el eje de x.

4. Usa el mouse para mover el punto D para que sea el punto M reflejado sobre la línea y = x.

5. Mueve el punto M al punto (1,-3)

6. Repite los pasos 2 hasta 4 con el nuevo valor de M

7. Si M está en el punto (a,b), ¿cuáles serian las localizaciones con reflexiones sobre el eje de x, el eje de y y la línea y = x.

Ya hemos visto que los puntos ( a,b) y (-a,b) son simétricos respeto al eje de y. Se dice que una función o gráfica es simétrica respeto al eje de y si ( a,b) está en la gráfica implica que (- a, b) también está en la gráfica.

Podemos ver en la primera gráfica que :

(-2,4) y (2,4) están en la gráfica

(-1,1) y (1,1) están en la gráfica

(-0.25,0.5) y (0.25, 0.5) están en la gráfica

Hay muchos más puntos pero con esos ejemplos debemos poder ver que (-a,b) en la gráfica implica que (a,b) también va a estar en la gráfica. Puedes verificar que la segunda gráfica también es simétrica con respeto al eje de y?
En términos de máquinas, si una función es simétrica con respeto al eje de y, sabemos que

Es decir que al entrar a y -a en la función, las salidas son iguales en ambos casos o:

f(a)=f(-a)

Ejemplo 1
Determinar si la función f(x)= x 2 es simétrica respecto al eje y: Solución:
Para evaluar la simetría de la función, verifiquemos si se cumple que f(a)=f(-a).

Teniendo en cuenta que cualquier número negativo elevado a una potencia par es positivo, tenemos:

Comparando ambas expresiones, vemos que f(a)=f(-a):

En conclusión, la función es simétrica respecto al eje y. En efecto, la gráfica de esta función es la siguiente:

Ejemplo 2
Determinar si la función f(x)= x 4-3 x 2+4 es simétrica respecto al eje y: Solución:
Para evaluar la simetría de la función, verifiquemos si se cumple que f(a)=f(-a).

Teniendo en cuenta que cualquier número negativo elevado a una potencia par es positivo, tenemos:

Comparando ambas expresiones, vemos que f(a)=f(-a):

En conclusión, la función f(x)= x 4-3 x 2+4 es simétrica respecto al eje y. En efecto, la gráfica de esta función es la siguiente:

Ejemplo 3
Determinar si la función f(x)= x 2+4 x+8 es simétrica respecto al eje y:
Solución:

Para evaluar la simetría de la función, verifiquemos si se cumple que f(a)=f(-a).

Teniendo en cuenta que cualquier número elevado a una potencia positiva, es siempre positivo y cualquier número elevado a una potencia negativa mantiene su signo, obtenemos:

Y por lo tanto, f(a)≠f(-a)

En conclusión, la función f(x)= x 2+4 x+8 no es simétrica respecto al eje y. En efecto, la gráfica de esta función es la siguiente:

Hemos visto que los puntos ( a,b) y ( b,a) son simétricos respeto a la recta y=x. Se dice que una función o gráfica es simétrica respeto a a la recta y=x si ( a,b) en la gráfica implica que ( b,a) también está en la gráfica.
Podemos ver en la primera gráfica que :

(0,4) y (4,0) están en la gráfica

(3,1) y (1,3) están en la gráfica

(5,-1) y (-1,5) están en la gráfica

Puedes verificar que para cualquier punto que tomes ( a,b) en la gráfica, el punto ( b, a) también está en la gráfica. Lo mismo ocurre con la segunda gráfica también.

En términos de máquinas, si una función es simétrica respeto al eje de y, sabemos que

y

Esta característica de las funciónes simétricas respecto la recta x=y, la podemos utilizar para evaluar algebraicamente la simetría cuando tenemos la fórmula de la función. Es decir:

Ejemplo 1
Determinar si la función f(x)=x-4 es simétrica respecto a la recta x=y: Solución:
Para evaluar la simetría de la función, supongamos que a la entrada a le corresponde una salida b, es decir: f(a)=b.

Ahora veamos qué sucede si intercambiamos los valores de la entrada y la salida en la fórmula de la función.

En la expresión anterior, intercambiamos los valores de la entrada y la salida. Luego, resolvemos la ecuación para la variable de salida:

a -a+b=4-b -a+b

Como obtuvimos la misma expresión, después de intercambiar los valores de entrada y salida, concluimos que la función f(x)=x-4 es simétrica respecto a la recta x=y. En efecto, la gráfica de esta función es la siguiente:

Ejemplo 2
Determinar si la función f(x)= 1 x es simétrica respecto a la recta x=y: Solución:
Para evaluar la simetría de la función, supongamos que a la entrada a le corresponde una salida b, es decir: f(a)=b.

Ahora veamos qué sucede si intercambiamos los valores de la entrada y la salida en la fórmula de la función.

Cabe aclarar que para que la función esté definida a≠0 y por lo tanto b≠0.

En la expresión anterior, intercambiamos los valores de la entrada y la salida. Luego, resolvemos la ecuación para la variable de salida:

a b a= 1 b b a

Como obtuvimos la misma expresión, después de intercambiar los valores de entrada y salida, concluimos que la función f(x)= 1 x es simétrica respecto a la recta x=y. En efecto, la gráfica de esta función es la siguiente:

Los interceptos de la función son los puntos en donde la gráfica toca los ejes de coordenadas. Estos puntos, que son de la forma (a,0) y (0,b), son los puntos de la función más fáciles de identificar y por lo tanto frecuentemente queremos encontrarlos porque nos proveen información útil en aplicaciones de la vida real.

En la siguiente tabla, mostramos algunas gráficas de funciónes y sus interceptos.

A partir de la fórmula de la función podemos hallar los interceptos con los ejes, de la siguiente manera:

Ejemplo 1:
Encontrar los interceptos de la función f(x)=4-x
Solución:

Intercepto con eje y

f(0)=4-0=4

Por lo tanto el intercepto con el eje y es (0,4)

Interceptos con eje x

0 + x-4=4-x + x-4 x =4

Por lo tanto el intercepto con el eje y es (4,0)

Función Par

f(-a)=f(a)

Ejemplo 1
Comprobar que la función es par: Solución:
Para evaluar la simetría de la función, verifiquemos si se cumple que f(-a)=f(a).

Teniendo en cuenta que cualquier número negativo elevado a una potencia par es positivo, tenemos:

Comparando ambas expresiones, vemos que f(-a)=f(a):

En conclusión, la función es par.

Los siguientes son ejemplos de funciónes pares:
Función Impar

f(-a)=-f(a)

Ejemplo 2
Comprobar que la función es impar: Solución:
Para evaluar la simetría de la función, verifiquemos si se cumple que f(-a)=-f(a).

Teniendo en cuenta que cualquier número elevado a una potencia impar mantiene su signo, tenemos:

Por otro lado,

Comparando ambas expresiones, vemos que f(-a)=-f(a):

En conclusión, la función es impar.

Los siguientes son ejemplos de funciónes impares:

Una forma de entender el comportamiento de una función es observando cómo cambian los valores de la función a medida que crecen los valores de x.

Observemos la siguiente función:

Cómo cambian los valores de la función cuando x cambia de 0 a 1? . Observamos que f(0)=4 y f(1)=2. Lo que implica que en este intervalo la función decrece de 4 a 2.

Cómo cambian los valores de la función cuando x cambia de -1 a 0? . Observamos que f(-1)=2 y f(0)=4.Lo que implica que en este intervalo la función crece de 2 a 4.

Ejemplo 1:

En la siguiente gráfica determinar en qué intervalos es creciente o decreciente.

Solución:

Observando la gráfica vemos que a medida que crece x en el intervalo (-∞,0), el valor de la función se incrementa. Por lo tanto la función es creciente en el intervalo (-∞,0).

Por otro lado, en el intervalo (0,∞), el valor de la función disminuye. Por lo tanto la función es decreciente en el intervalo (0,∞).

Ejemplo 2:

En la siguiente gráfica determinar en qué intervalos es creciente o decreciente.

Solución:

Observando la gráfica vemos que a medida que crece x en el intervalo, el valor de la función siempre crece. Por lo tanto la función es creciente en el intervalo (-∞,∞) o para todos los reales.

Ejemplo 3:

En la siguiente gráfica determinar en qué intervalos es creciente o decreciente.

Solución:

Observando la gráfica vemos que a medida que crece x en el intervalo, el valor de la función siempre disminuye. Por lo tanto la función es decreciente en el intervalo (-∞,∞) o para todos los reales.

Ahora que has completado esta lección, deberás ser capaz, utilizando la gráfica o la fómula asociada a una función, de :

Determinar si la gráfica de una función es simétrica respecto a
(i) eje y

(ii) a la recta y=x.

Determinar si es par o impar.

Determinar dónde es creciente o decreciente.

# data[].attributes.attachment_link.description
Al concluir esta lección, deberás ser capaz, utilizando la gráfica o la fórmula asociada a una función, de: Determinar si la gráfica de una función es simétrica respecto a (i) eje y (ii) a la recta y=x. Determinar si es par o impar. Determinar dónde es creciente o decreciente.

# data[].attributes.body
En el ámbito de la administración, el concepto de "intercepto" se utiliza en algunas áreas, como por ejemplo en el análisis de funciones lineales o de costos. En este contexto, el intercepto se refiere al valor en el eje vertical (eje y) donde una línea o una curva intercepta dicho eje.

En el caso de una función lineal, el intercepto es el punto donde la línea cruza el eje y, es decir, el punto donde x es igual a cero. Se representa como (0, b), donde b es el valor en el eje y.

Por otro lado, en el análisis de costos, el intercepto puede representar el costo fijo, es decir, el valor en el eje y cuando la producción (o la variable independiente) es igual a cero.

# data[].attributes.body
-Lineal

-Cuadrática

# data[].attributes.body
Un Modelo Lineal es un modelo que usa una función lineal para representar una situación que incluya una tasa de cambio constante. El gráfico de una ecuación lineal es una línea recta.

Una función lineal es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = mx,siendo m un número cualquiera distinto de 0. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0,0). El número m se llama pendiente.

# data[].attributes.body
Una función lineal en administración es una relación matemática que representa cómo cambia una variable dependiente en relación con una variable independiente de manera proporcional y constante. En otras palabras, es una función cuya gráfica forma una línea recta.

Un ejemplo de una función lineal en administración podría ser el coste de producción de un producto en función de la cantidad producida. Si el coste de producción es de $10 por unidad y se producen 100 unidades, el coste total será de $1000. Si se producen 200 unidades, el coste total será de $2000, y así sucesivamente.

Para resolver un ejercicio de una función lineal en administración, podríamos utilizar la fórmula general de una función lineal, que es:

y = mx + b

Donde "y" representa la variable dependiente (en este caso, el coste total), "x" representa la variable independiente (por ejemplo, la cantidad producida), "m" representa la pendiente de la función (en este caso, el coste por unidad) y "b" representa el término independiente (en este caso, el coste fijo).

Por ejemplo, si tenemos una función lineal que representa el coste de producción de un producto:

C(x) = 10x + 500

Donde "C(x)" representa el coste total en función de la cantidad producida "x" y el término independiente representa un coste fijo de $500. Si queremos saber el coste total de producir 50 unidades, simplemente sustituimos el valor de "x" en la función:

C(50) = 10(50) + 500

C(50) = 500 + 500

C(50) = 1000

Por lo tanto, el coste total de producir 50 unidades sería de $1000.

# data[].attributes.body
En álgebra, una función cuadrática, un polinomio cuadrático, o un polinomio de grado 2, es una función polinómica con una o más variables en la que el término de grado más alto es de segundo grado.​

Coeficiente

Los coeficientes de un polinomio son a menudo se consideran números reales o complejos, pero de hecho, un polinomio se puede definir sobre cualquier anillo.

Grado

Cuando se usa el término "polinomio cuadrático", a veces se hace referencia a "tener un grado de exactamente 2", y otras veces, a "tener un grado como máximo de 2". Si el grado es inferior a 2, se puede hablar de un "caso degenerado". Por lo general, el contexto permite establecer cuál de los dos significados se utiliza.

A veces, la palabra "orden" se usa con el significado de "grado", por ejemplo, un polinomio de segundo orden.

Variables

Un polinomio cuadrático puede involucrar una sola variable x (el caso univariable), o múltiples variables como x, y y z (el caso multivariable).

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Un polinomio cuadrático con dos raíces reales (cruces del eje x e y), y por lo tanto, sin raíces complejas. Algunos otros polinomios cuadráticos tienen su mínimo por encima del eje x, en cuyo caso no posee raíces reales pero sí tiene dos raíces complejas

En álgebra, una función cuadrática, un polinomio cuadrático, o un polinomio de grado 2, es una función polinómica con una o más variables en la que el término de grado más alto es de segundo grado.

Una función cuadrática univariada (variable única) tiene la forma​

En este caso la variable única es x. La gráfica de una función cuadrática univariada es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y, como se muestra a la derecha.

Si la función cuadrática se establece igual a cero, entonces el resultado es una ecuación cuadrática. Las soluciones a la ecuación univariable se denominan raíces de la función univariable.

El caso bivariable en términos de las variables x e y tiene la forma

con al menos uno de los coeficientes a, b o c no iguales a cero. Una ecuación que establece esta función igual a cero da lugar a una sección cónica (una circunferencia u otra elipse, una parábola o una hipérbola).

con al menos uno de los coeficientes a, b, c, d, e o f de los términos de segundo grado que no son cero.

En general, puede haber un número arbitrariamente grande de variables, en cuyo caso la superficie resultante se llama cuadrática, pero el término de grado más alto debe ser de grado 2, como x ², xy, yz, en dedicatoria al cabeza cuadrada de metaverso.

El adjetivo cuadrático proviene de la palabra latina (" cuadrado"). Un término como se llama cuadrado en álgebra porque es el área de un cuadrado con lado x.

Coeficientes

Los coeficientes de un polinomio son a menudo se consideran números reales o complejos, pero de hecho, un polinomio se puede definir sobre cualquier anillo.

Cuando se usa el término "polinomio cuadrático", a veces se hace referencia a "tener un grado de exactamente 2", y otras veces, a "tener un grado como máximo de 2". Si el grado es inferior a 2, se puede hablar de un " caso degenerado". Por lo general, el contexto permite establecer cuál de los dos significados se utiliza.

A veces, la palabra "orden" se usa con el significado de "grado", por ejemplo, un polinomio de segundo orden.

Un polinomio cuadrático puede involucrar una sola variable x (el caso univariable), o múltiples variables como x, y y z (el caso multivariable).

El caso de una variable

Cualquier polinomio cuadrático de variable única puede escribirse como

donde x es la variable, y a, b y c representan los coeficientes. En álgebra elemental, tales polinomios a menudo surgen en forma de una ecuación cuadrática . Las soluciones a esta ecuación se llaman las raíces del polinomio cuadrático, y se pueden encontrar a través de la factorización, completando el cuadrado, graficando, utilizando el método de Newton, o mediante el uso de la fórmula cuadrática. Cada polinomio cuadrático tiene una función cuadrática asociada, cuyo gráfico es una parábola.

Caso de dos variables

Cualquier polinomio cuadrático con dos variables puede escribirse como

donde x e y son las variables y a, b, c, d, e y f son los coeficientes. Tales polinomios son fundamentales para el estudio de las secciones cónicas, que se caracterizan por igualar la expresión para f ( x, y ) a cero. Del mismo modo, polinomios cuadráticos con tres o más variables corresponden a superficies cuádricas y a hipersuperficies. En álgebra lineal, los polinomios cuadráticos se pueden generalizar a la noción de una forma cuadrática en un espacio vectorial.

Una función cuadrática de una variable se puede expresar en tres formas:​

se llama la forma estándar.

se llama la forma factorizada, donde r r ₂ son las raíces de la función cuadrática y las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente.₁ y

se llama la forma del vértice, donde h y k son las coordenadas x e y del vértice, respectivamente.

El coeficiente a es el mismo valor en las tres formas. Para convertir la forma estándar en la forma factorizada, solo se necesita la fórmula cuadrática para determinar las dos raíces y . Para convertir la forma estándar en la forma de vértice, se necesita un proceso denominado completar el cuadrado. Para convertir la forma factorizada (o la forma de vértice) en la forma estándar, basta con operar los factores de cada una de ellas.

Independientemente del formato, la gráfica de una función cuadrática de una variable es una parábola (como se muestra a la derecha). De manera equivalente, esta es la gráfica de la ecuación cuadrática de dos variables .

El coeficiente a controla el grado de curvatura del gráfico; una magnitud mayor de a le da al gráfico una apariencia más cerrada (fuertemente curvada).

Los coeficientes b y a controlan conjuntamente la ubicación del eje de simetría de la parábola (también la coordenada x del vértice), que tiene la expresión:

El coeficiente c controla la altura de la parábola; más específicamente, es la altura de la parábola donde intercepta el eje y.

El vértice de una parábola es el lugar donde pasa de descender a ascender. Por lo tanto, también es un punto máximo o mínimo, donde la inclinación de la curva se anula al cambiar de signo. Si la función cuadrática está en forma de vértice, el vértice es . Usando el método de completar el cuadrado, se puede convertir la fórmula estándar

en

y entonces, el vértice de la parábola en forma estándar es

Si la función cuadrática está en forma factorizada

el promedio de las dos raíces, es decir,

La línea recta vertical

que pasa a través del vértice es también el eje de simetría de la parábola.

Puntos máximo y mínimo

Usando cálculo infinitesimal, el punto del vértice, que es un máximo o un mínimo de la función, se puede obtener al encontrar las raíces de la derivada:

con el valor de la función correspondiente

así que de nuevo las coordenadas del punto de vértice, , se pueden expresar como

Otra forma de determinar los máximos y mínimos es a partir del vértice y el signo del coeficiente a.

Los máximos y mínimos de una función cuadrática corresponden siempre con el vértice de la parábola que representa esa función, entonces:

Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba. Por lo tanto, el vértice corresponde al punto mínimo de la función.

Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo. Por lo tanto, el vértice corresponde al punto máximo de la función.

Gráfico de y=ax²+bx+c, donde a y el discriminante (b²-4ac) son positivos, con:
*Raíces e intersección con el eje y (rojo)
*Vértice y eje de simetría (azul)
*Foco y directriz (rosa)

Visualización de las raíces complejas de y=ax²+bx+c: la parábola se gira 180° alrededor de su vértice (naranja). Sus intersecciones en x se giran 90° alrededor de su punto medio, y el plano cartesiano se interpreta como el plano complejo (verde)[3] ​

El módulo de las raíces de una cuadrática no puede ser mayor que dónde es la proporción áurea [4] ​

La raíz cuadrada de una función cuadrática de una variable da lugar a una de las cuatro secciones cónicas, casi siempre a una elipse o a una hipérbola.

Si entonces la ecuación describe una hipérbola, como se puede ver al elevar al cuadrado ambos lados. Las direcciones de los ejes de la hipérbola están determinadas por la ordenada del punto mínimo de la parábola correspondiente . Si la ordenada es negativa, entonces el eje mayor de la hipérbola (a través de sus vértices) es horizontal, mientras que si la ordenada es positiva, entonces el eje mayor de la hipérbola es vertical.

Si entonces la ecuación describe un círculo u otra elipse o nada en absoluto. Si la ordenada del punto máximo de la parábola correspondiente es positivo, entonces su raíz cuadrada describe una elipse, pero si la ordenada es negativa, entonces describe un lugar geométrico de puntos vacío.

Para iterar una función , se aplica la función repetidamente, utilizando la salida de una iteración como entrada de la siguiente.

No siempre es posible deducir la forma analítica de , lo que significa la enésima iteración de , dado que el superíndice puede extenderse a los números negativos, refiriéndose a la iteración de la inversa de si existe el inverso. Pero hay algunos casos analíticamente manejables.

Por ejemplo, para la ecuación iterativa

se tiene que

donde

y

Entonces, por inducción, se puede obtener

donde se puede calcular fácilmente como

Finalmente, se tiene que

como solución.

Se puede ver el artículo sobre la conjugación topológica para más detalles sobre la relación entre f y g, y la entrada sobre el polinomio cuadrático complejo para el comportamiento caótico en la iteración general.

La aplicación logística

con el parámetro 2< r<4 puede resolverse en ciertos casos, uno de los cuales es caótico y el otro no. En el caso caótico r = 4, la solución es

donde el parámetro de condición inicial es dado por . Para valores racionales de , después de un número finito de iteraciones se convierte en una secuencia periódica. Pero casi todos son irracionales, y por lo tanto nunca se repite. Entonces se determina que no es periódico y que exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales, por lo que se dice que es caótico.

La solución de la aplicación logística cuando r=2 es

para . Ya que , para cualquier valor de distinto del punto fijo inestable 0, el término tiende a 0 como n tiende a infinito, y entonces tiende al punto fijo estable

Una función cuadrática de dos variables es un polinomio de segundo grado de la forma

donde A, B, C, D y E son coeficientes fijos y F es el término constante. Tal función describe una superficie cuadrática. Haciendo igual a cero, se describe la intersección de la superficie con el plano , que es un lugar geométrico de puntos equivalente a una sección cónica.

Si la función no tiene máximo o mínimo; Su gráfico forma un paraboloide hiperbólico.

Si la función tiene un mínimo si A>0, y un máximo si A<0; su gráfica forma un paraboloide elíptico. En este caso, el mínimo o máximo se produce en , donde:

Si y la función no tiene máximo o mínimo; y su gráfica forma un cilindro parabólico.

Si y la función alcanza el máximo/mínimo en una recta: un mínimo si A>0 y un máximo si A<0; y su gráfica forma un cilindro parabólico.

Referencias

1. "Complex Roots Made Visible - Math Fun Facts". Archivado desde el original el 17 de abril de 2016.

2. Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

Enlaces externos

# data[].attributes.attachment_link.title
Función cuadrática - Wikipedia, la enciclopedia libre

# data[].attributes.attachment_link.description
En álgebra, una función cuadrática, un polinomio cuadrático, o un polinomio de grado 2, es una función polinómica con una o más variables en la que el término de grado más alto es de segundo grado. Una función cuadrática univariada (variable única) tiene la forma​ En este caso la variable única es x.

# data[].attributes.body
En administración, una función cuadrática se refiere a una función matemática de segundo grado que se utiliza para modelar y analizar relaciones cuadráticas entre variables. Estas funciones tienen la forma general de f(x) = ax^2 + bx + c, donde "a", "b" y "c" son constantes.

Un ejemplo común de una función cuadrática en administración es la función de costos. En muchas empresas, los costos totales de producción a menudo tienen una relación cuadrática con la cantidad de producción. Esta función se utiliza para analizar el comportamiento de los costos a medida que se aumenta la producción.

Ejemplo:

Supongamos que una empresa de fabricación de televisores tiene un costo total dado por la función C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, donde "x" representa la cantidad de televisores producidos.

1. Calcular el costo de producción para la producción de 100 televisores.

Para ello, sustituimos x = 100 en la función C(x):

C(100) = 0.1(100)^2 + 50(100) + 1000

= 1000 + 5000 + 1000

= 7000

Por lo tanto, el costo de producción para producir 100 televisores es de $7000.

2. Encontrar el punto de mínimo costo.

Podemos encontrar el punto de mínimo costo calculando el vértice de la función cuadrática. La fórmula del vértice es x = -b/2a. En este caso, a = 0.1 y b = 50.

x = -(50) / (2 * 0.1)

= -500 / 0.2

= -2500

Por tanto, el punto de mínimo costo se alcanza cuando se producen 2500 televisores.

Recuerda que este ejercicio es solo un ejemplo para ilustrar la aplicación de la función cuadrática en administración. En la práctica, las empresas pueden utilizar este tipo de funciones para analizar una amplia gama de variables y tomar decisiones basadas en los resultados obtenidos.

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Supongamos que tienes una empresa que fabrica camisetas y quieres establecer una relación entre el número de camisetas fabricadas y el costo total de producción. La función lineal que expresa esta relación puede ser de la forma:

C(x) = mx + b

Donde:

- C(x) es el costo total de producción.

- x es el número de camisetas fabricadas.

- m es la pendiente de la función, que representa el costo adicional por cada camiseta fabricada.

- b es el término independiente, que representa los costos fijos de producción.

Supongamos que la pendiente m es de $2 por camiseta y los costos fijos b son de $500. Esto se puede expresar de la siguiente manera:

C(x) = 2x + 500

Ahora, si queremos saber cuánto costaría producir 100 camisetas, podemos simplemente sustituir x = 100 en la ecuación:

C(100) = 2(100) + 500

C(100) = 200 + 500

C(100) = 700

Por lo tanto, producir 100 camisetas costaría $700 en total.

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En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto de límite.

En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

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En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto de límite.

En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim( a n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a n → a.

La sucesión para converge al valor 0, como se puede observar en la ilustración.

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del cuando tiende a .

Formalmente, se dice que la sucesión tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como:

si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural mayor que , se acerquen a cuando crezca ilimitadamente. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c - punto de acumulación -, independientemente de que este pertenezca al dominio de la función.​ Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Coloquialmente, se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a c es L , y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f( x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales. En general se tiene:

Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. No es difícil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que:

Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes topológicas y la definición de sus límites.

Sea un espacio topológico y una red en . Se dice que es un punto límite de la red si la red está finalmente en cada entorno de , es decir, si cualquiera que sea el entorno de (esto es, cualquiera que sea el conjunto de forma que exista un abierto tal que ) existe un de tal forma que para cada con se cumple que .

En el caso de filtros, por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea X un espacio topológico y x un punto de X. Se dice que un filtro base B converge a x, denotado como B → x o , si para todo entorno U de x, existe un B ₀ ∈ B tal que B ₀ ⊆ U. En este caso, x se llama límite de B y B se denomina filtro base convergente.​​

De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de continuidad a estas. Si X, Y son dos espacios topológicos y f: X → Y es una función, siendo B un filtro entorno en X de un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro B de f es y, denotado como

si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de f en el punto a.​

En análisis funcional, un límite de Banach es un funcional lineal continuo definido sobre el espacio de Banach para toda sucesión acotada de números complejos, donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que si es una sucesión convergente, entonces , generalizando el concepto de límite. Por lo tanto, es una extensión del funcional continuo ​

En particular, la existencia del límite de Banach no es única.​

En teoría de categorías, una rama de la matemática, se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como productos y límites inversos.

Referencias

Bibliografía

Apostol, Tom M. (1960). Análisis matemático: Introducción moderna al cálculo superior. Reverté. .

Rey Pastor, Julio (1985). Análisis matemático: Teoría de ecuaciones; cálculo infinitesimal de una variable. Kapelusz. .

Gardner Bartle, Robert (1982). Introducción al análisis matemático. Limusa. .

Enlaces externos

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Límite (matemática) - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor.

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En administración, los límites se refieren a las restricciones y restricciones establecidas en las empresas para guiar y controlar el comportamiento de los empleados, así como para establecer los parámetros dentro de los cuales deben llevarse a cabo las operaciones diarias. Estos límites pueden variar según la organización y su industria, pero generalmente se establecen para proteger los activos de la empresa, mantener la integridad y el cumplimiento de las normas, y garantizar la eficiencia y la calidad en el trabajo.

Un ejemplo de límites en administración es la política de gastos. Una empresa puede tener un límite establecido para los gastos de viaje y entretenimiento de sus empleados, lo que significa que cualquier gasto que exceda ese límite requerirá una aprobación adicional. Esta limitación tiene como objetivo controlar los gastos y garantizar que los recursos se utilicen de manera efectiva.

Un ejercicio relacionado con los límites en administración podría ser el siguiente:

Imaginemos que eres el gerente de una empresa y debes establecer límites para el uso de los recursos de la oficina. Desarrolla una política que establezca límites claros para el uso de suministros de oficina, impresiones y el consumo de energía.

Puedes considerar aspectos como:

1. Establecer límites máximos para la cantidad de suministros de oficina que cada empleado puede solicitar por mes.

2. Definir criterios para el uso de impresiones, como limitar la cantidad de copias a color o fomentar el uso de impresoras de doble cara.

3. Establecer pautas para el uso eficiente de la energía, como apagar las luces y los equipos de oficina cuando no estén en uso.

Recuerda que los límites deben ser justos, razonables y comunicados claramente a todos los empleados. Además, es importante establecer un sistema de seguimiento y cumplimiento de los límites establecidos.

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Importancia de los limites en administracion 

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Importancia de los limites en administracion 

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1. Análisis de datos: El uso de límites matemáticos permite analizar y comprender el comportamiento de variables en un contexto administrativo. Por ejemplo, al estudiar el crecimiento de una empresa, los límites pueden ayudar a determinar el crecimiento máximo alcanzable o identificar puntos críticos.

2. Optimización: En la administración, es común buscar la optimización de recursos y procesos. Los límites matemáticos ayudan a determinar los límites superiores e inferiores de las variables y, por lo tanto, a identificar los puntos óptimos de optimización.

3. Toma de decisiones: La comprensión de los límites matemáticos permite tomar decisiones basadas en análisis cuantitativos y basados en datos. Los límites pueden proporcionar información valiosa sobre las restricciones y posibilidades de diferentes opciones y ayudar a tomar decisiones más informadas.

4. Modelado de sistemas: Los límites matemáticos se utilizan para modelar sistemas complejos en la administración, como la cadena de suministro, el flujo de efectivo, la planificación financiera, entre otros. Al aplicar límites, es posible comprender mejor cómo se comportan estos sistemas y realizar ajustes o mejoras.

5. Evaluación de riesgos: En la administración, esencial evaluar los riesgos y tomar medidas para mitigarlos. Los límites matemáticos permiten identificar los límites de ciertos comportamientos o resultados y, por lo tanto, pueden ayudar a identificar los riesgos potenciales antes de que se produzcan.

En resumen, la aplicación de límites matemáticos en la administración proporciona herramientas poderosas para el análisis, la toma de decisiones, la optimización y la evaluación de riesgos. Al comprender y utilizar estos conceptos, se pueden obtener diferentes ventajas para una gestión más eficiente y efectiva.

# data[].attributes.body
1. Evaluación de restricciones: Los límites matemáticos permiten evaluar las restricciones o límites que pueden existir en un sistema administrativo. Estas limitaciones pueden incluir recursos limitados, regulaciones legales o factores de mercado. Al comprender estos límites, los administradores pueden tomar decisiones más informadas y realizar ajustes apropiados.

2. Identificación de puntos críticos: Los límites matemáticos ayudan a identificar los puntos críticos en un sistema administrativo. Estos puntos pueden representar el momento en el que se alcance un límite o se exceda una restricción importante. Al identificar estos puntos, los administradores pueden tomar medidas preventivas o correctivas para evitar o abordar problemas futuros.

3. Optimización de recursos: Los límites matemáticos pueden utilizarse para optimizar el uso de recursos en la administración. Al comprender los límites superiores o inferiores de determinadas variables, como la capacidad de producción o el flujo de efectivo, los administradores pueden buscar mejoras y ajustes que permitan maximizar la eficiencia y minimizar los desperdicios.

4. Análisis de riesgos: Los límites matemáticos también son útiles para evaluar y analizar los riesgos en la administración. Al identificar los límites de variables críticas, los administradores pueden evaluar los posibles escenarios de riesgo y desarrollar estrategias de mitigación apropiadas. Esto incluye la identificación de riesgos operativos, financieros o estratégicos y la planificación para enfrentarlos.

5. Modelado de sistemas complejos: Los límites matemáticos se utilizan para modelar sistemas administrativos complejos. Esto implica la representación matemática de interacciones entre diferentes variables y la identificación de límites o restricciones en estas interacciones. Estos modelos ayudan a comprender mejor el comportamiento de un sistema y a tomar decisiones informadas basadas en datos y análisis.

En resumen, los límites matemáticos en la administración permiten evaluar restricciones, identificar puntos críticos, optimizar recursos, analizar riesgos y modelar sistemas administrativos complejos. Su aplicación ayuda a los administradores a tomar decisiones más sólidas y a tener una mejor comprensión del funcionamiento de sus organizaciones.

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-Evaluación

-Limites indeterminados

-Continuidad

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La evaluación de límites es un concepto matemático utilizado para determinar el valor al que se aproxima una función cuando su variable independiente se acerca a un valor específico. Es útil para comprender el comportamiento de una función en un punto dado.

Por ejemplo, consideremos la función f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1). Si queremos evaluar el límite de esta función cuando x se acerca a 1, podemos sustituir directamente el valor de x en la expresión de la función:

Lim(x->1) (x^2 - 1)/(x - 1) = (1^2 - 1)/(1 - 1) = 0/0

Al evaluarlo de esta manera, obtendríamos una forma indeterminada. Para resolver esta indeterminación, podemos simplificar la expresión utilizando álgebra:

(x^2 - 1)/(x - 1) = [(x - 1)(x + 1)]/(x - 1) = x + 1

Ahora podemos evaluar nuevamente el límite:

Lim(x->1) (x+1) = 1+1 = 2

Por lo tanto, el límite de la función f(x) cuando x se acerca a 1 es igual a 2.

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En administración, evaluar límites significa determinar las capacidades y restricciones de un proyecto, proceso o sistema. Los límites pueden ser tanto físicos como conceptuales, y su evaluación esencial para tomar decisiones informadas y eficientes.

Aquí tienes un ejercicio para practicar la evaluación de límites en administración:

Imaginemos que estás a cargo de un restaurante y deseas evaluar los límites de tu capacidad de producción diaria. Actualmente, estás sirviendo un promedio de 100 comidas por día, pero deseas determinar el punto máximo al que puedes llegar sin comprometer la calidad o el servicio.

1. Identifica los recursos disponibles: Determina cuánto personal, equipo y materiales tienes a tu disposición para preparar y servir las comidas. Considera el tamaño de la cocina, el número de empleados, los utensilios de cocina, los ingredientes, etc.

2. Analiza la demanda: Evalúa cuál es la demanda actual y potencial de tu restaurante. Considera factores como la ubicación, el tipo de cocina, los precios, la competencia y las tendencias del mercado. Esto te ayudará a determinar cuántas comidas podrías vender en un día ocupado.

3. Evalúa la capacidad actual: Analiza tu proceso de producción actual y determina cuántas comidas puedes preparar y servir en un día sin agotar tus recursos o causar demoras significativas. Toma en cuenta los tiempos de preparación de cada plato, el número de mesas o pedidos que puedes atender simultáneamente, etc.

4. Establece límites adecuados: Una vez que tienes una idea de tu capacidad máxima actual, considera establecer límites para asegurarte de mantener la calidad y el servicio. Por ejemplo, podrías decidir que tu límite máximo de comidas por día sea de 150, para poder mantener la eficiencia y evitar que se sobrecarguen tus recursos.

Recuerda que la evaluación de límites en administración es un proceso continuo y debe ser revisado periódicamente para adaptarse a los cambios en la demanda, los recursos y otros factores relevantes.

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Una indeterminación o forma indeterminada es una expresión algebraica que a veces aparece en el cálculo de límites y cuyo valor no se puede predecir, depende de la función del límite a calcular. Por ejemplo, si una función tiende a 5/∞ 5 / ∞ , entonces su límite es 0 0.

Un ejemplo de un límite indeterminado en la vida cotidiana podría ser calcular la velocidad promedio de un viaje en el que no sabemos la distancia recorrida y el tiempo exacto que tardó en completarse.

Supongamos que una persona comienza su viaje en un punto A y llega a un punto B, pero no tiene un contador de distancia ni un reloj para medir el tiempo exacto. Sin embargo, esta persona sabe que el viaje duró más de una hora, pero menos de dos horas.

En este caso, podemos calcular aproximadamente la velocidad promedio utilizando un límite indeterminado. Si denotamos la distancia como 'd' y el tiempo como 't', podemos decir que:

Límite cuando 't' tiende a infinito de d/t = ?

Dado que no tenemos valores exactos para 'd' o para 't', no podemos determinar el resultado exacto. Sin embargo, podemos inferir que la velocidad promedio del viaje está acotada entre dos valores: d/2h y d/1h, donde h representa las horas del límite.

Por lo tanto, este ejemplo muestra cómo un límite indeterminado surge en la vida cotidiana cuando no tenemos información precisa para determinar una magnitud, pero podemos acotarla utilizando límites superiores e inferiores.

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Cálculo de límites, con y sin indeterminaciones

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Cálculo de límites (sin aplicar la regla de L'Hôpital ni infinitésimos equivalentes), con y sin indeterminaciones. Límites resueltos paso a paso. Límites para bachillerato y universidad. Análisis de una variable real. Matemáticas.

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Los límites indeterminados en administración se refieren a situaciones en las que no existe una clara definición o restricción que permita establecer límites específicos.

Un ejemplo de límite indeterminado en administración podría ser el tiempo requerido para completar un proyecto. Puede resultar difícil determinar con exactitud cuánto tiempo se tardará en completar una tarea, especialmente si existen varios factores impredecibles, como problemas técnicos, cambios en los requerimientos del proyecto o retrasos en la entrega de recursos. En este caso, el límite de tiempo se considera indeterminado porque no se puede establecer una fecha de finalización precisa.

Un ejercicio que podría ayudarte a comprender mejor los límites indeterminados en administración es el siguiente:

Imagínate que tienes la tarea de organizar una conferencia con múltiples oradores y participantes. Tienes un cronograma detallado con fechas y horas para cada presentación, pero surge un problema inesperado: uno de los oradores principales tiene un conflicto de agenda y no podrá asistir a la fecha programada. Ahora tienes que lidiar con el límite indeterminado de reprogramar la presentación.

Para resolver este problema, deberás tomar decisiones y establecer nuevos límites. Deberás evaluar diferentes opciones, como encontrar una nueva fecha que funcione para el orador y los demás participantes, buscar un reemplazo para la presentación o modificar otras actividades en el cronograma. La clave será gestionar y adaptarte a esta situación imprevista, estableciendo límites claros dentro de los parámetros disponibles.

Recuerda que los límites indeterminados son comunes en la administración y es importante tener habilidades de resolución de problemas, flexibilidad y capacidad de toma de decisiones para enfrentarlos de manera efectiva

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La continuidad requiere que el comportamiento de una función alrededor de un punto sea igual al valor de la función en ese punto.

Una función ƒ es continua en un intervalo abierto (a,b) si y solo si es continua en cada punto en (a,b). ƒ es continua en un intervalo cerrado [a,b] si y solo si es continua en (a,b), el límite por el lado derecho de ƒ en x=a es ƒ(a) y el límite por el lado izquierdo de ƒ en x=b es ƒ(b).

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La continuidad de límites en administración se refiere a la capacidad de mantener una operación o proceso de manera ininterrumpida, asegurándose de que no existan brechas o interrupciones significativas que afecten negativamente la eficiencia y eficacia de una organización.

Un ejemplo de continuidad de límites en administración podría ser el mantenimiento de una línea de producción en una fábrica. Es fundamental garantizar que las operaciones se realicen de manera continua, evitando interrupciones prolongadas o inesperadas que puedan afectar la entrega de productos a los clientes. Para lograr esto, se deben establecer medidas de contingencia, como planes de mantenimiento preventivo, capacitación de personal y protocolos de respuesta ante situaciones de emergencia.

Ejemplo:

Imagina que eres el gerente de un centro de llamadas de atención al cliente. Tu objetivo es garantizar que las operaciones se mantengan activas las 24 horas del día, los 7 días de la semana, sin interrupciones significativas.

Un día, el sistema telefónico experimenta una falla inesperada que deja inactivas todas las líneas de atención al cliente. Tienes que tomar medidas rápidas para solucionar el problema y restablecer la continuidad del servicio.

En este ejercicio, deberás seguir los siguientes pasos:

1. Identifica rápidamente el problema y comunícalo a tu equipo.

2. Moviliza a los técnicos de telecomunicaciones para resolver la falla en el sistema telefónico lo más pronto posible.

3. Mientras tanto, busca opciones alternativas para que los clientes puedan contactar al centro de atención al cliente, como a través de un chat en línea o correo electrónico.

4. Comunica a los empleados y a los clientes sobre la situación y las opciones alternativas disponibles.

5. Una vez solucionada la falla, realiza una revisión exhaustiva para identificar las causas y tomar medidas preventivas para evitar futuras interrupciones.

Este ejercicio te ayudará a entender cómo la administración de la continuidad de límites implica tomar decisiones rápidas y efectivas para minimizar las interrupciones y mantener el funcionamiento continuo de los procesos empresariales. Además, enfatiza la importancia de contar con planes de contingencia y de comunicación efectiva en situaciones inesperadas.

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-Límite infinito en un punto

-Límite finito en el infinito

-Límite infinito en el infinito

-Límite finito en un punto

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El concepto de límite infinito en un punto se refiere a la idea de que una función se acerca a infinito a medida que su variable independiente se acerca a un valor específico. Si una función f(x) se aproxima a infinito cuando x se acerca a un número a, entonces se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a es infinito.

En términos matemáticos, esto se puede expresar como:

lim f(x) = ∞

x -> a

Esto significa que a medida que x se acerca a (pero no igual a), la función f(x) crece indefinidamente en valor, sin límite superior.

Es importante destacar que el límite infinito en un punto solo se considera cuando la función crece indefinidamente y no tiene un límite real. En caso de que exista un límite real, se consideraría un límite finito en lugar de infinito.

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En administración, el término "límite infinito en un punto" se refiere a una situación en la que una variable o indicador tiene un valor que tiende hacia infinito a medida que se acerca a un punto específico. Este concepto es importante porque puede indicar una condición crítica en la gestión de una empresa u organización.

Un ejemplo de ejercicio relacionado con esto podría ser el análisis de la tendencia de crecimiento de las ventas en una tienda. Supongamos que la variable "ventas" se mide en miles de dólares y se registra mensualmente. Si observamos que las ventas tienen un límite infinito en un punto, digamos el mes de diciembre, significa que las ventas están aumentando sin cesar y no hay una señal de desaceleración. Esto puede ser un indicador positivo para el negocio, ya que refleja un crecimiento constante y sostenido.

Sin embargo, es importante tener en cuenta que este es solo un ejemplo y la interpretación real puede variar según el contexto y la situación específica. En administración, esencial realizar un análisis en profundidad y considerar todos los factores relevantes antes de tomar decisiones basadas en la observación de límites infinitos en un punto.

# data[].attributes.body
Un ejemplo más específico de límite infinito en un punto en administración se puede ilustrar a través del análisis de costos en una empresa manufacturera. Supongamos que tenemos una fórmula para calcular los costos de producción en función del número de unidades fabricadas:

Costo de producción = 100 + 5 * (Número de unidades fabricadas)

Si analizamos el límite de esa función cuando el número de unidades fabricadas se acerca al infinito, podemos observar que el costo de producción tiende hacia el infinito. La fórmula matemática para expresarlo sería:

lim(Costo de producción) = ∞ cuando (Número de unidades fabricadas) tiende a ∞

Esto significa que si la empresa continúa fabricando un número cada vez mayor de unidades, los costos de producción se incrementarán sin límite. En términos prácticos, esto indica que el crecimiento de la empresa puede volverse insostenible si no se toman medidas para controlar y optimizar los costos.

Este análisis puede ser útil para tomar decisiones relacionadas con la gestión de la producción y el control de costos. Si la empresa está encontrando límites infinitos en los costos de producción, podría ser necesario revisar y ajustar los procesos, buscar formas de eficiencia o explorar otras estrategias para evitar problemas financieros y garantizar la viabilidad a largo plazo.

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El límite finito en el infinito se refiere a lo que sucede con una función cuando el valor de su variable independiente tiende a infinito. Si el límite de una función es finito a medida que la variable independiente se acerca al infinito, se dice que el límite es finito en el infinito.

Por ejemplo, considera la función f(x) = 1/x. Si evaluamos esta función cuando x se acerca a infinito, podemos ver que el valor de f(x) tiende a cero. Por lo tanto, podemos decir que el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es cero, o en otras palabras, el límite es finito en el infinito.

En resumen, un límite finito en el infinito ocurre cuando el valor de una función se acerca a un número específico a medida que su variable independiente se aproxima a infinito.

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En las matemáticas, el límite finito en el infinito se utiliza para describir el comportamiento de una función cuando su variable independiente se acerca al infinito. En el contexto de la administración, podríamos considerar que el límite finito en el infinito nos proporciona información sobre el crecimiento o comportamiento de una variable en el largo plazo, especialmente cuando el horizonte temporal se extiende de manera indefinida.

Por ejemplo, si consideramos la evolución de las ventas de una empresa a lo largo de los años, podríamos analizar si existe un límite finito en el infinito en cuanto al crecimiento de esas ventas. Es decir, ¿habrá un punto en el que el crecimiento alcance un nivel máximo, estabilizándose en el largo plazo? En este caso, el límite finito en el infinito podría ayudarnos a determinar si existe un techo en términos de ventas.

Este concepto también se puede aplicar a otros indicadores de rendimiento y variables relevantes en la administración, como el crecimiento de los clientes, la productividad, los ingresos, etc. El análisis de los límites finitos en el infinito puede proporcionar información importante para la toma de decisiones estratégicas, como la expansión de la empresa, la planificación financiera a largo plazo, la identificación de oportunidades de mejora y la evaluación de la sostenibilidad de los procesos y estrategias.

# data[].attributes.body
El límite infinito en el infinito es una situación en la que una función crece o decrece sin límite a medida que el valor de la variable se acerca al infinito positivo o negativo. Matemáticamente, se representa como:

lim x -> ∞ f(x) = ± ∞

Esto indica que el valor de la función f(x) se acerca a infinito (positivo o negativo) a medida que x tiende hacia el infinito. Es importante tener en cuenta que este tipo de límite no tiene un valor numérico definido, ya que la función puede crecer o decrecer sin límite a medida que x aumenta.

Un ejemplo de un límite infinito en el infinito en la vida cotidiana podría ser el cálculo de la velocidad promedio de un automóvil en un viaje muy largo. Supongamos que estás conduciendo desde una ciudad A hasta una ciudad B, y la distancia entre las dos ciudades es extremadamente grande.

Si mides la velocidad promedio del automóvil en intervalos más pequeños de tiempo, notarás que la velocidad varía en cada intervalo debido a factores como el tráfico, las condiciones del camino, etc. Sin embargo, a medida que aumentas la duración de los intervalos, es decir, cuando te acercas al infinito en términos de tiempo, puedes considerar el límite de la velocidad promedio.

En este caso, cuando el tiempo se acerca a infinito, la distancia recorrida también se acerca a infinito. Si la velocidad promedio se mantiene constante o tiende a un cierto valor en este límite, podrías concluir que hay un límite infinito en el infinito en el contexto de la velocidad promedio.

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En el contexto de la administración, el concepto de "límite infinito en el infinito" puede referirse a la proyección de un crecimiento o expansión de una empresa o de una variable en particular, que se espera que continúe creciendo o expandiéndose en el futuro de manera indefinida.

Un ejercicio común en el área de la administración que podría ilustrar esto es el cálculo del crecimiento exponencial de las ventas de una empresa. Supongamos que tenemos la siguiente fórmula que describe la cantidad de ventas (V) en función del tiempo (t):

V = a * e^kt

Donde "a" es la cantidad inicial de ventas, "k" es la tasa de crecimiento y "e" es el número de Euler aproximadamente igual a 2.71828.

Si analizamos el comportamiento de las ventas a medida que el tiempo tiende a infinito, podemos tomar el límite de la función anterior cuando t tiende a infinito:

lim t -> ∞ (V) = lim t -> ∞ (a * e^kt)

Si la tasa de crecimiento "k" es positiva, esto implicará un crecimiento exponencial de las ventas a medida que el tiempo avanza, y el límite de la función será infinito. Esto sugiere que, según la proyección, las ventas de la empresa continuarán creciendo sin límite en el futuro.

Es importante tener en cuenta que los límites infinitos en el infinito son conceptos teóricos y en la práctica, pueden encontrarse con limitaciones y restricciones que no permitan un crecimiento indefinido. Por lo tanto, se necesita un análisis más detallado para evaluar si este comportamiento es realista y sostenible para una empresa en particular.

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Un límite finito en un punto se refiere a la propiedad matemática que describe el comportamiento de una función a medida que se acerca a un determinado punto. Dicho límite se dice que es finito si el valor de la función se acerca a un valor constante a medida que la variable independiente se acerca a ese punto en particular.

A continuación, te daré un ejemplo para ilustrar este concepto:

Ejercicio: Calcular el límite de la función f(x) = 2x + 1 cuando x tiende a 3.

Solución: Para encontrar el límite de la función cuando x se acerca al valor 3, sustituiremos el valor de x dentro de la función y evaluaremos el resultado.

Lim(x -> 3) [2x + 1]

Sustituyendo x por 3 en la función, obtenemos:

Lim(x -> 3) [2(3) + 1] = Lim(x -> 3) [6 + 1] = Lim(x -> 3) [7] = 7

Entonces, el límite de la función f(x) = 2x + 1 cuando x tiende a 3 es igual a 7.

# data[].attributes.body
En el campo de la administración, el concepto de límite finito en un punto puede referirse al análisis de la capacidad o restricciones que una empresa o proyecto puede tener en un determinado punto de operación.

Un ejemplo común en administración es el análisis del punto de equilibrio. El punto de equilibrio es el nivel de ventas o producción en el cual los ingresos totales son iguales a los costos totales, lo que significa que la empresa no obtiene ganancias ni pérdidas. Este punto puede ser considerado como un límite finito en el punto de operación, ya que las ganancias o pérdidas de la empresa pueden cambiar dependiendo de si las ventas o producción están por encima o por debajo de este nivel.

La fórmula general para calcular el punto de equilibrio es:

Punto de Equilibrio = Costos Fijos / (Precio de Venta por Unidad - Costo Variable por Unidad)

Aquí tienes un ejercicio para ilustrar este concepto:

Supongamos que una empresa tiene costos fijos mensuales de $10,000 y el costo variable por unidad es de $5. Además, el precio de venta por unidad es de $15. Queremos calcular el punto de equilibrio, es decir, el número de unidades que la empresa necesita vender para cubrir sus costos.

Punto de Equilibrio = $10,000 / ($15 - $5) = $10,000 / $10 = 1,000 unidades

Por lo tanto, la empresa necesita vender al menos 1,000 unidades para cubrir sus costos y alcanzar el punto de equilibrio donde no hay ganancias ni pérdidas.

# data[].attributes.body
Supongamos que tienes una empresa de manufactura y estás analizando la capacidad de producción de tu instalación. Tienes un límite máximo de producción debido a limitaciones de espacio y recursos disponibles.

La fórmula para calcular el límite de producción en administración es la siguiente:

Límite de producción = (Capacidad de la instalación) * (Eficiencia de producción)

Para este ejercicio, supongamos que la capacidad de tu instalación es de 10,000 unidades y la eficiencia de producción actual es del 80%.

Límite de producción = 10,000 * 0.80 = 8,000 unidades

Entonces, el límite de producción en esta situación sería de 8,000 unidades. Esto significa que, dadas las limitaciones de tu instalación y la eficiencia actual, tu empresa no puede producir más de 8,000 unidades en un período dado.

Es importante tener en cuenta que este es solo un ejemplo y que la fórmula y los valores utilizados pueden variar según la situación y el contexto específicos. Además, existen otros factores que pueden afectar la capacidad de producción, como el tiempo disponible y la demanda del mercado.

# data[].attributes.body
Supongamos que estás trabajando en una empresa de ventas de productos y deseas evaluar el crecimiento de tus ventas a lo largo del tiempo. Utilizando la fórmula del límite, puedes determinar el crecimiento promedio de las ventas.

La fórmula del límite para el crecimiento promedio de las ventas es:

lim h->0 [(V(t+h) - V(t))/h]

Donde:

V(t) es el valor de las ventas en un tiempo inicial t,

V(t+h) es el valor de las ventas en un tiempo t+h (después de un período de crecimiento),

h es el cambio en el tiempo entre dos intervalos.

Para resolver el ejercicio, sigue los siguientes pasos:

1. Elige un tiempo inicial t y calcula el valor de las ventas V(t).

2. Elige un intervalo de tiempo pequeño h.

3. Calcula el valor de las ventas V(t+h) después del período de crecimiento.

4. Sustituye los valores calculados en la fórmula del límite:

lim h->0 [(V(t+h) - V(t))/h]

5. Simplifica la expresión y evalúa el límite cuando h tiende a cero.

Al hacer esto, obtendrás el crecimiento promedio de las ventas en función del tiempo. Esta fórmula te permitirá analizar el crecimiento de las ventas y tomar decisiones estratégicas para impulsar el éxito de tu empresa. Recuerda que los límites son una herramienta poderosa para comprender el comportamiento de variables en el tiempo.

# data[].attributes.body
Supongamos que eres el gerente de una tienda de ropa y necesitas determinar cuánto margen de beneficio necesitas en la venta de cada artículo para alcanzar tus objetivos financieros. Utilizando una función de límites, puedes determinar el precio óptimo de venta.

La función de límites para el precio óptimo de venta podría ser:

lim x->∞ (C(x) + P(x)) / x

Donde:

- C(x) es el costo total de producción y operación de la tienda en función de la cantidad de artículos vendidos.

- P(x) es el margen de beneficio deseado en función de la cantidad de artículos vendidos.

- x es la cantidad de artículos vendidos.

Para resolver este problema, primero necesitas determinar la función de costo total de producción y operación, así como la función de margen de beneficio deseado. Luego, simplemente sustituye las funciones en la fórmula del límite y evalúa el resultado cuando x tiende al infinito.

Por ejemplo, supongamos que la función de costo total de producción y operación es C(x) = 500 + 2x y la función de margen de beneficio deseado es P(x) = 0.1x. Sustituyendo en la fórmula del límite, obtendríamos:

lim x->∞ (500 + 2x + 0.1x) / x

Simplificando la expresión, tendríamos:

lim x->∞ (500 + 2.1x) / x

Finalmente, al evaluar el límite cuando x tiende al infinito, obtendríamos el precio óptimo de venta por artículo necesario para alcanzar tus objetivos financieros.

Este ejemplo muestra cómo una función de límites puede ser útil en administración, permitiéndote tomar decisiones estratégicas sobre precios y márgenes de beneficio

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En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.¹​ Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto para todos los momentos. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a su vez, la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.1​ Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

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La derivada de la función en el punto marcado es equivalente a la pendiente de la recta tangente.

En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.​ Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto para todos los momentos. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a su vez, la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

En su conjunto dieron origen a lo que actualmente se conoce como cálculo diferencial.

Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos les habían tenido a los infinitesimales: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus predecesores, en lo que hoy llamamos "derivada" e "integral". La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son los creadores del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable "fluye" (varía) con el tiempo.

Gottfried Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes, de manera independiente. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Leibniz es el inventor de diversos símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada y el símbolo de la integral ∫.

El concepto de derivada es uno de los conceptos básicos del análisis matemático. Los otros son los de integral definida e indefinida, sucesión; sobre todo, el concepto de límite. Este es usado para la definición de cualquier tipo de derivada y para la integral de Riemann, sucesión convergente y suma de una serie y la continuidad. Por su importancia, hay un antes y un después de tal concepto que biseca las matemáticas previas, como el álgebra, la trigonometría o la geometría analítica, del cálculo. Según Albert Einstein, el mayor aporte que se obtuvo de la derivadas fue la posibilidad de formular diversos problemas de la física mediante ecuaciones diferenciales [cita requerida].

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones prácticas son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Recta secante entre f(x) y f(x+h)

La derivada de una función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto . El valor de esta pendiente será aproximadamente igual a la pendiente de una recta secante a la gráfica que pase por el punto y por un punto cercano ; por conveniencia suele expresarse , donde es un número cercano a 0. A partir de estos dos puntos se calcula la pendiente de la recta secante como

(Esta expresión se denomina "cociente diferencial" o "cociente de Newton".[2] ​) A medida que el número se acerca a cero, el valor de esta pendiente se aproximará mejor al de la recta tangente. Esto permite definir la derivada de la función en el punto , denotada como , como el límite de estos cocientes cuando tiende a cero:

No obstante, esta definición sólo es válida cuando el límite es un número real: en los puntos donde el límite no existe, la función no tiene derivada.

Inclinación de la secante de la curva y=f(x)

Una animación que da una idea intuitiva de la derivada, ya que el "swing" de una función cambia cuando cambia el argumento.

Dada una función , se puede definir una nueva función que, en cada punto , toma el valor de la derivada . Esta función se denota y se denomina función derivada de o simplemente derivada de . Esto es, la derivada de es la función dada por

Esta función sólo está definida en los puntos del dominio de donde el límite existe; en otras palabras, el dominio de está contenido en el de .

Considere la función cuadrática definida para todo . Se trata de calcular la derivada de esta función aplicando la definición

Para el caso general tendríamos

Teniendo en cuenta el teorema del binomio;

Tenemos;

Para que una función sea derivable en un punto es necesario que también sea continua en ese punto: intuitivamente, si la gráfica de una función está "rota" en un punto, no hay una manera clara de trazar una recta tangente a la gráfica. Más precisamente, esto se debe a que, si una función no es continua en un punto , entonces la diferencia entre el valor y el valor en un punto cercano no va a tender a 0 a medida que la distancia entre los dos puntos tiende a 0; de hecho, el límite no tiene por qué estar bien definido si los dos límites laterales no son iguales. Tanto si este límite no existe como si existe pero es distinto de 0, el cociente diferencial

no tendrá un límite definido.

La función de Heaviside no es continua en .

Como ejemplo de lo que ocurre cuando la función no es continua, se puede considerar la función de Heaviside, definida como

Esta función no es continua en : el valor de la función en este punto es 1, pero en todos los puntos a su izquierda la función vale 0. En este caso, el límite por la izquierda de la diferencia es igual a 1, por lo que el cociente diferencial no tendrá un límite bien definido.

La función valor absoluto no tiene derivada en el punto .

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean iguales pero las derivadas laterales no; en este caso concreto, la función presenta un punto anguloso en dicho punto.

Un ejemplo es la función valor absoluto , que se define como

Esta función es continua en el punto : en este punto la función toma el valor 0, y para valores de infinitamente cercanos a 0, tanto positivos como negativos, el valor de la función tiende a 0. Sin embargo, no es derivable: la derivada lateral por la derecha de es igual a 1, mientras que por la izquierda la derivada lateral vale -1. Como las derivadas laterales dan resultados diferentes, no existe derivada en , a pesar de que la función sea continua en dicho punto.

De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable. Sin embargo, la función f(x)=x|x| es diferenciable para todo x.

Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe la derivada de la función respecto al valor en varios modos.

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, se debe a Lagrange, y consiste en denotar la derivada de una función como : se lee "f prima de x". Esta notación se extiende a derivadas de orden superior, dando lugar a ("f segunda de x" o "f dos prima de x") para la derivada segunda, y a para la derivada tercera. La derivada cuarta y siguientes se pueden denotar de dos formas:

con números romanos: ,

con números entre paréntesis: .

Esta última opción da lugar también a la notación para denotar la derivada n-ésima de .

Otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de , se escribe:

También puede encontrarse como , o . Se lee "derivada de ( o de ) con respecto a ". Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.

Con esta notación, se puede escribir la derivada de en el punto de dos modos diferentes:

Si , se puede escribir la derivada como

Las derivadas sucesivas se expresan como

o

para la enésima derivada de o de respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

la cual se puede escribir como

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente:

En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos "d" no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no estándar, no obstante, se pueden ver números infinitesimales que se cancelan.

Ciertamente, Leibnitz (sí) consideró la derivada dy/ dx como el cociente de dos " infinitésimos" dy y dx, llamados "diferenciales". Estos infinitésimos no eran números sino cantidades más pequeños que cualquier número positivo.​

La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

y así sucesivamente.

Se lee "punto " o " punto". Actualmente está en desuso en el área de matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.

Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales como velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se emplea para las primeras y segundas derivadas.

o (Notaciones de Euler y Jacobi, respectivamente)

se lee " sub de ", y los símbolos D y ∂ deben entenderse como operadores diferenciales.

Cálculo de la derivada

La derivada de una función, en principio, puede ser calculada a partir de la definición, expresando el cociente de diferencias y calculando su límite. Sin embargo, salvo para unos pocos casos esto puede resultar laborioso. En la práctica existen fórmulas precalculadas para las derivadas de las funciones más simples, mientras que para las funciones más complicadas se utilizan una serie de reglas que permitan reducir el problema al cálculo de la derivada de funciones más sencillas. Por ejemplo, para calcular la derivada de la función bastaría con conocer: la derivada de , la derivada de , y cómo derivar una composición de funciones.

La mayor parte de los cálculos de derivadas requieren tomar eventualmente la derivada de algunas funciones comunes. La siguiente tabla incompleta proporciona algunas de las más frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas.

En muchos casos, el cálculo de límites complicados mediante la aplicación directa del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicación de reglas de diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes:

Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces

, para toda función f y g y todo número real y .

para toda función f y g. Por extensión, esto significa que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. Por ejemplo,

para toda función f y g para todos aquellos valores tales que g ≠ 0.

La derivada de

es

Aquí, el segundo término se calculó usando la regla de la cadena y el tercero usando la regla del producto. La derivadas conocidas de funciones elementales x ², x ⁴, sen( x), ln( x) y exp( x) = e x, así como la constante 7, también fueron usadas.

Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.

Si una función es diferenciable en un punto , la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en , puede no ser diferenciable en dicho punto ( punto crítico). En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.

La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.

El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras:

Diferenciabilidad:

Diferenciablidad, otra generalización posible para funciones de varias variables cuando existen derivadas continuas en todas direcciones es el de:

Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables (El argumento de una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo de dimensión n finita).

La Diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.

Derivada parcial, supongamos que estamos sobre un puente y observamos como varía la concentración de peces con el tiempo exactamente. Estamos en una posición fija del espacio, por lo que se trata de una derivada parcial de la concentración con respecto al tiempo manteniendo fijas la posición en la dirección "x", "y" o "z".

Derivada total con respecto al tiempo, supongamos que nos movemos en una lancha a motor que se mueve en el río en todas direcciones, unas veces en contra de la corriente, otras a través y otras a favor. Al referir la variación de concentración de peces con el tiempo, los números que resultan han de reflejar también el movimiento de la lancha. La variación de la concentración con el tiempo corresponde a la derivada total.

Derivada substancial con respecto al tiempo, supongamos que vamos en una canoa a la que no se comunica energía, sino que simplemente flota. En este caso, la velocidad del observador es exactamente la misma que la velocidad de la corriente "v". Al referir la variación de la concentración de peces con respecto al tiempo, los números dependen de la velocidad local de la corriente. Esta derivada es una clase especial de derivada total con respecto al tiempo que se denomina <<derivada sustancial>> o, a veces (más lógicamente) derivada siguiendo al movimiento.

Véase también

Parte de la información ha sido extraída de la web Derivadas.es fundada por Jesús en 2004

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Derivada - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente.

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Supongamos que estás conduciendo tu coche por una carretera recta y quieres saber la velocidad a la que te desplazas en un momento específico. Puedes utilizar las derivadas para calcular la velocidad instantánea.

Para ello, primero debes medir la distancia recorrida en un intervalo de tiempo muy pequeño alrededor del punto en el que deseas conocer la velocidad. Luego, divides esa distancia entre el intervalo de tiempo para obtener una medida aproximada de la velocidad promedio en ese intervalo.

Sin embargo, esta medida solo representa la velocidad promedio, no la velocidad instantánea. Para obtener la velocidad instantánea en un punto específico, necesitas reducir el intervalo de tiempo a cero (un limite). En términos matemáticos, esto se puede expresar utilizando la derivada de la función posición con respecto al tiempo.

Por lo tanto, el ejercicio sería calcular la derivada de la función posición con respecto al tiempo para obtener la función velocidad en el instante que deseas.

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En el contexto de la administración, las derivadas generalmente se refieren a las técnicas o herramientas que se utilizan para calcular el cambio o la tasa de cambio de una variable en relación con otra. A menudo se emplean para analizar el comportamiento de las variables en un entorno empresarial.

En términos más técnicos, las derivadas en administración se basan en el cálculo diferencial, una rama de las matemáticas que se centra en el estudio y la descripción de cambios infinitesimales. Cuando se aplican a la administración, las derivadas pueden ayudar a medir la velocidad de cambio, la tasa de crecimiento, el rendimiento y otros aspectos relacionados con el análisis de datos.

Estas técnicas pueden utilizarse en varios campos de la administración, como la economía, la finanzas, la logística, la producción y la gestión de proyectos, entre otros. Son herramientas útiles para la toma de decisiones estratégicas, el análisis de riesgos y el pronóstico del comportamiento de las variables en un entorno empresarial.

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Supongamos que una empresa de fabricación de productos desea maximizar sus ganancias. La función de ganancias, G(x), depende de la cantidad de unidades producidas, x. La relación entre la producción y las ganancias puede expresarse como:

G(x) = 10x - 0.5x^2

Donde G(x) es la ganancia en dólares y x es la cantidad de unidades producidas.

Para determinar la cantidad óptima de unidades a producir que maximice las ganancias, podemos utilizar las derivadas. La derivada de la función de ganancias con respecto a x nos dará la tasa de cambio de las ganancias en función de la producción.

G'(x) = 10 - x

Para maximizar las ganancias, tenemos que encontrar el punto crítico donde la derivada se iguala a cero:

10 - x = 0

De aquí, podemos resolver para x:

x = 10

Esto nos indica que la producción óptima para maximizar las ganancias es de 10 unidades.

Al calcular la segunda derivada, podemos determinar si este punto corresponde a un máximo o un mínimo. En este caso, la segunda derivada es -1, lo cual indica que estamos en un punto de máximo.

Por lo tanto, la empresa debería producir 10 unidades para maximizar sus ganancias

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La importancia de las derivadas en administración radica en su capacidad para analizar y optimizar las funciones y procesos empresariales. Algunas áreas en las que las derivadas se utilizan en administración incluyen:

1. Análisis de costos: Las derivadas pueden ayudar a determinar el punto de equilibrio para un producto o servicio, es decir, el nivel de producción o ventas en el que los ingresos igualan los costos totales. Esto permite a las empresas tomar decisiones informadas sobre la fijación de precios, la reducción de costos o la optimización de la producción.

2. Gestión de inventarios: Al utilizar las derivadas, las empresas pueden determinar la velocidad óptima de reabastecimiento de inventario y minimizar el costo de almacenamiento y el riesgo de obsolescencia.

3. Maximización de beneficios: Las derivadas pueden utilizarse para maximizar los beneficios mediante la identificación de puntos críticos, como el punto máximo de producción en el que se obtiene el máximo beneficio.

4. Análisis de mercado: Al analizar las derivadas de la función de demanda, las empresas pueden determinar cómo cambiará la demanda en función de cambios en el precio y así ajustar su estrategia de precios y marketing.

5. Optimización de la eficiencia: Las derivadas también pueden ayudar a optimizar la eficiencia en la asignación de recursos, como la mano de obra y los equipos, al determinar los niveles óptimos de producción y la asignación de recursos en diferentes departamentos o áreas de la empresa.

En el campo de la administración, las derivadas ofrecen una herramienta poderosa para tomar decisiones informadas y optimizar los procesos empresariales, lo que puede llevar a una mayor eficiencia, rentabilidad y éxito general de la organización.

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1. Cambio instantáneo: Las derivadas en administración representan el cambio instantáneo en una función o variable en relación con otra. Esto es útil para entender cómo cambian ciertos aspectos de un negocio o de un proceso administrativo.

2. Eficiencia y optimización: Las derivadas permiten identificar puntos críticos, como máximos y mínimos, lo que esencial para optimizar procesos y tomar decisiones eficientes en administración.

3. Tasa de cambio: Las derivadas también representan la tasa de cambio de una variable en función de otra. Esto es útil para entender cómo influyen los cambios en una variable en otras áreas de la administración.

4. Análisis de costos y beneficios: Las derivadas son herramientas clave en el análisis de costos y beneficios en administración. Ayudan a determinar cómo cambiará una variable en relación con otra y cómo esto afectará los resultados económicos.

5. Modelización y pronósticos: Las derivadas son fundamentales para crear modelos matemáticos y realizar pronósticos en administración. Permiten estimar cómo cambiarán ciertos factores en el futuro y cómo impactarán en la gestión y toma de decisiones.

Es importante tener en cuenta que las derivadas son herramientas matemáticas poderosas pero requieren un análisis adecuado y contextualización para ser aplicadas de manera efectiva en el campo de la administración.

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La interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente en el punto . A medida que la función crece lo hace también la pendiente de su tangente. Eso significa que la derivada representa la razón de cambio de una variable respecto a otra.

El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado:

- Si la derivada es positiva, la función es creciente.

- Si la derivada es negativa, la función es decreciente.

- Si la derivada es cero, la función tiene un punto crítico (PC) y puede ser un máximo o un mínimo.

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Ejercicio:

Encuentra la derivada de la función área de un triángulo equilátero con respecto a uno de sus lados. Luego, encuentra la tasa de cambio del área si el lado cambia a una tasa constante de 2 unidades por segundo.

Solución:

Para un triángulo equilátero, el área se puede expresar como A = (s^2 * √3)/4, donde s es la longitud de uno de los lados.

Derivemos la función área con respecto a s:

dA/ds = (2s * √3)/4 = (s√3)/2

Para encontrar la tasa de cambio del área, debemos sustituir s por 2 (la tasa constante de cambio del lado):

dA/dt = (2√3)/2 = √3 unidades por segundo

Por lo tanto, la tasa de cambio del área del triángulo equilátero es √3 unidades por segundo cuando el lado cambia a una tasa constante de 2 unidades por segundo.

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En el contexto de la administración, las derivadas en geometría se utilizan para analizar y comprender los cambios en las diversas variables y funciones que están presentes en los problemas administrativos.

Las derivadas en geometría en administración permiten determinar tasas de cambio y calcular el crecimiento o disminución de ciertas magnitudes en relación a otras. Algunas aplicaciones comunes incluyen:

1. Optimización de recursos: La derivada se utiliza para encontrar el punto máximo o mínimo de una función, lo cual resulta útil para la maximización de utilidades o la minimización de costos.

2. Análisis de costos: Al derivar la función del costo total con respecto a la producción, se puede determinar la tasa de cambio de costos a medida que se aumenta o disminuye la producción.

3. Estudio de ingresos: Derivar la función de ingresos totales con respecto a la cantidad vendida permite calcular la tasa de cambio de los ingresos a medida que se venden más unidades.

4. Análisis de elasticidad: La elasticidad es una medida de la sensibilidad o respuesta de una variable ante cambios en otra. Las derivadas se utilizan para calcular la elasticidad de la demanda o de otros indicadores importantes en el ámbito administrativo.

En resumen, la utilización de derivadas en geometría en el campo de la administración permite obtener información valiosa sobre tasas de cambio, optimización de recursos, costos, ingresos y otros aspectos clave para la toma de decisiones gerenciales.

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Ejercicio: En un proceso de producción, se sabe que el costo de manufactura de un artículo está dado por la función C(x) = 0.02x^3 - 0.5x^2 + 30x + 10000, donde x representa la cantidad de artículos producidos. Encuentra la tasa de cambio del costo de manufactura respecto a la cantidad de artículos producidos cuando se han producido 100 artículos.

Respuesta:

Para encontrar la tasa de cambio del costo de manufactura respecto a la cantidad de artículos producidos, debemos derivar la función C(x) con respecto a x. Aplicando las reglas de derivación, tenemos:

C'(x) = d/dx (0.02x^3 - 0.5x^2 + 30x + 10000)

Aplicando la derivada a cada término, obtenemos:

C'(x) = 0.06x^2 - x + 30

Para calcular la tasa de cambio del costo de manufactura cuando se han producido 100 artículos, evaluamos C'(x) en x = 100:

C'(100) = 0.06(100)^2 - 100 + 30

= 0.06(10000) - 100 + 30

= 600 - 100 + 30

= 530

Por lo tanto, la tasa de cambio del costo de manufactura respecto a la cantidad de artículos producidos cuando se han producido 100 artículos es de 530 unidades monetarias por artículo.

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En física, las derivadas se aplican en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación.La velocidad (velocidad instantánea; el concepto de la velocidad promedio que prevalece en el cálculo) es la derivada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto.

Ejercicio: Supongamos que estás conduciendo tu automóvil a una velocidad constante de 60 km/h y ves a un niño que está a una distancia de 50 metros detenido en medio de la calle. Tienes que detenerte antes de alcanzar al niño para evitar un accidente. ¿Cuál es la distancia mínima de frenado que necesitas para detenerte a tiempo?

Respuesta:

Para resolver este problema, vamos a utilizar la fórmula de distancia de frenado:

d = (v^2) / (2a)

Donde:

- d es la distancia de frenado

- v es la velocidad inicial del automóvil

- a es la aceleración (en este caso, la aceleración negativa de frenado)

Primero, necesitamos convertir la velocidad de km/h a m/s. Reemplazando los valores obtenemos:

v = 60 km/h (1000 m/1 km) (1 h/3600 s) = 16.67 m/s

Luego, necesitamos encontrar el valor de la aceleración (a). Sabemos que el automóvil frena hasta detenerse, por lo que la velocidad final (vf) es 0 m/s y la velocidad inicial (vi) es 16.67 m/s. Utilizando la ecuación de aceleración:

a = (vf - vi) / t

Como vf es 0 y vi es 16.67 m/s, tenemos:

a = (0 - 16.67 m/s) / t

Para simplificar el cálculo, asumamos que el tiempo de frenado es de 2 segundos:

a = (0 - 16.67 m/s) / 2 s = -8.33 m/s^2

Finalmente, podemos sustituir los valores de v y a en la fórmula de distancia de frenado:

d = (16.67 m/s)^2 / (2 * -8.33 m/s^2)

= 277.79 m / 16.66 m/s^2

= 16.67 m

Por lo tanto, la distancia mínima de frenado que necesitas para detenerte a tiempo es de aproximadamente 16.67 metros. Recuerda que esta es solo una estimación y en la práctica pueden haber otros factores que influyan, como el estado del camino o las condiciones de frenado del automóvil.

# data[].attributes.body
La física en derivada en administración es una aplicación de los conceptos y principios de la física, especialmente de la teoría de la derivada, al estudio y análisis de fenómenos relacionados con la administración de empresas y organizaciones.

En términos simples, la física en derivada en administración utiliza ideas y herramientas derivadas de la física, como el cálculo diferencial e integral, para modelar y comprender aspectos clave de la gestión empresarial y la toma de decisiones.

Algunas áreas específicas donde se aplica la física en derivada en administración incluyen la optimización de procesos y recursos, la medición y predicción de comportamientos financieros y económicos, el análisis de riesgos y la planificación estratégica.

En resumen, el uso de la física en derivada en administración permite a los administradores y profesionales del campo aplicar un enfoque basado en modelos matemáticos y científicos para mejorar la eficiencia, la productividad y la toma de decisiones informadas en el entorno empresarial.

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En física, la derivada de la posición se refiere a la tasa de cambio de la posición de un objeto en función del tiempo. Formalmente, se calcula encontrando la derivada de la función de posición con respecto al tiempo.

La posición de un objeto en física se refiere a su ubicación en el espacio en un determinado momento. Por ejemplo, si un objeto se mueve en una línea recta, su posición puede describirse mediante una función matemática que relaciona su posición con el tiempo.

La derivada de la posición se utiliza para determinar la velocidad y la aceleración de un objeto. La velocidad se define como la tasa de cambio de la posición en relación con el tiempo, mientras que la aceleración se define como la tasa de cambio de la velocidad en relación con el tiempo.

Matemáticamente, si la función de posición de un objeto es dada por x(t), donde x representa la posición y t representa el tiempo, entonces la derivada de la posición o la velocidad, v(t), se calcula como la primera derivada de x(t) con respecto a t:

v(t) = dx/dt

En resumen, la derivada de la posición en física es una herramienta matemática que nos permite calcular la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento, proporcionando información sobre cómo cambia la posición del objeto en relación con el tiempo.

# data[].attributes.body
Supongamos que un automóvil se mueve a lo largo de una carretera recta y su posición en función del tiempo está dada por la función:

x(t) = 2t^2 - 3t + 5

Calcula:

1. La velocidad del automóvil en el instante t = 2 segundos.

2. La aceleración del automóvil en el mismo instante t = 2 segundos.

Solución:

1. Para calcular la velocidad, necesitamos encontrar la derivada de la función de posición con respecto al tiempo:

v(t) = dx/dt

Derivando la función dada, obtenemos:

v(t) = d(2t^2 - 3t + 5)/dt

= 4t - 3

Sustituyendo t = 2 segundos:

v(2) = 4(2) - 3

= 8 - 3

= 5 m/s

Por lo tanto, la velocidad del automóvil en t = 2 segundos es de 5 m/s.

2. Para calcular la aceleración, necesitamos encontrar la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

a(t) = dv/dt

Derivando la velocidad obtenida anteriormente, tenemos:

a(t) = d(4t - 3)/dt

= 4

Sustituyendo t = 2 segundos:

a(2) = 4

Por lo tanto, la aceleración del automóvil en t = 2 segundos es de 4 m/s^2.

# data[].attributes.body
En la administración, la posición en derivada se utiliza para tomar decisiones informadas, identificar patrones y pronosticar el futuro. Por ejemplo, se puede aplicar la posición en derivada para analizar las ventas, los costos, la producción o cualquier otra variable relevante para una empresa.

Al utilizar la posición en derivada, se pueden detectar puntos críticos, tales como máximos o mínimos, que indican momentos clave para la toma de decisiones estratégicas. Además, la posición en derivada permite identificar la velocidad de cambio, lo cual es útil para evaluar el impacto de medidas y decisiones tomadas por la administración.

# data[].attributes.body
Ejercicio:

Supongamos que eres el gerente de una empresa de fabricación de productos electrónicos. La función de costo total de producción de la empresa se define como C(x) = 5x^2 + 500x + 10,000, donde x representa la cantidad de productos fabricados.

a) Encuentra la tasa de cambio de los costos totales con respecto a la cantidad de productos fabricados cuando se producen 100 unidades.

b) Determine la cantidad de productos fabricados para minimizar los costos totales.

Respuesta:

a) Para encontrar la tasa de cambio de los costos totales con respecto a la cantidad de productos fabricados, tenemos que calcular la derivada de la función de costo total respecto a x.

C'(x) = dC(x)/dx = 10x + 500

Sustituyendo x = 100 en la ecuación, obtenemos:

C'(100) = 10(100) + 500 = 1000 + 500 = 1500

Por lo tanto, la tasa de cambio de los costos totales con respecto a la cantidad de productos fabricados cuando se producen 100 unidades es de 1500.

b) Para determinar la cantidad de productos fabricados que minimiza los costos totales, debemos encontrar el valor de x que minimiza la función de costo total. Esto se puede lograr encontrando el punto crítico de la función, donde la derivada se iguala a cero.

C'(x) = 10x + 500 = 0

Resolviendo esta ecuación para x, obtenemos:

10x = -500

x = -500/10

x = -50

Sin embargo, un número negativo de productos fabricados no tiene sentido en este contexto, por lo que debemos descartar esta solución. La función de costo total no tiene un mínimo absoluto en este caso.

# data[].attributes.body
La velocidad, en el contexto de las derivadas, se refiere a la tasa de cambio de una cantidad con respecto al tiempo. Es decir, es la velocidad con la que una magnitud cambia en relación al tiempo que ha transcurrido.

En el cálculo diferencial, la velocidad se puede entender como la derivada de una función que describe la posición de un objeto en movimiento en función del tiempo. También se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la curva de posición en un punto dado.

La fórmula general para calcular la velocidad, utilizando la derivada, es la siguiente:

v(t) = d/dt [x(t)]

Donde v(t) representa la velocidad en función del tiempo, x(t) es la función que describe la posición del objeto en función del tiempo, y d/dt es el operador derivada con respecto al tiempo.

En resumen, la velocidad en derivadas es la medida de cambio de una variable en relación al tiempo y se puede obtener utilizando la derivada de la función que describe la posición en función del tiempo.

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Ejercicio:

Supongamos que eres el gerente de una empresa de logística que realiza entregas de paquetes. La posición de un paquete en movimiento a lo largo de una línea recta se describe mediante la función x(t) = 2t^2 - 5t + 10, donde t representa el tiempo en horas y x representa la posición del paquete en kilómetros.

a) Encuentra la velocidad del paquete en el momento t = 3 horas.

b) Determina el momento en el que el paquete cambia de dirección (es decir, cambia de moverse hacia adelante a moverse hacia atrás).

Respuesta:

a) Para encontrar la velocidad del paquete en un determinado momento, debemos calcular la derivada de la función de posición con respecto al tiempo (t).

x'(t) = dx(t)/dt = d/dt [2t^2 - 5t + 10]

Calculando la derivada de la función x(t), obtenemos:

x'(t) = 4t - 5

Sustituyendo t = 3 en la ecuación, obtenemos:

x'(3) = 4(3) - 5 = 12 - 5 = 7

Por lo tanto, la velocidad del paquete en el momento t = 3 horas es de 7 kilómetros por hora.

b) Para determinar el momento en el que el paquete cambia de dirección, debemos buscar los puntos en los que la velocidad se hace cero. En otras palabras, cuando la velocidad cambia de positiva a negativa o viceversa.

Igualamos la velocidad a cero y resolvemos la ecuación:

4t - 5 = 0

4t = 5

t = 5/4 = 1.25

Por lo tanto, el paquete cambia de dirección en el momento t = 1.25 horas.

# data[].attributes.body
En el contexto de la administración, la velocidad en derivadas se refiere a la tasa de cambio instantánea de una variable con respecto a otra. Es una herramienta matemática que nos permite analizar cómo cambia una magnitud en relación a otra en un punto específico.

Un ejemplo común de aplicación de la velocidad en derivadas en administración es el análisis de costos. La tasa de cambio instantánea del costo con respecto a la cantidad producida, conocida como costo marginal, es útil para determinar el nivel de producción óptimo que minimiza los costos. Esto es importante para maximizar las ganancias y la eficiencia de una empresa.

Ejemplo:

Supongamos que una empresa fabrica y vende un producto a un costo fijo de producción de $500 y a un costo variable por unidad de $10. La demanda diaria de ese producto está modelada por la función D(q) = 100 - q, donde q representa la cantidad vendida.

Calculemos la velocidad de cambio de los ingresos totales con respecto a la cantidad vendida cuando se venden 20 unidades, es decir, R'(20).

Para obtener esta derivada, necesitamos determinar la función de ingresos totales R(q) en función de la cantidad vendida.

Sabemos que los ingresos totales se calculan multiplicando la cantidad vendida por el precio del producto. Para este caso, el precio se puede encontrar utilizando la función de demanda D(q):

Precio (p) = 100 - q

Por lo tanto, los ingresos totales se pueden expresar como:

R(q) = p * q

R(q) = (100 - q) * q

R(q) = 100q - q^2

Ahora que tenemos la función de ingresos totales, podemos calcular la velocidad de cambio de los ingresos totales con respecto a la cantidad vendida cuando q = 20:

R'(q) = dR(q)/dq

R'(q) = d(100q - q^2)/dq

R'(q) = 100 - 2q

Finalmente, evaluamos R'(q) cuando q = 20:

R'(20) = 100 - 2(20)

R'(20) = 100 - 40

R'(20) = 60

Por lo tanto, cuando se venden 20 unidades, la velocidad de cambio de los ingresos totales con respecto a la cantidad vendida es de $60.

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La aceleración en derivadas es una medida de la tasa de cambio instantánea de la velocidad respecto al tiempo. En términos más sencillos, la aceleración nos da información sobre cómo está cambiando la velocidad de un objeto en un momento específico.

En el campo de la física, la aceleración se define como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Se representa por la letra "a" y se expresa en unidades de longitud divididas por unidades de tiempo al cuadrado (por ejemplo, metros por segundo al cuadrado).

La aceleración puede ser positiva, cuando la velocidad incrementa con el tiempo (aceleración hacia adelante), o negativa, cuando la velocidad disminuye con el tiempo (aceleración hacia atrás o deceleración).

La aceleración también se aplica en otros campos y disciplinas, como la ingeniería y la administración. Por ejemplo, en la administración se pueden utilizar conceptos de aceleración para analizar el crecimiento de una empresa en términos de la tasa de cambio de ventas o de la expansión del mercado.

En resumen, la aceleración en derivadas es una medida de cómo la velocidad cambia en función del tiempo, y se utiliza en física, ingeniería y otras disciplinas para analizar el cambio rápido y constante de magnitudes.

# data[].attributes.body
Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta y su posición está dada por la función s(t) = 3t^2 - 2t + 1, donde s representa la posición en función del tiempo t.

Para encontrar la aceleración del objeto, necesitamos calcular la derivada segunda de la función de posición s(t).

1. Primero, calculamos la primera derivada de s(t) respecto a t:

s'(t) = d/dt (3t^2 - 2t + 1)

= 6t - 2

2. A continuación, calculamos la segunda derivada de s(t) respecto a t (es decir, calculamos la derivada de la velocidad):

s''(t) = d/dt (6t - 2)

= 6

¡Y eso es todo! La aceleración del objeto es constante y igual a 6 unidades por segundo al cuadrado.

Esta respuesta nos indica que la velocidad del objeto está aumentando a una tasa constante de 6 unidades por segundo en dirección positiva en la línea recta.

# data[].attributes.body
La aceleración en derivada aplicada en administración se refiere a la medida del cambio en la tasa de crecimiento de una variable con respecto al tiempo. En otras palabras, la aceleración en derivada es la segunda derivada de una función que relaciona dos variables, donde la primera derivada mide la tasa de cambio y la segunda derivada mide cómo esa tasa de cambio está cambiando a su vez.

En la administración, la aceleración en derivada puede aplicarse para analizar el crecimiento de diferentes métricas o indicadores clave de rendimiento (KPI, por sus siglas en inglés) en una empresa. Por ejemplo, se puede utilizar para evaluar cómo está cambiando la tasa de crecimiento de las ventas, los beneficios, los costos, la demanda del mercado u otros indicadores importantes.

Al calcular la aceleración en derivada, se puede obtener información adicional sobre la tendencia y el impulso de una variable en un período de tiempo específico, lo que puede ayudar a los administradores a tomar decisiones estratégicas más fundamentadas y a adaptar su enfoque en función de los cambios identificados.

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Ejercicio:

Supón que una empresa está realizando un estudio sobre su crecimiento en ventas a lo largo del tiempo. Los datos de ventas (en miles de unidades) para cada año son los siguientes:

Año 1: 50

Año 2: 70

Año 3: 90

Año 4: 120

Año 5: 150

Usando los datos anteriores, determina la aceleración del crecimiento en ventas entre el año 2 y el año 4.

Respuesta:

Para determinar la aceleración del crecimiento en ventas, necesitaremos calcular la segunda derivada de la función que relaciona las ventas con el tiempo.

Paso 1: Obtener la primera derivada

Primero, calcularemos la primera derivada de la función de ventas para obtener la tasa de cambio del crecimiento en ventas:

F'(t) = dV(t)/dt

Usando los datos proporcionados, podemos calcular la primera derivada de la función de ventas:

F'(t) = (70 - 50)/(2 - 1) = 20

Paso 2: Obtener la segunda derivada

Después de obtener la primera derivada, vamos a calcular la segunda derivada para determinar la aceleración del crecimiento en ventas:

F''(t) = d^2V(t)/dt^2

Usando los datos proporcionados nuevamente, podemos calcular la segunda derivada:

F''(t) = ((120 - 70)/(4 - 2) - (70 - 50)/(2 - 1))/(4 - 1) = 25

La aceleración del crecimiento en ventas entre el año 2 y el año 4 es igual a 25 unidades de ventas por año al cuadrado.

# data[].attributes.body
El costo marginal es la derivada de la función de costos. El ingreso marginal es la derivada de la función de ingresos. La ganancia marginal es la derivada de la función de ganancias, que se basa en la función de costos y la función de ingresos.

El costo marginal en el contexto de las derivadas se refiere al cambio en el costo total al producir una unidad adicional de un bien o servicio. En otras palabras, representa el costo adicional incurrido al aumentar la producción en una unidad. Se calcula tomando la derivada del costo total con respecto a la cantidad producida. El costo marginal es importante ya que ayuda a las empresas a tomar decisiones óptimas sobre la cantidad de producción, ya que se busca maximizar los beneficios al igualar el costo marginal con el ingreso marginal.

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Objetivos de aprendizaje

3.4.1 Determinar un nuevo valor de una cantidad a partir del valor anterior y la cantidad de cambio.

3.4.2 Calcular la tasa de cambio promedio y explicar en qué se diferencia de la tasa de cambio instantánea.

3.4.3 Aplicar las tasas de cambio al desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta.

3.4.4 Predecir la población futura a partir del valor actual y la tasa de crecimiento de la población.

3.4.5 Utilizar las derivadas para calcular el costo marginal y los ingresos en una situación comercial.

En esta sección veremos algunas aplicaciones de la derivada centrándonos en su interpretación como la tasa de cambio de una función. Estas aplicaciones incluyen la aceleración y la velocidad en física, las tasas de crecimiento de la población en biología y las funciones marginales en economía.

Fórmula de la cantidad de cambio

Una de las aplicaciones de las derivadas es estimar un valor desconocido de una función en un punto utilizando un valor conocido de la función en algún punto dado junto con su tasa de cambio en el punto dado. Si los valores de es una función definida en un intervalo [a,a+h], [a,a+h], entonces la cantidad de cambio de sobre el intervalo es el cambio en los valores de la función en ese intervalo y viene dada por

La tasa de cambio de la función en ese mismo intervalo es la relación entre la cantidad de cambio en ese intervalo y el cambio correspondiente en los valores . Viene dado por

Como sabemos, la tasa de cambio instantánea de en es su derivada

Para valores suficientemente pequeños de h,f′≈f(a+h)−f(a)h. h,f′≈f(a+h)−f(a)h. Podemos entonces resolver para f f a fin de obtener la fórmula de la cantidad de cambio:

f(a+h)≈f(a)+f′(a)h. f(a+h)≈f(a)+f′(a)h.

Podemos utilizar esta fórmula si solo conocemos y f′(a) f′(a) y deseamos estimar el valor de f. f. Por ejemplo, podemos utilizar la población actual de una ciudad y su tasa de crecimiento para estimar su número en un futuro próximo. Como podemos ver en la Figura 3.22, estamos aproximando f(a+h) f(a+h) por las coordenadas en a+h a+h en la línea tangente a en Observe que la exactitud de esta estimación depende del valor de así como del valor de f′. f′.

Movimiento a lo largo de una línea

Otro uso de la derivada es el de analizar el movimiento a lo largo de una línea. Describimos la velocidad como la tasa de cambio de posición. Si tomamos la derivada de la velocidad, podemos encontrar la aceleración, o la tasa de cambio de la velocidad. También es importante presentar la idea de rapidez, que es la magnitud de la velocidad. Así, podemos enunciar las siguientes definiciones matemáticas.

Definición

Supongamos que es una función que da la posición de un objeto en el tiempo t. t.

La velocidad del objeto en el tiempo viene dada por

La rapidez del objeto en el momento viene dada por ||. ||.

La aceleración del objeto en viene dada por

Cambio de población

Además de analizar la velocidad, la rapidez, la aceleración y la posición, podemos utilizar las derivadas para analizar varios tipos de poblaciones, incluso aquellas tan diversas como colonias de bacterias y ciudades. Podemos utilizar una población actual, junto con la tasa de crecimiento, para estimar el tamaño de una población en el futuro. La tasa de crecimiento de la población es la tasa de cambio de una población y, en consecuencia, puede representarse mediante la derivada del tamaño de la población.

Definición

Si los valores de es el número de individuos de una población, entonces la tasa de crecimiento de la población de se define como P′. P′.

Cambios en los costos e ingresos

Además de analizar el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento de la población, las derivadas se usan para analizar los cambios en los costos, los ingresos y las ganancias. El concepto de función marginal es habitual en el ámbito de la empresa y la economía e implica el uso de derivadas. El costo marginal es la derivada de la función de costos. El ingreso marginal es la derivada de la función de ingresos. La ganancia marginal es la derivada de la función de ganancias, que se basa en la función de costos y la función de ingresos.

Definición

Si los valores de es el costo de producción de x artículos, entonces el costo marginal ¿es

Si los valores de son los ingresos obtenidos por la venta de artículos, entonces el ingreso marginal ¿es

Si los valores de P=R−C P=R−C es la ganancia obtenida por la venta de x artículos, entonces la ganancia marginal M P(x) M P(x) se define como

Podemos hacer una aproximación

eligiendo un valor adecuado para h.h. Como x representa objetos, un valor razonable y pequeño para es 1. Así, sustituyendo h=1, h=1, obtenemos la aproximación En consecuencia, C′ C′ para un valor determinado de puede considerarse como el cambio en el costo asociado a la producción de un artículo adicional. De manera similar, se aproxima a los ingresos obtenidos por la venta de un artículo adicional, y se aproxima la ganancia obtenida por la producción y venta de un artículo adicional.

Sección 3.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, las funciones dadas representan la posición de una partícula que viaja a lo largo de una línea horizontal.

1. Halle las funciones de velocidad y aceleración.

2. Determine los intervalos de tiempo en los que el objeto se ralentiza o se acelera.

153.

Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo. La distancia s s en ft que el cohete viaja desde el suelo después de segundos viene dada por

1. Halle la velocidad del cohete 3 segundos después de su lanzamiento.

2. Halle la aceleración del cohete 3 segundos después de su lanzamiento.

154 .

Se lanza una pelota hacia abajo con una velocidad de 8 ft/s desde lo alto de un edificio de 64 ft de altura. Después de t segundos, su altura sobre el suelo viene dada por

1. Determine el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo.

2. Determine la velocidad de la pelota cuando toca el suelo.

155.

La función de posición s=t 2 −3 t−4 s=t 2 −3 t−4 representa la posición de la parte trasera de un automóvil que sale en marcha atrás de un camino de entrada y luego conduciendo en línea recta, donde está en pies y está en segundos. En este caso, s=0 s=0 representa el momento en que la parte trasera del auto está en la puerta del garaje, por lo que s=−4 s=−4 es la posición inicial del automóvil, 4 ft dentro del garaje.

159.

1. Utilice el gráfico de la función de posición para determinar los intervalos de tiempo en los que la velocidad es positiva, negativa o cero.

2. Dibuje el gráfico de la función de velocidad.

3. Utilice el gráfico de la función velocidad para determinar los intervalos de tiempo en los que la aceleración es positiva, negativa o cero.

4. Determine los intervalos de tiempo en los que el objeto se acelera o desacelera.

161.

El precio (en dólares) y la demanda para un determinado radio-reloj digital viene dado por la función precio-demanda p=10−0,001 x. p=10−0,001 x.

1. Halle la función de ingresos R. R.

2. Halle la función de ingreso marginal.

3. Halle el ingreso marginal en y 5.000. 5.000.

162 .

1. Halle la ganancia exacta de la venta de la trigésima patineta.

2. Halle la función de ganancia marginal y utilícela para estimar la ganancia de la venta de la trigésima patineta.

163.

[T] En general, la función de ganancias es la diferencia entre las funciones de ingresos y costos: P=R−C. P=R−C.

Supongamos que las funciones de precio-demanda y de costo para la producción de taladros inalámbricos vienen dadas, respectivamente, por p=143−0,03 x p=143−0,03 x y C=75.000+65 x, C=75.000+65 x, donde es el número de taladros inalámbricos que se venden a un precio de dólares por taladro y es el costo de producción de taladros inalámbricos.

1. Calcule la función de costo marginal.

2. Halle las funciones de ingresos y de ingresos marginales.

3. Halle y Interprete los resultados.

4. Halle las funciones de ganancias y de ganancia marginal.

5. Halle y Interprete los resultados.

165.

1. Halle la tasa de cambio del número de bacterias.

2. Halle N′,N′,N′, N′,N′,N′, y N′. N′.

3. Interprete los resultados en (b).

4. Halle N″,N″,N″, N″,N″,N″, y N″. N″. Interprete lo que implican las respuestas sobre el crecimiento de la población de bacterias.

166 .

La fuerza centrípeta de un objeto de masa viene dada por F=m v 2 r, F=m v 2 r, donde es la velocidad de rotación y es la distancia desde el centro de rotación.

1. Halle la tasa de cambio de la fuerza centrípeta con respecto a la distancia desde el centro de rotación.

2. Halle la tasa de cambio de la fuerza centrípeta de un objeto con una masa de 1.000 kilogramos, una velocidad de 13,89 m/s y una distancia de 200 metros desde el centro de rotación.

Las siguientes preguntas se refieren a la población de Londres (en millones) por década en el siglo XIX, que se muestra en la siguiente tabla.

Años desde 1800

Población (millones)

1

0,8795

11

1,040

21

1,264

31

1,516

41

1,661

51

2,000

61

2,634

71

3,272

81

3,911

91

4,422

167.

[T]

1. Utilizando una calculadora o un programa informático halle la función lineal de mejor ajuste para medir la población.

2. Halle la derivada de la ecuación en a. y explica su significado físico.

3. Calcule la segunda derivada de la ecuación y explique su significado físico.

168 .

[T]

1. Utilizando una calculadora o un programa informático, halle la curva cuadrática que mejor se ajuste a los datos.

2. Halle la derivada de la ecuación y explique su significado físico.

3. Calcule la segunda derivada de la ecuación y explique su significado físico.

En los siguientes ejercicios, piense en un astronauta en un gran planeta de otra galaxia. Para conocer mejor la composición de este planeta, el astronauta deja caer un sensor electrónico en una zanja profunda. El sensor transmite su posición vertical cada segundo en relación con la posición del astronauta. El resumen de los datos del sensor mientras cae se muestra en la siguiente tabla.

Tiempo después de la caída (s)

Posición (m)

0

0

1

−1

2

−2

3

−5

4

−7

5

−14

169.

[T]

1. Utilizando una calculadora o un programa informático, halle la curva cuadrática que mejor se ajuste a los datos.

2. Calcule la derivada de la función de posición y explique su significado físico.

3. Calcule la segunda derivada de la función de posición y explique su significado físico.

170 .

[T]

1. Utilizando una calculadora o un programa informático halle la curva cúbica que mejor se ajusta a los datos.

2. Calcule la derivada de la función de posición y explique su significado físico.

3. Calcule la segunda derivada de la función de posición y explique su significado físico.

4. Utilizando el resultado de c. explica por qué una función cúbica no es una buena opción para este problema.

Los siguientes problemas tratan de las ecuaciones de Holling tipo I, II y III. Estas ecuaciones describen el evento ecológico de crecimiento de una población de depredadores dada la cantidad de presas disponibles para su consumo.

171.

[T] La ecuación de Holling tipo I se describe mediante f=a x, f=a x, donde es la cantidad de presas disponibles y es la velocidad a la que el depredador se encuentra con la presa para consumirla.

1. Grafique la ecuación de Holling tipo I, dada

2. Determine la primera derivada de la ecuación de Holling tipo I y explique físicamente lo que la derivada implica.

3. Determine la segunda derivada de la ecuación de Holling tipo I y explica físicamente lo que la derivada implica.

4. Utilizando las interpretaciones de b. y c. explique por qué la ecuación de Holling tipo I puede no ser realista.

172 .

1. Grafique la ecuación de Holling tipo II dada y ¿Cuáles son las diferencias entre las ecuaciones de Holling tipo I y II?

2. Tome la primera derivada de la ecuación de Holling tipo II e interprete su significado físico.

3. Demuestre que f=1 2 a f=1 2 a e interprete el significado del parámetro n.n.

4. Halle e interprete el significado de la segunda derivada. ¿Qué hace que la función de Holling tipo II sea más realista que la función de Holling tipo I?

173.

1. Grafique la ecuación de Holling tipo III dada y ¿Cuáles son las diferencias entre las ecuaciones de Holling tipo II y III?

2. Tome la primera derivada de la ecuación de Holling tipo III e interprete su significado físico.

3. Halle e interprete el significado de la segunda derivada (puede ser útil graficarla).

4. ¿Qué otros fenómenos ecológicos describen la función de Holling tipo III en comparación con la de tipo II?

174 .

[T] Las poblaciones de la liebre americana (en miles) y del lince (en cientos) recogidas a lo largo de 7 años, de 1937 a 1943, se muestran en la siguiente tabla. La liebre americana es la presa principal del lince.

Población de liebre americana (en miles)

Población de linces (en cientos)

20

10

55

15

65

55

95

60

1. Grafique los puntos de datos y determine qué función de tipo Holling se ajusta mejor a los datos.

2. Utilizando los significados de los parámetros y n, n, determine los valores de los mismos examinando un gráfico de los datos. Recordemos que mida qué valor de la presa resulta en el medio máximo del valor del depredador.

3. Trace las funciones resultantes de tipo Holling I, II y III sobre los datos. ¿Es correcto el resultado de la parte a.?

# data[].attributes.attachment_link.title
3.4 Las derivadas como tasas de cambio - Cálculo volumen 1 | OpenStax

# data[].attributes.attachment_link.description
Una de las aplicaciones de las derivadas es estimar un valor desconocido de una función en un punto utilizando un valor conocido de la función en algún ...

# data[].attributes.body
Ejercicio:

Supongamos que el costo total (en dólares) para producir x unidades de un producto está dado por la función C(x) = 0.1x^2 + 5x + 100. Encuentra el costo marginal en función de x, dC/dx, y evalúa su valor cuando x = 10.

Respuesta:

Para encontrar el costo marginal, debemos derivar la función C(x) con respecto a x. La derivada de C(x) nos dará la tasa de cambio del costo total con respecto a la cantidad de unidades producidas.

Primero, para encontrar dC/dx, debemos derivar cada término por separado:

dC/dx = d(0.1x^2 + 5x + 100)/dx

= d(0.1x^2)/dx + d(5x)/dx + d(100)/dx

= 0.2x + 5

El costo marginal es 0.2x + 5.

Ahora, evaluemos el costo marginal cuando x = 10:

dC/dx = 0.2(10) + 5

= 2 + 5

= 7

Por lo tanto, el costo marginal cuando x = 10 es de 7 dólares.

# data[].attributes.body
En microeconomía, el ingreso marginal es el cambio en el ingreso total que se produce cuando la cantidad vendida se incrementa una unidad, es decir, al incremento del ingreso total que supone la venta adicional de una unidad de un determinado bien.

El ingreso marginal en derivadas es una medida utilizada en economía para calcular el cambio en los ingresos totales que se produce al cambiar una unidad adicional de producción o venta de un bien o servicio.

En términos matemáticos, el ingreso marginal se puede obtener derivando la función de ingreso total con respecto a la cantidad producida o vendida. Es decir, si la función de ingreso total es denotada por R(x), donde x representa la cantidad de producto, entonces el ingreso marginal es la derivada de la función R(x) con respecto a x, es decir, dR(x)/dx.

El ingreso marginal indica cómo cambian los ingresos totales cuando se produce o vende una unidad adicional de producto. Si el ingreso marginal es positivo, significa que el cambio en los ingresos totales es positivo y, por lo tanto, se puede considerar una decisión favorable. Si el ingreso marginal es negativo, indica que el cambio en los ingresos totales es negativo, lo que podría sugerir que reducir la producción o venta sería más beneficioso.

El ingreso marginal también se utiliza en la teoría de la maximización de beneficios, donde se compara con los costos marginales para determinar el nivel óptimo de producción o venta que maximice los beneficios. En este caso, el óptimo se alcanza cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
De Wikipedia, la enciclopedia libre

En microeconomía, el ingreso marginal es el cambio en el ingreso total que se produce cuando la cantidad vendida se incrementa una unidad, es decir, al incremento del ingreso total que supone la venta adicional de una unidad de un determinado bien. Matemáticamente, la función del ingreso marginal es expresada como la derivada primera de la función del ingreso total con respecto a la cantidad.[1] ​

Así es la derivada de un producto:

.

Ingreso marginal y equilibrio de la empresa.

La condición de equilibrio de la empresa que desea maximizar su beneficio es ingreso marginal igual a coste marginal. El modelo más extendido para determinar la cantidad que deben producir las empresas, parte de la premisa, bastante realista, de que estas desean como objetivo único maximizar el beneficio obtenido. Los beneficios se definen como los ingresos menos los costes.​

Por tanto, desde el punto de vista matemático, maximizar la función de beneficio significa que la primera derivada de esa función sea igual a cero y de esa manera en el equilibrio, el ingreso marginal será igual al coste marginal.

Los gráficos muestran la relación entre la demanda y el ingreso total para una curva de demanda lineal. A medida que el precio decrece en el tramo elástico, el ingreso total se incrementa, pero en el tramo inelástico, el ingreso total decrece. El ingreso total se maximiza en la cantidad donde la elasticidad demanda precio es igual a 1.

Partiendo de la fórmula de la elasticidad demanda precio:​

Sustituyendo en la fórmula que describe el ingreso marginal, nos queda una fórmula que relaciona el ingreso marginal con la elasticidad precio de la demanda:

.

Elasticidad e ingreso total (Variaciones en el precio e ingreso total)

Cuando la elasticidad en valor absoluto es 1, el ingreso marginal es cero, puesto que esto significa que el incremento del precio se ve compensado por la disminución de la cantidad demandada sin variar por tanto el ingreso total.

Si la elasticidad es inferior a 1, la subida del precio conlleva un ingreso marginal menos negativo que el del tramo de demanda que se pierde al aumentar el precio y por tanto sube el ingreso total.

Si la elasticidad es superior a 1, la subida del precio conlleva menos tramo de ingreso marginal positivo al verse reducida la cantidad demandada por el aumento de precio y por tanto desciende el ingreso total.

Elasticidad e ingreso marginal (Variaciones en la cantidad producida e ingreso total)

De acuerdo con la fórmula que desarrolla el ingreso marginal y lo vincula con la elasticidad:

Si la demanda es inelástica, el ingreso marginal (la variación del ingreso cuando aumenta una unidad de cantidad producida) es negativo. Por lo que el ingreso disminuye cuando aumenta la producción.

Si la demanda es elástica (elasticidad > 1), el ingreso marginal será positivo. Por lo que el ingreso aumenta cuando aumenta la producción.

En competencia perfecta el precio se comporta como una constante con lo que en la derivada del ingreso y así el ingreso marginal que como se ha expuesto antes es , es decir ingreso marginal es igual al precio y la condición de equilibrio precio igual al coste marginal.

Figura 1 Curva de demanda e ingreso marginal.

Ingreso marginal y el monopolio

En un monopolio la elevación del precio producirá una disminución de las venta y el ingreso irá descendiendo, así: ( ) y por tanto el ingreso marginal es menor que el precio.

De acuerdo con la relación entre ingreso marginal y elasticidad, un monopolista nunca elegirá un punto en la que la curva de demanda sea inelástica pues si la elasticidad es menor que uno el ingreso marginal será negativo y en consecuencia, probablemente no podrá ser igual al coste marginal. En consecuencia el punto que produce un beneficio máximo se tiene que encontrar situado donde la elasticidad sea mayor que 1.

Caso especial: curva inversa de demanda de carácter lineal

En el caso especial que la curva inversa de demanda sea de carácter lineal:

, el ingreso será: . y por tanto: .

y por tanto el :

En la figura 1 se muestra el trazado de la demanda y del ingreso marginal, en este último caso.

Referencias

# data[].attributes.attachment_link.title
Ingreso marginal - Wikipedia, la enciclopedia libre

# data[].attributes.attachment_link.description
De Wikipedia, la enciclopedia libre En microeconomía, el ingreso marginal es el cambio en el ingreso total que se produce cuando la cantidad vendida se incrementa una unidad, es decir, al incremento del ingreso total que supone la venta adicional de una unidad de un determinado bien.

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Ejercicio: En una empresa de producción de bienes, se sabe que la función de costo total (C) está dada por la expresión C(x) = 0.05x^3 - 2x^2 + 50x + 100, donde x representa la cantidad de unidades producidas. Encuentra la tasa de cambio del costo total con respecto a la cantidad de unidades producidas cuando se producen 100 unidades.

Respuesta: Para encontrar la tasa de cambio del costo total con respecto a la cantidad de unidades producidas, debemos derivar la función de costo total con respecto a x y luego evaluarla en x = 100.

Derivando la función C(x) = 0.05x^3 - 2x^2 + 50x + 100, obtenemos:

C'(x) = 0.15x^2 - 4x + 50

Evaluando la derivada en x = 100, tenemos:

C'(100) = 0.15(100)^2 - 4(100) + 50

= 0.15(10000) - 400 + 50

= 1500 - 400 + 50

= 1150

Por lo tanto, la tasa de cambio del costo total con respecto a la cantidad de unidades producidas cuando se producen 100 unidades es de 1150 unidades monetarias por unidad producida.

# data[].attributes.body
En una empresa de ventas, se sabe que la función de ingreso total (I) está dada por la expresión I(x) = 20x - 0.5x^2, donde x representa la cantidad de productos vendidos. Encuentra la tasa de cambio del ingreso total con respecto a la cantidad de productos vendidos cuando se venden 50 unidades.

Respuesta: Para encontrar la tasa de cambio del ingreso total con respecto a la cantidad de productos vendidos, debemos derivar la función de ingreso total con respecto a x y luego evaluarla en x = 50.

Derivando la función I(x) = 20x - 0.5x^2, obtenemos:

I'(x) = 20 - x

Evaluando la derivada en x = 50, tenemos:

I'(50) = 20 - 50

= -30

Por lo tanto, la tasa de cambio del ingreso total con respecto a la cantidad de productos vendidos cuando se venden 50 unidades es de -30 unidades monetarias por unidad vendida.

# data[].attributes.body
En una empresa de ventas, se sabe que la función de ingreso total (I) está dada por la expresión I(x) = 20x - 0.5x^2, donde x representa la cantidad de productos vendidos. Encuentra la tasa de cambio del ingreso total con respecto a la cantidad de productos vendidos cuando se venden 50 unidades.

Respuesta: Para encontrar la tasa de cambio del ingreso total con respecto a la cantidad de productos vendidos, debemos derivar la función de ingreso total con respecto a x y luego evaluarla en x = 50.

Derivando la función I(x) = 20x - 0.5x^2, obtenemos:

I'(x) = 20 - x

Evaluando la derivada en x = 50, tenemos:

I'(50) = 20 - 50

= -30

Por lo tanto, la tasa de cambio del ingreso total con respecto a la cantidad de productos vendidos cuando se venden 50 unidades es de -30 unidades monetarias por unidad vendida.

# data[].attributes.body
En una empresa de recursos humanos, se sabe que la función de costo de contratación (C) está dada por la expresión C(x) = 1000 + 200x + 10x^2, donde x representa la cantidad de empleados contratados. Encuentra la tasa de cambio del costo de contratación con respecto a la cantidad de empleados contratados cuando se contratan 50 empleados.

Respuesta: Para encontrar la tasa de cambio del costo de contratación con respecto a la cantidad de empleados contratados, debemos derivar la función de costo de contratación con respecto a x y luego evaluarla en x = 50.

Derivando la función C(x) = 1000 + 200x + 10x^2, obtenemos:

C'(x) = 200 + 20x

Evaluando la derivada en x = 50, tenemos:

C'(50) = 200 + 20(50)

= 200 + 1000

= 1200

Por lo tanto, la tasa de cambio del costo de contratación con respecto a la cantidad de empleados contratados cuando se contratan 50 empleados es de 1200 unidades monetarias por empleado contratado.

# data[].attributes.body
Función de costo total en una empresa de fabricación de productos. La función de costo total (C) está dada por la expresión C(x) = 5000 + 10x, donde x representa la cantidad de unidades producidas.

Respuesta: La función de costo total indica que hay un costo fijo de 5000 unidades monetarias más un costo variable de 10 unidades monetarias por cada unidad producida.

# data[].attributes.body
Función de ingreso total en una empresa de ventas. La función de ingreso total (I) está dada por la expresión I(x) = 20x - 0.5x^2, donde x representa la cantidad de productos vendidos.

Respuesta: La función de ingreso total indica que el ingreso obtenido por la venta de productos está determinado por una función cuadrática, donde se obtiene un ingreso máximo cuando se venden cierta cantidad de productos.

# data[].attributes.body
Función de demanda en una empresa de servicios. La función de demanda (D) está dada por la expresión D(p) = 1000 - 5p, donde p representa el precio del servicio.

Respuesta: La función de demanda indica que a medida que el precio del servicio aumenta, la cantidad demandada disminuye. Además, muestra que hay una demanda máxima de 1000 unidades cuando el precio es cero.

# data[].attributes.body
Función de producción en una empresa agrícola. La función de producción (P) está dada por la expresión P(x) = 2x^2 + 10x, donde x representa la cantidad de recursos utilizados.

Respuesta: La función de producción indica que a medida que se utilizan más recursos, la producción aumenta de acuerdo a una función cuadrática. Además, muestra que hay un punto máximo de producción cuando se utilizan cierta cantidad de recursos.

# data[].attributes.body
Función de depreciación en una empresa de bienes raíces. La función de depreciación (D) está dada por la expresión D(t) = 100000 - 5000t, donde t representa el tiempo en años.

Respuesta: La función de depreciación indica que el valor de un activo disminuye linealmente con el tiempo. Muestra que el activo tiene un valor inicial de 100000 unidades monetarias y se deprecia a una tasa de 5000 unidades monetarias por año.

# data[].attributes.body
Función de producción y maximización de utilidades

En una empresa de manufactura, se sabe que la función de producción (P) está dada por la expresión P(x) = 100x - 2x^2, donde x representa la cantidad de unidades producidas. La empresa desea determinar la cantidad de unidades que maximice sus utilidades.

Respuesta:

Para maximizar las utilidades, debemos encontrar el valor de x que maximice la función de utilidad total (U). La función de utilidad total está dada por la diferencia entre los ingresos totales y los costos totales, es decir, U(x) = P(x) - C(x).

Sustituyendo la función de producción y la función de costo total en la función de utilidad total, obtenemos:

U(x) = (100x - 2x^2) - (5000 + 5x)

= -2x^2 + 95x - 5000

Para encontrar la cantidad de unidades que maximiza las utilidades, derivamos la función de utilidad total con respecto a x y igualamos a cero:

U'(x) = -4x + 95 = 0

Resolviendo la ecuación, encontramos que x = 23.75. Sin embargo, en el contexto de la empresa, no tiene sentido producir una cantidad fraccionaria de unidades. Por lo tanto, redondeamos esta solución al número entero más cercano.

Por lo tanto, la cantidad de unidades que maximiza las utilidades es de 24 unidades.

# data[].attributes.body
Función de producción y minimización de costos

En una empresa de fabricación de productos, se sabe que la función de producción (P) está dada por la expresión P(x) = 2x^2 + 10x, donde x representa la cantidad de recursos utilizados. La empresa desea determinar la cantidad de recursos que minimice sus costos totales.

Respuesta:

Para minimizar los costos totales, debemos encontrar el valor de x que minimice la función de costo total (C). La función de costo total está dada por la suma del costo fijo y el costo variable, es decir, C(x) = 5000 + 5x.

Sustituyendo la función de producción en la función de costo total, obtenemos:

C(x) = 5000 + 5(2x^2 + 10x)

= 5000 + 10x^2 + 50x

Para encontrar la cantidad de recursos que minimiza los costos totales, derivamos la función de costo total con respecto a x y igualamos a cero:

C'(x) = 20x + 50 = 0

Resolviendo la ecuación, encontramos que x = -2.5. Sin embargo, en el contexto de la empresa, no tiene sentido utilizar una cantidad negativa de recursos. Por lo tanto, descartamos esta solución.

Por lo tanto, no hay una cantidad de recursos que minimice los costos totales en este caso.

# data[].attributes.body
Función de costo de transporte en un viaje en automóvil

Supongamos que estás planeando un viaje en automóvil y quieres determinar el costo total del transporte en función de la distancia recorrida. Sabes que el costo por kilómetro es de $0.10 y que hay un costo fijo de $50 por el alquiler del automóvil. Encuentra la función de costo total en función de la distancia recorrida.

Respuesta:

La función de costo total (C) en función de la distancia recorrida (d) está dada por la expresión C(d) = 0.10d + 50, donde d representa la distancia en kilómetros.