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Las funciones exponenciales y = a x funciones logarítmicas log a y = x se le denominan funciones transcendentales, ya que son funciones que transcienden el álgebra en el sentido que ninguna puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y/o extracción de raíces.

Las funciones exponenciales y logarítmicas con base  son inversas una de otra. Por lo tanto, cuando en una expresión y = ax nos dan “a” y “x” para calcular “y”, estamos en presencia de una función exponencial, pero cuando nos dan  “a” e “y” para calcular x, estamos en presencia de una función logarítmica.

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Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

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Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

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Podemos graficar funciones logarítmicas básicas siguiendo los siguientes pasos:Paso 1: Todas las funciones logarítmicas básicas pasan por el punto (1, 0), por lo que empezamos graficando ese punto.Paso 2: Sabemos que la gráfica tiene una asíntota en x=0, por lo que la trazamos.Paso 3: Si es que la base de la función es mayor que 1, la gráfica incrementa de izquierda a derecha. Si es que la base de la función está entre 0 y 1, la gráfica decrece de izquierda a derecha.

# data[].attributes.subject
Podemos graficar funciones logarítmicas básicas siguiendo los siguientes pasos:Paso 1: Todas las funciones logarítmicas básicas pasan por el punto (1, 0), por lo que empezamos graficando ese punto.Paso 2: Sabemos que la gráfica tiene una asíntota en x=0, por lo que la trazamos.Paso 3: Si es que la base de la función es mayor que 1, la gráfica incrementa de izquierda a derecha. Si es que la base de la función está entre 0 y 1, la gráfica decrece de izquierda a derecha.

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En su forma más básica, una función exponencial puede ser considerada como una función en donde la variable aparece en el exponente. La función exponencial más simple es una función de la forma y=b^x , en donde b es un número positivo.Cuando tenemos b>1, la función crece en una manera que es proporcional a su valor original. Esto es llamado crecimiento exponencial.Cuando tenemos 1>b>0, la función decrece en una manera que es proporcional a su valor original. Esto es llamado decrecimiento exponencial.

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En su forma más básica, una función exponencial puede ser considerada como una función en donde la variable aparece en el exponente. La función exponencial más simple es una función de la forma y=b^x , en donde b es un número positivo.Cuando tenemos b>1, la función crece en una manera que es proporcional a su valor original. Esto es llamado crecimiento exponencial.Cuando tenemos 1>b>0, la función decrece en una manera que es proporcional a su valor original. Esto es llamado decrecimiento exponencial.

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El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada de la función. Por ejemplo, el dominio de f(x)=x² consiste de todos los números reales, y el dominio de g(x)=1/x consiste de todos los números reales excepto x=0.

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el codominio es el conjunto que contiene al rango.

# data[].attributes.headline
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logx, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.  

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Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logx, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.  

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Una función exponencial es una función de la forma f(x)=ab^{x} f(x)=ab^{x} en el que el argumento x se presenta como un exponente. 

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Una función exponencial es una función de la forma f(x)=ab^{x} f(x)=ab^{x} en el que el argumento x se presenta como un exponente. 

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 La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

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 La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

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La función exponencial y=ex, es su propia derivada y su propia integral.                                                 Las funciones exponenciales se pueden integrar mediante las siguientes fórmulas

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La función exponencial y=ex, es su propia derivada y su propia integral.                                                 Las funciones exponenciales se pueden integrar mediante las siguientes fórmulas

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El logaritmo natural como integral es igual (Recordando la regla de la potencia para las integrales)

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El logaritmo natural como integral es igual (Recordando la regla de la potencia para las integrales)

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La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

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La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

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Objetivos de aprendizaje

6.7.1 Escribir la definición del logaritmo natural como una integral.

6.7.2 Reconocer la derivada del logaritmo natural.

6.7.3 Integrar funciones que impliquen la función logarítmica natural.

6.7.5 Reconocer la derivada y la integral de la función exponencial.

6.7.6 Demostrar las propiedades de los logaritmos y las funciones exponenciales utilizando las integrales.

6.7.7 Expresar funciones logarítmicas y exponenciales generales en términos de logaritmos naturales y exponenciales.

En capítulos anteriores examinamos las funciones exponenciales y los logaritmos. Sin embargo, pasamos por alto algunos detalles clave en los debates anteriores. Por ejemplo, no hemos estudiado cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes irracionales. La definición del número e es otra área que no se desarrolló totalmente. Ahora tenemos las herramientas para analizar estos conceptos de una manera más rigurosa desde el punto de vista matemático, y lo haremos en esta sección.

Para los fines de esta sección, supongamos que aún no hemos definido el logaritmo natural, el número e, ni ninguna de las fórmulas de integración y diferenciación asociadas a estas funciones. Al final de la sección habremos estudiado estos conceptos de forma matemáticamente rigurosa (y veremos que son coherentes con los conceptos que aprendimos anteriormente).

Comenzaremos la sección definiendo el logaritmo natural en términos de una integral. Esta definición constituye la base de esta sección. A partir de esta definición, derivaremos fórmulas de diferenciación, definiremos el número y ampliaremos estos conceptos a logaritmos y funciones exponenciales de cualquier base.

El logaritmo natural como integral

Recordemos la regla de la potencia para las integrales:

∫x n d x=x n+1 n+1 +C,n≠−1. ∫x n d x=x n+1 n+1 +C,n≠−1.

Propiedades del logaritmo natural

Debido a la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación surge inmediatamente como resultado del teorema fundamental del cálculo.

Derivada del logaritmo natural

Corolario de la derivada del logaritmo natural

Un gráfico de se muestra en la Figura 6.76. Observe que es continua en todo su dominio de (0,∞). (0,∞).

Integral de (1/u) du

∫1 u d u=ln|u|+C. ∫1 u d u=ln|u|+C.

Aunque hemos llamado a nuestra función "logaritmo", en realidad no hemos demostrado que ninguna de las propiedades de los logaritmos se cumpla para esta función. Lo haremos aquí.

Propiedades del logaritmo natural

Si los valores de a,b>0 a,b>0 y es un número racional, entonces

1. ln 1=0 ln 1=0

2. ln(a b)=ln a+ln b ln(a b)=ln a+ln b

3. ln(a b )=ln a−ln b ln(a b )=ln a−ln b

4. ln()=r ln a ln()=r ln a

Prueba

ii. Tenemos

Use la sustitución u u en la última integral de esta expresión. Supongamos que u=t/a. u=t/a. Entonces d u=(1/a)d t. d u=(1/a)d t. Además, cuando t=a,u=1, t=a,u=1, y cuando t=a b,u=b. t=a b,u=b. Así que obtenemos

iv. Tenga en cuenta que

Además,

Como las derivadas de estas dos funciones son iguales, según el teorema fundamental del cálculo, deben diferir en una constante. Así que tenemos

para alguna constante C. C. Si tomamos obtenemos

ln(1 r )= r ln(1)+C 0 = r(0)+C C = 0. ln(1 r )= r ln(1)+C 0 = r(0)+C C = 0.

Así que ln=r ln x ln=r ln x y la prueba está completa. Observe que podemos extender esta propiedad a los valores irracionales de más adelante en esta sección. La parte iii. se deduce de las partes ii. y iv. y la prueba se deja a su criterio.

□

Uso de las propiedades de los logaritmos

Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

ln 9−2 ln 3+ln. ln 9−2 ln 3+ln.

Solución

Tenemos

ln 9−2 ln 3+ln ( 1 3)=ln ( 3 2 )−2 ln 3+ln ( 3 −1 )=2 ln 3−2 ln 3−ln 3=−ln 3. ln 9−2 ln 3+ln ( 1 3)=ln ( 3 2 )−2 ln 3+ln ( 3 −1 )=2 ln 3−2 ln 3−ln 3=−ln 3.

Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

Definición del número e

Ya que definimos el logaritmo natural, podemos utilizar esa función para definir el número

Definición

El número se define como el número real tal que

Para decirlo de otra manera, el área bajo la curva entre t=1 t=1 y t=e t=e ¿es 1 1 ( Figura 6.77). Se deja a su criterio la prueba de que ese número existe y es único. ( Pista: Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar la existencia y el hecho de que es creciente para demostrar su unicidad).

El número puede demostrarse que es irracional, aunque no lo haremos aquí (vea el proyecto estudiantil en la Serie Taylor y Maclaurin). Su valor aproximado viene dado por

e≈2,71828182846. e≈2,71828182846.

La función exponencial

exp=x para x>0 y ln=x para todo x. exp=x para x>0 y ln=x para todo x.

Definición

Para cualquier número real x, x, defina para ser el número para el que

ln y=ln(e x )=x. ln y=ln(e x )=x.

e =x para x>0 y ln(e x )=x e =x para x>0 y ln(e x )=x

para todos los

Propiedades de la función exponencial

Propiedades de la función exponencial

Si los valores de y son números reales cualquiera y es un número racional, entonces

1. e p e q= e p e q=

2. = =

3. (e p ) r=e p r (e p ) r=e p r

Prueba

Observe que si y son racionales, las propiedades se mantienen. Sin embargo, si o son irracionales, debemos aplicar la definición de función inversa de e x e x y verificar las propiedades. Aquí solo verificamos la primera propiedad; verifique las dos restantes. Tenemos

ln(e p e q)=ln+ln=p+q=ln(e p+q ). ln(e p e q)=ln+ln=p+q=ln(e p+q ).

□

Al igual que con la parte iv. de las propiedades del logaritmo, podemos extender la propiedad iii. a los valores irracionales de r,r, y lo haremos al final de la sección.

También queremos verificar la fórmula de diferenciación de la función Para ello, tenemos que utilizar la diferenciación implícita. Supongamos que Entonces

ln y= x ln y= x 1 y = 1 = y. ln y= x ln y= x 1 y = 1 = y.

Así, vemos

como esperábamos, lo que conduce inmediatamente a la fórmula de integración

Aplicaremos estas fórmulas en los siguientes ejemplos.

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Evalúe las siguientes derivadas:

Solución

Aplicamos la regla de la cadena según sea necesario.

1. e 3 t e t 2 ==(3+2 t) e 3 t e t 2 ==(3+2 t) grandes.

2. =6 x =6 x

Evalúe las siguientes derivadas:

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Evalúe la siguiente integral . .

Solución

Utilizando u u −sustitución, supongamos que u=−x 2 . u=−x 2 . Entonces d u=-2 x d x, d u=-2 x d x, y tenemos

=− ∫ e u d u=− e u+C=− e - x 2 +C. =− ∫ e u d u=− e u+C=− e - x 2 +C.

Evalúe la siguiente integral ∫4 e 3 x d x. ∫4 e 3 x d x.

Funciones logarítmicas y exponenciales generales

Definición

para cualquier y para cualquier número real x, x, defina de la siguiente forma:

Ahora, se define rigurosamente para todos los valores de x. Esta definición también nos permite generalizar la propiedad iv. de los logaritmos y la propiedad iii. de las funciones exponenciales para aplicarlas tanto a los valores racionales como irracionales de Es sencillo demostrar que las propiedades de los exponentes se mantienen para las funciones exponenciales generales definidas de esta manera.

Apliquemos ahora esta definición para calcular una fórmula de diferenciación para Tenemos

d d x a x=d d x=ln a=a x ln a. d d x a x=d d x=ln a=a x ln a.

La fórmula de integración correspondiente se deduce inmediatamente.

Derivadas e integrales con funciones exponenciales generales

y

∫a x d x =1 ln a a x+C. ∫a x d x =1 ln a a x+C.

y=log a x si y solo si x=a y. y=log a x si y solo si x=a y.

ln x= ln ln x= y ln a y = log a x= . ln x= ln ln x= y ln a y = log a x= .

=(log a x) =() =(1 )() =1 .1 x =1 x ln a. =(log a x) =() =(1 )() =1 .1 x =1 x ln a.

Derivadas de funciones logarítmicas generales

Sección 6.7 ejercicios

En los siguientes ejercicios, halle la integral indefinida.

En los siguientes ejercicios, halle la integral definida o indefinida.

En los siguientes ejercicios, calcule d y/d x d y/d x diferenciando

En los siguientes ejercicios, evalúe mediante cualquier método.

335.

Halle el área de la región encerrada por y arriba y=ln x. y=ln x.

336 .

[T] Calcule la longitud de arco de de a x=2 . x=2 .

337.

Halle el área entre y el eje x de

338 .

Calcule el volumen de la forma que se crea al girar esta curva desde alrededor del eje x, como se muestra aquí.

339.

[T] Halle el área superficial de la forma que se crea al girar la curva del ejercicio anterior a partir de a alrededor del eje x.

Si no puede hallar los puntos de intersección analíticamente en los siguientes ejercicios, utilice una calculadora.

340 .

Halle el área del cuarto de círculo hiperbólico delimitado por arriba y=1/x. y=1/x.

341.

[T] Calcule la longitud de arco de de

342 .

Halle el área bajo y por encima del eje x de

En los siguientes ejercicios, compruebe las derivadas y antiderivadas.

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6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos - Cálculo volumen 1 | OpenStax

# data[].attributes.attachment_link.description
Objetivos de aprendizaje 6.7.1 Escribir la definición del logaritmo natural como una integral. 6.7.2 Reconocer la derivada del logaritmo natural. 6.7.3 Integrar funciones que impliquen la función logarítmica natural. 6.7.5 Reconocer la derivada y la integral de la función exponencial. 6.7.6 Demostrar las propiedades de los logaritmos y las funciones exponenciales utilizando las integrales.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como , también se puede expresar así:

Derivada de un logaritmo neperiano

La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función dividida por la función.

Ejemplos

# data[].attributes.attachment_link.title
derivada de la función logarítmica - Diccionario de Matemáticas | Superprof

# data[].attributes.attachment_link.description
La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e. Como , también se puede expresar así: Derivada de un logaritmo neperiano La derivada del logaritmo neperiano es igual a la...

# data[].attributes.attachment_link.title
Gráficas de Funciones Exponenciales - Neurochispas

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Las gráficas de las funciones exponenciales pueden ser trazadas al tomar valores de x y usarlos en la función para obtener valores de y.

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Términos importantes

Antes de empezar con las gráficas de las funciones logarítmicas, es importante que nos familiaricemos con algunos términos que serán usados.

Dominio de una función

El dominio de una función es el conjunto de valores que podemos sustituir en la función para obtener respuestas aceptables. Es decir, el dominio son todos los valores posibles para x.

Rango de una función

El rango es el conjunto de valores que obtenemos al sustituir los valores en el dominio de la variable.

Asíntotas

Una asíntota es una línea a la que se acerca una curva a medida que los valores de x o y tienden a infinito. Tenemos tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales e inclinadas. La asíntota vertical es el valor de x en el que la función crece sin límites cuando está cerca a ese valor.

La asíntota horizontal es un valor de y al que la función se acerca a medida que los valores de x crecen sin límites. Las asíntotas inclinadas son ecuaciones lineales a las que la función se acerca cuando los valores de x tienden a infinito.

¿Cómo obtener gráficas de funciones logarítmicas?

Podemos graficar una función logarítmica al examinar la gráfica de una función exponencial y luego intercambiar los valores de x y y.

La gráfica de una función exponencial $latex y={{b}^{x}}$ tiene las siguientes características:

El dominio de una función exponencial es todos los números reales. Es decir, los valores de x van desde infinito negativo hasta infinito positivo.

El rango es todos los números positivos reales. Es decir, desde 0 hasta infinito positivo.

La gráfica de una función exponencial normalmente pasa a través del punto (0, 1), lo que significa que este punto es el intercepto en y.

La gráfica de una función exponencial $latex y={{b}^{x}}$ tiene una asíntota horizontal en $latex y=0$.

Si es que tenemos $latex 1>b>0$, la función decrece de izquierda a derecha y es denominada decrecimiento exponencial.

Si es que tenemos $latex b>1$, la gráfica incrementa de izquierda a derecha y es llamada crecimiento exponencial.

Usando cada una de las características mencionadas, podemos deducir características equivalentes para las funciones logarítmicas:

El dominio de una función logarítmica es todos los números positivos reales, desde el 0 hasta positivo infinito.

El rango de una función exponencial es todos los números reales.

La gráfica de una función logarítmica pasa a través del punto (1, 0).

La gráfica de una función logarítmica tiene una asíntota vertical en $latex x=0$.

Si es que tenemos $latex 1>b>0$, la gráfica decrecerá de izquierda a derecha.

Si es que tenemos $latex b>1$, la gráfica crecerá de izquierda a derecha.

Gráficas de funciones logarítmicas básicas

Podemos considerar a una función logarítmica básica como una función que no tiene traslaciones horizontales o verticales.

Podemos graficar funciones logarítmicas básicas siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1: Todas las funciones logarítmicas básicas pasan por el punto (1, 0), por lo que empezamos graficando ese punto.

Paso 2: Sabemos que la gráfica tiene una asíntota en x=0, por lo que la trazamos.

Paso 3: Si es que la base de la función es mayor que 1, la gráfica incrementa de izquierda a derecha. Si es que la base de la función está entre 0 y 1, la gráfica decrece de izquierda a derecha.

Gráficas de funciones logarítmicas con traslación horizontal

Las funciones logarítmicas con traslación horizontal tienen la forma $latex y={{\log }_{b}}(x-h)$, en donde h es la traslación horizontal. Al aplicar una traslación horizontal, producimos los siguientes cambios en las gráficas:

El intercepto en x se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda una distancia que corresponde al valor de h.

La asíntota vertical se mueve la misma distancia.

El dominio de la función también es afectado.

Gráficas de funciones logarítmicas con traslación vertical

Una función logarítmica con traslación vertical tienen la forma $latex y={{\log }_{b}}(x)+k$, en donde k es la traslación vertical. Con una traslación vertical en la gráfica producimos lo siguiente:

El intercepto en x se mueve hacia arriba o abajo por una distancia de k.

Gráficas de funciones logarítmicas con traslación horizontal y vertical

Una función logarítmica con traslación horizontal y vertical tiene la forma $latex y={{\log }_{b}}(x-h)+k$, en donde h es la traslación horizontal y k es la traslación vertical.

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre gráficas de funciones? Mira estas páginas:

# data[].attributes.attachment_link.title
Gráficas de Funciones Logarítmicas Resueltas - Neurochispas

# data[].attributes.attachment_link.description
Antes de empezar con las gráficas de las funciones logarítmicas, es importante que nos familiaricemos con algunos términos que serán usados. El dominio de una función es el conjunto de valores que podemos sustituir en la función para obtener respuestas aceptables. Es decir, el dominio son todos los valores posibles para x.

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Se denomina industria de la transformación de un país al conjunto de industrias que se dedican a convertir las materias primas o materiales (insumos) en productos que satisfagan las diversas necesidades de una sociedad (bienes de consumo). El proceso consiste en transformar estos insumos o entradas mediante procesos diversos con objeto de obtener los bienes de consumo o productos.

Aunque parezca ajeno, fíjate que las funciones en matemáticas trabajan de la misma manera:

1. Los valores de la variable independiente equivalen a los insumos o entradas de la función (a veces también se les llama argumentos).

2. La regla de correspondencia equivale al proceso de transformación.

3. Los valores de la variable dependiente equivalen a los bienes de consumo o salidas de la función, también conocidos como imágenes.

Dominio y Codominio de una función

En estos términos, decimos entonces que el dominio es el conjunto de valores de entrada, el rango (o imagen) es el conjunto de valores de salida de una función y el codominio es el conjunto que contiene al rango.

Veamos unos ejemplos:

Considera la función $f(x)=x+3$. Esta función no tiene ninguna restricción en su dominio, es decir, la regla de correspondencia que la define, es aplicable a cualquier número real, por lo tanto su dominio es el conjunto de todos los números reales: $\mathbb{R}$. Si la función se llama $f$, el dominio se denota como $Dom_f$ y el codominio como $Cod_f$.

Observa que su codominio también son todos los números reales pues si $x$ es un número real, $x+3$ también lo es. Entonces, escribimos que: $$Dom_f=\mathbb{R}=Cod_f$$

Y solemos denotarla así: $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$

¿Cómo obtenemos el rango de $f$? Dijimos que el rango de $f$ es el conjunto formado por todos los valores de "salida" de la función, es decir: $$Ran_f=\{y\in \mathbb{R}|y=f(x) \text{ para alguna } x \in \mathbb{R}\}$$

Quiere decir que en el conjunto $Ran_f$ (a veces también denotado como $Im_f$) están todas las posible soluciones de la ecuación $$y=x+3$$ observa que para cada número real $x$ tenemos un número real $y$ por lo que todo número real es una posible solución, es decir, $Ran_f= \mathbb{R}$. Así, la imagen de $f$ -o su rango- son también todos los números reales.

Ahora considera la función $g(x)=\frac{1}{x}$. Observa que esta función tiene una clara restricción en su dominio, como no es posible dividir por cero, entonces $0$ no pertenece a su dominio. Con los demás números reales no hay ningún problema, por lo que $Dom_g =\mathbb{R}-\{0\}$. En este caso también se tiene que $Cod_g=\mathbb{R}$.

¿Cuál sería el rango de $g$? por definición tenemos que es el conjunto $Ran_g= \{y \in \mathbb{R}| y=\frac{1}{x}\text{ para alguna } x \in \mathbb{R}\}$

En la ecuación $y=\frac{1}{x}$ se tiene que $x$ sería solución, si y solamente si $x=\frac{1}{y}$ (sustituye este valor en la ecuación para comprobarlo).

Por lo que el rango de $g$ será el conjunto $Ran_g= \{\frac{1}{y} |y \in \mathbb{R}\}$ y, como habíamos observado con el dominio de $g$ la expresión $\frac{1}{y}$ solamente tiene restricción para $y=0$ por lo que $Ran_g =\mathbb{R}-\{0\}$.

Obtengamos ahora dominio, codominio y rango de la función $h(x)=\sqrt{x}$. Aquí también hay restricciones evidentes en el dominio pues la raíz cuadrada de números negativos no está definida. Entonces el dominio de $h$ está formado por los números reales no negativos, es decir, $$Dom_h=\{x \in \mathbb{R}| x\geq 0 \}$$ en notación de intervalos este conjunto se denota como $Dom_h=[0, \infty)$.

El codominio serían los números reales pues la raíz cuadrada de un número real es nuevamente un número real, $Cod_h=\mathbb{R}$, sin embargo, notemos que todas las imágenes son no negativas por lo que $Ran_h=[0,\infty)$.

Gráfica de una función

Una herramienta muy útil para estudiar funciones es su gráfica, si $f$ es una función con dominio $A$, la gráfica de $f$ es el conjunto de pares ordenados $$\{(x,f(x)) \in \mathbb{R}^2|x\in A\}$$ es decir, el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano, tales que $y=f(x)$. Observa que esta última expresión establece que la gráfica de una función también puede expresarse como una ecuación.

Conocer la gráfica de una función permite conocer su imagen y su comportamiento lo cual puede ser muy útil al estudiar un fenómeno modelado por tal función. Una forma de obtener la gráfica de una función es tabular algunos puntos y luego unirlos. Obtengamos por ejemplo, las gráficas de las funciones que vimos en los ejemplos anteriores:

1. $f(x)=x+3$

Dominio

Codominio

$x$

$f(x)=x+3$

-3

0

-2

1

-1

2

0

3

1

4

2

5

3

6

2. $g(x)=\frac{1}{x}$

Dominio

Codominio

$x$

$g(x)=\frac{1}{x}$

-3

$-\frac{1}{3}$

-2

$-\frac{1}{2}$

-1

-1

$-\frac{1}{2}$

-2

$-\frac{1}{3}$

-3

$\frac{1}{3}$

3

$\frac{1}{2}$

2

1

1

2

$\frac{1}{2}$

3

$\frac{1}{3}$

Otra forma más sencilla es usar algún paquete de geometría dinámica como Geogebra.

3. $h(x)=\sqrt{x}$

Autoevaluación

Determina dominio y codominio de las funciones siguientes. Después obtén su rango y su gráfica.

1. $f(x)=x^{2}-4$

2. $g(x)=\sqrt{x-3}$

3. $h(x)=|x|+x$

4. $j(x)=\frac{x}{|x|}$

# data[].attributes.attachment_link.title
Dominio, Codominio y Gráfica de una función

# data[].attributes.attachment_link.description
Se denomina industria de la transformación de un país al conjunto de industrias que se dedican a convertir las materias primas o materiales (insumos) en productos que satisfagan las diversas necesidades de una sociedad (bienes de consumo). El proceso consiste en transformar estos insumos o entradas mediante procesos diversos con objeto de obtener los bienes de consumo o productos.