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Función seno:

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En la lección de Inversas de Funciones , vimos que un función inversa f-1 deshace el efecto de f sobre la variable de entrada de tal forma que al componerlas se comporten como una función identidad.

Ejemplo 1:

Si f ( x ) = 3 x , la función f-1

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f(x)=a^x

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real  le hace corresponder la potencia  se llama función exponencial de base a y exponente x.

Un ejemplo de una función exponencial es el crecimiento de las bacterias. Algunas bacterias se duplican cada hora. Si comienzas con 1 bacteria y se duplica en cada hora, tendrás 2x bacterias después de x horas. Esto se puede escribir como f(x) = 2x.

Antes de empezar,   f(0) = 20 = 1

Después de 1 hora   f(1) = 2¹ = 2

Después de 2 horas f(2) = 2² = 4

En 3 horas                f(3) = 2³ = 8

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El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

Ejemplos:

Las siguientes son funciones racionales:

1. fx= 3 x 4 + 5 x 3 - 7 x + 4 x 3 + 2 x 2 + 2 x

2. fx= 1 x 3

Por otro lado, la función:

fx= x x 2

no es una función racional pues el denominador no es un polinomio.

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La función lineal es del tipo:
Y=mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Ejemplo:

y=2x

Para representar la función le damos al menos dos valores

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Las funciones trigonométricas son relaciones en las cuales a cada ángulo le corresponde un único número real. El dominio de las funciones trigonométricas son todas las medidas de los ángulos agudos, pero según la función definida, el dominio se puede extender a otros ángulos . Las funciones trigonométricas son conocidas también como funciones circulares ya que pueden demostrarse mediante una circunferencia de radio uno llamada circunferencia unidad.

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Su nombre es dado por el tipo de polinomio que la describe, un polinomio de tercer grado. Sea 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 𝟑 + 𝒃𝒙 𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅, donde a, b, c y d son reales y a≠0. Se define como una función cúbica. El dominio y la imagen están en los reales: 𝒇:𝑹 → R

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Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

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El gráfico es el conjunto de todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen.
Las únicas funciones que se pueden establecer de forma no ambigua mediante líneas, son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva. En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes. Algunos software de representación usan además colores, o curvas de nivel lo cual se puede lograr una representación satisfactoria.
El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.

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Ejemplo gráfico:

A continuación se muestran tres gráficas de funciones cualesquiera. La primera de ellas es una función estrictamente creciente por la izquierda y por la derecha, mientras que es constante en el medio; por lo demás, es creciente pues conserva el orden ascendente durante todo el recorrido de la función, otra forma de interpretar este comportamiento es decir que su derivada primera (D') siempre es mayor o igual a cero (D' >= 0) o que nunca pierde el signo positivo dicha derivada. La segunda de ellas es estrictamente decreciente por la izquierda y por la derecha, puesto que conserva el orden descendente durante todo el recorrido de la función, en este caso es similar que en anterior pero la derivada primera siempre es en este caso menor o igual a cero (D' =<0) y nunca pierde su signo negativo. Lo monótono es la negación al cambio que también se dice en la jerga matemática o del tratamiento de datos «no cambio». Nos estamos refiriendo a que en toda función monótona la derivada nunca cambia el signo independientemente cual sea. Para el análisis matemático es importante se sabe que si se cumple esta condición la función no presenta máximos y mínimos relativos.
La última de ellas es una función con un recorrido con partes donde la función es creciente y partes donde es decreciente, su derivada cambia de signo (presenta máximos y mínimos relativos punto de inflexión).

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En el análisis de funciones, es fundamental identificar el dominio y la imagen de una función, lo cual se puede hacer de dos maneras, la primera es a partir de la gráfica de la función, con la observación detallada de la gráfica podremos identificar el dominio y la imagen

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El modelo matemático de la función es la regla o norma con la que se relacionan el dominio y la imagen de la función, y es igual a: 𝒚 = 𝒙 𝟐 . El dominio: para el caso que se presenta, la variable independiente puede tomar cualquier valor real, luego el dominio son todos los reales. La Imagen: para cualquier valor de la variable independiente, el valor de la variable dependiente será siempre positiva, luego la imagen son todos los reales no negativos.

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En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

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El aplicar las matemáticas a los problemas de la vida real comprende tres etapas. Primero se traduce el problema a términos matemáticos, entonces decimos que tenemos un modelo matemático. Después se obtiene la solución del problema matemático. Por último, se interpreta esta respuesta matemática en términos del problema original. En esta sección trataremos solo el primer paso. De hecho, nuestra atención se enfocará a la determinación de la función o las funciones que involucran los problemas verbales. La facultad para describir las relaciones funcionales que aparecen en un problema es una habilidad matemática que importa desarrollar. Por esta razón mostraremos algunos ejemplos tomados en diferentes campos.
Ejemplo: 4.1 Un estacionamiento en la ciudad cobra $20.00 por la primera hora y $10.00 por cada hora adicional. Expresar la cuota de estacionamiento como una función del número de horas estacionadas.

Solución: Si x representa el número de horas estacionadas, entonces la cuota de estacionamiento F estará dada por la fórmula E = 50 – 25(x-1), donde x es un entero positivo.

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Ejemplos de función lineal creciente:

f(x)= 2x

f(x)= 3x+2

Ejemplos de función lineal decreciente:

f(x)= -4x+7

f(x)= -2x+4

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f(x)=3x-x^3

Revisemos la paridad de la función evaluando {f(-x)}:{f(-x) = 3(-x) - (-x)^3 = -3x + x^3 = -(3x - x^3) = -f(x)} Como {f(-x) = -f(x)} la función es impar y por lo tanto simétrica con respecto al origen.

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FUNCIONES COMO MODELO MATEMÁTICO: El aplicar las matemáticas a los problemas de la vida real comprende tres etapas. Primero se traduce el problema a términos matemáticos, entonces decimos que tenemos un modelo matemático. Después se obtiene la solución del problema matemático. Por último, se interpreta esta respuesta matemática en términos del problema original. En esta sección trataremos solo el primer paso. De hecho, nuestra atención se enfocará a la determinación de la función o las funciones que involucran los problemas verbales. La facultad para describir las relaciones funcionales que aparecen en un problema es una habilidad matemática que importa desarrollar. Por esta razón mostraremos algunos ejemplos tomados en diferentes campos.