# data[].attributes.body
- Funcions.

- Inequacions

- Vectors.

- Rectes al pla

- Posició relativa de dues rectes al pla

- Apunts

- Dianes d'aprenentatge.

- Experiència personal 1r trimestre

- Nivell d'esforç dedicat i aspectes a millorar

# data[].attributes.body
La veritat que aquest trimestre m'ha costat potser una mica més que l'anterior, sobretot el tema de les funcions. El que m'ha semblat més fàcil ha sigut el tema dels vectors, ja que ho he entès més ràpid i fàcil.

La meva manera d'estudiar és estar el màxim que hi pugi atenta a classe perquè el més important és entendre les coses i a part d'això repassar fer apunts/exercicis per l'examen.

# data[].attributes.headline
Nivell d'esforç dedicat i aspectes a millorar

# data[].attributes.subject
Nivell d'esforç dedicat i aspectes a millorar

# data[].attributes.body
La veritat que jo crec que he intentat donar el meu màxim per cent encara que hi ha a vegades que no hi puc estar quieta o callada llavors això m'agradaria millorar-lo per poder concentrar-me més i crear un bon clima de treball pels companys.

# data[].attributes.body
Color vermell - principi de trimestre

Color verd - final de trimestre

# data[].attributes.body
Una funció és una relació entre dues variables numèriques, de manera que a cada valor de la variable independent x li correspon un ÚNIC valor de la variable dependent y .

# data[].attributes.headline
Una funció es pot expresar de diverses formes

# data[].attributes.subject
Una funció es pot expresar de diverses formes

# data[].attributes.body
Hi ha diferents formes de representar una funció. Les principals són:

• Mitjançant un enunciat (verbal o escrit).

• Mitjançant una expressió algebraica (algèbrica).

• Mitjançant una taula de valors.

• Mitjançant un gràfic.

# data[].attributes.body
El domini d’una funció és el conjunt de valors de la variable independent x per als quals existeix la funció, és a dir, és el conjunt de tots els valors d’x que tenen imatge.

Dom(f ) = { x∈R : ∃f (x)}

Notació: Dom (f)

# data[].attributes.body
El recorregut o rang d’una funció és el conjunt format per totes les imatges de la funció, és a dir, és el conjunt de tots els valors de la variable dependent y que són imatge d’algun valor d’x.

Rec(f ) = { y∈R : ∃x tal que y=f ( x)}

Notació: Rec (f) o Im (f)

# data[].attributes.body
• Funció constant: f(x)=k

• Funció lineal: f(x)=mx

• Funció afí: f(x)=mx+n

• Funció quadràtica: f(x)=ax2+bx+c

# data[].attributes.headline
Com calcular la imatge d’una funció? ( a partir de la seva expressió algebraica)

# data[].attributes.subject
Com calcular la imatge d’una funció? ( a partir de la seva expressió algebraica)

# data[].attributes.body
Si necessitem calcular la imatge vol dir que hem de calcular la y i tenim un valor conegut de la x .

Com calcular la imatge d’una funció a partir de la seva expressió algebraica?

Per calcular la imatge d’una funció f , a partir de la seva expressió algebraica, només cal substituir el

valor de la x a l’expressió y = f ( x) i calcular.

# data[].attributes.headline
Com calcular la imatge d’una funció? ( a partir de la seva gràfica)

# data[].attributes.subject
Com calcular la imatge d’una funció? ( a partir de la seva gràfica)

# data[].attributes.body
Per calcular la imatge d’una funció f , a partir de la seva gràfica, s’han de seguir els següents passos:

1r – Busquem sobre l’eix d’abscisses (eix horitzontal) el valor de la x .

2n – Tracem una recta vertical fins que intersequi amb la gràfica de la funció f .

3r – Busquem quina ordenada té aquest punt d’intersecció traçant una recta horitzontal fins a

l’eix d’ordenades (eix vertical).

# data[].attributes.headline
Com calcular les antiimatges d’una funció?

# data[].attributes.subject
Com calcular les antiimatges d’una funció?

# data[].attributes.body
Si necessitem calcular les antiimatges vol dir que hem de calcular les x i tenim un valor conegut de la y . Ens podem trobar diferents casos: que no existeixi antiimatge, que tingui només una o que tingui més d’una antiimatge.

# data[].attributes.body
Una inequació és de 1r grau amb una incògnita, x , si la podem acabar expressant d’una de les

següents formes:

ax < b

ax > b

ax ≤ b

ax ≥ b on a, b ∈ R ( pertany a tots els numeros reals ).

# data[].attributes.body
Una inequació és de 2n grau amb una incògnita, x , si la podem acabar expressant d’una de les següents formes:

ax²+ bx + c < 0

ax²+ bx + c > 0

ax²+ bx + c ≤ 0

ax²+ bx + c ≥ 0 on a, b, c ∈ R ( pertany a tots els numeros reals )

Mètode de resolució:

1. Expressem la inequació de 2n grau en una de les formes indicades anteriorment,

2. Canviem la desigualtat per una igualtat i solucionem l’equació de 2n grau,

3. Representem sobre la recta real les solucions donades (si en té) i dibuixem la paràbola

"somrient" (si a > 0) o "trista" (si a < 0 ) ,

4. Trobem les solucions a partir de la interpretació del tipus d’inequació i la representació

realitzada.

# data[].attributes.headline
Com calcular les antiimatges d’una funció a partir de la seva expressió algebraica?

# data[].attributes.subject
Com calcular les antiimatges d’una funció a partir de la seva expressió algebraica?

# data[].attributes.body
Per calcular les antiimatges d’una funció f , a partir de la seva expressió algebraica, cal substituir el valor de la y a l’expressió y = f ( x) i resoldre l’equació resultant. La quantitat d’antiimatges dependrà del nombre de solucions que tingui l’equació a resoldre.

# data[].attributes.headline
Com calcular les antiimatges d’una funció a partir de la seva gràfica?

# data[].attributes.subject
Com calcular les antiimatges d’una funció a partir de la seva gràfica?

# data[].attributes.body
Per calcular les antiimatges d’una funció f , a partir de la seva gràfica, s’han de seguir els següents

passos:

1r – Busquem sobre l’eix d’ordenades (eix vertical) el valor de la y .

2n – Tracem una recta horitzontal fins que intersequi amb la gràfica de la funció f .

(Pot tenir una, més d’una o cap intersecció).

3r – Busquem quina abscissa té cada punt d’intersecció traçant una recta vertical fins a l’eix

d’abscisses (eix horitzontal).

# data[].attributes.body
Les funcions constants són les funcions que tenen la següent expressió algebraica: f (x) = k on k ∈ R (constant)

Les funcions constants són funcions polinòmiques de grau zero, el seu domini és tots els reals Dom(f ) = R i el seu recorregut només està format per un valor Rec(f ) = {k }

La seva gràfica és una línia recta horitzontal que talla l’eix d’ordenades en y = k .

# data[].attributes.body
L'expressió algebraica d'una funció quadràtica és un polinomi de grau 2: amb a≠ 0

Com totes les funcions polinòmiques el dom està format per tots els nombres reals R

La gràfica és una paràbola.

- Talls amb l'eix x    La paràbola talla a l'eix x en les solucions de l'equació

- Tall amb l'eix y    (0,f(0))

- Vèrtex   La coordenada x del vèrtex és X = - b / 2a

Per trobar la coordenada y, substituïm aquest valor de x al polinomi de grau 2.

- Si a es mes gran que 0 la paràbola "mira" cap amunt.

-Si a es mes petit que 0 la paràbola "mira" cap avall.

# data[].attributes.headline
Punt de tall amb l’eix d’ordenades (Eix y)

# data[].attributes.subject
Punt de tall amb l’eix d’ordenades (Eix y)

# data[].attributes.body
El punt de tall d’una funció amb l’eix d’ordenades és el punt on interseca el gràfic de la funció amb l’eix

vertical. Si n’hi ha només n’hi ha un .Equival a trobar la imatge de x=0. Per tant seguirem els mètodes

explicats abans per trobar imatges,és a dir si tenim l’expressió algebraica substituïm la x per 0 i operem. Si

tenim el gràfic només hem de trobar les coordenades del punt d’intersecció del gràfic amb l’eix vertical que

sempre seran de tipus (0,y).

# data[].attributes.headline
Punts de tall amb l’eix d’abscisses (Eix x)

# data[].attributes.subject
Punts de tall amb l’eix d’abscisses (Eix x)

# data[].attributes.body
El punt o punts de tall d’una funció amb l’eix d’abscisses són els punts d’intersecció del gràfic amb l’eix horitzontal. Pot ser que n’hi hagi més d’un , un o cap. Només cal trobar-ne les coordenades. Els punts de l’eix horitzontal sempre són de tipus (x,0). Per tant es tracta de trobar les antiimatges de 0 per la funció , utilitzant els mètodes explicats a l’apartat 3.És a dir substituïm la y per 0 i resolem l’equació obtinguda per a trobar la o les possibles x.

# data[].attributes.body
És creixent en un interval (a,b) si al augmentar els valors de x, augmenten també els de y.

És decreixent en un interval (a,b) si al augmentar els valors de x, disminueixen els de y.

# data[].attributes.headline
Punts de maxims i minims absoluts/relatius

# data[].attributes.subject
Punts de maxims i minims absoluts/relatius

# data[].attributes.body
MAXIM RELATIU : EL punt (a, f(a)) és un màxim si en aquest punt la funció passa de créixer a decréixer. (ÉS UN BIC)

MÍNIM RELATIU: EL punt (b, f(b)) és un mínim si en aquest punt la funcio passa de decréixer a créixer. (ÉS UNA VALL)

# data[].attributes.body
Un vector és un Segment Orientat un segment en qual distingim el punt inicial (origen) i el punt final (Extrem).

# data[].attributes.body
Direcció : Dos vectors tenen la mateixa direcció si estan continguts en rectes paral·leles o iguals.

Sentit : Una direcció té dos sentits. Si mirem la foto ( del primer recuadre ) , dels quatre vectors que tenen la mateixa direcció, hi ha tres que tenen el mateix sentit i un que té sentit contrari (o oposat)

Mòdul o longitud : És la longitud del segment que representa el vector. És sempre un valor positiu.

# data[].attributes.body
Dos vectors direm que són EQUIPOL·LENTS ⇔ tenen el mateix mòdul, el mateix sentit i la mateixa direcció.

# data[].attributes.body
Hi ha un únic representant del vector lliure amb origen en

(0, 0). El seu extrem és el punt P de coordenades les de B menys les de A, que són també els components del vector és el vector posiciódel punt P. El vector és el vector de posició del punt P.

# data[].attributes.body
Dos vectors són oposats si tenen els components del vector oposats, és a dir, l’oposat del vector.

# data[].attributes.body
Anomenem Mòdul del vector a la longitud del vector.

# data[].attributes.body
Donat dos vectors a i b amb cada vector dos components si es suma es tendria que sumar els dos primers components de cada vector i despres els segons components de cada vector fins tenir un vector final, i amb la resta el mateix pero restant-los.

# data[].attributes.headline
Suma / resta de Vectors Gràficament: hi ha dues maneres

# data[].attributes.subject
Suma / resta de Vectors Gràficament: hi ha dues maneres

# data[].attributes.body
Forma 1 (suma) : Col·loquem un vector a continuació de

l’altre, respectant mòdul, sentit i direcció. El vector

suma serà, la RESULTANT, és a dir el vector que té

per origen l’origen del primer i per extrem,

l’extrem del segon vector.

Forma 2 (suma) : REGLA DEL PARAL·LELOGRAM

Col·loquem tots dos vectors units per l’origen.

Hem de construir un paral·lelogram (fent

paral·leles de cada vector). El vector suma, es

correspon amb la diagonal del paral·lelogram

obtingut.

Forma 1 (resta) : Col·loquem un vector a continuació de l’altre, i el que resta, el col·loquem respectant mòdul i

direcció, PERÒ, amb el SENTIT OPOSAT. El vector

diferència serà, la RESULTANT, és a dir el vector que

“arrenca” a l’origen del primer i acaba a l’origen del

segon vector.

Forma 2 (resta) : Regla del Paral·lelogram

Per restar dos vectors de manera gràfica representarem els dos vectors amb el mateix origen, i farem el primer més l’oposat del segon el vector oposat de és un vector igual amb el mateix mòdul i direcció que però amb el sentit oposat. El vector diferència és la DIAGONAL del paral·lelogram.

# data[].attributes.headline
Operacions tant graficament com analiticament

# data[].attributes.subject
Operacions tant graficament com analiticament

# data[].attributes.headline
Com calcular la distancia entre vector A i B

# data[].attributes.subject
Com calcular la distancia entre vector A i B

# data[].attributes.body
Donant-li valors a la k.

# data[].attributes.headline
Calcular els punts que divideixen en tres parts igual un segment

# data[].attributes.subject
Calcular els punts que divideixen en tres parts igual un segment

# data[].attributes.headline
Calcular les coordenades de l'altre extrem

# data[].attributes.subject
Calcular les coordenades de l'altre extrem

# data[].attributes.body
Una inequació és una desigualtat entre dues expressions algebraiques. Les solucions de la inequació són aquell conjunt de valors que fan veritat la desigualtat.

Hi ha quatre tipus de desigualtats:

• < → "Més petit que"

• > → "Més gran que"

• ≤ → "Més petit o igual que"

• ≥ → "Més gran o igual que"

Les solucions d’una inequació es poden expressar de tres maneres:

• Mitjançant una desigualtat.

• Gràficament.

• Mitjançant intervals.

# data[].attributes.body
Dues rectes al pla son secants si els vectors directors

no son proporcionals, és a dir, els pendents de les

rectes son diferents. En aquests cas, les rectes només

tenen un punt en comú i podem distingir entre rectes

secants obliqües (no formen angles rectes) i rectes

secants perpendiculars (formen angles rectes).

# data[].attributes.body
Dues rectes al pla són paral·leles si els vectors directors son proporcionals, és a dir, tenen el mateix pendent i no tenen cap punt en comú.

# data[].attributes.body
Dues rectes al pla són coincidents si els vectors directors son proporcionals, és a dir, tenen el mateix pendent i tots els punts són comuns.

# data[].attributes.headline
Passos a seguir per saber la seva posició relativa

# data[].attributes.subject
Passos a seguir per saber la seva posició relativa

# data[].attributes.body
1r – Calcular el pendent de les dues rectes, directament o a partir del vectors directors.

Podem calcular els pendents, a partir del vectors directors, fent servir la fórmula: m =v2/v1

2n – Si els pendents son diferents (mr ≠ ms) les rectes son secants. En aquest cas, comprovarem si es compleix la igualtat mr = −1/ms. En cas afirmatiu, les rectes secants son perpendiculars. En cas contrari, les rectes secants son obliqües.

3r – Si els pendents són iguals (mr = ms) buscarem les coordenades d’un punt d’una de les rectes i comprovarem si aquest punt compleix l’equació de l’altra recta. En cas afirmatiu, les rectes son coincidents. En cas contrari, les rectes son paral·leles.